DOMINI DI CURVATURA DI SEZIONI IN C.A. IN PRESSOFLESSIONE DEVIATA. PARTE II: VALUTAZIONE SEMPLIFICATA

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1 Valutazioe e riduzioe della vulerailità sismia di ediii esisteti i.a. Roma, 9-0 maggio 00 DOMINI DI CURVATURA DI SEZIONI IN C.A. IN PRESSOFLESSIONE DEVIATA. PARTE II: VALUTAZIONE SEMPLIFICATA Di Ludovio M., Verderame G.M., Ioviella I., Coseza E. Dipartimeto di Igegeria Strutturale (DIST), Uiversità di Napoli Federio II, via Claudio, 0, Napoli. ABSTRACT La apaità deormativa di ua sezioe i emeto armato è sigiiativamete iluezata dal regime di solleitazioe ui essa è soggetta. I partiolare, il passaggio da azioi di presso lessioe retta a presso lessioe deviata idue ua perdita di apaità deormativa ovvero ua riduzioe di urvatura ultima della sezioe. Tale riduzioe può essere valutata attraverso la determiazioe dei domii di urvatura rappresetativi, al variare dello sorzo ormale agete e dell agolo di solleitazioe estera, delle urvature ultime della sezioe. Nella prima parte della presete memoria, o rierimeto a sezioi tipiamete risotraili egli ediii esisteti, si soo presetati e disussi gli adameti di tali domii, otteuti mediate l utilizzo di u programma a ire. Al ie di osetire ua rapida determiazioe degli stessi, seza dover riorrere ad aalisi a ire, si preseta, ella seoda parte della presete memoria, ua proedura sempliiata di alolo attraverso ui determiare, o u uo grado di approssimazioe, la urvatura ultima di sezioi quadrate i emeto armato soggette ad azioi di presso lessioe retta e deviata. Le espressioi sempliiate riavate possoo rappresetare, duque, u valido strumeto per la valutazioe prelimiare del omportameto sismio di elemeti i.a. soggetti ad azioi iassiali. PAROLE CHIAVE sezioi i.a., presso lessioe deviata, asse eutro, sorzo assiale, urvatura ultima. INTRODUZIONE La apaità resistete di sezioi i emeto armato (.a.) soggette a solleitazioi di presso lessioe deviata, è stata aalizzata, egli ultimi deei, da diversi autori. Uo dei primi metodi sempliiati di ui si ha otizia i letteratura è il osiddetto Load Cotour Method, (LC), (Bresler, 960) attraverso il quale, issato u determiato valore dello sorzo ormale agete, la superiie limite è approssimata mediate la seguete espressioe: α M M x y + = M M x0 y0 α () Topi: MND FC IRREG MIX TAMP SCALE NODI BIAX PREFAB

