Moto Monodimensionale in Condotti

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1 Diartimento di Ingegneria Industriale Moto Monodimensionale in Condotti Fluido Comrimibile - eoria Fig a Fig B Fig. A Moti D Comrimibili- ermodinamica Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

2 Diartimento di Ingegneria Industriale Modello di Fluido Incomrimibile Il modello di fluido incomrimibile e con viscosità nulla è molto semlificato ma, comunque risulta sufficiente alla descrizione di molti fenomeni di eserienza comune ed in molte alicazioni tecniche. Modello di Fluido Comrimibile D altra arte la comrimibilità è una caratteristica del fluido che assume imortanza fondamentale (tale da rendere inadeguato il modello di fluido comrimibile) in molte delle alicazioni ingegneristiche della fluidodinamica. Esemi flussi ad alta velocità Il flusso nelle alettature delle turbomacchine (urbine/comressori) Alicazioni Aeronautiche dove la velocità di volo sono tali da rendere imortante la comrimibilità del fluido Moti D Comrimibili- ermodinamica Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

3 Diartimento di Ingegneria Industriale L attendibilità e quindi il dominio di alicazione dell uno o dell altro modello diende: - in rimo luogo dal tio di fluido riguardo al suo modulo di Comrimibilità E già visto: d E d Per i liquidi E è molto grande valori dell ordine di 9 e si uò assumere come equazione di stato del fluido: cost Vaori e gas sono molto iù comrimibili ed E resenta valori dell ordine di 5 er cui si deve assumere una equazione di stato che leghi ressione e densità. Generalmente si considera il gas come ideale data la semlicità ed il notevole camo di validità di questa iotesi er cui : R - in secondo luogo dalla velocità del flusso Moti D Comrimibili- ermodinamica 3 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

4 Diartimento di Ingegneria Industriale La trattazione successiva riguarderà un aroccio semlificato er lo studio dei flussi comrimibili secondo le seguenti IPOESI : Stazionarietà t Flusso Monodimensionale Le rorietà del flusso (,, u ) si considerano costanti su una stessa sezione definita dalla coordinata di riferimento x Comortamento del fluido come Gas Ideale Moti D Comrimibili- ermodinamica 4 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

5 Diartimento di Ingegneria Industriale Alcuni Remind su Gas Perfetti Equazione dei R () La costante R e quella del gas definita come il raorto fra la costante universale dei gas R u J/(Kmol K) e la massa molecolare del gas : R Energia Interna Per un gas ideale l energia interna, e, è funzione della sola temeratura : c e de e e c v d d v v () R M u Assumendo c v costante (tale assunzione resta valida er moderate variazioni di temeratura; er un gas reale c v f()) si uò facilmente calcolare la variazione di energia interna associata al flusso di un gas ideale fra le sezioni e : ( ) e v e c Moti D Comrimibili- ermodinamica 5 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

6 Diartimento di Ingegneria Industriale Entalia h e Considerando le relazioni di stato e dell energia interna er un gas ideale anche l entalia risulta funzione della sola temeratura ed analogamente si hanno: (3) c h dh h h c d d Posto c costante (er un gas reale c f()) : h h c ( ) h e R Relazioni utili er la determinazione dei calori secifici c v, c : Si ottengono sostituendo la definizione di gas ideale in quella dell entalia, differenziando e sostituendo le e : R R c c c v R ; c ; c v ; c Moti D Comrimibili- ermodinamica 6 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4 v (4)

7 Diartimento di Ingegneria Industriale Entroia Per flussi comrimibili le variazioni di entroia sono imortanti. Considerando l equazioni combinate del I & II rinciio er un gas ideale scritto in forma di equazione (Eq, di Gibs) : d dh (5) Utilizzando le relazioni,3 e 4 si ha: Ed analogamente : s v s c ln Rln s s c ln Rln Le ultime due relazioni consentono di calcolare la variazione di entroia er la trasformazione subita da un gas ideale che fluisce da una sezione ad una sezione con calori secifici c v, c costanti. Moti D Comrimibili- ermodinamica 7 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

