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1 UNIT 2 I modelli matematici ricchi di informazione Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 1

2 Indice UNIT 2 I modelli matematici ricchi di informazione 1. Premessa Definizione di Sistema Astratto Orientato lineare, stazionario, regolare di ordine finito Limiti di validità di modelli lineari e stazionari Calcolo della risposta di sistemi Lineari stazionari differenziali di ordine finito nel dominio del tempo e nel dominio della variabile di Laplace con caratterizzazione dei Modi naturali che compongono la risposta Riassumendo Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 2

3 1. Premessa In questa Unit vengono presentati modelli matematici di un processo che danno informazione non solo sul suo comportamento come può apparire da ingressi e uscite, ma anche sulla sua dinamica interna, tramite variabili ulteriori -le variabili di stato- che la descrivono. Questi modelli matematici verranno definiti formalmente, se ne individuerà un sottoinsieme dotato di caratteristiche e proprietà che lo rendono utilizzabile operativamente impiegando strumenti analitici relativamente semplici, e se ne imparerà il modo d uso per la descrizione e previsione del comportamento del sistema reale che rappresentano. Spesso nei problemi di controllo si dispone di modelli matematici meno ricchi, che descrivono il comportamento del processo controllato come appare da ingressi ed uscite nel seguito indicati come modelli poveri. E interessante notare che fino agli anni 50 del secolo scorso i problemi di controllo venivano risolti utilizzando soltanto modelli poveri. I problemi di controllo posti dalla corsa allo spazio, dalla diffusione di velivoli a reazione, dalla necessità di garantire la sicurezza delle centrali nucleari e dei sistemi di propulsione nucleare, in generale dall emergere del bisogno di soddisfare prestazioni sempre più stringenti per il controllo di processi sempre più complessi, misero in evidenza la necessità di utilizzare modelli ricchi (vedi un po di storia ) la cui definizione costituì una vera discontinuità nella Teoria del controllo. Sui modelli poveri si tornerà anche in Oggetti di Apprendimento successivi. In questo oggetto di Apprendimento si vedrà come il modello povero si può ricavare da quello ricco, tramite il calcolo della risposta. Studiare i modelli ricchi e le loro proprietà permette una migliore comprensione: delle soluzioni del problema di controllo in presenza di modelli poveri del processo controllato; delle proprietà e prestazioni che vengono considerate per la soluzione del problema del controllo. Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 3

4 2. Definizione di Sistema Astratto Orientato lineare, stazionario, regolare di ordine finito. La definizione di SAO cui ci si rifà in questo corso è assiomatica. Per la nozione di definizione assiomatica di SAO potrebbe essere interessante consultare i testi fondativi della Teoria dei sistemi e del controllo che risalgono agli anni 60 del secolo scorso. Gli aspetti salienti per i CA della definizione di SAO e delle sue particolarizzazioni possono essere appresi studiando il documento PDF scaricabile dal sito unit 2, alla sezione corrispondente. Si veda inoltre S. Rinaldi Teoria dei Sistemi CLUP 1981, Cap 1. Per fissare i concetti e i risultati presentati nel documento PDF si suggerisce di studiare e discutere, lavorando in piccoli gruppi, gli esempi riportati nel sito del Control Tutorial di Matlab e l esempio di controllo della velocità dei rulli di un gabbia di un treno-laminatoio presentato nel testo A.Isidori Sistemi di Controllo, Cap.1, ed. Siderea-Roma. Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 4

