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1 ..3. Prodotti notevoli Per quanto visto in precedenza, in generale per moltiplicare un polinomio di m termini per uno di n termini devono effettuarsi m n moltiplicazioni, così per esempio per moltiplicare un polinomio di 4 termini per uno di 5 devono effettuarsi ben 0 moltiplicazioni. Naturalmente all aumentare del numero di operazioni da eseguire aumenta anche la possibilità che qualcuna delle operazioni effettuate risulti sbagliata. Ciò ci suggerisce di cercare degli accorgimenti per ridurre le operazioni da eseguire. Naturalmente ciò non sarà sempre possibile, ma lo sarà per alcuni prodotti che perciò chiamiamo prodotti notevoli. esempio Semplificare: ( 3x y ) ( 3x +y )=9x + 6xy 6xy 4y 4 =9x 4y 4 Come si è visto abbiamo ottenuto due termini opposti. Non è difficile capire che ciò è dovuto alla particolarità del prodotto in cui i due binomi sono quasi uguali, differendo fra essi solo per il segno di uno dei due monomi. Questo prodotto è notevole e lo chiamiamo prodotto della somma per la differenza delle basi. Vale la seguente regola per il calcolo semplificato del prodotto notevole. Regola 1 Il prodotto della somma per la differenza delle basi fornisce come risultato la differenza dei quadrati delle basi. In simboli: ( A+B) ( A B) = A B con la convenzione che A e B rappresentino in generale due polinomi. esempi seguiamo dei prodotti notevoli applicando la precedente regola. ( x 3) ( x +3)= x ( 5xy +z ) ( 5xy z )= 5xy ( 7 a b) ( 7 a b)= 7 + a b 3 =4x 9 ( z ) =5x y 4z = 49+a b 4 Possiamo ottenere un altro interessante prodotto notevole. esempio. Semplificare 7z +p Si ha: ( 7z +p) = ( 7z +p) ( 7z +p)= 7z = 7z 56 Capitolo +7z p+p 7z +p = + 7z p+p =49z 4 +14pz +p

2 Anche il precedente prodotto ha qualcosa di notevole, che esplicitiamo nella seguente regola. Il prodotto lo chiamiamo quadrato di un binomio. Regola Vale il seguente sviluppo per il quadrato di un binomio: A+B = A + A B+B Le precedenti regole sono valide anche per polinomi, non solo per monomi. esempio Semplificare x + a b x a b Possiamo pensare la moltiplicazione come un particolare prodotto somma per differenza, i cui termini sono un monomio e un polinomio. Scriviamo perciò: x + a b x a b =4x a b =4x ( a 4 a b+b ) =4x a 4 +a b b In questo modo abbiamo eseguito solo 4 moltiplicazioni, invece di 9. Vediamo ancora qualche altro prodotto notevole. esempi 1. Semplificare: ( 3x y ) ( 9x +3xy + y )=7x 3 +9x y +3xy 9x y 3xy y 3 =7x 3 y 3 Come si vede i 6 monomi si sono ridotti solo a due, che sono poi il cubo di ciascuno dei due termini del binomio di partenza.. Semplificare: ( 3x + y ) ( 9x 3xy + y )=7x 3 9x y +3xy +9x y 3xy + y 3 =7x 3 + y 3 Il prodotto è molto simile al precedente, stavolta la semplificazione è però data dalla somma dei cubi. In vista dei precedenti esempi poniamo le seguenti regole. Regola 3 Vale la seguente uguaglianza: ( A B) A + A B+B = A 3 B 3 Regola 4 Vale la seguente uguaglianza: ( A+B) A A B+B = A 3 +B 3 57