8 Diartimento di Ingegneria Industriale Se il flusso è adiabatico e senza attriti (ovvero reversibile e cioè isoentroico) vale: ; s s Ed utilizzando equazione di stato del gas ideale si uò scrivere nelle seguenti forme equivalenti: Per cui onendo nella (5) ed utilizzando le relazioni dei calori secifici er un gas ideale si ottiene la legge er le trasformazioni isoentroiche : cos t (6) Moti D Comrimibili- ermodinamica 8 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

9 Diartimento di Ingegneria Industriale Esemio. In un condotto rettilineo a sezione circolare costante, diametro. m, scorre aria. I valori temeratura uniformi alla sezione e valgono: 3 K, 689 kpa; 5 K C, 7 kpa. Calcolare: la variazione di energia interna, di entalia, di densità e di entroia fra le sezioni e di figura. Soluzione Assumendo l aria un gas ideale si ha: Energia interna R ( ) ( ) kj kg e e cv 87 J kg c v K Entalia c c J / kg K v ( ) ( ) kj kg h h c 5 Moti D Comrimibili- ermodinamica 9 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

10 Diartimento di Ingegneria Industriale Densità (.77 8) 6. 3 R R kg m Quindi la variazione di densità e molto imortante infatti: Δ (%) 6. /8 78% Entroia s s c ln R ln 3J / kg K Moti D Comrimibili- ermodinamica Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

11 Moti D Comrimibili- ermodinamica Velocità del Suono e Numero di Mach Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4 Diartimento di Ingegneria Industriale Il numero di Mach è definito come il raorto fra il valore locale della velocità del flusso u e il valore locale della velocità del suono: M Per chiarire il concetto di velocità del suono si consideri la seguente figura, che raresenta lo schema del moto di un onda di ressione e la linea tratteggiata il volume di controllo che al contiene: Il fluido fermo attraversato dall onda di ressione cambia le sue rorietà di una quantità infinitesima come riortato in figura; la velocità c, della erturbazione si considera costante. Considerando un osservatore in moto con il volume di controllo raresentato in figura si uò scrivere: Equazione di Continuità Ac Equazione della quantità di Moto ( δ) A( c δu) ( c δu)( δ)( c δu) A A ( δ)a c ca c δu cδ δ δ u c

12 Velocità del Suono e Numero di Mach Diartimento di Ingegneria Industriale cc cc ( c δu)( δ)( c δu) ( δ) ( )( δ c cδu δu ) cδu c δ δ δ c Ma dalla Equazione di Continuità cδ cc δu δu cδ cc δ cδu δc δ c δ cδ δu cδ cδ c δ δ cδ c c δ Combinate insieme danno il valore della velocità della erturbazione: c δ δ Moti D Comrimibili- ermodinamica Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

13 Diartimento di Ingegneria Industriale Usualmente questa velocità detta del suono viene indicata con a: Nelle iotesi di fenomeno isoentroico il δ e quindi : a s Inoltre oiché trattiamo un gas ideale vale la legge (5) er le trasformazioni isoentroiche e erciò: Cost R In definitiva er un gas ideale : Moti D Comrimibili- ermodinamica 3 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4 s E Rirendendo la definizione del modulo di elasticità data all inizio si ha : a Il numero di Mach raresenta la radice quadrata del raorto fra a le forze d inerzia d e le forze elastiche valutando così l imortanza degli effetti della comrimibilità,, infatti : F F a R L u u 3 i ma u τ τ EL EL E E e M Esemio. Calcolo della velocità del suono er l aria alla temeratura di C L (7) a R m / s