5 3. Limiti di validità di modelli lineari e stazionari La non stazionarietà è insita in ogni oggetto dinamico fisico. Per la semplice usura, oltre che per le derive termiche instaurate dal funzionamento normale del processo, i parametri fisici dell oggetto cambiano. Def. Di sistema Stazionario Normalmente però questi fenomeni si sviluppano in un intervallo di tempo molto lungo rispetto allo svolgimento dei fenomeni che si intende analizzare e controllare, e le variazioni dei parametri fisici sono contenute. Perciò frequentemente le non stazionarietà corrispondenti vengono considerate come parte dell incertezza che contraddistingue sempre la nostra conoscenza di un oggetto fisico e le rappresentazioni formali che riusciamo a darne, in tal caso, le non stazionarietà vengono trattate sia in sede di analisi che di sintesi come variazioni parametriche. In altri casi, come quando si vuole controllare la quota di un montacarichi la variazione dei parametri costitutivi del modello del sistema - in questo caso la massa da movimentare - variano i modo imprevedibile in relazione al funzionamento stesso del processo. Quando le prestazioni desiderate, come nel caso del montacarichi non sono particolarmente stringenti, si può continuare a considerare modelli stazionari e rappresentare la variazione della massa come un disturbo additivo che agisce sul processo. In altri casi, come quando si considera un razzo che deve portare in orbita un carico utile e raggiungere con estrema precisione un punto in cui avere un rendez vous per esempio con una stazione orbitante, non si può trascurare la variazione di massa dovuta al consumo di carburante che può essere considerata o una caratteristica non stazionaria o anche una non linearità,in quanto il consumo di carburante è legato funzionalmente alla distanza percorsa. Sempre in ambito spaziale se si considerano i razzi che entrano in azione per correggere l assetto di un satellite per telecomunicazioni il loro modello non può che Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 5

6 essere tempo-variante,poiché a seguito di ogni accensione cambiano i loro parametri inerziali (massa e tensore di inerzia). La caratterizzazione formale dei limiti di validità delle assunzioni di linearità e stazionarietà può essere appresa studiando il documento PDF scaricabile dal sito unit 2, alla sezione corrispondente. Si veda inoltre A. Isidori Sistemi di Controllo, Cap 2. Siderea-Roma. Per fissare i concetti e i risultati presentati nel documento PDF si suggerisce di studiare e discutere, lavorando in piccoli gruppi, gli esempi riportati nel sito del Control tutorial di Matlab e l esempio di controllo della quota di un montacarichi presentato nel testo A. Isidori. Sistemi di Controllo, Cap1. Siderea-Roma. Si sottolinea che gli esempi permettono di collegare a comportamenti di oggetti fisici di esperienza comune la costruzione di modelli ricchi e di valutare sotto quali condizioni questi modeli possono essere approssimati con modelli lineari e stazionari. Si forniscono inoltre, in formato PDF scaricabile, esempi agevolmente trattabili con carta e penna e che hanno una grande capacità rappresentativa. Essi vengono proposti per fare chiaramente percepire il fatto che un modello matematico, anche di semplice struttura, può rappresentare in modo efficace oggetti fisici assai diversi, permettendo di individuare caratteristiche di comportamento e proprietà comuni a tutti gli oggetti fisici che possono essere associati ad un modello matematico con una data struttura. NOTA BENE Ognuno degli esempi proposti è strutturato in due parti: nella prima parte si definisce il modello matematico del sistema preso ad esempio, nella seconda parte si effettua il calcolo della risposta. Come esercitazione per questa Unit, si tenga in considerazione solo la prima parte dell esempio, la seconda potrà essere affrontata nell oggetto di apprendimento che segue. Esempi: (da scaricare dal sito unit 2, alla sezione corrispondente) Sistema del II ordine massa-molla-smorzatore Circuito RLC Infine si invitano gli studenti a chiedere l accesso al Telelaboratorio (accedere al sito: e iscriversi indicando un coordinatore di gruppo e seguendo le istruzioni) e ad a operare in piccoli gruppi per ottenere sperimentalmente la Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 6

7 risposta e valutare criticamente i limiti di validità dei modelli lineari proposti per i sistemi fisici disponibili. Allo scopo di favorire la collaborazione fra i componenti di ciascun gruppo si invita ad utilizzare il forum in cui si possono postare le comunicazioni relative alla discussione e la relazione di gruppo corredata dalle relazioni individuali di ciascun componente del gruppo. La relazione di gruppo dovrà illustrare le attività svolte e i risultati ottenuti, insieme ad una valutazione critica di essi (max 2000 parole). La relazione individuale dovrà presentare le considerazioni di ciascuno sul proprio lavoro all interno del gruppo. Fig.1- Home page del sito del telelaboratorio Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 7

