BOZZA. Lezione n. 20. Stati limite nel cemento armato Stato limite ultimo per tensioni normali

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1 Lezione n. Stati limite nel cemento armato Stato limite ultimo per tenioni normali Determinazione elle configurazioni i rottura per la ezione Una volta introotti i legami cotitutivi, è poibile eterminare le ituazioni per le quali una generica ezione in cemento armato raggiunge, in uno o in entrambi i componenti calcetruzzo e acciaio, le conizioni i rottura, oia le conizioni ultime. Le ipotei principali alla bae el calcolo (che i aottano, come verrà illutrato nel eguito) anche nel cao i calcolo con legami tenioni-eformazione i tipo lineare (a eempio nella valutazione ella icurezza nei confronti egli Stati Limite i Eercizio) ono le tre eguenti: 1. i tracura il contributo el calcetruzzo oggetto a trazione (che però interviene nella tramiione egli forzi i corrimento attravero il meccanimo a traliccio che verrà ecritto nella lezione eicata al taglio);. i ipotizza perfetta aerenza tra le barre i acciaio e il calcetruzzo circotante (anche in ragione el fatto i avere limitato la maima eformazione ell acciaio al valore el 1 ); 3. i ipotizza la conervazione elle ezioni piane come per le travi i materiale omogeneo e iotropo (ipotei i Bernoulli-Navier). Prima i illutrare il proceimento al calcolo è bene evienziare alcuni apetti: - la rottura ella ezione può giungere per il raggiungimento ella eformazione limite nel calcetruzzo compreo (oia perché la fibra più eterna i calcetruzzo raggiunge la eformazione limite el 3.5 ) oppure per il raggiungimento ella maima ilatazione nell acciaio teo (corriponente al valore i eformazione 1 ) - è eviente che non i può raggiungere una conizione i rottura per maima contrazione ell acciaio compreo, in quanto, eeno quet ultimo perfettamente aerente al calcetruzzo nella tea zona, non i potrà mai uperare il limite el 3.5 impoto alla fibra i cl - operano in campo elato-platico, occorre impotare il problema ella eterminazione elle ituazioni i rottura ella ezione operano in termini i eformazioni e non i tenioni: riulta infatti chiaro che mentre a un valore ella eformazione corripone un olo valore ella tenione, non è vero il vicevera, a caua ella preenza i un ramo platico - una volta iniviuata una configurazione i rottura (in termini i eformazioni) i rialirà al valore elle tenioni nel calcetruzzo e nell acciaio e quini alle riultanti i compreione e trazione; infine, arà poibile eprimere la conizione i rottura in termine i coppia i valori i forzo normale e momento flettente (iniviuati nel eguito ripettivamente con N ru e M ru ) che cotituiranno la coppia i ollecitazioni che, e agenti contemporaneamente nella ezione, comportano la rottura ella ezione - a ogni configurazione i rottura corripone un precio valore ella rotazione ella ezione e uite una corriponenza biunivoca tra le configurazioni i rottura e la profonità ell ae neutro, come riulta alla figura eguente: fiata la poizione ell ae neutro, i etermina univocamente la configurazione i rottura, in quanto ogni altra configurazione eformata ella ezione comporterebbe il uperamento ella maima eformazione ammiibile in uno ei ue materiali che cotituicono la ezione Gianni Bartoli/Maurizio Orlano Appunti i Tecnica elle Cotruzioni Bozza oggetta a reviione 18/1/5

2 Lezione n. pag. XX. allungamenti accorciamenti 3.5 h Il ominio reitente ella ezione L inieme elle coppie (N ru, M ru ) che cotituicono ituazioni i rottura per la ezione, rappreentano la frontiera i un ominio che, nel piano (N,M), elimita la zona icura i utilizzo ella ezione (punti interni al ominio al maimo ul ominio) ripetto a punti in cui la ezione non riulterebbe verificata (punti eterni alla frontiera el ominio). Il ominio reitente viene quini cotruito per punti, utilizzano quanto ecritto nel paragrafo preceente, e conierano la poibilità che la zona comprea ia nella parte uperiore ella ezione (momento poitivo, econo la convenzione che viene uualmente utilizzata) oppure nella parte inferiore ella ezione (momento negativo). In termini i rappreentazione, il ominio reitente viene riportato in un piano carteiano in cui i iniviua ulle acie il valore ello forzo normale N (nel c.a. i olito rappreentato come poitivo e i compreione, quini con egno oppoto ripetto all uuale convenzione ella cienza elle cotruzioni) e ulle orinate il valore el momento flettente M (come già etto, normalmente poitivo e riulta comprea la parte uperiore ella ezione). Il ominio reitente è un ominio conveo, e queto a caua i alcune proprietà ella uperficie i platicizzazione (che non verranno qui illutrate e per le quali i rimana a altra ee). Tra le varie efinizioni i conveità che potrebbero eere utilizzate, in queta ee i ricora oltanto che in una uperficie convea qualunque egmento che unice ue punti interni o ulla frontiera ella uperficie è completamente contenuto all interno ella uperficie tea. Tale proprietà comporta alcuni vantaggi operativi non inifferenti: - il ominio potrebbe eere teoricamente cotruito con un numero infinito i punti, oia per tutte le poibili poizioni ell ae neutro variabili tra - (per le convenzioni aottate, ezione uni b zona comprea - nel cao i ezione uniformemente comprea (oia in cui le eformazioni ono cotanti u tutta la ezione) i aume convenzionalmente un valore maimo ella eformazione per il calcetruzzo pari al ; per tutte le configurazioni i ezione interamente comprea (quini con ae neutro eterno alla ezione e tenioni tutte i compreione) i inivia la rottura conierano la eformazione maima el calcetruzzo compreo pari a 3.5 nel cao i fleione emplice e compota con ae neutro reale, e variabile al valore preetto al quano l ae neutro, e- terno alla ezione, tene all infinito (p.to el DM ) 1 configurazione i rottura configurazione non i rottura configurazione non ammiibile: ε troppo elevato nel cl ε

