22 Reti in regime variabile aperiodico

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1 Analisi in evoluzione coninua leroecnica ei in regime variabile aperiodico Nei regimi variabili aperiodici ensioni e correni non assumono andameni di ipo presabilio (come nei regimi sazionario e periodico)! possono variare secondo qualsiasi andameno consenio dalle leggi opologiche (K e KT) e ipologiche degli n-poli che compongono la ree. i assume per ora che non presenino disconinuià, le quali saranno esaminae successivamene. sempi arica del condensaore - i inizia l esame con esempi, che cosiuiscono casi semplici ed imporani di rei in regime varialibe aperiodico: Per <0 è in e il circuio a desra è a riposo In =0 commua in la carica e scarica di condensaore ed induore. KT : v () = : v () = i ()! i () = K : i () =! = : = d/d! d/d = 3 equazione differenziale lineare di primo grado a coefficieni cosani 4

2 arica del condensaore - Inegrale paricolare: v p () = V p cosane, come il.n. ; sosiuendo: v p () = V p = Inegrale dell'omogenea: e.c.a. s = 0 si preferisce usare per cui T = s = [s] v o () = V o e s = V o e! T s =! [s ] cosane di empo arica del condensaore -3 Inegrale compleo: v () = v p () v o () = V o e! T osane di inegrazione V o : imponendo il valore iniziale, noo v(0) =0 0 = v p (0) v o (0) = V o! V o = infine = (! e! T) 5 6 arica del condensaore -4 Da si oiene = d d = e! T Alre uscie: v () = e!() Tue dipendono dalla sessa T: la differenza rispeo agli asinoi è del,8% dopo 4T e del 0,4% dopo 5T! a al puno il ransiorio è praicamene concluso v,i T!() = = (" e " T) = #( " e " T) carica del condensaore - Per <0 è in e il condensaore è carico a = In =0 commua in KT : v () = 0 : v () = i ()! i () = 0 K : i () =! = 0 : = d/d! d/d = 0 equazione differenziale lineare di primo grado a coefficieni cosani omogenea 7 8

3 carica del condensaore - Inegrale paricolare: v p () = 0 carica del condensaore -3 Inegrale compleo: v () = v p () v o () = V o ' e! T Inegrale dell'omogenea: e.c.a. s = 0 s =! [s ] osane di inegrazione V o : imponendo il valore iniziale, noo v(0) = per cui v o () = V o ' e s = V o ' e! T T = s = [s] = v p (0)v o (0) = 0 V o ' infine = e! T! V o ' = 9 0 carica del condensaore -4 Da si oiene = d d =! e! T Alre uscie: v () = e!()!() = = e " T = # e " T! v,i T Durane la carica Durane la scarica cambi energeici! = W " 0 = W = = # = $ $! g = % id = id 0 % = # 0! =! g "! = #! e = "! = W " 0 = W = = # = # =! #

4 Non dipendono da : Dipendenza da - a ensione di carica del condensaore V= 'energia immagazzinaa W =V / Dipendono da : a cosane di empo, T= e quindi la velocià di carica/scarica Il valore massimo della correne I=/ Al diminuire di : Dipendenza da -! v,i!! 3 4 voluzione di condensaore precaricao - Per <0 è in e il condensaore è carico a ensione V In =0 commua in KT : v () = : v () = i ()! i () = K : i () =! = : = d/d! d/d = olia equazione differenziale lineare di primo grado a voluzione di condensaore precaricao - Inegrale paricolare: v p () = V p cosane, come il.n. ; sosiuendo: v p () = V p = Inegrale dell'omogenea: e.c.a. s = 0 si preferisce usare T = s = [s] s =! [s ] cosane di empo coefficieni cosani 5 per cui v o () = V o e s = V o e! T 6