8 4. Calcolo della risposta di sistemi Lineari stazionari differenziali di ordine finito nel dominio del tempo e nel dominio della variabile di Laplace con caratterizzazione dei Modi Naturali che compongono la risposta. Il calcolo della risposta, dal punto di vista matematico è la soluzione del sistema di equazioni differenziali lineari ordinarie a coefficienti costanti che costituiscono il modello con lo stato in forma implicita del processo in studio. Dal punto di vista funzionale, ossia per rispondere alla domanda. a cosa serve?, il calcolo della risposta è lo strumento primario tramite il quale si prevede il comportamento dell oggetto modellato, nei limiti di approssimazione consentiti dal modello in uso, senza bisogno di mettere effettivamente in funzione il processo e per ogni possibile situazione operativa in cui si presume che il processo verrà a trovarsi. In altre parole il calcolo della risposta è lo strumento primario per analizzare il comportamento del processo in studio, nel senso che ci fornisce tutte le informazioni necessarie allo scopo. Una domanda che può venire spontaneo porsi riguarda l utilità di disporre di soluzioni formali, in forma chiusa, del modello. Infatti avendo in mente la potenza degli strumenti di calcolo a disposizione di ciascuno e degli algoritmi di soluzione numerica del modello disponibili, ci si può ragionevolmente chieder perché non ricorrere alla simulazione, ossia la calcolo della soluzione numerica del modello a partire dalle desiderate condizioni iniziali e applicando gli stimoli (ingressi e disturbi) che si presume agiranno sul processo in studio. Ora, ogni sistema reale opera in condizioni operative svariate, a partire da situazioni iniziali qualunque. Per prevederne il comportamento tramite simulazione occorrerebbe ripetere le prove per tutte le possibili combinazioni di condizioni iniziali e di situazioni operative, con la seria possibilità di dover eseguire un numero illimitato di prove. Inoltre ogni prova produrrebbe uno specifico comportamento e sarebbe, in genere, assai arduo riconoscere caratteristiche comuni a tutti i comportamenti o a gruppi di essi e distinguerle da aspetti specifici di ogni particolare situazione. Calcolo della risposta in forma chiusa Il calcolo della risposta in forma chiusa permette in generale di identificare caratteristiche comuni a più comportamenti, di identificare caratteri salienti del modello che le determinano, di riconoscerne le condizioni formali relative alla struttura analitica del modello, di identificare proprietà che a tali condizioni corrispondono e, talvolta, di trovare modi per riconoscere se un dato modello gode o meno delle proprietà che ci interessano senza neanche calcolarne la risposta. Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 8