3 Altri prodotti notevoli sono le potenze qualsiasi di un binomio. Vediamo solo il caso del cubo. esempio Sviluppare il seguente cubo di un binomio: Scriviamo nel seguente modo: ( a+b) 3 = a+b a+b ( a +b) 3 =( a +ab+b ) ( a+b)= =a 3 +a b+ab +a b+ab +b 3 =a 3 +3a b+3ab +b 3 L esempio precedente ci suggerisce di enunciare una regola per lo sviluppo del cubo di un binomio, che si avvale di appena 4 moltiplicazioni contro le 8 che invece dovremmo effettuare moltiplicando la base per se stessa tre volte. Regola 5 Lo sviluppo del cubo di un binomio genera un quadrinomio formato dai cubi dei due monomi formanti la base e dai due tripli prodotti fra il quadrato di ciascun monomio per l altro. In simboli: esempio Sviluppare: ( A+B) 3 = A 3 +3A B+3A B +B 3 Applichiamo la precedente regola: ( x y ) 3 = x 3 +3 ( x ) y Regola 6 Vale la seguente uguaglianza: A B = A B 58 Capitolo ( x y ) 3 +3 ( x ) y + ( y ) 3 = =8x x y +6x y 4 y 6 =8x 3 +1x y +6xy 4 y 6 ( A+B)

4 sercizi svolti Svolgere il seguente prodotto fra monomi: Si ha: l m 3 n 4 p 6 5 l 3 pq mn q l l 3 m 3 n 4 p p q mn q 4 = 3 5 l 5 m 3 n 4 p 3 q mn q 4 = = 3 35 l 5 m 4 n 6 p 3 q 7 Potevamo anche effettuare la moltiplicazione nel seguente modo: Semplificare la seguente espressione: l m 3 n 4 p 6 35 l 3 mn pq 7 = 3 35 l 5 m 4 n 6 p 3 q 7 (ab + ac bc) (ac ab + bc) Applicando ripetutamente la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, moltiplichiamo ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo polinomio. Otteniamo così: ab ac +ab ( ab )+ab bc +ac ac +ac ( ab )+ac bc bc ac bc ( ab ) bc bc = =a bc a b +ab c +a c a bc +abc abc +abc b c = = a b +ab c +a c +abc b c Abbiamo segnato con uguali segni i monomi simili. 3 Consideriamo la moltiplicazione: ( 3x x +1) ( x 4x 5) senza sviluppare tutti i prodotti vogliamo sapere quanto varrà il coefficiente del monomio di grado 3 del polinomio risultato. Poiché il grado del prodotto di due monomi è la somma dei gradi dei singoli monomi, otterremmo grado 3 moltiplicando fra loro due monomi, uno di grado e l altro di grado 1, cioè dai prodotti 3x ( 4x ),( x ) x, pertanto il coefficiente cercato è 1 =

5 4 Determinare la somma delle cifre del numero: ( ) Apparentemente il quesito è molto laborioso, neanche le calcolatrici scientifiche possono aiutarci. Se però sviluppiamo il quadrato come se fosse quello di un binomio, otteniamo: ( ) = Adesso chiediamoci che tipo di numero è il risultato è formato da 1 e 816 zeri, allo stesso modo è formato da e 408 zeri. Quando sommiamo questi due numeri avremo ancora un numero con 817 cifre, che sono 1 (la prima), (quella di posto 409 dalla fine) e poi tutti zeri. Sommando a questo numero 1 otterremo la somma delle sue cifre è perciò = }} Possiamo applicare qualche prodotto notevole per semplificare ( 4a+b) ( 4b a)? No, perché abbiamo la somma per la differenza ma non di monomi uguali. 6 Possiamo applicare qualche prodotto notevole per semplificare ( 4pq 1) 1+4pq Sì, perché è il quadrato di un binomio. Perciò: ( 4pq 1) ( 1+4pq )= 4pq + 4pq ( 1)+ 1 7 Possiamo applicare qualche prodotto notevole per semplificare ( 1+a b) ( 1 a b)?? =16p q 4 8pq +1 Pur non avendo un particolare prodotto notevole, scrivendo opportunamente l espressione, possiamo semplificare i calcoli. ( 1+a b) ( 1 a b)= ( 1 b)+a ( 1 b ) a = ( 1 b) ( a ) =1 b +b a 4 8 Il seguente sviluppo di un quadrato di binomio è errato: ( 3xy z ) = ( 3xy ) + z =9x y +4z Infatti manca il doppio prodotto. Si ricordi che lo sviluppo del quadrato di un binomio è sempre un trinomio. L espressione corretta è: 9x y 1xyz +4z. 60 Capitolo