5 Inegrale compleo: v () = v p () v o () = V o e! T voluzione di condensaore precaricao -3 osane di inegrazione V o : imponendo il valore iniziale, noo v(0) =V V = v p (0) v o (0) = V o! V o = V infine = (V! )e! T voluzione di condensaore precaricao -4 In definiiva l uscia o risposa è: = (V! )e! T = v p () v o () che si può scrivere anche come: = (! e! T) Ve! T = v s.z. () v i.n. () v s.z. () = risposa da sao zero, dovua al solo ingresso, = risposa oale se la ree pare da sao zero: V=0 v i.n. () = risposa da ingresso nullo, dovua al solo sao iniziale V, = risposa o. se non ci sono ingressi: =0 7 8 arica dell'induore - Per <0 è in e il circuio a desra è a riposo In =0 commua in K : i () = : i () = Gv ()! Gv () = KT : v () =! G = : = d/d! G d/d = G,!() Inegrale paricolare: i p () = I p cosane, come il.n. ; sosiuendo: i p () = I p = arica dell'induore - Inegrale dell'omogenea: e.c.a. G s = 0 si preferisce usare T = s = G = [s] G s =! G =!,!() [s ] cosane di empo equazione differenziale lineare di primo grado a coefficieni cosani per cui i o () = I o e s = I o e! T 9 0

6 Inegrale compleo: i () = i p () i o () = I o e! T arica dell'induore -3 osane di inegrazione I o : imponendo il valore iniziale, noo i (0) =0 0 = i p (0) i o (0) = I o! I o = G,!() Da si oiene = d d Alre uscie: i () =G e "() arica dell'induore -4 = G e! T G v,i!() = = ( " e " T) = # ( " e " T) T infine = (! e! T) Tue dipendono dalla sessa T: la differenza rispeo agli asinoi è del,8% dopo 4T e del 0,4% dopo 5T! a al puno il ransiorio è praicamene concluso carica dell'induore - carica dell'induore - Per <0 è in e l'induore è carico a = In =0 commua in G,!() Inegrale paricolare: i p () = 0 G,!() K : i () = 0 : i () = Gv ()! Gv () = 0 KT : v () =! G = 0 : = d/d! G d/d = 0 equazione differenziale lineare di primo grado a coefficieni cosani omogenea Inegrale dell'omogenea: e.c.a. G s = 0 per cui i o () = I o ' e s = I o ' e! T s =! G [s ] T = s = [s] 3 4

7 Inegrale compleo: i () = i p () i o () = I o ' e! T carica dell'induore -3 osane di inegrazione I o ': imponendo il valore iniziale, noo i(0) = G,!() Da si oiene = d d Alre uscie: i () =G e "() carica dell'induore -4 =! G e! T v,i T! G = i p (0)i o (0) = 0 I o '! I o ' =!() = = e " T = # e " T infine = e! T 5 6 Durane la carica Durane la scarica cambi energeici! = W " 0 = W = = # = $ $! g = % v d = v d 0 % = # 0! =! g "! = #! e = "! = W " 0 = W = = # = # # =! Dipendenza da - Non dipendono da (o G): a correne di carica dell'induore I= 'energia immagazzinaa W =I / Dipendono da (o G): a cosane di empo, T=G=/ e quindi la velocià di carica/scarica Il valore massimo della ensione V=/G= 7 8

8 All'aumenare di (diminuire di G): Dipendenza da - v,i Per <0 è in e l induore è carico a correne I In =0 commua in K : voluzione di induore precaricao - i () = : i () = Gv ()! Gv () = KT : v () =! G = : = d/d! G d/d = olia equazione differenziale lineare di primo grado a coefficieni cosani G,!() 9 30 Inegrale paricolare: i p () = I p cosane, come il.n. ; sosiuendo: i p () = I p = Inegrale dell'omogenea: voluzione di induore precaricao - e.c.a. G s = 0 si preferisce usare per cui T = s = G = G s =! G =! [s] i o () = I o e s = I o e! T,!() [s ] cosane di empo Inegrale compleo: i () = i p () i o () = I o e! T voluzione di induore precaricao -3 osane di inegrazione I o : imponendo il valore iniziale, noo i (0) =I I = i p (0) i o (0) = I o! I o =I infine = (I )e! T G,!() 3 3

