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1 Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo I (itato o ilitato) e sia un punto interno all intervallo I. Si dice che f è continua nel punto se: ( )= ( ) Una funzione f è continua in un punto interno al proprio intervallo di definizione se: ( ) finito il ite di ( ) per il ite coincide col valore ( )

2 In base alla definizione di ite, la definizione di continuità può essere data come segue: Def. Una funzione f definita in un intervallo I (itato o ilitato) è continua in un punto se: >0 >0: (, + ), ( ) ( ) < Se si verifica solo ( )= ( ) si dice che la funzione è continua a destra. Se si verifica solo ( )= ( ) si dice che la funzione è continua a sinistra.

3 Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo I (itato o ilitato). Si dice che f è continua nel proprio intervallo di definizione I se è continua in ogni punto interno ad I: ( )= ( ),

4 Limiti e continuità Sia la nozione di ite che la nozione di continuità si riferiscono al comportamento di una funzione in prossimità di un punto che - non deve necessariamente appartenervi se si parla di ite e quindi in tale caso si può verificare anche che =± - deve necessariamente appartenere all insieme di definizione della funzione, se si parla di continuità.

5 Da un punto di vista grafico, dire che una funzione è continua nel proprio intervallo di definizione equivale a dire che il suo grafico è costituito da una linea continua senza alcuna interruzione: funzione continua funzione non continua

6 Punti di discontinuità se f è definita in un intervallo [a,b] escluso al più un punto oppure se f non è continua in un punto si dice che il punto è un punto singolare oppure punto di discontinuità I punti di discontinuità si dividono in tre specie

7 Punti di discontinuità einabile (III specie) Si dice che nel punto una funzione f ha una discontinuità einabile se ( ) ( ) finito ma ( ) ( )

8 Esempio ( )= sin ( )=(,0) (0,+ ) presenta nel punto =0 una discontinuità einabile: (0) sin =1

9 Punti di discontinuità di I specie Si dice che nel punto una funzione f ha una discontinuità di I specie se in tale punto esistono finiti il ite destro ed il ite sinistro di f ma sono diversi tra loro: = ( ) ( )=

10 Esempio ( )= + ( )=(,0) (0,+ ) presenta nel punto =0 una discontinuità di I specie: y 1-1 x + = 1 + =1

11 Punti di discontinuità di II specie Si dice che nel punto una funzione f ha una discontinuità di II specie se in tale punto almeno uno dei due iti destro o sinistro di f è infinito oppure non esiste. Osservazione In definitiva, la presenza di asintoti verticali è rappresentativa di discontinuità di II specie

12 Esempio ( )= 1 ( )=(,0) (0,+ ) presenta nel punto =0 una discontinuità di II specie: 1 = 1 =+

13 Esempio ( )=2 ( )=(,0) (0,+ + ) presenta nel punto =0 una discontinuità di II specie: 2 =0 2 =+

14 Tutte le funzioni elementari sono continue nel proprio dominio e valgono i seguenti iti: Funzione potenza ad esponente intero n pari n dispari =+ n pari =+ n dispari =

15 Funzione radice ennesima n pari n dispari =+ n pari n dispari =

16 Funzione potenza ad esponente reale <0 >1 0< <1 >0 =+ =0 (continuità in zero) <0 =0 =+

17 Funzione esponenziale >1 0< <1 >1 =0 =+ 0< <1 =+ =0

18 Funzione logaritmo >1 log = log =+ 0< <1 log =+ log =

19 Funzioni trigonometriche ± sin ± cos Pur non esistendo, tali iti rappresentano qualcosa di itato (finito) poiché sia la funzione seno che la funzione coseno assumono valori nell intervallo chiuso e itato [-1,1].

20 2 2 ± tan tan =+ tan =

21 Funzioni trigonometriche inverse Le funzioni ( )= sin e ( )= cos sono definite e continue nell intervallo [-1,1] quindi il ite in ogni punto coincide col valore della funzione nel punto: per ogni [ 1,1]. arcsin =arcsinx arccos =arccosx

22 2 2 arctan = 2 arctan = 2

23

24 N.B. Tutte le funzioni che si possono ottenere come somma, prodotto, quoziente e composizione da funzioni elementari sono continue nel loro insieme di definizione. Sono pertanto continue: i polinomi le funzioni razionali (rapporti di polinomi) funzioni come: exp( ) sin log(1+tan )

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