3 Lezione n. pag. XX.3 formemente tea) e + (ezione uniformemente comprea); e tuttavia tale ominio viene cotruito meiante un inieme finito i punti, anche abbatanza limitato, quello che i ottiene rappreenta icuramente un approimazione alla parte ella icurezza el ominio reale, in quanto tale nuovo ominio è enz altro contenuto all interno el preceente M - e i conoceero i punti el ominio caratterizzati a un valore nullo i una elle ue caratteritiche i ollecitazione, il ominio potrebbe, a favore i icurezza, eere approimato con un quarilatero irregolare che unice tali punti (come inicato al p.to B.5.1 ella Circ a cui i farà riferimento in eguito) M ominio cotruito con 6 punti ominio cotruito con punti N N Nel grafico eguente (tratto alla Circ. eplicativa al DM ) ono riportate tutte le poibili ituazioni i rottura per una ezione in calcetruzzo armato. Nel grafico i fa riferimento all altezza h ella ezione (altezza geometrica ella ezione) e all altezza utile ; quet ultima granezza rappreenta la itanza el baricentro ell armatura al lembo uperiore, e ifferice all altezza effettiva per qualche centimetro (i olito h = 3 5 cm). Vale infatti la relazione:

4 Lezione n. pag. XX.4 φ = h c φt ove i evienzia il fatto che all altezza geometrica i ottraggono le tre granezze: - ricoprimento armatura (c); - il iametro elle (eventuali) taffe φ t ; - metà el iametro elle armature reitenti a fleione (φ/). La prima (ricoprimento) rappreenta la minima itanza tra la uperficie ell armatura reitente e le facce eterne el conglomerato, e è fiata per legge. Solitamente, nel cao elle travi, l armatura reitente più eterna è offerta alle taffe, necearie, come i verà in eguito, per aorbire gli forzi i taglio. Le armature longituinali (oia quelle reitenti a fleione) ono i olito collocate all interno elle taffe, come motrato in figura. Il valore minimo el ricoprimento vale ia e miurato in orizzontale che in verticale, riguarano tutte le facce ella ezione in c.a. Normativa c i f φ t b La normativa precrive i eguenti valori minimi per il valore el ricoprimento i armatura: - per olette, etti e pareti: c min =,8 cm per travi e pilatri: c min =, cm - le limitazioni preceenti algono a cm per olette, etti e pareti, e a 4 cm per travi e pilatri, in preenza i aleine marina, i emanazioni nocive o in ambiente comunque aggreivo - le uperfici elle barre evono eere mutuamente itanziate in ogni irezione i almeno una volta il iametro elle barre meeime e, in ogni cao, non meno i cm (interferro minimo: cm) La ifferenza tra h e è peo inicata come copriferro, frequentemente confuo, in maniera erronea, con il valore el ricoprimento i armatura. La limitazione impota al valore ell interferro (inicato con i f nella figura) è ovuta all eigenza i permettere al calcetruzzo i fluire, al momento el getto, nella zona che cotituirà poi il ricoprimento elle armature. c h

5 l ε 8 A - = Campo egli allungamenti Allungamento limite ell'armatura 1 = 5, = 3 = εy 1 4 O Ae i riferimento elle eformazioni Campo egli accorciamenti = h = C 8 + = B 4 7 h. -3 h εc e tei ozzurt e lc ac iml it ne mia cr occ A DEFORMAZIONI SPECIFICHE TIPO DI SOLLECITAZIONE TRAZIONE SEMPLICE OCOMPOSTA FLESSIONE SEMPLICE OCOMPOSTA FLESSIONE SEMPLICE OCOMPOSTA FLESSIONE SEMPLICE O COMPOSTA FLESSIONE COMPOSTA COMPRESSIONE SEMPLICE OCOMPOSTA Lezione n. XX pag. XX.5 TIPO DI ROTTURA MASSIMA DEFORMAZIONE ACCIAIO TESO MASSIMA DEFORMAZIONE ACCIAIO TESO SNERVAMENTO ACCIAIO E SCHIACCIAMENTO CALCESTRUZZO SCHIACCIAMENTO CALCESTRUZZO SCHIACCIAMENTO CALCESTRUZZO SCHIACCIAMENTO CALCESTRUZZO E SNERVAMENTO ACCIAIO COMPRESSO =- = = =h 8 =,5 =1 = ACCIAIO <ε ε ε ε y< ( ε<) ( ε<) y CALCESTRUZZO -- 3,5 εc 3,5 3,5 3,5 εc 3,5