9 voluzione di induore precaricao -4 In definiiva l uscia o risposa è: = (I- )e! T = i p () i o () che si può scrivere anche come: = (! e! T) I e! T = i s.z. () i i.n. () i s.z. () = risposa da sao zero, dovua al solo ingresso, = risposa oale se la ree pare da sao zero: I=0 i i.n. () = risposa da ingresso nullo, dovua al solo sao iniziale I, = risposa o. se non ci sono ingressi: =0 raegia soluiva - ome viso negli esempi presenai ) i usa il sisema di equazioni generali compleo (ipologiche e opologiche) di ree ) i ricava da esso un equazione separaa per l uscia desideraa # = e() % % = j() % %! = 0 % $ d! = 0 % d %! d = 0 % d %" ± = 0 &% " ± = raegia soluiva - e l uscia dipende da un solo ingresso si oiene: ossia: a n d n y h () d n n d i y a h () d! i u i d i = b k ()! i d i m k d y a h () d m u a d 0 y h () = b k () m d m b d u k () b d 0 u k () e l uscia dipende da un più ingressi si oiene: q h m k n d i y a h () d i u! i d i = b k ()!! i k= d i Osservazioni ) uscia incognia è a primo membro; i coefficieni a i (e b i ) sono funzioni della ree inere (,, e loro connessioni) ) I secondi membri cosiuiscono i ermini noi: sono funzioni noe degli ingressi u k () [e() e j()] 3) Il grado n è sempre minore o uguale al numero p di variabili di sao preseni nella ree 4) a soluzione dipende anche dalle condizioni iniziali [v(0) dei condensaori e i(0) degli induori] 35 36

10 Valori iniziali Gli schemi linearizzai visi a suo empo i () v () v o () =v (0) i o () sosiuiscono i valori iniziali con ingressi fiizi U k [ e ] giusificano l applicazione della sovrapposizione degli effei, mosrano che i valori iniziali hanno effei analoghi agli ingressi originali i () v () =i (0) 37 oluzione - uscia o risposa y(), soluzione dell e.d.o. n d i y() d! i u a i d i = b k ()!! i d i = f () q k= si oiene come somma di inegrale paricolare e inegrale dell omogenea: m k y() = y p () y o () 38 oluzione - ma può esprimersi anche, per la sovrapposizione degli effei, come: y() = y s.z. () y i.n. () ove: y s.z. () = risposa da sao zero, dovua ai soli ingressi originali e() e j() (con valori iniziali nulli); y i.n. () = risposa a ingresso nullo, dovua ai soli ingressi fiizi U k [ e ], cioè ai valori iniziali [v(0) dei condensaori e i(0) degli induori] (con ingressi originali nulli). 39 oluzione -3 A sua vola la risposa da sao zero y s.z. () può calcolarsi come somma del suo inegrale paricolare e del suo inegrale dell omogenea y s.z. () = y s.z.p () y s.z.o () Invece la risposa a ingresso nullo y i.n. () è daa dal suo solo inegrale dell omogenea y i.n. () = y i.n.o () perché il suo inegrale paricolare è nullo (con ingresso nullo l equazione differenziale è omogenea). 40

11 oluzione -4 onfronando le precedeni relazioni y() = y p () y o () y() = y s.z. () y i.n. () = [y s.z.p () y s.z.o ()] [y i.n.o ()] si verifica che y p () = y s.z.p () y o () = y s.z.o () y i.n.o () Inegrale paricolare - ome viso vale la sovrapposizione degli effei! l i.p. complessivo si può calcolare come somma degli inegrali paricolari y p () che compeono a ciascun ingresso u() che agisce da solo: n d i y() d! i u() a i d i =! b i d i = f () m k 4 4 Inegrale paricolare - INGO OTANT e u() = U, cosane, un inegrale paricolare comodo è pure di ipo cosane, y p ()= Y p ; sosiuendo nella e.d.o.: Y p = b 0 a 0 U è la soluzione che si avrebbe se la ree fosse in regime sazionario: si può anche deerminare con i meodi di analisi delle rei in regime sazionario. n.b.: l analisi in regime sazionario visa a suo empo fornisce la soluzione rapida dell e.d.o. (valida in ogni condizione di funzionameno) nel caso paricolare di grandezze ue cosani. 43 Inegrale paricolare -3 INGO INUOIDA Analogamene, se u()=u M sen(#$), sinusoidale, un inegrale paricolare comodo è una sinusoide isofrequenziale: u()=u M sen(#$)!!!!! y p ()=Y M sen(#%) si può calcolare per sosiuzione nella e.d.o., ma conviene ricorrere ai meodi di analisi delle rei in regime sinusoidali (basai sui fasori e sulla ree simbolica). n.b.: l analisi di regime sinusoidale visa a suo empo fornisce la soluzione rapida dell e.d.o. (valida in ogni condizione di funzionameno) nel caso paricolare di grandezze ue sinusoidali. 44

