Note sulle classi di complessità P, NP e NPC per ASD (DRAFT)

Transcript

1 Note sulle classi di complessità P, NP e NPC per ASD (DRAFT) Nicola Rebagliati 20 dicembre La complessità degli algoritmi Obiettivo principale della teoria della complessità: ottenere una tassonomia di problemi decisionali interessanti rispetto alle risorse computazionali per risolverli. La teoria che stiamo per vedere ha la sua origine nel 1966 con Jack Edmonds e col tempo ha dimostrato di fornire risposte corrette alla distinzione tra problemi risolvibili e difficili. Un problema che riteniamo essere risolvibile è, ad esempio, quello del cammino minimo tra due vertici, infatti grazie all algoritmo di Dijkstra possiamo trovare la soluzione in tempo O(n 2 ), con n il numero di vertici. Parleremo di problemi difficili nella prossima sezione. Ora abbiamo bisogno di fissare un po di notazione. Dopo aver stabilito una codifica binaria efficiente dell input, consideriamo un problema decisionale come una funzione f : {0, 1} {yes, no} Dopodiché, dato un problema decisionale f, definiamo il suo linguaggio come: L := {x {0, 1} f(x) = yes} Vediamo come vengono scritti alcuni problemi decisionali: Cammino minimo di un grafo tra due nodi u e v. Questo problema si risolve con l algoritmo di Dijkstra che lavora in tempo O(n 2 ), con n il numero di vertici. PATH:={ G, u, v, k Esiste un cammino con meno di k archi che collega i vertici u e v nel grafo G} Albero di copertura minimo di un grafo è un albero connesso contenuto nel grafo e che minimizza la somma dei pesi degli archi che lo compone. Lo si trova con l algoritmo di Kruskal in O(n 2 log n) 1. 1 In questa complessità sono stati omessi dei fattori log log n 1

2 MST:= { G, T T è un albero contenuto nel grafo G che contiene tutti i suoi vertici tale che la somma dei pesi è minimale} Primalità di un numero, cioé sapere se sia primo o no, è un problema che è stato risolto recentemente da Agrawal, Kayal e Saxena, lavora in tempo O(log 12 n). Cioé polinomiale nel numero di bits. PRIMES:={ n n è la codifica binaria di un numero primo} A questo punto siamo in grado di definire una classe di linguaggi che contiene questi esempi e molti altri: la classe P dei problemi risolvibili in tempo polinomiale. P := {L Esiste k, dipendente da L, tale che per ogni x {0, 1} si può decidere x L in tempo O(n k )} 2 La classe dei problemi certificabili in tempo polinomiale Introduciamo adesso dei problemi che risultano, ai fatti, più difficili da risolvere dei precedenti. Satisfiability Una formula booleana in forma congiuntiva (CNF:=Congiuntive Normal Form) consiste in una serie di clausole congiunte, in cui ogni clausola è una serie di disgiunzioni di variabili, possibilmente negate. Ad esempio questa è una formula (x 1 (x 2 ) x 3 ) ( (x 1 ) x 2 x 3 ) ( x 1 (x 2 ) (x 3 )) con tre clausole 2. Se ogni clausola contiene meno di k variabili si dice k-cnf. Il problema è trovare un assegnamento booleano che renda vera la formula. Ci concentreremo sul caso in cui le clausole abbiano al più tre variabili: 3-SAT:= {x x è un formula in forma 3-CNF che ha almeno un assegnamento che la rende vera.} Clique di un grafo è un sottinsieme di vertici per cui ognuno è connesso ad ogni altro del sottinsieme. Ovviamente le coppie di vertici connesse formano delle clique, ma potrebbero esserci insiemi più grandi a cui siamo interessati. Il linguaggio corrisponendente è: CLIQUE:= { G, k G è un grafo con almeno una clique di dimensione k} Independent set di un grafo è un sottinsieme di vertici che non sono collegati l uno con l altro. INDEPENDENT SET:= { G, k G è un grafo con almeno un independent set di dimensione k} 2 verificare che è vera se, ad esempio, tutte le variabili sono false 2

