Il modello di Edgeworth: il ruolo dei vincoli nella capacità produttiva

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Armando Mancini
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1 Rimozione del paradosso di Bertrand: il modello di Edgeworth Il paradosso di Bertrand Gianmaria Martini Nel modello di Bertrand con beni omogenei si ottiene il risultato che prezzi maggiori del costo marginale di produzione non costituiscono un equilibrio, e che pertanto i prezzi saranno sempre uguali al costo marginale di produzione. Occorre però domandarsi se tale equilibrio sia realistico oppure costituisca un paradosso? Sia i dati del mondo reale che le verifiche empiriche svolte dagli economisti portano a considerare questo risultato come un paradosso, in quanto i prezzi nei contesti oligopolistici normalmente risultato essere maggiori del costo marginale di produzione. La ricerca teorica ha formulato alcune soluzioni a questo problema. In particolare le risposte che emergono in letteratura al paradosso di Bertrand risultato essere le seguenti: collusione tacita o esplicita differenziazione dei prodotti vincoli di capacità produttiva. Il ruolo della collusione tacita è già stato esaminato, ed ha permesso di concludere che nei supergiochi è spesso probabile che il prezzo sia superiore al costo marginale di produzione. La differenziazione dei prodotti verrà esaminata in seguito, mentre adesso analizzeremo il ruolo dei vincoli di capacità produttiva. Il modello di Edgeworth: il ruolo dei vincoli nella capacità produttiva Edgeworth (1927) ha dimostrato che se le imprese hanno capacità produttiva limitata, allora si ottengono i seguenti risultati: i prezzi sono maggiori del costo marginale di produzione non esiste un prezzo di equilibrio, quanto piuttosto un ciclo (loop) di prezzi praticati dalle imprese. Per illustrare il modello cominciamo dall'ipotesi cruciale (modificabile): le imprese possono al massimo servire metà della domanda del mercato in presenza di un equilibrio concorrenziale, quindi la capacità produttiva corrisponde a yc 2. Ipotizziamo che nel mercato siano attive solo due imprese, denominate 1 e 2, ciascuna con costi

2 marginali di produzione costanti e pari c fino al raggiungimento della capacità produttiva. Successivamente essi sono pari a. Ipotizziamo come sempre una funzione di domanda lineare e pari a p = a b y. Il modello di Bertrand fornisce la seguente previsione: p1 = p2 ed entrambi pari a c. ogni impresa produce yc 2 quindi impiega totalmente la sua capacità produttiva. Domandiamoci a questo punto se, in presenza di un vincolo di capacità produttiva, questo può ancora essere considerato un equilibrio. Analizziamo un caso numerico. > restart; > data:=(a=100,b=2,c=4); data := a = 100, b = 2, c = 4 > prezzo:=subs(data,a-b*(y1+y2)); prezzo := y1 2 y2 Il MC di ciascun impresa presenta la seguente configurazione > MC1:=y1->piecewise(y1>=0 and y1<=24,4,100); MC1 := y1 piecewise ( 0 y1 and y1 24, 4, 100) > MC1(y1); { 4 y1 0 and y otherwise Pertanto, rappresentando in un'unico grafico la domanda del mercato e la funzione MC1 si ottiene. > plot([100-2*y1,mc1(y1)], y1=0..50, color=[blue,red], thickness=3);

3 come al solito, non consideriamo il segmento orizzontale più elevato, utilizzato solo per evidenziare il fatto che MC1 diventa verticale quanto raggiunge il livello pari a 24, ossia metà dell'output concorrenziale. Ora, se partiamo dall'ipotesi che le due imprese si trovano nell'equilibrio di Bertrand, possiamo osservare se hanno un'incentivo a muoversi da tale configurazione di mercato. Ad esempio, supponiamo che attualmente p2 = 4; all'impresa 1 conviene praticare p1 = 4 oppure alzare il prezzo? Come nel modello di Bertrand, se p2 < p1 tutti i consumatori vogliono acquistare dall'impresa 2. Tuttavia, se p2 = 4, la domanda del mercato è pari a 48, quindi è maggiore della capacità produttiva della domanda 2. Essa non può servire tutto il mercato: si formano delle code. Questo significa che se l'impresa 1 pratica un prezzo maggiore di 4, diversamente dal modello di Bertrand, dispone di una domanda residuale positiva, data da tutti quei consumatori che sono in coda, o meglio che risultano essere razionati. E' possibile identificare la domanda residuale sempre positiva dell'impresa 1? Essa presenta la seguente espressione > domres1:=y1->piecewise(y1>=0 and y1<=24, 52-2*y1,0); domres1 := y1 piecewise ( 0 y1 and y1 24, 52 2 y1, 0 ) > domres1(y1); 52 2 y1 y1 0 and y { 0 otherwise

4 > plot([100-2*y1,mc1(y1),domres1(y1)], y1=0..50, color=[blue,red,green], thickness=3); La domanda residuale è pari a 0 se 52 < p1. Il prezzo è talmente alto che l'impresa 2 può servire tutto il mercato. Appena il prezzo dell'impresa 1 scende aldisotto di tale livello, anche se l'impresa 2 spinge il prezzo al livello del costo marginale, rimane comunque una domanda residuale positiva all'impresa 1, data dai consumatori razionati. Data la domanda residuale, l'impresa 1 massimizza i suoi profitti scegliendo il punto in cui i MR relativi alla domanda residuale sono uguali ai MC, ossia 4. Pertanto, essendo MR = 52 4 y1, otteniamo y1 = 12, cui corrisponde un prezzo pari a 28 (52-2*12). Tale profitto è superiore a quello che otteneva nell'equilibrio di Bertrand, e si dimostra quindi che quest'ultimo non costituisce un equilibrio. Si noti inoltre che l'impresa 2 non continuerà a praticare p2 = 4, vedendo che p1 = 28. Infatti se p2 = 28 ε l'impresa 2 vende y2 = 24 e ottiene profitti positivi. Si noti però che al prezzo di 28 la domanda è pari a 36, e l'impresa 2 ne serve solo 24, mentre una domanda di 12 rimane all'impresa 1. Tuttavia, l'impresa 2 fa un profitto maggiore ((28-4)*24) di quello dell'impresa 1 ((28-4)*12); quest'ultima ha un'incentivo a tagliare ulteriormente il prezzo sotto 28 ε, per incrementare i suoi profitti. Si avvia così una spirale di diminuzione del prezzo. Questa spirale avveniva anche nel modello di Bertrand; in questo caso però ad un certo punto essa si ferma. Esiste infatti un prezzo minimo aldisotto del quale non conviene tagliare il prezzo di ε quanto piuttosto ALZARLO a 28.

5 Se alza il prezzo a 28 l'impresa che sta valutando tale opportunità ottiene > prof1:=(28-4)*12; prof1 := 288 Quindi essa è interessata a valutare quando un taglio di prezzo rispetto a quello praticato dal rivale, che garantisce una vendita di 24, consente di realizzare lo stesso profitto. Quindi quando > (p-4)*24=prof1; > solve(%,p); > 24 p 96 = Il prezzo minimo è pari a 16. Nel modello di Edgeworth abbiamo un ciclo di prezzi di equilibrio, con le seguenti caratteristiche: il prezzo più alto osservato è 28 il prezzo più basso è 16 entrambi i prezzi sono superiori al costo marginale all'interno di questi due livelli di prezzo, le imprese si tagliano continuamente il prezzo di ε, fino a giungere a 16. Dopo ripartono da 28. In ogni periodo entrambe le imprese realizzano profitti positivi, proprio grazie alla capacità produttiva limitata.

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