12 del ipo: Inegrale paricolare -4 INGO IOIDA u() = U o e & sen(#$) generalizza cosani e sinusoidi, che ne sono forme specifiche: cosane: &=0, #=0! u() = U o sen($) = U sinusoide: &=0, #"0! u() = U o sen(#$) esise l inegrale paricolare cisoidale dello sesso ipo: y p () = Y po e & sen(#%) TUDIO IN - INGO IOIDA ingresso u() = U o e & sen(#$) l'uscia paricolare y p () = Y po e & sen(#%) ha i medesimi coefficieni del empo & e #, sineizzabili nella FQUNZA GNAIZZATA (numero complesso): s = & j# (nel caso cosane s = 0, in quello sinusoidale s = j#) TUDIO IN - Deerminare y p () significa deerminare Y po e %. e cisoidi hanno proprieà simili a quelle delle sinusoidi! vale il meodo simbolico generalizzao (sosiuisce s a j#). Fasori generalizzai: u() " U = U o e j$ y p () " Y p = Y po e j% Impedenze " Z = (reale) ingresso noo uscia incognia generalizzae: " Z (s) = s (complesso) analogamene per le ammeenze Y(s). " Z (s) = /s (complesso) n.b.: come in sinusoidale, con s al poso di j#. 47 TUDIO IN -3 a ree simbolica generalizzaa è normale! si opera con i solii meodi e eoremi: serie e parallelo di impedenze e ammeenze generalizzae, pariori di ensione e correne, correni cicliche, poenziali ai nodi, Thévenin e Noron, ssi permeono di esprimere Y p =Y po e j% come prodoo di U=U o e j$ per un coefficiene di ree, funzione di impedenze ed ammeenze, e quindi di s: Y p = W(s) U 48

13 TUDIO IN -4 Y p = W(s) U è l'espressione generale della relazione ingresso-uscia nel dominio di s. pecificamene: ingresso uscia V p I p V p = ((s) I p = Y(s) V p = Z(s) I p = '(s) Funzione di rasferimeno - il coefficiene di ree W(s), che lega un uscia ad un ingresso; vale per ogni ingresso cisoidale con la propria frequenza generalizzaa s! al variare di s risula una funzione a valori complessi della variabile complessa s. n.b.: la sua definizione più generale uilizza la aplacerasformaa, ma la sua sruura è proprio quella rovaa qui, operando sulle cisoidi Funzione di rasferimeno - Può essere scria come rapporo ra polinomi in s: da cui ossia W(s) =!! m b i s i n a i s i Y p n = b m s m... b s b 0 a n s n... a s a 0 m! a i s i = U! b i s i a n s n Y p... a sy p a 0 Y p = b m s m U... b su b 0 U quesa è la relazione ingresso-uscia in forma simbolica generalizzaa (nel dominio della frequenza), corrispondene all equazione differenziale. 5 Funzione di rasferimeno -3 Il prodoo in s dei fasori generalizzai sy p, su corrisponde alla derivaa emporale delle cisoidi dy p /d e du/d (come per le sinusoidi: j!u " du /d ). Ierando e ani-rasformando si oiene, per via alernaiva, l'equazione differenziale ra uscia y() e ingresso u(): a n s n Y p... a sy p a 0 Y p c = b m s m U... b su b 0 U d n y() dy() d m u() a n d n a a 0 y() = b m d d m b du() b 0 u() d 5

