DIDATTICA DI DISEGNO E PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI PROF. CARMELO MAJORANA ING. LAURA SGARBOSSA MODULO UNO

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1 ATTCA SEGNO E PROGETTAZONE ELLE COSTRUZON PROF. CARELO AJORANA NG. LAURA SGARBOSSA OULO UNO L PROBLEA ELLA TRAVE E SANT VENANT (PARTE A OULO PER LO SPECALZZANO oduo N QUESTO OULO: L PROBLEA ELLA TRAVE E SANT VENANT; SCUSSONE CRTCA ELLA SOLUZONE. probema dea trave di e Saint Venant: introduione. metodo semi-inverso.3 principio di e Saint Venant.4 Le caratteristiche dea soecitaione.5 Proprietà deo stato di tensione nea trave di e Saint Venant.6 Souioni de probema di e Saint Venant

2 . probema dea trave di e Saint Venant: introduione probema di e Saint Venant consiste ne determinare a souione de probema di equiibrio eastico per un ciindro, per sempicità retto, detto trave. Si considerino per o studio di tae probema e seguenti ipotesi: per a trave: - corpo continuo dotato di tre dimensioni; - forma geometrica è quea di un ciindro di direttrice generica sufficientemente aungata; - asse rettiineo; - corpo costituito di materiae omogeneo, isotropo, inearmente eastico; - corpo ibero da vincoi esterni; - seione trasversae de corpo quasiasi ma compatta e non dispersa; per e fore esterna attive: - fore appicate escusivamente sue superfici di base con distribuione arbitraria; - fore superficiai, quindi, nue sua superficie aterae che risuta scarica: p p p ; - fore di voume f f f ovunque ne voume V; - sistema equiibrato. Sia i sistema di riferimento cartesiano,,, ortonormae, con 'origine O ne baricentro dea seione trasversae iniiae, 'asse disposto secondo 'asse de ciindro, mentre gi assi e coincidono con e direioni principai d'ineria [] dea seione. Sotto queste ipotesi si devono determinare o stato di tensione, di deformaione e i campo di spostamento dea trave. e Saint Venant ha per primo fornito una souione approssimata de probema de'equiibrio eastico de ciindro, poiché assume e aioni appicate sue basi, definite soo daa risutante e da momento risutante.. metodo semi-inverso sistema di equaioni differeniai che regge i probema di e St. Venant presenta grosse difficotà anaitiche se affrontato in piena generaità. Come propose o stesso e St. Venant si può ricorrere a così detto metodo semi - inverso; i metodo consiste ne fissare a priori in modo arbitrario acune caratteristiche dea

3 souione, precisamente sono poste nue tre componenti deo stato di tensione in ogni punto dea trave: Successivamente si determinano con e equaioni de probema eastico e atre componenti di tensione, infine e condiioni a contorno definiscono e fore da appicare sue basi per ottenere quea souione. Le furono suggerite da'intuito di e St. Venant, osservando a geometria de soido e a modaità di appicaione dee fore. La souione così trovata, quando non sorgono incompatibiità tra a sceta fatta a priori e e equaioni da soddisfare, è proprio a souione cercata, per 'unicità dea souione de probema de'equiibrio eastico. Riassumendo si può dire che ne probema di e St. Venant sono noti a priori: - i dominio di definiione de probema; - e fore di massa e e fore sua superficie aterae; - e caratteristiche de materiae ( E, G, ν, modui tecnici de materiae - acune componenti di tensione in ogni punto de corpo ( ; sono incognite: - e componenti di tensione non nue a priori; - e componenti di deformaione in ogni punto de corpo; - e componenti di spostamento in ogni punto de corpo; - e distribuioni dee fore sue basi..3 principio di e Saint Venant probema di e St. Venant risoto assumendo e aioni sue basi definite soo daa risutante a da momento risutante, non considerando quindi i vaori ocai dee fore appicate sue basi, fornisce una souione meno difficotosa, ma approssimata. L'approssimaione di tai souioni è tuttavia egata aa vaidità di un principio ideato dao stesso e St. Venant. Tae principio afferma che sostituendo ad un dato sistema di fore appicate ae basi de ciindro un atro sistema ad esso staticamente equivaente, gi effetti dea soecitaione

4 non si sentono nei punti de soido situati a sufficiente distana dae basi; ciò equivae a dire che a souione nea parte centrae dea trave è invariante, e quindi che a differena tra e souioni, a variare dea distribuione dee fore di superficie appicate ae due teste, a parità di risutante e momento risutante, è appreabie soo in prossimità dee teste stesse dee travi. Per questo motivo tra e ipotesi de probema di e St. Venant si trova che a geometria de corpo soido deve essere sufficientemente aungata..4 Le caratteristiche dea soecitaione Le condiioni a contorno sue basi,, portano ad identificare e fore di superficie, su di esse appicate, con e componenti di tensione nei punti sue basi, cioè: f, f, f. Le predette aioni agenti sue basi, nea generica seione trasversae di ascissa, definiscono e sei caratteristiche dea soecitaione, e precisamente: - sforo normae N - tagi T, T - momenti fettenti, - momento torcente, secondo a notaione e e convenioni di segno, come riportato in figura. figura

