V APPELLO DI MATEMATICA Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università di Pisa 18 Luglio 2008

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Albina Fusco
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1 1 COGNOME: NOME: N. DI MATRICOLA: V APPELLO DI MATEMATICA Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università di Pisa 18 Luglio 2008 Esercizio 1 [Adattato da un lavoro della studentessa Irene Cocciolo]. (4 punti in totale) Irene parte in treno da Lecce per andare a Roma e decide di stimare la velocità media del treno tra una stazione e l altra, cioè da quando il treno parte dalla stazione precedente a quando arriva a quella successiva. A questo scopo, seguendo una sua idea, chiede al capotreno una stima di quale sia la distanza tra i pali della luce posti lungo i binari. Il capotreno risponde che i pali sono posti a circa 20 metri uno dall altro lungo tutto il percorso. Per aiutare Irene a risolvere il problema, il capotreno quindi aggiunge che il treno si ferma in 11 stazioni incluse quelle di partenza e di arrivo e che dal momento della partenza da Lecce a quello d arrivo a Roma il treno impiega in totale 4 ore e 46 minuti, fermandosi in media circa 5 minuti in ogni stazione intermedia. Irene non è del tutto convinta che le informazioni date dal capotreno siano tutte utili. Continuando a seguire la sua idea, con un orologio alla mano mentre il treno corre, Irene conta che ogni 4 secondi vede passare in media 6 pali della luce. Dire: a) se Irene ha ragione a non essere convinta dell utilità delle affermazioni del capotreno e perché (2 punti) b) una stima della velocità media con cui il treno corre tra una stazione e l altra (2 punti) c) quali approssimazioni Irene ha fatto per elaborare la sua stima (2 punti) Esercizio 2. (12 punti in totale)

2 2 Sia data la funzione f : R R f(x) = x x a) Si studi f(x) e se ne tracci il grafico (9 punti). In particolare si determini, motivando in modo opportuno ogni risposta: a.1) Il campo di esistenza di f(x) (1 punto) a.2) Per quali valori di x, f(x) è positiva e per quali è negativa (1 punto) a.3) Il comportamento di f(x) in corrispondenza degli estremi del campo di esistenza (1 punto) a.4) Gli intervalli di x per i quali la funzione è crescente o strettamente crescente, e quelli per i quali è decrescente o strettamente decrescente (2 punti) a.5) Se f(x) ha dei punti di massimo o di minimo locali e, se ne ha, quanto vale la funzione in questi punti (2 punti)

3 a.6) Tracciare il grafico di f(x) sulla base delle risposte a.1)-a.5) (2 punti) 3

4 4 a.7) Tracciare sullo stesso grafico e senza ulteriori studi la funzione f(x) e f(x + 2). (3 punti) Esercizio 3. (4 punti in totale) Sia data l equazione differenziale a variabili separabili y = xcos(x) a) Trovare la soluzione generale y(x) dell equazione differenziale, utilizzando il metodo di integrazione più conveniente (3 punti) b) Trovare la soluzione particolare che soddisfa la condizione iniziale y(0) = 0 (1 punto)

5 Esercizio 4. (4 punti in totale) In un cassetto ci sono 2 calzini neri e 2 calzini blu. Nella stanza è buio e non posso riconoscere il colore dei calzini. I calzini sono tutti della medesima fattura e dunque non posso riconoscerli neanche al tatto. Prendo dal cassetto due calzini (senza rimettere dentro nè il primo nè il secondo). Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando la risposta: a) La probabilità che io estragga dal cassetto 2 calzini neri è 1/6 (1 punto) V F 5 b) La probabilità che io estragga dal cassetto 1 calzino blu e 1 nero è il 20% (1 punto) V F c) La probabilità che io estragga dal cassetto almeno 1 calzino blu è 5/6 (2 punti) V F Esercizio 5. (6 punti in totale) In una classe che conta un totale di 15 tra ragazzi e ragazze si misura il loro peso ottenendo la seguenti misure in Kg: P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 10 P 11 P 12 P 13 P 14 P a) Determinare la media P delle 15 misure (2 punti) b) Determinare la deviazione standard σ P (2 punti)

6 Sia ora data una popolazione di individui e supponiamo che i loro pesi siano distribuiti in modo gaussiano con media P = 65 Kg e deviazione standard σ P = 10 Kg: c) Determinare quanti individui di questa popolazione hanno un peso maggiore di 80 Kg e quanti lo hanno inferiore a 45 Kg (2 punti) 6

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