3 Al momento non sono noti algoritmi che siano in grado di risolvere questi problemi decisionali in tempo polinomiale. Questo nonostante strenui sforzi di menti brillanti nell informatica. D altra parte è molto semplice verificare se una certa soluzione valga per questi problemi, cioé è facile certificare una soluzione e si può vedere che lo si può fare, per questi tre problemi in tempo polinomiale. Ad esempio se ho un grafo G, un numero k ed un insieme di vertici posso verificare facilmente se questi formino una clique di dimensione k. Come posso facilmente verificare se una assegnazione di un insieme di variabili che rende vera una formula in forma 3-CNF. Definiamo un certificato come una stringa binaria y ed una funzione verificatrice g : {0, 1} {0, 1} {yes, no} Tale che x L se e solo se esiste y, g(x, y) = yes. Se g lavora in tempo polinomiale, e il certificato y è di lunghezza polinomiale in x 3, allora L è certificabile in tempo polinomiale e per questo definiamo la classe di complessità NP: NP := {L Esiste una costante c per cui x L se e solo se esiste un certificato y con dimensione polinomiale y O( x c ) e verificabile in tempo polinomiale.} 3 Riduzioni e problemi NP-completi Alcuni problemi nella classe NP sono più interessanti di altri in quanto è possibile ricondurre la risoluzione di uno alla risoluzione di un altro. Ad esempio vedremo che se fossimo in grado di decidere la CLIQUE in tempo polinomiale, allora saremmo in grado di capire se una formula in 3-SAT sia soddisfacibile. Questo è sorprendente in quanto a prima vista i due problemi sono completamente diversi. Vediamo innanzitutto cosa vuol dire ridurre un problema in un altro. Diremo che un linguaggio L 1 è riducibile in tempo polinomiale ad L 2 se esiste una funzione calcolabile in tempo polinomiale r : {0, 1} {0, 1} tale che per ogni x {0, 1} x L 1 se e soltanto se r(x) L 2 r è detta funzione di riduzione e scriviamo L 1 p L 2. Il seguente lemma è facile da verificare: Lemma 3.1. Siano L 1, L 2 {0, 1} linguaggi tali che L 1 p L 2, allora L 2 P implica L 1 P Dimostrazione. Visto che la funzione di riduzione lavora in tempo polinomiale r(x) ha una lunghezza polinomiale in x. Ma il polinomio di un polinomio è ancora un polinomio, per cui r(x) L 2 viene deciso in un tempo polinomiale in x. 3 x denota il numero di caratteri della stringa x 3

4 4 Problemi NP-Completi E interessante che ci sia un ampia gamma di problemi in NP per cui ci si può ridurre dall uno all altro in tempo polinomiale. Questo implica anche che se si trovasse un algoritmo che ne risolvesse uno in tempo polinomiale, questo algoritmo varrebbe in realtà per una moltitudine di problemi. Definizione 4.1. Un problema si dice NP-completo se: 1. L NP 2. L p L per ogni L NP Se vale solo la seconda condizione L si dice essere NP-difficile. La classe dei problemi NP-completi si chiama NPC. Per motivi di spazio assumeremo 3 SAT sia NP-completo, e vedremo come lo si possa ridurre in tempo polinomiale a CLIQUE, e quindi ridurremo CLIQUE a INDEPENDENT SET. Quindi stiamo per mostrare: 3-SAT p CLIQUE p INDEPENDENT SET. Teorema SAT p CLIQUE: presa una formula φ in forma 3-CNF con m clausole, costruiamo un grafo G che abbia un vertice per ogni variabile (o variabile negata) all interno di ogni clausola. Quindi un grafo con 3m vertici. Colleghiamo due vertici se e solo se appartengono a clausole diverse e non rappresentano la stessa variabile negata, cioé non sono una coppia della forma (x, x). La funzione r(φ) restituisce una coppia G, m, lavora in tempo polinomiale, e ci chiediamo se φ 3-SAT se e solo se G, m CLIQUE. Ora, se G contenesse una clique di dimensione m, questa clique avrebbe un vertice in ogni clausola e ci consentirebbe di trovare un assegnazione che soddisfa φ senza incappare in una contraddizione. Viceversa se avessimo un assegnazione che soddisfa φ, potremmo scegliere da ogni clausola una variabile con valore vero, dal momento che le m variabili scelte hanno tutte lo stesso valore, dovrebbero essere collegate l una con l altra nel grafo, formando una clique. Vedi figura 4.2 CLIQUE p INDEPENDENT SET: Dato un grafo G consideriamo il suo negato G come quello in cui l assenza/presenza di archi è invertita rispetto a G. Ora basta notare che un sottinsieme di vertici è una clique in un grafo G se e soltanto se è un independent set nel grafo G 5 conp e P = NP La classe conp consiste di linguaggi per cui il complemento 4 appartiene ad NP : conp = {L L NP } 4 Il complemento di un linguaggio L {0, 1} è l insieme delle stringhe x / L 4

5 x 1 x 2 x 3 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 Figure 1: Ogni triangolo, cioé una clique con tre vertici, in figura corrisponde ad una assegnazione vera per la formula (x 1 (x 2 ) x 3 ) ( (x 1 ) x 2 x 3 ) ( x 1 (x 2 ) (x 3 )) Ovviamente P conp e P = cop cosicché abbiamo P NP conp. Ma questo a sua volta implica che P = NP cop = conp NP = conp. Quindi NP conp P NP Ci sono quattro possibilità: P=NP=coNP P NP=coNP P = conp NP, e conp NP NP e NP conp P conp NP, e conp NP NP e NP conp La ricerca su questa domanda è stata, ed è tuttora, vastissima. Generalmente si ritiene che P NP, in quanto sembra strano che cercare una risposta sia tanto facile quanto riconoscerla. Oppure notate l asimmetria tra NP e conp, sembra molto più semplice, ad esempio, verificare che una formula 3-SAT sia soddisfacibile (essenzialmente basta produrre una assegnazione che la renda vera) piuttosto che dimostrare che è insoddisfacibile (per ogni assegnazione è falsa.) 6 Bibliografia fortnow/papers/pnp-cacm.pdf Introduzione agli algoritmi e strutture dati - Cormen Leiserson Rivest Stein, capitolo 34. 5