6 Lezione n. XX pag. XX.6 Come i può notare, nel grafico ono riportate ia le poibili poizioni ell ae neutro (a -, ezione uniformemente tea, a +, ezione uniformemente comprea) ia le corriponenti configurazioni eformate ella ezione in conizioni i rottura. Si poono iniviuare tre zone: - conizioni i rottura per maima eformazione nell acciaio teo (in intei rottura lato acciaio ): ono le zone (1) e () el iagramma, in cui l acciaio teo attinge alla maima eformazione el 1 mentre il calcetruzzo i trova in conizioni i eformazione inferiori ripetto a quella ultima; tutte le poibili configurazioni i rottura i ottengono iegnano rette che partono al polo A, e l ae neutro i trova all interno ell intervallo (-.59 ] (il valore el limite uperiore verrà ricavato nel eguito); - conizioni i rottura per maima eformazione nel calcetruzzo compreo (in intei rottura lato calcetruzzo ), zone (3), (4) e (5) el iagramma: il calcetruzzo nella fibra più eterna i trova al valore maimo conentito i eformazione (3.5 ), mentre l acciaio teo attinge a eformazioni inferiori al 1 ; le poibili configurazioni i rottura i ottengono iegnano rette che partono al polo B, e l ae neutro i trova all interno ell intervallo [.59 h]; - conizioni i rottura per maima eformazione nel calcetruzzo compreo e ezione interamente comprea, zona (6) el iagramma: il calcetruzzo nella fibra più eterna i trova al valore maimo conentito i eformazione, che varia al 3.5 (per ae neutro interno o al più al limite ella ezione) al nel cao i ezione uniformemente tea; le poibili configurazioni i rottura i ottengono iegnano rette che partono al polo C, e l ae neutro i trova nell intervallo [h + ). Si poono iniviuare ue valori caratteritici che efinicono il iagramma: la profonità ell ae neutro che corripone alla conizione i eparazione tra la rottura lato acciaio e quella lato calcetruzzo, e la poizione el polo C che viene utilizzata nel cao i conizioni i rottura per ezione interamente comprea. La profonità ell ae neutro nella conizione che epara le zone () e (3) può eere ricavata fruttano la conervazione elle ezioni piane e la legge i imilituine ei triangoli; i ottiene quini, inicano con la profonità ell ae neutro, 3.5 :.35 = ( ) :.1 = = Queta profonità ell ae neutro a rottura caratterizza quella che i chiama rottura bilanciata ella ezione, oia l unica poizione ell ae neutro che conente il maimo fruttamento ella ezione in cemento armato, in quanto ia la fibra maggiormente comprea i cl ia l armatura tea attingono contemporaneamente al loro maimo valore i eformazione. Alla luce elle oervazioni fatte in preceenza, è eviente che eite una ola configurazione i rottura (a parte quella corriponente allo teo calcolo ma con egno oppoto el momento) che oifa tale proprietà. La poizione el punto C può eere eterminata ancora con conierazioni i imilituine ei triangoli, ricavano il valore ella itanza y el lembo inferiore alla quale corripone (con eformazione el calcetruzzo alla fibra uperiore pari al 3.5 e profonità ell ae neutro uguale a h) una eformazione pari al : 4 h :.35 = :. = h = h Una volta iniviuate tutte le poibili conizioni i rottura, i valori elle coppie (N ru, M ru ) che cotituicono il contorno el ominio reitente ella ezione poono eere ricavati con emplici conizioni i equilibrio, come verrà illutrato nel eguito. La Normativa in vigore impone ue limitazioni aggiuntive nel cao i compreione o preofleione: - la prima impone una limitazione ul maimo forzo normale (i compreione) che può eere applicato alla ezione che eve riultare inferiore ripetto a quello calcolato per compreioni centrate, con una maggiorazione el 5% el coefficiente γ c. Il valore ello forzo normale ma-

7 Lezione n. XX pag. XX.7 imo i trova quini riuceno la tenione maima el calcetruzzo attravero l introuzione i un valore i maggiorato i γ c pari a γ c = 1.5 γ c = =. i coneguenza la tenione i progetto el calcetruzzo compreo attinge al valore riotto fck fck.83 R ck fc = = = =.415 R ck γ c.. - inoltre, per tenere conto elle incertezze ul punto i applicazione ei carichi i eve ipotizzare una eccentricità (e), previta nella irezione più favorevole, a ommare a quella eventuale ei carichi e i entità pari al maggiore ei ue valori h/3 e mm, eeno h la imenione nella irezione conierata per la eccentricità; i fatto non è quini poibile verificare una ezione emplicemente comprea, oveno comunque eere tenuto in conto un momento flettente almeno pari a M ru = ± Nru e ove il oppio egno inica che eve eere tenuto in conto nel vero più favorevole. Determinazione elle ollecitazioni corriponenti a una generica configurazione i rottura Una volta iniviuata una configurazione i rottura (in termini i eformazione) per la ezione, occorre rialire all anamento elle tenioni e quini elle caratteritiche i ollecitazione ull intera ezione. La riultante elle compreioni, lato calcetruzzo, può eere calcolata integrano, per l intera profonità ell ae neutro (o ell altezza, e la ezione è interamente comprea e quini con ae neutro eterno alla ezione) il iagramma elle tenioni. Nel cao generale i ottiene quini ( ξ) ( ξ) ξ = b( ξ) [ ε( ξ) ] ξ C = b c c ove i è evienziato il fatto che i riale ai valori ella tenione attravero i valori ella eformazione (come già inicato, l etremo uperiore va limitato a h, altezza ella ezione, nel cao in cui ricaa nell intervallo [h; + )). La riultante i compreione i trova a una itanza C all ae neutro offerta alla relazione 1 C = b( ξ) c( ξ) ξ ξ C che corripone all uuale efinizione i baricentro i una ezione. Ipotizzano la preenza i un armatura comprea A a itanza al lembo uperiore e un armatura tea A a itanza al lembo uperiore, la riultante elle compreioni nell armatura comprea e in quella tea ripettivamente valgono: ' C ' = A' c T = A [ ε ] = A ε( ) = A εc [ ε' ] = A' [ ε( ' )] = A' ε [ ] Nelle ue relazioni preceenti i è fatto uo ella relazione i linearità che lega tra loro, a caua ella conervazione elle ezioni piane, le eformazioni a varie profonità nella ezione; con ε c, ε e ε i ono inicate ripettivamente le eformazioni al lembo maggiormente compreo ella ezione, in corriponenza elle armature compree e in corriponenza elle armature tee.