14 e()= M sen(#) per <0 è in e il circuio a desra è a riposo In =0 chiude Analisi per : KT : Oscillaore - v () = e() e() e.d. lineare di secondo grado a coefficieni cosani : v () = d/d! d/d = e() K : i () =! di ()/d = e() : i () = d/d! d /d = e() 53 Inegrale paricolare: sinusoidale isofrequenziale con il.n. e() v p () = V M sen(#() Per sosiuzione derivando vole: sosiuendo nella e.d.: Oscillaore - e() d v p /d = # V M sen(#() ( # ) V M sen(#() = M sen(#)! V M = " # M, $ = 0 54 Inegrale paricolare: sinusoidale isofrequenziale con il.n. e() v p () = V M sen(#() ol meodo fasoriale = M e j 0 V = Oscillaore -3 e() j! j! j! =! =! "! V = V M e j # $ V M = "! M, # = 0 "! 55 Oscillaore -4 Meodo fasoriale generalizzao: on il generico ingresso cisoidale e() = M e & sen(#) con frequenza generalizzaa analisi in s: s = & j# V = s = s s anirasformando in e() "! ( s )V = s $ # $ %! s V V =! d v d v = e 56

15 e()= M sen(#) per <0 è in e il circuio a desra è a riposo In =0 chiude Analisi per : K : = i () Oscillaore -5 e() e.d. lineare di secondo grado a coefficieni cosani : i () = d/d! = d/d KT : = e()- v ()! = d[ e() - v ()]/d = = de()/d - dv ()/d : v () = d/d! d /d = de()/d 57 Inegrale paricolare: sinusoidale isofrequenziale con il.n. e() i p () = I M sen(#') Per sosiuzione derivando vole: Oscillaore -6 e() d i p /d = # I M sen(#') sosiuendo nella e.d.: ( # ) I M sen(#') = # M sen(#)/) "! I M = # " M, $ = % 58 Inegrale paricolare: sinusoidale isofrequenziale con il.n. e() i p () = I M sen(#') ol meodo fasoriale = M e j 0 I = Oscillaore -7 e() = j! j! j =! "! I = I M e j$! % I M = "! M, $ = #!e j # / "! 59 Oscillaore -8 Meodo fasoriale generalizzao: on il generico ingresso cisoidale e()= M e & sen(#) con frequenza generalizzaa s=&j# e() analisi in s: " s! s I = = s s s $ # $ %! s I I = s anirasformando in ( ) I = s! d i d i = d e d 60

16 Inegrale dell omogenea - quazione differenziale omogenea associaa: si oiene azzerando il ermine noo nella e.d.o. complea, oppure si deduce analizzando la ree inere (con generaori speni: e() # c.c., j() # c.a.) a n d n y() d n n d i y()! a i d i = 0 a d y() d a 0 y() = 0 Inegrale dell omogenea - quazione (algebrica) caraerisica: si oiene sosiuendo la derivaa d i y/d i con la poenza della variabile complessa s i (n.b.: dy()/d # s, y() # ): n! a i s i = 0 a n s n a s a 0 = 0 è un equazione algebrica a coefficieni reali di grado n nella variabile complessa s ammee n soluzioni (radici) in campo complesso 6 6 Inegrale dell omogenea -3 adici dell equazione equazione caraerisica: Possono essere: reali s i = & i i = n r complesse s i = & i ± j# i i = n c n r n c = n Noe: le complesse sono sempre coniugae a a ; le pari reali possono essere nulle (s i = 0 e s i = ± j# i, rispeivamene) se & i "0 possono essere muliple (in n r e n c si conano le evenuali moleplicià). Inegrale dell omogenea -4 Modi normali (naurali) dell omogenea: e radici dell equazione caraerisica definiscono i modi normali: A) radice reale (singola)! modo unidirezionale: s i = & i! y i () = Y i e & i (radice doppia: c è anche! y i () = K i e & i radice ripla ) 63 64