9 Tali possibilità divengono particolarmente facili da realizzare nel caso di sistemi lineari, a causa della linearità, ed ancora più semplici nel caso che alla linearità si abbini la stazionarietà. Il riconoscimento e la dimostrazione delle caratteristiche comuni e delle proprietà che le determinano nei sistemi in studio (lineari stazionari, differenziali di ordine finito a parametri costanti) costituisce l analisi dei sistemi, che verrà affrontata in dettaglio nella Unit successiva. Prerequisito per affrontarla con successo è l aver appreso in modo solido il calcolo della risposta. Gli aspetti salienti per i CA del calcolo della risposta possono essere appresi studiando il documento PDF scaricabile dal sito unit 2, alla sezione corrispondente. Si veda inoltre A. Ruberti, A. Isidori Teoria dei Sistemi Boringhieri cap 4, Bollati Procedura per il calcolo della risposta Se si ripercorrono le tappe per il calcolo della risposta libera nello stato, che come si è visto, costituisce la base per il calcolo di tutte le altre risposte, libere e forzate, nello stato e nell uscita, si constata facilmente che per essa occorre: calcolare gli autovalori della matrice dinamica A; calcolare una coppia, eventualmente generalizzata, di autovettori destri e sinistri per ciascun autovalore; calcolare il modo naturale o il gruppo di modi naturali corrispondente all autovalore nella rappresentazione spettrale della matrice della risposta libera; applicare lo stato iniziale a questa matrice. Semplificazione computazionale per il calcolo della risposta Ha senso allora domandarsi se non esista un modo più efficiente, ossia più computazionalmente semplice, per raggiungere lo stesso risultato. Dovrebbe essere ben noto che, spesso, cambiare dominio di rappresentazione può rendere più facilmente riconoscibili alcune caratteristiche interessanti di un segnale. Siccome il calcolo della risposta è a conti fatti una operazione di generazione dei segnali che descrivono l evoluzione temporale di un dato SAO sembra ragionevole vedere se cambiando dominio di rappresentazione non si possa guadagnare in efficienza. In realtà si può verificare, e adesso lo faremo, che calcolando la trasformata di Laplace del modello, calcolando nel dominio della variabile complessa la risposta e poi antitrasformando questa si ottiene una apprezzabile semplificazione computazionale. Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 9

10 Gli aspetti salienti per i CA del calcolo della risposta nel dominio della variabile complessa possono essere appresi studiando il documento PDF scaricabile dal sito unit 2, alla sezione corrispondente. Si veda inoltre A. Giua, C. Seatzu Analisi dei sistemi dinamici cap 5 e 6, Springer Per fissare i concetti e i risultati presentati nel documento PDF si suggerisce di studiare e discutere, lavorando in piccoli gruppi, gli esempi indicati nelle precedenti UA arrivando al calcolo della risposta dei sistemi in esame Si sottolinea che gli esempi permettono di collegare a comportamenti di oggetti fisici di esperienza comune l impiego di modelli ricchi Tramite questi e i calcolo della loro risposta - si ottiene la descrizioni del comportamento dei sistemi in termini di ingressi e uscite. Si forniscono inoltre, in formato PDF scaricabile, esempi agevolmente trattabili con carta e penna e che sono stati già esaminati per la loro grande capacità rappresentativa. A questo punto del percorso di apprendimento essi possono essere utilizzati per impratichirsi sui meccanismi analitici che conviene usare per il calcolo della risposta. Esempi per il calcolo della risposta: (da scaricare dal sito unit 2, alla sezione corrispondente) Sistema del II ordine massa-molla-smorzatore Circuito RLC Esempio numerico Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 10

11 5. Riassumendo In questa Unit si è potuto imparare: La definizione assiomatica di SAO, che ha un grande valore di principio in quanto formalizza una rappresentazione astratta, formale ed in genere computabile, di qualunque oggetto e/o fenomeno che obbedisca la principio di causalità. -Successivamente si è delimitato sempre di più il potere di rappresentazione del SAO arrivando a modelli lineari, stazionari, differenziali di ordine finito. Questi costituiscono un sottoinsieme molto limitato dei SAO, ma in molti casi pratici sono sufficienti per descrivere e prevedere il comportamento dell oggetto/fenomeno modellato impiegando strumenti analiticamente semplici. Questi modelli sono validi in molti, ma non tutti, i problemi di controllo nei quali ci si imbatte frequentemente nella pratica industriale Si è quindi dedicato un certo spazio a discutere i limiti di validità delle assunzioni di linearità e stazionarietà collegando tali limiti ai motivi che le possono mettere in discussione. Infine si è appreso come calcolare la risposta di modelli lineari stazionari, differenziali di ordine finito. Tutte queste conoscenze teoriche e le relative abilità operative sono necessarie e sufficienti per impostare la soluzione di un problema di controllo elementare, del tipo che ci si aspetta di dover affrontare molto frequentemente nella pratica professionale. Svolgendo il test di uscita nella piattaforma, si può verificare quanto si è appreso. Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 11

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