8 Lezione n. XX pag. XX.8 La eterminazione ella tenione elle armature, a caua ella conformazione el legame tenionieformazioni per l acciaio, è abbatanza emplice, in quanto ε fy e ε < εy f = εy f y e ε εy Una volta ricavate le tre riultanti e la loro poizione, i poono facilmente eterminare i valori elle caratteritiche i ollecitazione (cioè i N e M) alle quali ee anno luogo. E importante notare che, eeno in generale non nullo il valore ello forzo normale, il valore el momento riultante ipene al punto ella ezione ripetto al quale ci i riferice. I valori elle caratteritiche i ollecitazione ono normalmente riferiti al baricentro ella ezione: nel cao i una ezione in C.A. tuttavia il baricentro aume una poizione ivera a econa elle ipotei che i aottano circa il comportamento el calcetruzzo. In generale, infatti, i può penare i riferiri al baricentro ella ezione come e il calcetruzzo teo fornie un contributo all inerzia ella ezione (e allora i parla i poizione el baricentro in ezione interamente reagente), oppure valutarne la poizione in accoro all ipotei i aenza i reitenza a trazione nel calcetruzzo e quini tracurano il contributo all inerzia ella ezione elle fibre i cl che i trovano al i otto ell ae neutro (in queto cao i parlerà i poizione el baricentro in conizioni feurate o i ezione parzializzata). Ancora, i coniera peo (per emplicità i calcolo e per congruenza ripetto alle ipotei che peo i utilizzano nella moellazione ella truttura attravero la ola linea ae egli elementi trave) la poizione el baricentro el olo calcetruzzo in ezione interamente reagente, quini tracurano il contributo nella poizione el baricentro elle armature. Nel coro el proeguimento ella lezione, i coniererà queta ultima circotanza: quini, a eempio nel cao i ezione rettangolare i altezza h, i ipotizzerà i valutare le caratteritiche i ollecitazione riultanti nella ezione ripetto alla poizione pota a itanza h/ al lembo maggiormente compreo (inipenentemente alla preenza o meno i armature in zona comprea). Coì operano, inicano con G la itanza el baricentro alla fibra i cl maggiormente comprea, i ottengono le eguenti relazioni: N = C + C' T M = C ( G ' C ) + C' ( G ' ) T ( G ) Nelle relazioni preceenti i ono implicitamente conierati poitivi gli forzi normali i compreione e poitivi i momenti flettenti che comprimono la parte uperiore ella ezione. Nel cao in cui la itribuzione i tenioni corripona a una configurazione i rottura per la ezione, la coppia i valori (N,M) viene inicata con (N ru, M ru ), ove i tre peici inicano che i tratta i ollecitazioni i rottura (r), valutate in accoro alle tenioni i progetto (), in conizioni i tato limite ultimo (u). A titolo i eempio, e per illutrare le relazioni emplificate che vengono propote in molte elle attuali Normative, i conieri il cao i una ezione rettangolare i bae b, in cui i vogliano calcolare le caratteritiche i ollecitazione corriponenti alla poizione ell ae neutro riportata in figura (che corripone a una rottura lato calcetruzzo ).

9 Lezione n. XX pag. XX f c h Tenioni nel calcetruzzo: eempio per rottura lato calcetruzzo Si otterrebbe: 1 ( ) ( ) ( ) ε ξ ε ξ C = b ξ ξ = b.85 f ξ + ξ ε ε c c b.85 fc 1 in cui 1 è la profonità alla quale i attinge la eformazione el nel calcetruzzo compreo 4 1 = = e ove la funzione ε(ξ) è evientemente lineare ripetto a ξ ξ 7 ξ ε ( ξ) =.35 = ε Si ottiene quini, con qualche emplice paaggio, ( ) C ξ 7 ξ = ξ + ξ = b.85 c ( 4 7) = [ y y ] y + ξ = = ( ) oia (.85 ) (.8 ) C = b c Con paaggi analoghi (che non vengono riportati per brevità) 1 C = b c C In intei i è ottenuto 1 34 ( ξ) ( ξ) ξ ξ =... =.6 (.85 ) (.8 ) C b c.6 b C 1 4/7 3/7 (1) e quini con buona approimazione la itribuzione elle compreioni è equivalente (ia come riultante che come poizione ella riultante) a un rettangolo i altezza.8 a partire al lembo maggiormente compreo. ε ε ε' f c

10 Lezione n. XX pag. XX.1 Le relazioni ricavate i imotrano, a riultati perimentali, ufficientemente accurate anche in ituazioni ivere a quella riportata (a eempio quano, per maggiori profonità ell ae neutro, non ia abbia rottura lato calcetruzzo ma lato acciaio); quini l approimazione ell effettivo anamento ella itribuzione elle tenioni nel calcetruzzo compreo (generalmente rappreentato a un iagramma parabola-rettangolo) con un iagramma rettangolare equivalente è utilizzabile nei cai pratici i interee. A tale propoito la normativa attuale riporta che (al p.to el DM ) per la verifica locale elle ezioni, in alternativa al iagramma parabola rettangolo, la itribuzione elle compreioni può eere aunta uniforme con valori: -.85 f c e la zona comprea preenta larghezza cotante o crecente vero la fibra più comprea; -.8 f c e la zona comprea preenta larghezza ecrecente vero la meeima fibra; ulle eguenti altezze, a partire al lembo compreo: e h: altezza.8 ;.8 h e > h: altezza h.75 h Tale moo i proceere (oia l utilizzo i iagrammi rettangolari equivalenti) è peo inicato con il termine inglee i tre-block. 3/ f c.85 f c Approimazione ella legge parabola-rettangolo con lo tre-block Verifica ella ezione per ollecitazione compota i preo (o teno) fleione Nel cao in cui nella ezione agica una ollecitazione eterna caratterizzata a un valore i forzo normale N u (ove i peici inicano: che i tratta i ente ollecitante, che è un valore i progetto, u che la conizione è i tato limite ultimo) e i momento flettente M u, la verifica ella ezione conite nel controllare che il punto i coorinate (N u, M u ) caa all interno o ulla frontiera el ominio reitente ella ezione. Il proceimento conite quini nell ipotizzare le caratteritiche ella ezione (in termini geometrici, b, h, e, e in termini i armature, A e A ), cotruire per punti il contorno el ominio reitente e verificare che il punto (N u, M u ) caa all interno (o al maimo ul contorno) ello teo. Tutte le oervazioni vite in preceenza ulle poibili emplificazioni nel calcolo el ominio (cotruzione el ominio u un numero limitato i punti, utilizzo ella relazione i tre-block per la valutazione elle compreioni nel calcetruzzo) poono eere utilizzate al fine i renere la verifica maggiormente peitiva..8 ε f c tre-block C.4.6