6 9 Semplificare: ( 1 x ) ( 3y z ) ( 1 x )+( 3y z ) Anche in questo caso applichiamo la regola del prodotto somma per differenza: ( 1 x ) ( 3y z ) =1 4x +4x ( 9y 6yz +z )=1 4x +4x 9y +6yz z Osserviamo che così facendo abbiamo eseguito 6 moltiplicazioni invece di 16. Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo. sercizi proposti 1 Semplificare le seguenti espressioni: a) ( a 3b +1) ( a +3b ); b) ( a +b 3c ) a +b 3c Semplificare la seguente espressione: ax 1 bx + + ax +1 bx + a x +b x 4 3 Semplificare la seguente espressione: a 1 3 b c a b 1 6 c a 1 3 b a b 4 Senza effettuare la moltiplicazione per intero, stabilire quanto vale il coefficiente di grado 3 del polinomio risultato ( 3x 3 +x x +1) ( 4x 4 x 3 + x 4). 5 Senza effettuare la moltiplicazione per intero, stabilire quanto vale il coefficiente di grado 3 del polinomio risultato ( x x +1) ( x 4 x 3 + x 5). 6 Senza sviluppare le potenze dire il grado del polinomio risultante dalla moltiplicazione seguente: x +1 4 ( x 3 +1) 3. 7 Determinare la somma delle cifre dei seguenti numeri: a) ;b) ( ) ;c) ( )., n N., n, m N, è 18, determinare m ( a b) 100? 8 Determinare la somma delle cifre di 10 n +9 9 Sapendo che la somma delle cifre di 10 n +m 10 Quanti termini ha il polinomio risultato della seguente espressione: a +b 1 61

7 Semplificare applicando, ove possibile, i prodotti notevoli. 11 a) ( 3xy +1) ( 3x y ); b) ( 4a 4 b +c) ( 4a b 4 c); c) ( w +5) ( 5 w ) 1 a) ( xy xz ) ( xz xy ); b) ( 8a 7b) ( 8a 7b ); c) ( 11m 4 p +1w 4 ) 1w 4 11m 4 p 13 a) ( a +bc ) ( a abc +b c ); b) ( 7m n) ( 49m +14m n +4n ) 14 a) ( x + y ) ( x 4 + x y + y 4 ); b) ( x +y ) ( x +xy 4y 4 ) 5 15 a) t w 3 y t 4 w 3 +5t y 4 w 3 +4y 8 ; b) ( a 3 b 5 ) a 8 +a 3 b 5 +b 3 x +z 16 a) + x 3z mn +p 3 4 ; b) +p 17 ( a 7 +1) a 14 a 7 ( +1) 18 ( a m 3b 3 c) ( a m +3b 3 c) ( a m b 3 c) 4a m +9b 3 c 19 ( a 3b) ( a +3b) 16a 4 +36a b +81b 4 6 Capitolo 0 a) x x + x x 1 ; b) 3 xy x + y 3 xy x y 1 a) ( a +b)+c ; b) ( a +b ) c a +c ( a ac +c ) 3 ( a +3b) ( 4a 6ab +9b ) 1 4 ( 3mnp +m n) ( 3mnp +m n) 3mnp m n 5 a) ab +cd 6 7qs 1 3 ( ab cd ) 3 ; b) ( x 1) 3 + ( x +1) 3 + 3qs h ( 3qs +h)+qs ( 7 9qs )+4h 6 7 (a +b 3c) (a b +3c) (a b 3c) (a +b +3c)+(a +b +3c) (a b +3c) 8 ( a +b c) ( a b +c) ( a +3b +c ) ( 3a b +c) a +b +c 9 a +b a b 3 a b a b +b (b a) 30 a (3v a) +v (v +a) (3v a) (v a) 3 (v a) v av +4a +3a +b +4c