14 Diartimento di Ingegneria Industriale Significato fisico della velocità del suono La velocità del suono raresenta la velocità alla quale si roagano le erturbazioni in un mezzo, liquido, gassoso, o solido che sia. La definizione data e la relativa esressione èvalida del er un gas erfetto, ma èteoricamente estendibile ad ogni caso. Se un camo di moto, od un fluido in quiete, èerturbato, il sistema risentirà della erturbazione non istantaneamente daertutto, ma sarà necessario attendere un certo temo affinché la erturbazione raggiunga tutti i unti del dominio ad una distanza L. Per ercorrere la distanza L il segnale imiega un temo tl/a Suoniamo una sorgente emettitrice in moto con velovcità V Moti D Comrimibili- ermodinamica 4 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

15 Diartimento di Ingegneria Industriale Esemi La discussione sulla base della figura a destra suggerisce la seguente distinzione fra le diverse situazioni di flusso: a) Assenza di Flusso: la erturbazione raggiunge uniformemente tutto lo sazio b) Flussi subsonici : V < a nei moti subsonici la roagazione delle erturbazioni avviene sia verso monte che verso valle. c) Flussi Sonici : V a, esiste un fronte che seara zona del silenzio e zona interessata dalla erturbazione d) Flussi suersonici : V > a in essi informazioni (erturbazioni di ressione) non ossono risalire a monte.zona del silenzio caratterizzata da un angolo ALFA : a sin α u M Moti D Comrimibili- ermodinamica 5 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

16 Diartimento di Ingegneria Industriale In considerazione del raorto fra la velocità del flusso e la locale velocità del suono detto Numero di Mach : M si ossono definire le seguenti categorie di flussi, anche in considerazione del fatto che esso raresenta anche il raorto fra la velocità del flusso e la deformabilità del fluido : E Flussi incomrimibili : M <.3 a Flussi comrimibili subsonici :.3 < M< nei moti subsonici la roagazione delle erturbazioni avviene sia verso monte che verso valle. Flussi comrimibili suersonici : M > in essi informazioni (erturbazioni di ressione) non ossono risalire a monte. Inoltre altre due categorie sono comunemente considerate quelle dei flussi transonici.9<m<. e quella dei flussi iersonici M > 5 ( si tenga conto che in questo caso è la a bassa che la u alta!) Moti D Comrimibili- ermodinamica 6 Il Numero di Mach Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4 u a

17 Diartimento di Ingegneria Industriale I moderni aerei sia er aviazione civile sia militare sono sinti ad motori a reazione con turbina a gas e molti modelli volano in regimi di moto transonico. Un esemio di moto iersonico è dato dal rientro nell atmosfera di uno Sace Shuttle Esemio.3 Un aereo vola alla quota di m ed a Mach.5. Calcolare il temo che trascorre fra il momento in cui l aereo assa sulla verticale relativa ad un osservatore a terra ed il momento in cui l osservatore stesso sente il rumore dell aereo. C Soluzione z α tan tan x sin α.667 V ; V t α 4 Moti D Comrimibili- ermodinamica 7 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4 sin tanα.8944 x 8. m V t.8944 α M.5 M a V 55m / s 8 x 8. m V t t 55.7 sec

18 Diartimento di Ingegneria Industriale Stati di Ristagno (o di Arresto) Per il I rinciio della ermodinamica in assenza di scambi di calore e di lavoro e con variazioni di energia otenziale nulla si vede come l entalia totale h coincide con il valore dell entalia che avrebbe il fluido se fosse arrestato con un rocesso adiabatico. u Entalia di ristagno : h h u emeratura totale : Dalla recedente si ha che c e tenendo conto della (7) e della seconda delle (4) si ottiene: M er cui il raorto fra temeratura totale e statica è funzione del numero di Mach e del raorto dei calori secifici. Pressione di Ristagno : valore della ressione cui il fluido si orterebbe se a artire dalle condizioni locali fosse ortato con un rocesso isoentroico fino allo stato di velocità nulla. Quindi considerando la (6) e la recedente si ha: Moti D Comrimibili- ermodinamica 8 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