17 Inegrale dell omogenea -5 Modi normali (naurali) dell omogenea: e radici dell equazione equazione caraerisica definiscono i modi normali: B) radici compl. coniugae (sing.)! modo pseudoperiodico: s i = & i ±j#! y i () = e & i (Y ci cos# i Y si sin# i ) = = Y i e & i sin(# i % i ) (rad. compl. con. doppie: c è anche! y i () = e & i (K ci cos# i K si sin# i ) = = Y i e & i sin(# i %i) coppia di radici riple ) Inegrale dell omogenea -6 Modi normali (naurali) dell omogenea: I modi normali sono cisoidi e le radici dell equazione caraerisica sono le frequenze generalizzae naurali (proprie) della ree. i rovano: n r modi undirezionali, ciascuno con cosane di inegrazione; n c modi pseudoperiodici, ciascuno con cosani di inegrazione. n = n r n c modi oali Inegrale dell omogenea -7 Inegrale generale dell omogenea: inegrale generale dell omogenea è dao dalla somma dei modi naurali (n r undirezionali n c pseudoperiodici) che in uo hanno n cosani di inegrazione (da deerminare). Ad esempio se ue le radici sono singole: n r i= ( ) y o () = Y i e! i " e! i " n c Y ci cos# i Y si sen # i i= Inegrale dell omogenea -8 Frequenze generalizzae naurali : ssendo le radici dell equazione caraerisica, dipendono dai suoi coefficieni a i i= n e quindi dalla ree inere (,, e loro connessioni). ONO POPITA INTINH DA T INT, ON INGI NUI elazioni: a sruura della ree inere definisce le frequenze generalizzae naurali 67 68

18 Inegrale dell omogenea -9 Inegrale dell omogenea -0 b i p o l i de l l a re e i n e r e c ara e ri s i c h e de l l e radi c i ei passive = TABII p re s e n i as s e n i n e c e s s ari e i m p o s s i b i l i n=0! " #i!i!0 " i!0! " #i!i!0 " i!0 Nelle rei passive (cosiuie solo da resisori, induori e condensaori passivi) le pari reali delle frequenze generalizzae naurali sono non posiive: & i #0.! " i" 0 #i!i!0 > 0 < 0!i# 0 " #i!i> 0 " i!0 > 0 < 0!i# 0 " #i!i> 0 " i!0 >0 <0!i# 0 " i" 0 #i!i>0 Gli esponenziali dei modi naurali non si espandono al crescere di! la ree è sabile. < 0 > 0!i" 0 " #i!i< 0 " i!0 < 0 > 0!i" 0 " #i!i< 0 " i!0 <0 >0!i" 0 " i" 0 #i!i< Inegrale dell omogenea - ei passive = TABII & i =0 l esponenziale del modo naurale è cosane: e! = e 0 =! il modo è permanene (cosane se # i =0; sinusoidale puro se # i "0). Inegrale dell omogenea - ei passive = TABII l esponenziale e! & i <0 del modo naurale decresce con! il modo è smorzao (unidirezionale se # i =0; sinusoidale se # i "0). y i ()! i =0 y i ()! i!0 y i ()! i =0 y i ()! i!0 7 7

19 Inegrale dell omogenea -3 onsiderazioni energeiche nelle rei passive # i "0 dipendono dall inerazione di e (oscillazioni di energia capaciiva ed induiva) Inegrale dell omogenea -3 ei passive = TABII & i <0 i preferisce considerare la OTANT DI TMPO T i =! " i [s] Y i y i & i #0 dipendono dalla presenza di (dissipazioni di energia). dopo un empo di 5T i il modo è praicamene esino 0,368Y i T i T i 3T i 4T i 5T i Inegrale dell omogenea -4 TI AOUTAMNT TABII ono quelle nelle quali ue le frequenze proprie della ree hanno pare reale negaiva: & i <0 i=, n ovvero, i modi normali sono ui smorzai con cosani di empo T, T, T 3 finie. OTANT DI TMPO DOMINANT T M = massima cosane di empo dopo un empo di 5T M ui i modi sono praicamene esini! l inera omogenea y o () è esina! OMOGNA UN TANITOIO 75 Oscillaore -9 quazione omogenea associaa d d = 0 quazione caraerisica: s = 0 Frequenze naurali: Modo normale: s = ± j e() = ± j! o [s ] = [rad/s] v o () = V co cos! o V so sen! o 76