5 etta A area dea seione trasversae, tenendo conto dea, si hanno e seguenti componenti dea soecitaione esterna: f da da T da da f T 3a f da da N f da da f da da 3b ( f f da ( da Le componenti dea risutante e de momento risutante dee tensione interne, rispetto a un sistema di riferimento adottato, si chiamano parametri dea soecitaione. Sua seione terminae dea trave, in corrispondena di, i parametri dea soecitaione sono definiti dae 3a, 3b; su una seione quaunque di normae uscente equiversa con asse, vagono e 3a, mentre per equiibrio aa rotaione intorno agi assi si ha: T ( T ( 3c Ne sistema di riferimento adottato, su una seione di normae esterna discorde a asse, i parametri di soecitaione risutano invece, di segno contrario rispetto ae 3a e ae 3c.

6 Sua base in corrispondena di e caratteristiche dea soecitaione esterna dettate dae condiioni di equiibrio de corpo rigido, risutano: 3d 3e. Queste condiioni sono rappresentate in figura figura

7 .5 Proprietà deo stato di tensione nea trave di e Saint Venant ae condiioni derivano acune proprietà generai deo stato di tensione, vaide per quaunque sistema di fore appicate ae basi dea trave a di fuori dea ona di estinione. Ci si imita in questo paragrafo, ad eencare tai proprietà, rimandando e dimostraioni aa etteratura consigiata per chi voesse approfondire argomento. n riferimento a sistema di assi cartesiani secondo cui asse dea trave è orientato ungo asse e e rispettive basi giacciono ne piano, come riportato in figura 3, si osserva che: figura 3 a sue giaciture paraee a asse a tensione è soo tangeniae di direione ; b e componenti tangeniai dea tensione sono indipendenti da ; c o stato di tensione è biassiae; d i vettore tensione tangeniae totae è tangente a contorno.6 Souioni de probema di e Saint Venant Si propone, essendo i corpo ibero a souione de probema de equiibrio eastico [], secondo i metodo dee fore [3]. Ricordando che e incognite sono e componenti di tensione, e, - e equaioni indefinite di equiibrio, tenendo conto dea, diventano:

8 4 4 4 c b a e si può notare che a impica che e tensioni tangeniai dipendono soo da e da ; - e equaioni di congruena di Betrami [4]: per e ipotesi fatte sue fore e suo stato di tensione sono: d c b a d atra parte per e equaioni di equiibrio a contorno sua superficie aterae ove si ha, per e ipotesi, a condiione: 6a mentre sue basi, dove, si ha: 6d f 6c f 6b f e 5 impicano che a componente sia de tipo: ( c b a c b a 7

9 Le due equaioni rimanenti, tenendo conto dea 7, si scrivono nea forma b ν 8a c ν 8b probema si riduce quindi a tre equaioni differeniai, a 4c e e 8a,8b. i queste a dipende da sei costanti, mentre e, dipendono anche da tipo di materiae. Traasciando in questa trattaione i passaggi dimostrativi, rimandati ai testi consigiati [5], si trova che i probema di e Saint-Venant è riconducibie aa determinaione di una funione armonica ϑ(, ne dominio piano coincidente con a seione retta de ciindro essendo prescritta a derivata di ϑ rispetto aa normae de contorno. Si tratta quindi di risovere un probema di ini-neumann a cui souione esiste unica a meno di una costante additiva se: ϑ ds C n 9 con C contorno dea seione. Per comodità di forma i probema generae di e Saint-Venant può essere suddiviso in tre probemi pariai di ini descritti dae funioni armoniche ϑ ϑ,,, ϑ La 9 è ancora condiione necessaria e sufficiente perché i probema sia risovibie da momento che è sempre soddisfatta. n concusione, a souione generae de probema di e Saint-Venant in termini di tensione risuta: a b c b c a ( ϑ ϑ ϑ b ( c (ν c ( ( ν b ϑ ϑ ϑ b (ν c ( c ( ( ν c.

10 - Costanti dea souione: risoto i probema di ini, restano da determinare e sei costanti che compaiono nee per definire o stato di tensione in ogni punto de corpo. ae condiioni di equivaena meccanica tra e aioni interne e fore appicate sua base terminae de ciindro, in appicaione de principio di e Saint-Venant si individuano sei casi di soecitaione coegati con e seguenti costanti di integraione: sforo normae N N N a A A A fessione con asse-momento b T fessione con asse-momento c T 3 tagio di direione tagio di direione torsione pura b T T 4 T T c 5 c t 6 Questi casi, di cui soo quattro di essi sono effettivamente distinti, si riferiscono a soecitaioni sempici e corrispondono ad una soa costante di integraione non nua. La sceta opportuna de sistema di riferimento per cui gi assi e sono principai d ineria dea seione, ha portato ad una souione sempificata.