8 Algebra dei polinomi Verifica finale Di seguito proponiamo alcuni test, di varie tipologie, per stabilire il grado di apprendimento degli argomenti svolti in questo capitolo. Ogni tipologia ha un punteggio associato, per un totale di 100 punti, se si ottiene un punteggio inferiore a 60 vuol dire che risulterà opportuno riprendere uno o più degli argomenti proposti. Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo. Quesiti a scelta multipla con più risposte esatte (1 punto per ogni risposta esatta, 1 punto di penalità per ogni risposta errata, 5 punti se si forniscono solo tutte le risposte esatte) Per ogni quesito tracciare un segno nell apposito quadratino sulle scelte corrette. 1 Quali fra i seguenti polinomi hanno un grado complessivo uguale a 8? A xyz + xy z +t B x 8 y 8 C x 8 + y 9 y D x 9 x 8ab c ab c 3 d Quali fra i seguenti sono polinomi omogenei? A xy + yz zt +1 B a 0 bc abc C x y xy + xyz D a bc +ab c abc am bc +abcm 3 Le seguenti affermazioni sono riferite alla semplificazione del polinomio prodotto fra un polinomio di 6 termini e grado 3 e un polinomio di 5 termini e di grado 4. Quali sono corrette? A Il suo grado è 1 63

9 Verifica finale B Ha certamente 30 termini C Non ha più di 30 termini D Il suo grado è almeno 4 Ha almeno 4 termini 4 Quali fra le seguenti uguaglianze sono corrette? A B C D ( x + y ) x y =0 ( x + y ) ( x + y ) ( x y )=xy ( x + y ) ( x + y )=xy ( x +y ) ( x y ) =x 4 +y 4 ( x + y ) x y = ( x y ) 5 Quali fra i seguenti sono prodotti notevoli? A ( 1+ x ) x 1 B ( a +b) ab C D ( a +b) a +ab +b ( a +b) b a ( a +b ) 3 Quesiti a scelta multipla con una sola risposta esatta (5 punti per ogni risposta esatta) Verifica finale Per ogni quesito tracciare un segno nell apposito quadratino sull unica scelta corretta. 6 Quale fra i seguenti polinomi è omogeneo di grado 3? A x y + xy + 3 B x 3 y 3 64 Capitolo

10 C x y + y y 3 D 3xyz 4xz ab bc Verifica finale Verifica finale 7 Quale fra le seguenti moltiplicazioni di polinomi è corretta? A ( 3h 5m ) ( 3h +5m )=9h 5m B ( x 3y ) ( y +3x )=4x 9y C ( 4x +a) ( 4x +a)=16x 4 +a D ( a b c) ( a +b +c)=a ( b +c) ( 7a b +3p) ( 7a 3p)=49a 4 b 9p 8 Quale fra i seguenti sviluppi di quadrato di binomio è corretto? =a 4b 4 4ab =9a +b 4 +18a b 4 A a b B 3a +b C D 3 m + 3 n = 4 9 m n +mn a 3 = 4 a +9 3a =9a x +b 9 +6ab 3 x 3ax +b 3 9 Quale fra i seguenti è un prodotto notevole il cui sviluppo dà luogo a una somma di cubi? A ( a +b ) a +ab +b 4 B ( x +5y ) x 10xy +5y C ( 3m 4n) 9m +1mn +16n D ( 4a +b) 16a 4ab +b Nessuno dei precedenti 65

11 Verifica finale 10 Quale fra le seguenti uguaglianze non è corretta? Verifica finale A 3xy 4z 3 B C =9x y 1xyz 3 +16z 6 ( a+b) ( a b) =a 4 a b +b 4 ( m 3n) ( 4m +6mn +9n )=8m 3 7n 3 D ( 4a +1) ( 4a 4a +1)=16a 3 1a +1 Tutte le precedenti sono corrette Quesiti a risposta numerica (10 punti per ogni risposta esatta) Rispondere con un numero alle seguenti domande. 11 Quante cifre ha il numero Capitolo?... 1 Il prodotto fra un polinomio di grado 3 e uno di grado è un polinomio di grado: La terza potenza di un polinomio di grado 3 ha grado: Il quadrato di un trinomio è un polinomio formato da quanti monomi? Il quadrato di un cubo di binomio da quanti monomi è formato?...