2 dove M x e M y rappresetao il mometo lettete rispetto agli assi x ed y i orrispodeza di u determiato valore dello sorzo ormale, N; M x0 e M y0 rappresetao i mometi ultimi i presso lessioe retta rispetto agli stessi assi i orrispodeza di N; ed α e α soo espoeti he variao i uzioe delle aratteristihe meaihe e geometrihe della sezioe ohé del valore di sorzo ormale assegato. A partire da tale ormulazioe diversi autori (Hsu, 9, Silva et al, 00, Sakiaakis, 00) hao proposto diverse modiihe al ie di perveire a semplii ormulazioi aalitihe he osetissero di determiare la apaità resistete di sezioi di orma qualsiasi i regime di presso lessioe deviata o u grado di approssimazioe via via deresete. I partiolare, Ghersi e Muratore, 00 hao messo a puto u metodo sempliiato per determiare il domiio di iterazioe di sezioi rettagolari i.a. Tale metodo si asa sulla deiizioe di semplii espressioi matematihe attraverso ui alolare i mometi ultimi della sezioe i regime di presso lessioe retta per poi utilizzare l espressioe () adottado u valore di α =α =,, idiato ome oservativo per i valori orretemete risotraili di sorzo ormale. Reetemete, Moti ed Alessadri, 006 hao proposto u metodo per tarare il oeiiete α i uzioe dello sorzo ormale e delle aratteristihe geometrihe e meaihe della sezioe. Lo stesso ultimo testo ormativo (D.M. /0/ 0) propoe di aalizzare il prolema della determiazioe della apaità resistete di sezioi soggette a presso lessioe deviata attraverso ua relazioe o ui tarare il oeiiete α da itrodurre ella equazioe (). A rote di umerosi studi atti a determiare i via sempliiata la apaità resistete di ua sezioe i.a., aora areti soo, ivee, gli studi relativi alla ilueza idotta da u regime di solleitazioe iassiale i termii di riduzioe di urvatura ultima. Oiettivo della presete memoria, pertato, è la messa a puto di ormulazioi sempliiate he osetao ua rapida valutazioe, seppur i via approssimata, dei domii di urvatura ultima di ua sezioe i.a. soggetta ad azioi di presso lessioe deviata, al pari di quato già esiste per i domii di resisteza. Tali ormulazioi soo state tarate e alirate su sezioi quadrate aratterizzate da dimesioi geometrihe e meaihe tipihe degli ediii esisteti, i ui domii di urvatura, determiati mediate l utilizzo di u programma a ire (Di Ludovio et al., 007), soo stati presetati ella prima parte della presete memoria. I questo modo è stato possiile valutare l auratezza delle ormulazioi proposte determiado l errore peretuale he si ommette utilizzado le stesse ivee di ua più rigorosa, ma ertamete più dispediosa da u puto di vista di alolo, aalisi a ire. FORMULAZIONI SEMPLIFICATE PER LA DETERMINAZIONE DEI DOMINI DI CURVATURA ULTIMA Dall aalisi umeria odotta sui domii di urvatura, presetata ella prima parte della presete memoria, è emerso he la urvatura ultima di ua sezioe simmetria i.a. può essere omputata qualora si oosao i primo luogo la urvatura ultima della sezioe per due partiolari valori dell agolo di solleitazioe estera, β=0 e β=. Noti tali valori è possiile, iatti, per ogi preissato valore dello sorzo ormale adimesioalizzato, ν, determiare ua urva iterpolate o adameto pseudo-paraolio i grado di orire il valore della urvatura ultima della sezioe i esame per qualsiasi agolo di solleitazioe estera, e, quidi, i qualsiasi aso di presso lessioe deviata. Nel prosieguo si presetao ua serie di ormulazioi sempliiate, speiiatamete messe a puto per sezioi quadrate armate simmetriamete, attraverso ui determiare i via approssimata: a) la urvatura ultima per β=0 al variare di ν; ) la urvatura ultima per β=