11 Lezione n. XX pag. XX.11 Verifica ella ezione per ollecitazioni fleionali Nel cao in cui i ebba verificare una ezione che ebba opportare oltanto momento flettente, quini con un valore nullo ello forzo normale i progetto, la proceura i calcolo potrebbe limitari alla ola valutazione el punto el ominio i coorinate (, M ru ), ovviamente con M ru ello teo egno el momento ollecitante M u. La proceura che verrà illutrata nel eguito arà riferita, per emplicità, a una ezione rettangolare i bae b, altezza h, con armature al lembo compreo A (a itanza all etraoo ella ezione) e armature i area A in zona tea (con altezza utile, oia itanza elle armature alla fibra maggiormente ollecitata i calcetruzzo, pari a ). Ovviamente valutazioni analoghe poono eere effettuate anche per ezioni i caratteritiche ivere. Le quantità i armatura vengono peo riferite all area el calcetruzzo, in moo a conierare quantità aimenionali anziché imenionali. Si introucono quini i ue rapporti i armatura ρ (rapporto geometrico i armatura) e ω (rapporto meccanico i armatura) efiniti a: A A y ρ = ω = b b c le tee quantità con un apice (ρ e ω ) i inteneranno riferite all armatura comprea. Il rapporto i armatura (rapporto tra la quantità i armatura ipota in zona comprea e la corriponente in zona tea) verrà inicato con α A' α = A Inicano con la poizione ell ae neutro (ovviamente interno alla ezione, ata l aenza i forzo normale), i poono ricotruire le riultanti elle trazioni e elle compreioni utilizzano lo tre-block per il calcetruzzo (le itanze riportate i rifericono ripetto all etraoo ella ezione, oia alla itanza alla fibra i calcetruzzo maggiormente comprea): C = b.8.85 poizionata a =.4 ( ) ( ) ' f c C C ' = C' = A' poizionata a ' T = A poizionata a T = I valori i f e f i ottengono in funzione elle eformazioni ε e ε in corriponenza ella poizione elle armature, oia, inicano con ε c la eformazione el calcetruzzo alla fibra maggiormente ollecitata, ε' ' fy e ε' < εy ε ' = εc f ' = εy fy e ε' εy ε fy e ε < εy ε = εc f = εy fy e ε' εy Il valore i M ru i ottiene imponeno nulla la riultante ello forzo normale ulla ezione e valutano il momento reitente ripetto a un qualunque punto ella ezione (vito che la conizione N ru = permette i affermare che il valore el momento riultante riulterà lo teo ripetto a qualunque punto). Si avrà quini N M ru ru = = b C + C' T = b (.8 ) (.85c ) + A' ' = A (.8 ) (.85 ) (.4 ) + A' ' ( ' ) c Le equazioni appena critte conentono in teoria i riolvere il problema, in quanto alla prima i ricava la poizione i e quini alla econa il valore el momento reitente. Da un punto i vita

12 Lezione n. XX pag. XX.1 operativo è tuttavia neceario proceere per tentativi, in quanto i ue valori ella tenione f e f ipenono, in maniera non lineare, al valore i : i opera quini ipotizzano una poizione per, valutano i ue valori elle tenioni nelle armature, controllano la conizione N ru = fino a convergenza; una volta ricavato il valore corretto i (e quini la corretta conizione i rottura), i può proceere alla valutazione el momento reitente M ru. Il cao i armatura emplice Alcune conierazioni aggiuntive poono eere effettuate e i coniera la ezione con aenza i armatura comprea (quini A =, etta anche i emplice armatura ). In queto cao le relazioni i emplificano nelle eguenti: b (.8 ) (.85c ) = A = b (.8 ) (.85 ) (.4 ) M ru c e è poibile proceere per poizioni fiate ell ae neutro. Infatti eite una zona i variazione ella poizione ell ae neutro per cui l acciaio teo è icuramente a una eformazione uperiore ripetto a ε y, e quini in cui la tenione nell acciaio riulta pari a f y. A tal fine, i iniviua una poizione particolarmente ignificativa per l ae neutro in conizioni i rottura ella ezione, inicata con y, quella che corripone alla poizione per cui i raggiunge la eformazione ε y nell armatura tea, in conizioni ovviamente i rottura lato calcetruzzo. Si ha quini.35 y :.35 = ( y ): ε y y =.35 + ε y e tale poizione è fiata una volta celte le caratteritiche meccaniche ell acciaio. A eempio, nel cao in cui le armature iano cotituite a acciaio tipo FeB44k i avrebbe f y f yk 43 ε y = = = =.18 E γ E cioè pari circa all 1.8 ; i coneguenza y = = = ε y Quini e l ae neutro ha poizione comprea tra e.658, l acciaio teo è icuramente nervato, per cui la tenione riulta pari a f y. Di coneguenza la prima elle ue relazioni preceenti aume la forma ω b (.8 ) (.85c ) = A y.68 = ω =.68 E quini M M ru ru = b ω.8.68 ( 1. ω) = b 59 c (.85 ) 1.4 c ω.68 Inoltre, utilizzano le relazioni preceentemente ecritte, è poibile iniviuare, in funzione el valore el rapporto meccanico i armatura, la configurazione i rottura ella ezione:

13 Lezione n. XX pag. XX.13 Poizione ae neutro a rottura Caratteritiche ella rottura ella ezione Definizione Rapporto meccanico i armatura <.59 Rottura lato acciaio Campo elle eboli armature ω < < / < y Rottura lato calcetruzzo Campo elle meie armature.176 < ω < ω y > y Rottura lato calcetruzzo, Campo elle acciaio in campo elatico forti armature ω> ω y Nota: nel cao i utilizzo i acciaio FeB44k, i ue limiti y e ω y valgono ripettivamente.658 e.448. La celta el valore i ω pari a.176 conuce a una configurazione i rottura bilanciata, quini, in un certo eno, rappreenta la conizione ottimale i utilizzo ella ezione. Il valore i ω y, valore el rapporto meccanico i armatura al i opra el quale i arriva alla rottura ella ezione con acciaio ancora in campo elatico, riulta pari a y ω y =.68 Se l armatura ipota nella ezione uperae tale valore, l epreione per la eterminazione ella poizione ell ae neutro a rottura in conizioni i ola fleione riulterebbe la eguente (ricorano che, in queto cao, f =f y ε /ε y, e che ε =(-).35/).35 b (.8 ) (.85c ) = A y ε y e quini i trova riolveno tale equazione (i grao). E bene infine oervare che uualmente i preferice operare con ezioni che preentino, a rottura, una poizione ell ae neutro limitata alle eguenti quantità (*).1.45 e queto per ue iveri orini i motivi: - la limitazione inferiore (/ >.1) è ettata alla contatazione che (almeno per momento poitivo) la compoizione e la qualità el calcetruzzo nella parte uperiore ella trave può riultare peggiore i quella nelle retanti parti elle travi, ato che il getto avviene per gravità e che quini potrebbe aumentare la probabilità che la reitenza el getto in tale zona riulti inferiore a quella ipotizzata; inoltre tale limitazione garantice comunque (al i là el moello i calcolo) che gli allungamenti ell acciaio teo iano ufficientemente contenuti a garantire l aerenza tra acciaio e calcetruzzo; - la econa (/ <.45), riportata anche in molte elle attuali Normative (i vea il p.to el DM ) eriva alla neceità i conferire comunque un aeguata uttilità al calcetruzzo armato; al momento che ituazioni particolarmente profone ell ae neutro a rottura iniviuano ituazioni in cui una notevole porzione i calcetruzzo compreo, e quini la poibilità i potari vero meccanimi i rottura ella ezione maggiormente fragili, i richiee eplicitamente, a meno i non utilizzare moelli i calcolo più ofiticati o i iporre un aeguata armatura i confinamento atta a incrementare la uttilità ella ezione, i non conierare ituazioni a rottura in cui l ae neutro auma una poizione al i opra el limite tabilito. Di coneguenza, il range preferenziale i utilizzo el rapporto meccanico i armatura riulta.68 ω.36. (*) Tale limitazione è a riteneri valia per calcetruzzi i reitenza orinaria (f ck < 35 N/mm ); nel cao i calcetruzzi i reitenza uperiore (f ck < 35 N/mm ), tale limitazione va riotta al valore.35.

14 Lezione n. XX pag. XX.14 Il braccio ella coppia interna È i interee introurre anche una nuova granezza, enominata braccio ella coppia interna e inicata con la lettera z. Tale quantità rappreenta, rigoroamente olo nel cao i ezioni con armatura emplice, la itanza tra la riultante elle compreioni e quella i trazione, oia quella quantità che, moltiplicata per il valore ella riultante i compreione C (o i trazione T, ato che in fleione emplice tali quantità i equivalgono) fornice il momento reitente: M ru = C z( = T z) Si ha: z =.4 = 1.4 Dal momento che la poizione i / è collegata linearmente al valore el rapporto meccanico i armatura, i ottiene.4 z = 1.4 = 1 ω = ( ω).68 Nel range preferenziale i utilizzo el rapporto meccanico i armatura riulta quini z.8.96, e molto peo i utilizza l approimazione (inipenente al valore i ω) z.9 come riulterà eviente nei capitoli eguenti. La conizione i rottura bilanciata Si è già vito che in conizioni i rottura bilanciata la profonità ell ae neutro aume il valore =.59 Di coneguenza, uano lo tre-block per il calcolo ella riultante i compreione nel calcetruzzo (le itanze riportate i rifericono ripetto all etraoo ella ezione, oia alla itanza alla fibra i calcetruzzo maggiormente comprea) (.8 ) (.85 ) C = b poizionata a =.4 f c C T = A y poizionata a T = i ha N ru o anche N M ru ru = C T = b (.8.59 ) (.85c ) A y.176 b c A y (. ω) = b f 176 c h = C.4 + A y h b c h ω Nel cao in cui foe preente anche l armatura comprea, alle granezze preceenti i aggiunge una riultante i compreione C' = A' ' h ove f, tenione al livello elle armature compree, ipene al valore i ε