19 Diartimento di Ingegneria Industriale Pressione di Ristagno : valore della ressione cui il fluido si orterebbe se a artire dalle condizioni locali fosse ortato con un rocesso isoentroico fino allo stato di velocità nulla. Quindi considerando la (6) e la recedente si ha: M Raresentazione su un diagramma - s di emeratura e ressione di ristagno e statiche: Analogamente er la Densità di Ristagno : M NOA : si ricordi che: emeratura di Ristagno : rasformazioni Adiabatiche Pressione/Densità di Ristagno : rasformazioni Isoentroiche Moti D Comrimibili- ermodinamica 9 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

20 Diartimento di Ingegneria Industriale emeratura di Ristagno : rasformazioni Adiabatiche Pressione di Ristagno : rasformazioni Isoentroiche La ressione totale è sensore dell Entroia s Δs R s c ln ln Rln Δ c ln Δ Rln Moti D Comrimibili- ermodinamica Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

21 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4 Diartimento di Ingegneria Industriale Moti D Comrimibili- ermodinamica Se gli stati di ristagno sono quelli corrisondenti al valore nullo del numero di Mach a valori unitari dello stesso corrisondono i cosiddetti stati critici. Per cui onendo M nelle recedenti si ha ( a lato si riortano i valori del raorto valori totali e critici er l aria.4) :.58.4 ) /( Stati di Ristagno Stati di Ristagno o otali Stati Critici Stati Critici

22 abelle relazioni isentroiche Diartimento di Ingegneria Industriale Moti D Comrimibili- ermodinamica Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

23 Diartimento di Ingegneria Industriale Moto Monodimensionale - Comrimibile Un flusso si uò considerare monodimensionale quando: è ossibile identificare una comonente di moto rinciale; è ossibile, con buona arossimazione definire quantità medie sulla sezione ; Le disuniformità trasversali sono modeste risetto al moto rinciale ( Raggi di curvatura asse condotto grandi risetto diametro condotto); Si considerino allora le tre Eq. Di Bilancio viste er Incomrimibile che si modificano er considerare che non è Costante : Bilancio Massa: Bilancio di Quantità di Moto Bilancio di Energia Moti D Comrimibili- ermodinamica 3 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

24 Diartimento di Ingegneria Industriale Il bilancio di massa Rietendo le considerazioni fatte nel caso incomrimibile er la sezione infinitesima di condotto di lunghezza, si ha che la conservazione della massa stabilisce: er un sistema aerto, in condizioni stazionarie in un intervallo di temo unitario la massa entrante nella sezione s dovrà essere uguale a quella uscente dalla sezione s. U UdU ( AU ) s ( AU ) s ( AU ) ( AU ) s ( AU ) s s ( AU ) s AU cost Nel caso di flusso comrimibile, essendo la densità uò variare qiondi l esressione non uò essere semlificata. Se oi il condotto è anche a sezione è costante si ha Ucost NOA: La costante è sesso l incognita s () Moti D Comrimibili- ermodinamica 4 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

25 Il bilancio di quantità di moto () Diartimento di Ingegneria Industriale Consideriamo come volume di controllo una sezione infinitesima di condotto di lunghezza. Per la seconda legge della dinamica e in condizioni di moto ermanente la risultante delle forze esterne agenti sul volume di controllo dovrà essere uguale alla variazione della quantità di moto. Consideriamo quindi tutte le forze esterne agenti sul vol. di controllo: vu τ τ gdv θ UdU s Azioni di ressione sulle su. e df ( A) ( A) ( A) ( A) ( A) d( A) d Azioni di ressione sulle su. laterali (in dir. s) d da df da da Azioni di attrito sulle su. laterali df τ S τ C 3 ( ) ( ) D l S l suerfice laterale del volume di controllo C l (erimetro) D Sforzo di taglio risultante l Moti D Comrimibili- ermodinamica 5 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