3 al variare di ν; ) la uzioe passate per i puti A=(β=0, φ 0 ult.) e B=(β=,φ ult.), i grado di approssimare al meglio il domiio φ ult. - β per u preissato valore di ν.. Curvatura Ultima al variare di ν: il aso β=0 I tale sezioe si preseta u metodo sempliiato attraverso ui perveire i via approssimata alla urvatura ultima di sezioi quadrate armate simmetriamete i orrispodeza di u agolo di solleitazioe estera β=0. Il metodo osiste el determiare, per ique preissate posizioi dell asse eutro, il valore di φ ult. e ν, i modo da otteere mediate iterpolazioe lieare per tratti, l itero diagramma urvatura ultima-sorzo ormale adimesioalizzato per β=0. Il metodo proposto si asa sull assuzioe di alue ipotesi sempliiative: - per iasua posizioe dell asse eutro si assume he le armature della sezioe siao sempre servate (ipotesi o sempre veriiata); - la valutazioe della risultate del ampo di tesioi di ompressioe del alestruzzo avviee mediate l adozioe del metodo dello stress-lok; - le arre di armatura soo tutte aratterizzate da uo stesso diametro. Fatte salve tali ipotesi, per iasua posizioe dell asse eutro, ovvero issato il valore di x, è possiile alolare lo sorzo ormale tramite l equazioe di seguito riportata: N ψ x + A A () = y t y dove si adotta ψ = 0., rappreseta il lato della sezioe quadrata, ed y rappresetao la tesioe di ompressioe del alestruzzo e di servameto dell aiaio, ed t idiao rispettivamete il umero di erri ompressi ed il umero di erri tesi preseti ella sezioe i orrispodeza della posizioe dell asse eutro x, ed A è l area di ua sigola arra di armatura. Idiato o il umero totale di arre preseti ella sezioe e posto N A y ν = e ω = dalla espressioe () si perviee, moltipliado e dividedo amo i memri per, alla seguete espressioe: ψ x t ν = + ω = k + qω () o k ψ x q = q qt =. t = e ε u Assegato x, duque, la urvatura ultima è orita dal rapporto (o ε u, deormazioe x ultima del alestruzzo ompresso) ed il orrispodete valore di ν è immediatamete determiaile attraverso la () ote le aratteristihe geometrihe e meaihe della sezioe i esame. Co rierimeto a sezioi quadrate simmetriamete armate o o erri, si predoo i osiderazioi valori della proodità dell asse eutro (vedi Figura ), orrispodeti rispettivamete a:

4 xi (a) () Figura. Posizioi di rierimeto dell asse eutro: sezioe o erri (a), sezioe o erri (). -: proodità dell asse eutro pari alla misura del oprierro, ; per tale posizioe dell asse eutro l armatura superiore risulta o reagete metre tutte le altre arre soo ertamete servate i trazioe ragio per ui i valori di ν alolati mediate la () o soo aetti da approssimazioi; -: proodità dell asse eutro pari a 0.; per tale posizioe dell asse eutro le arre i ompressioe e quelle tese disposte i posizioe - potreero (per i valori di ase della sezioe e oprierro tipiamete adottati elle strutture) o essere servate; -: proodità dell asse eutro pari a 0.0; tale posizioe dell asse eutro permette di alolare la risultate dello sorzo ormale omputado il solo otriuto delle tesioi di ompressioe del alestruzzo i quato la risultate di tutte le tesioi delle armature è omuque ulla. Ahe el aso i ui o sia veriiata l ipotesi di armature tutte servate, pertato, i valori di ν alolati attraverso l adozioe della () soo rigorosi; -: proodità dell asse eutro pari a 0.7; per tale posizioe dell asse eutro è possiile eettuare le stesse osiderazioi esposte per la posizioe - osiderado, però, he rispetto a tale aso le arre prima ompresse ora soo tese e vieversa; -: proodità dell asse eutro pari a (-) (altezza utile della sezioe) per tale posizioe dell asse eutro l armatura ieriore risulta o reagete metre tutte le altre arre soo ertamete servate i trazioe ragio per ui i valori di ν alolati mediate la () o soo aetti da approssimazioi. xi Taella. Valori di q,q t e ν per diverse posizioi dell asse eutro. FERRI FERRI Posizioe Asse Neutro x q q t ν q q t ν - 0 k ω 0 k ω - k ω - k k - k k + ω - 0 k + ω 0 k + ω