15 Lezione n. XX pag. XX.15 ε' ' fy e ε' < εy ε ' =.35 f ' = εy fy e ε' εy e quini, utilizzano formule analoghe a quelle vite in preceenza, = C + C' T N ru h h h Mru = C.4 + A' ' ' + A y La conizione i rottura bilanciata può eere utilizzata quano i cerchi i progettare una ezione che ebba opportare oltanto momento flettente, quini con un valore nullo ello forzo normale i progetto. In queto cao, inicano con M u il valore ello forzo normale i progetto, occorre iniviuare una ezione nella quale i abbia M ru M u, imponeno a eempio che la conizione i rottura equivalga a quella i rottura bilanciata. Tale conizione conentirebbe infatti il maimo fruttamento ei ue materiali, quini minimizzano la quantità i calcetruzzo e i armatura impiegata. E in queto cao poibile iniviuare una formula i progetto per la ezione: i ipotizzi, come primo tentativo, che l armatura comprea, in conizione i rottura bilanciata, i trovi a livello i eformazione tale a riultare nervata, cioè che '.59 ' ' ε ' = εc =.35 = ε y.59 In queto cao l equazione i equilibrio alla tralazione (aenza i forzo normale) i trauce in (.8.59 ) (.85 ) + A' A Nru = C + C' T = b c y y = o anche (introuceno il rapporto i armatura α e il rapporto meccanico i armatura ω) (.8.59) (.85) = ( 1 α) ω e quini. 176 ω = 1 α L epreione preceente conente, una volta fiato il rapporto i armatura (a eempio, A =.5 A, cioè α=.5), i tabilire la percentuale meccanica i armatura necearia a avere una rottura bilanciata ella ezione in conizioni i olo momento flettente. Imponeno la conizione i verifica ella ezione (quini che M ru M u ) e la conizione i equilibrio alla rotazione ripetto al baricentro ell armatura tea, i ha C (.4 ) + A' y ( ' ) Mu e con qualche paaggio b (.8.59 ) (.85 fc ) (.4.59 ) + A' y ( ' ) Mu ' Mu α ω 1 b c otitueno il valore i ω preceentemente trovato α α α α ' M 1 b ' M 1 b u c u c

16 Lezione n. XX pag. XX.16 α b fc ( ' ) Mu 1 α α.176 α.176 ' b fc Mu ( 1 α) ( 1 α) La relazione ricavata rappreenta una iequazione i econo grao nell incognita : fiano quini il valore ella bae ella ezione, el rapporto i armatura α e la poizione ell armatura comprea, è poibile ricavare il valore minimo i che garantice la verifica allo SLU in conizioni i rottura bilanciata; ucceivamente poi i efinice l ammontare ell armatura tea e comprea attravero la relazione in ω. La relazione preceente pere i ignificato quano α 1; è el reto abbatanza incongruente cercare i progettare in moo a ottenere la rottura bilanciata in una ezione con una forte armatura in zona comprea. Bati penare che nel cao A =A, cioè α=1, riulterebbe impoibile imporre contemporaneamente le ue conizioni N ru = (aenza i forzo normale) e =.59 (rottura bilanciata) in quanto i avrebbe una riultante elle compreioni nell armatura comprea (C ) uguale a quella i trazione nelle armature tee, per cui il termine C+C -T aumerebbe comunque valori > (a meno i non avere =), evienziano coì il fatto che la conizione i rottura con valori i > non può eere verificata in aenza i forzo normale. In generale, l approccio utilizzato riulta ignificativo oltanto nella zona in cui l armatura ipota in zona comprea riulti ufficientemente minore ella corriponente in zona tea. Il cao i armatura emplice Nel cao i ezione con armatura oltanto in zona tea, l epreione preceente i emplifica in.158 b M c u al momento che α=. è quini poibile proceere al progetto i una ezione emplicemente inflea in moo a ottenere una rottura bilanciata: baterà infatti imporre che il momento reitente uguagli (al minimo) il momento ollecitante per ottenere 1 Mu =.158c b o anche, con emplici paaggi, 3.5 Mu Mu = r' R ck b b ove i è poto 3.5 r ' = R ck Dalla relazione che lega il valore el rapporto meccanico i armatura con la profonità ell ae neutro a rottura i ottiene inoltre A y.176 b c ω = =.176 A = b c f y fruttano la relazione ricavata in preceenza, i può ricavare, con emplici otituzioni,.1 R A ck = f y aveno poto Mu b = t' Mu b

17 Lezione n. XX pag. XX.17 t' =.1 R f ck y Le ue formule riportate conentono, una volta fiate le caratteritiche ei materiali, i cegliere l altezza ella ezione e l area ell armatura in moo a reitere alla ollecitazione fleionale in conizioni i rottura bilanciata (^). Una formula approimata i progetto nel cao i preofleione nei pilatri Negli elementi verticali oggetti a preo fleione iamo in preenza generalmente i elementi con valori abbatanza elevati ello forzo normale e i olito con armature immetriche (oia A =A, α=1). In queto cao, noti i valori ello forzo normale e el momento flettente i progetto (N u, M u ), i può penare i impotare il calcolo in maniera analoga a quanto fatto in preceenza, per giungere a un preimenionamento ella imenione ella ezione. Ipotizzano i fruttare ia l armatura comprea che quella tea alla maima tenione (quini f =f =f y ), i ottiene C' = A' ' = A' T = A = A y y e quini T=C ; i coneguenza l equilibrio alla tralazione comporta che (imponeno l uguaglianza tra forzo normale reitente e forzo normale ollecitante) Nu = C + C' T = C Nu = b (.8 ) (.85c ) =.68c b cioè Nu =.68c b equazione che permette i valutare la poizione ell ae neutro. L equilibrio alla rotazione ripetto alla poizione i metà altezza ella ezione (che corripone anche al baricentro ella ezione interamente reagente, tante la uppota immetria elle armature) aume la forma h ' h ' ' h Mu =.68c b.4 + A y + A y h M ( ' u =.68c b.4 + A y ) Utilizzano le approimazioni ', h tanto più valie quanto minore è il copriferro ell armatura ripetto all altezza ella ezione, e utilizzano la efinizione i rapporto geometrico i armatura A ρ = b i può ricrivere l equazione preceente nella forma (^) I ue coefficienti r e t, che ipenono olo alle caratteritiche ei materiali impiegati, ono gli equivalenti agli tati limite ei coefficienti r e t che i utilizzano nel progetto econo il metoo elle tenioni ammiibili.