26 Diartimento di Ingegneria Industriale Il bilancio di quantità di moto () Forza eso (roiezione lungo s) da df4 gdv sin( θ ) g A sin( θ ) Variazione QdM ΔQdM du da g A dz gadz du ( AU ) U ( AU ) U ( AU ) U U ( AU ) ga dz ΔQdM d AU AU ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AU U AU U AU AU d Bilancio di quantità di moto ( AU ) du ( AU ) df df df3 df4 d ΔQdM Moti D Comrimibili- ermodinamica 6 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

27 Diartimento di Ingegneria Industriale Il bilancio di quantità di moto (3) Variazione QdM d ( AU ) ( AU ) du d ( A) da D ga dz da ( U ) g dz A da D Moti D Comrimibili- ermodinamica 7 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

28 Diartimento di Ingegneria Industriale Il bilancio di quantità di moto (4) Semlificando, tenuto conto della Continuità e dividendo tutto er A U du g dz d D/( A) Integrando fra due sezioni, diviso x g U g U g ( z z ) d g D ga Si noti che ora l integrale di non è automatico ma diende dal legame e. La forma iù utile nel comrimibile, trascurando la quota è: da( u ) da D () Moti D Comrimibili- ermodinamica 8 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

29 Diartimento di Ingegneria Industriale Il bilancio di Energia () Consideriamo come volume di controllo una sezione infinitesima di condotto di lunghezza. Per la rima legge della termodinamica e in condizioni di moto ermanente il flusso di energia interna dovrà uguagliare il calore scambiato ed il lavoro fatto sul siatema: Si noti che le forze di attrito non comiono lavoro agendo su areti fisse, ertanto ler uniche forze che comiono lavoro sono le ressioni in/out Energia del sistema Sotto forma di τ Energia Interna e s Cinetica U /; θ Potenziale gz UdU (U / egz) -(U / egz) τ vu Lavoro delle ressioni gdv dl ( dv ) ( dv ) d( dv ) d( dv ) Moti D Comrimibili- ermodinamica 9 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

30 Diartimento di Ingegneria Industriale Bilancio di Energia () Variazione dell Energia nell Unità di temo ( UA ) d ( e U / gz ) d Lavoro forze ressione er unità di temo E dw dl d( / ) ( UA) dt Bilancio Energia: Rietendo esattamente le considerazioni del caso incomrimibile er la legge della termodinamica e detto δ Q il calore scambiato nell unità di temio si ha: d E δ Q dw si ha la forma differenziale : d ( e / U / gz ) d q Moti D Comrimibili- ermodinamica 3 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

31 Diartimento di Ingegneria Industriale Bilancio Energia (3): Si noti che q è il calore scambiato er unità di massa La Presenza di disositivi er la cessione/estrazione di Energia; Il rocedimento Rimane valido: ma si aggiunge un termine raresentativo : ovvero il Δh; nella formulazione Integrata: ( e / u / gz ) ( e / u ( h u / gz ) ( h u / gz ) / Δq Δh gz ) / Δq Δh / Se il calore scambiato è fornito in otenza termica er unità di lunghezza: si ricordi che Δq dovrà essere calcolato : dq& Δq Δs /( ua) d Q & Moti D Comrimibili- ermodinamica 3 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4

32 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4 Diartimento di Ingegneria Industriale Moti D Comrimibili- ermodinamica 3 Bilancio di Energia (4) Una interessante formulazione nel caso Adiabatico :q, e trascurando le quote è: ) / / ( U e d h u h ; ; a R c a R a c h R a c h ) ( ) ( a u a

33 Diartimento di Ingegneria Industriale Poiché sesso le variazioni di quota sono modeste, il termine gz:viene trascurato nelle equazioni: d( Au) ( Au) Costante da( u ) d ( h u / ) da D dq No Attrito Area Costante No Scambio ermico ( u ( hu ) I Costante /) Costante a u a ( ) ( ) Moti D Comrimibili- ermodinamica 33 Scuola di Ingegneria Corso di e Macchine A.A. 3 4