5 I Taella soo sitetizzati i valori he assumoo i oeiieti q e q t ohé dello sorzo ormale adimesioalizzato ν i orrispodeza di iasua posizioe aalizzata dell asse eutro per etrami le tipologie di sezioi armate rispettivamete o arre d agolo, o distriuite lugo il perimetro. I Figura (a) si riportao i puti del domiio φ ult. -ν otteuti mediate u aalisi a ire (o passo di alolo ν=0.) ed i puti otteuti appliado il proedimeto sopra esposto. Il oroto è eettuato a titolo di esempio o rierimeto ad ua sigola sezioe ed, i partiolare, alla stessa sezioe presa i esame ella prima parte della presete memoria (L=0m, = 0 MPa, y = 0 MPa, ρ = ). Dalla Figura (a) emerge l ottimo aordo tra i ique puti oriti dalle espressioi sempliiati e quelli proveieti dall aalisi a ire. I Figura (), ivee, o rierimeto all itera popolazioe di sezioi aalizzate, si riportao gli sarti peretuali tra il valore di urvatura ultima otteuto mediate l aalisi a ire ed i orrispodeti puti otteuti mediate l utilizzo delle espressioi sempliiate proposte. Si sottoliea he per otteere gli sarti peretuali i relazioe a iasu valore di ν el ampo i esame, 0<ν<.0, o passo di alolo ν=0., i valori proveieti dalle espressioi sempliiate soo stati otteuti per iterpolazioe lieare. Dal graio di Figura () emerge he gli sarti peretuali soo, per tutta la popolazioe di sezioi aalizzate, ieriori al 0%; el rage 0.<ν<0., rappresetativo della maggior parte dei asi di pilastri apparteeti a strutture esisteti tale sarto si ridue a valori ieriori al 0% φ ult. aalisi a ire L=0m; = 0MPa; y = 0MPa; ρ=0.% espressioi sempliiate 0. ν (a) sarto (%) erri erri -0 ν Figura. Coroto tra aalisi a ire e metodo sempliiato (a); sarto peretuale tra i due metodi ().. Curvatura Ultima al variare di ν: il aso β= Aalogamete a quato esposto el aso β=0, ahe el aso β= è possiile valutare, i via approssimata, la urvatura ultima di sezioi quadrate armate simmetriamete impoedo determiate posizioi dell asse eutro ed adottado le stesse ipotesi sempliiative eleate el paragrao preedete. Nel aso β=, osiderado la simmetria geometria e meaia della sezioe, si ha he iasua diagoale della stessa è u asse priipale, per ui l asse eutro risulta essere ortogoale all asse di solleitazioe. Sulla sorta di tale osiderazioe, il metodo proposto, osiste el determiare per ique preissate posizioi dell asse eutro iliato a (vedi Figura ), il valore di φ ult. e ν. ()

6 xi xi (a) Figura. Posizioi di rierimeto dell asse eutro: sezioe o erri (a), sezioe o erri (). Il valore di ν ahe i questo aso è determiaile, ota la posizioe dell asse eutro, attraverso u equazioe di equilirio alla traslazioe: () ( ψ x )( ψx ) N = + A y A t y () da ui moltipliado e dividedo amo i memri per si ottiee: ψx ν = + t ω = k ' + qω () o ' ψx k =. Si sottoliea he el aso i esame l area di alestruzzo ompressa o ha ase ostate e, pertato, il oeiiete ψ o può essere assuto ivariate o la posizioe dell asse eutro; tuttavia, dalla valutazioe itegrale eettuata ell itervallo di variazioe di x tra la posizioe - e - si assume u valore medio di ψ=0.. Assegato x, la urvatura ultima è ε orita dal rapporto u ed il orrispodete valore di ν è immediatamete determiaile x attraverso la (), ote le aratteristihe geometrihe e meaihe della sezioe i esame. Co rierimeto a sezioi quadrate simmetriamete armate o o erri, si predoo i osiderazioi valori della proodità dell asse eutro (vedi Figura ), orrispodeti rispettivamete a: -: proodità dell asse eutro pari a ; per tale posizioe dell asse eutro ua arra di armatura d agolo risulta o reagete metre tutte le altre arre soo servate i trazioe ragio per ui i valori di ν alolati mediate la () o soo aetti da approssimazioi; -: proodità dell asse eutro pari a + ; per tale posizioe dell asse eutro sia le arre i ompressioe he le arre i trazioe i posizioe - e - potreero o essere servate;