18 Lezione n. XX pag. XX fc b e.4 = ρ y b in cui i è poto Mu e = Nu e i è fruttata la relazione Nu =.68c b Si è coì giunti all equazione i econo grao in f ρ y + ( e.4 ) =.68c ove aume il valore ricavato in preceenza. L equazione appena introotta conente, una volta fiato un valore plauibile el rapporto geometrico i armatura (+), i ottenere, a caua ella approimazioni introotte, oltanto un preimenionamento ell altezza utile ella ezione: occorrerà quini, ucceivamente al progetto ella ezione, proceerne alla verifica econo quanto pecificato in preceenza. Infine, la proceura i preta a eere utilizzata oltanto quano il valore ell eccentricità e non riulti troppo elevato: in cao i eccentricità notevoli (e quini notevole preponeranza ella ollecitazione fleionale ripetto a quella aiale), converrà ottenere il preimenionamento ella ezione ipotizzano una rottura per fleione emplice e proceere ucceivamente alla verifica per preofleione. Precrizioni i normativa: armature minime La Normativa vigente riporta alcune precrizioni (contenute nella parte relativa alle regole pratiche i progettazione) riguaro le armature minime a iporre negli elementi in c.a. i uo corrente, in particolare travi e pilatri. Nel eguito i riportano le principali i tali limitazioni, rinviano al teto ella Normativa e alla relativa circolare eplicativa per un elenco puntuale elle varie precrizioni. Travi Nelle trutture inflee in elevazione la percentuale i armatura longituinale, nella zona tea, riferita all area totale ella ezione i conglomerato, non eve cenere otto lo.15 per barre a aerenza migliorata e otto lo.5 per barre lice. Tale armatura eve eere convenientemente iffua. Alle etremità elle travi eve eere ipota una armatura inferiore, convenientemente ancorata, in grao i aorbire, allo tato limite ultimo, uno forzo i trazione uguale al taglio. Sempre nelle travi evono eere ipote taffe (i vea uno ei ucceivi capitoli eicato al taglio) aventi ezione compleiva non inferiore a At = b (in cm / m) b con e b eprei in cm, e ove b rappreenta lo peore minimo ell anima ella trave e in cui i può porre, altezza utile ella ezione, pari a =.9 h con h altezza ella ezione. In ogni cao eve eere previto un minimo i tre taffe al metro e comunque pao non uperiore a,8 volte l altezza utile ella ezione. Tali taffe evono eere collegate a appoite armature longituinali. (+) Il valore i ρ riente comunque i alcune limitazioni impote alla Normativa, come pecificato nel paragrafo ucceivo. In fae i preimenionamento i può aumere un area pari all 1 % ella ezione effettiva (e quini ρ.5.1) e proceere al calcolo el pilatro.

19 Lezione n. XX pag. XX.19 In proimità i carichi concentrati o elle zone appoggio, per una lunghezza pari all altezza utile ella ezione a ciacuna parte el carico concentrato, il pao elle taffe non ovrà uperare il valore 1 l, eeno l il iametro minimo ell armatura longituinale. Pilatri Nei pilatri oggetti a compreione centrata o eccentrica eve eere ipota un armatura longituinale i ezione non minore i NS Al.15 fy ove N S è la forza normale i calcolo in eercizio per combinazione i carico rara e f y è la reitenza i calcolo ( ). L area ell armatura longituinale eve riultare comunque comprea fra lo.3% e il 6% ella ezione effettiva. In ogni cao il numero minimo i barre longituinali è quattro per i pilatri a ezione rettangolare o quarata e ei per quelli a ezione circolare, e il iametro elle barre longituinali non eve eere minore i 1 mm. Deve eere empre previta una taffatura pota a interae non maggiore i 15 volte il iametro minimo elle barre impiegate per l armatura longituinale, con un maimo i 5 cm. Tali taffe evono preentare un iametro non minore i 6 mm e i 1/4 el iametro maimo elle barre longituinali; inoltre le taffe evono eere chiue e conformate in moo a contratare efficacemente, lavorano a trazione, gli potamenti elle barre longituinali vero l eterno. Le funzioni principali volte alle taffe, nel cao i elementi prevalentemente comprei quali i pilatri, ono eenzialmente le eguenti: - impeire che le barre longituinali i intabilizzino; - confinare il calcetruzzo, quini miglioranone la reitenza e la uttilità in preenza i forti compreioni, limitano le poibilità i rotture i tipo fragile proprie i tali elementi trutturali. Ø taffe Ø /4 long 6 mm p 15 Ø 5 cm long φ taffe φ long Precrizioni i normativa per i pilatri p < almeno 1Ø1 per pigolo ( ) La circolare riporta una precrizione un po ivera, correggeno tale affermazione con l inicazione che N S è la forza normale i calcolo (allo tato limite ultimo).

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