20 osani d inegrazione d - e n cosani di inegrazione che compaiono nei modi dell omogenea y o () si oengono fissando i valori iniziali (in =0) dell inegrale complessivo y() = y p () y o () e delle sue n derivae: y(0) = y p (0) y o (0) d y() = d y p () d y o () d =0 d =0 d =0... d y (n!) () d (n!) =0 = d y p (n!) () d (n!) d y o (n!) () d (n!) =0 =0 osani d inegrazione d - Tali valori vengono fissai esprimendoli, ramie le equazioni di ree, in funzione delle grandezze noe in =0; quese sono i valori iniziali delle variabili di sao e degli ingressi: v (0) i (0) e(0) j(0) Oscillaore -0 Oscillaore - Inegrale paricolare v p () = V M sen # Inegrale dell omogenea: e() Valore di y(0): v(0) = V co è essa sessa variabile di sao e quindi noa in =0: v (0)!= 0, nulla perché la ree è inizialmene a riposo Valore di dy()/d in =0 : v '(0) = #V M # o V so v o () = V co cos# o V so sen # o Uscia oale: = v p () v o () = V M sen # V co cos# o V so sen # o Per la relazione cosiuiva i =dv/d è uguale a i / che per K è i/, ove i, correne di, è variabile di sao, noa: i (0) = 0, nulla perché la ree è inizialmene a riposo Quindi: V co = 0 79 V so = V M #/# o 80

21 Oscillaore - sempio riepilogaivo voluzione con ingresso non nullo da sao iniziale non nullo e() v () v () i (0 ) i p()! o = 6! i o() v () i () v () i () v () Per <0 le ree è a regime sazionario con apero e scarico. In =0 chiude. Analisi dell evoluzione di i () 8 8 voluzione - voluzione - Analisi per <0 regime sazionario v () i () v () i () v () Analisi per >0 K i i = i dv /d = KT i d(v v )/d = v () i () v () i () v () servono solo le variabili di sao I = e V = 0! i (0) = e v (0) = 0 => i dv /d dv /d = e i d i /d di /d = K d i /d di /d i = equazione differenziale di grado complea, non omogenea 83 84

22 Inegrale paricolare: voluzione -3 v () i () v () i () cosane come il.n., pari alla soluzione di regime sazionario v () voluzione -4 quazione omogenea associaa d i d d i d i = 0 quazione caraerisica: s s = 0 adici: s, =! ± 4! v () i () v () i () v () i p () = I = a seconda del segno del discriminane possono essere: () reali disine, () reali coincideni o (3) complesse coniugae voluzione -5 voluzione -6 () adici reali disine voluzione sovrasmorzaa > () adici reali disine voluzione sovrasmorzaa > s =! = " # " 4 & % $ ( ) T ' = " =! # 4 & % " $ ( ' s =! = " # " " 4 & % $ ( ) T ' = " =! # " 4 & % " $ ( ' i o () = I e!! T T I e i o () = I e!! T T I e i i o i T T 87 88

23 () adici reali coincideni voluzione -7 voluzione criicamene smorzaa = voluzione -8 (3) adici complesse coniugae voluzione soosmorzaa < s = s =! = " # T = "! = s, =! ± j! =! T ± j " i o () = I e! T K e! T i o i i T i o () =e! T [ I co cos" I so sen"] i o T voluzione -7 isposa oale (solo per il caso sovrasmorzao - () -)!! T i () = i p i o = I e T I e uscia in =0: voluzione -7 i (0) = I I! I I = 0 derivaa dell'uscia in =0: di da = v! d = v! v = v! i! T I! T I = 0! Valori iniziali I e I si deerminano vincolando i valori in =0 di i e della sua derivaa prima ai valori iniziali delle variabili di sao: i (0) = e v (0) = 0. 9 Dalle equazioni si oiene e quindi I =! I = T T T! T i () = T "!! T % $ T! T e T T!e ' $ ' # & 9