7 -: proodità dell asse eutro pari a ; tale posizioe dell asse eutro permette di alolare la risultate dello sorzo ormale omputado il solo otriuto delle tesioi di ompressioe del alestruzzo i quato la risultate di tutte le tesioi delle armature è omuque ulla. Ahe el aso i ui o sia veriiata l ipotesi di armature tutte servate, pertato, i valori di ν alolati attraverso l adozioe della () soo rigorosi; -: la proodità dell asse eutro è pari a ; per tale posizioe dell asse eutro è possiile eettuare le stesse osiderazioi esposte per la posizioe - osiderado, però, he rispetto a tale aso le arre prima ompresse ora soo tese e vieversa; -: la proodità dell asse eutro è pari a ( ) ; per tale posizioe dell asse eutro ua arra di armatura d agolo risulta o reagete metre tutte le altre arre soo servate i ompressioe ragio per ui i valori di ν alolati mediate la () o soo aetti da approssimazioi. I Taella soo sitetizzati i valori he assumoo i oeiieti q e q t ohé dello sorzo ormale adimesioalizzato ν i orrispodeza di iasua posizioe aalizzata dell asse eutro per etrami le tipologie di sezioi armate rispettivamete o arre d agolo, o distriuite lugo il perimetro. Taella. Valori di q,q t e ν per diverse posizioi dell asse eutro. FERRI FERRI Posizioe Asse Neutro x q q t ν q q t ν - 0 k ' ω k ω - + k ' ω k ω - - k ' k k ' + ω k + ω 0 k ' + ω k + ω - ( ) Aalogamete a quato eettuato el paragrao preedete, i Figura (a) si riportao i puti del domiio φ ult. -ν otteuti, o rierimeto ad ua sigola sezioe, sia mediate u aalisi a ire sia attraverso il proedimeto sopra esposto; la Figura (a) mostra u ottimo aordo tra i ique puti oriti dalle espressioi sempliiate e quelli proveieti dall aalisi a ire. I Figura (), ivee, o rierimeto all itera popolazioe di sezioi aalizzate, si riportao gli sarti peretuali tra i valori di urvatura ultima otteuti o i due metodi; ahe i questo aso gli sarti peretuali soo estremamete oteuti.

8 φ ult. aalisi a ire L=0m; = 0MPa; y = 0MPa; ρ=0.% espressioi sempliiate ν -0 ν (a) () Figura. Coroto tra aalisi a ire e metodo sempliiato (a); sarto peretuale tra i due metodi ().. Curvatura Ultima al variare di β sarto (%) La valutazioe sempliiata della urvatura ultima al variare di β, per iasu valore di ν, è eettuata i relazioe all adameto umerio aalizzato ella prima parte della presete memoria. E stato già sottolieato l adameto pseudo-paraolio di φ ult. o β deiito da ua oavità via via deresete all aumetare dello sorzo assiale. Tali aspetti iduoo ad assumere ua ormulazioe sempliiata asata su due diverse espressioi: - per valori di β ompresi ell itervallo 0 0 si adotta, per l apputo, u espressioe paraolia passate per i puti di urvatura ultima approssimata valutata per β=0 e β= ; - per valori di β ompresi ell itervallo 0, state la assa variailità he le urvature mostrao i tale itervallo, si adotta u espressioe lieare ostate pari al valore della urvatura ultima per β=. erri erri φ ult 0.00 puti ase modello approssimato aalisi a ire 0. ν=0.0 ν= ν= ν= β Figura. Coroto tra aalisi a ire e metodo sempliiato.

9 I partiolare, la uzioe paraolia deiita dall equazioe φ ult. = aβ +β+ è uivoamete determiata dalle segueti odizioi: - a) per β=0 si assume il valore di urvatura ultima determiato osì ome disusso el paragrao.; - ) per β=0 si assume quale valore di urvature ultima quella orrispodete a β=, riavato seodo la proedura desritta el paragrao.; - ) per β=0 si assume ua tagete ulla. I partiolare, o rierimeto alla sezioe di Figura (a) e Figura (a), i Figura è riportato, per diversi valori di ν, il oroto tra l adameto delle urvature ultime otteute mediate la proedura proposta ed i puti valutati dall aalisi o il modello a ire. E palese osservare dal graio he la selta della uzioe approssimate odue ad ua stima delle urvature ultime o grado di approssimazioe miore di quello he aratterizza i puti ase deiiti dagli agoli di solleitazioe β=0 e β=. CONCLUSIONI Nella presete memoria è stata proposta ua metodologia sempliiata di alolo ializzata alla determiazioe del domiio di urvatura ultima per solleitazioe di presso-lessioe deviata. L adameto della urvatura ultima o lo sorzo adimesioalizzato è otteuto o rierimeto alle risultaze prodotte da u apposito modello a ire da ui è emerso he la massima e la miima urvatura soo otteute, al variare di ν, per agoli di solleitazioe estera β=0 e β=. Per tal motivo si soo deiiti, dapprima, gli adameti sempliiati della urvature o lo sorzo assiale per i suddetti valori di β. Tale ie è stato perseguito, per ique partiolare posizioi dell asse eutro, mediate la valutazioe della urvatura e del relativo sorzo assiale otteuto attraverso u equazioe di equilirio alla traslazioe. I oroti tra le urvature osi otteute, mediate iterpolazioe lieare e quelli riavati attraverso l aalisi a ire, presi quale rierimeto, mostrao ua uoa approssimazioe ella misura massima del 0%. La valutazioe della urvatura ultima al variare dell agolo di solleitazioe estera β è stata eettuata mediate l utilizzo di ua ormulazioe quadratiaostate. I maiera aaloga la omparazioe umeria tra i due approi, sempliiato e a ire, odue ad u uo grado di approssimazioe. RINGRAZIAMENTI Gli autori desiderao rigraziare l ig. Valetia James per il lavoro svolto durate la sua tesi di laurea i relazioe all argometo i oggetto. Il presete lavoro è stato sviluppato ell amito delle attività di riera della Rete dei Laoratori Uiversitari di Igegeria Sismia ReLUIS iaziato dal Dipartimeto di Protezioe Civile Progetto Eseutivo BIBLIOGRAFIA Bresler, B. (960). Desig riteria or reiored olums uder axial load ad iaxial edig Joural o the Ameria Corete Istitute., 7(), Farmigto Hills, Mi., Novemer 960, -90. Hsu T. Aalysis ad Desig o Square ad Retagular Colums y Equatio o Failure Surae ACI Jour. Marh-April 9 pg 67-79

10 Silva M. A., Coly C. Swa, Jasir S. Arora, M. L. R. F Reyolado. Failure Criterio or RC Memers Uder BiaxialL Bedig ad Axial Load Joural o Strutural Egieerig, Ago 00, Sakiaakis M.G., Biaxial Bedig with axial ore o reiored, omposite ad orete setio o aritrary shape y ier modelad omputer graphis Repaired Advaed i Egieerig Sotware (00) 7-. Ghersi, A., Muratore, M., Veriia e progetto allo stato limite ultimo di pilastri i.a. a sezioe rettagolare: u metodo sempliiato, Igegeria Sismia, Ao XXI, N., settemre-diemre 00. Moti G., Alessadri S. (006) Assessmet o RC Colum Uder Comied Biaxial Bedig ad Axial Load. The Seod i Cogress. - Giugo 006, Naples, Italy. Miistero dei Lavori Pulii Supplemeto Ordiario alla Gazzetta Uiiale del /0/00 D.M. /0/00 Di Ludovio, M., Ligola, G. P., Prota, A., Coseza E. Aalisi o lieare di sezioi i.a. soggette a pressolessioe deviata Atti del XII Covego Igegeria Sismia i Italia ANIDIS 007,, PISA 0- giugo 007.

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