Fondamenti di Informatica

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1 Corso di Fondamenti di Informatica Giorgio Satta Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 1 1

2 Rappresentazione Unità b = bit (binary digit) B = Byte = 8b Multipli K = 2 10 = [Kilo] M = [Mega] G = [Giga] T = [Tera] Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 2 Unita` elementare di informazione e` il bit, pari ad una variabile che assume valore su di un insieme binario. I calcolatori digitali trattano esclusivamente informazione codificata in forma binaria. Il livello di rappresentazione binario e` masherato all utente. Introduci la nozione di macchina a strati sovrapposti (Tosotatti, pg.3). 2

3 Rappresentazione Interi : Notazione posizionale base 2 alfabeto = {0, 1} N 2 = a n a n-1 a 1 a 0, n 0, a i alfabeto conversione dalla base 2 alla base 10 : esempio : 2 n a n + 2 n -1 a n a a = Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 3 Il sistema posizionale puo` essere utilizzato per basi diverse da quella decimale normalmente impiegata. 3

4 Rappresentazione Interi : Notazione posizionale base 16 alfabeto = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} N 16 = a n a n-1 a 1 a 0, n 0, a i alfabeto conversione dalla base 16 alla base 10 : esempio : 16 n a n + 16 n -1 a n a a 0 B7F = Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 4 La base esadecimale viene spesso utilizzata per rappresentare piu` agevolmente numeri binari. (Vedi anche base ottale.) 4

5 Rappresentazione Interi : Notazione posizionale base p alfabeto = {0, 1, 2,, p -1} N p = a n a n-1 a 1 a 0, n 0, a i alfabeto conversione dalla base p alla base 10 : p n a n + p n -1 a n p 1 a 1 + p 0 a 0 Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 5 Forma generale per la notazione posizionale in base arbitraria. 5

6 Rappresentazione Interi : Notazione posizionale base p conversione dalla base 10 alla base p input N algoritmo d log p N for i = 0 to d a i N mod p N N div p Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 6 La notazione n rappresenta la parte intera del numero n. Es: 8.6 equivale a 8. Nota che vengono utilizzate d + 1 cifre. L operatore div esegue la divisione intera tra due numeri. Es: 11 div 4 = 2. L operatore mod restituisce il resto della divisione intera tra due numeri. Es: 11 mod 4 = 3. 6

7 Rappresentazione Interi 10 p : Esempio p = 2, N = 87, d = log 2 87 = 6 a 0 = 1 N = 43 a 1 = 1 N = 21 a 2 = 1 N = 10 a 3 = 0 N = 05 a 4 = 1 N = 02 a 5 = 0 N = 01 a 6 = 1 N = Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 7 6 < log 2 (87) < 7. Cenno alla conversione binaria <-> esadecimale per quartine (Tosoratti pg. 27). 7

8 Rappresentazione Frazionari : Notazione posizionale base 2 alfabeto = {0, 1} N p = 0. a -1 a -2 a -n +1 a -n, n 1, a i alfabeto conversione dalla base 2 alla base 10 : esempio : 2-1 a a n +1 a -n n a -n = Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 8 Utilizzo il punto per separare la parte frazionaria dalla parte intera, come da notazione anglosassone. Assumo la parte intera sia 0. 8

9 Rappresentazione Frazionari : Notazione posizionale base p alfabeto = {0, 1, 2,, p -1} N p = 0. a -1 a -2 a -n +1 a -n, n 1, a i alfabeto conversione dalla base p alla base 10 : p -1 a -1 + p -2 a p -n +1 a -n +1 + p -n a -n Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 9 Forma generale. 9

10 Rappresentazione Frazionari : Notazione posizionale base p conversione dalla base 10 alla base p input N algoritmo i = -1 repeat a i N p N (N p ) - N p i i -1 until N = 0 l algoritmo potrebbe non terminare Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 10 La notazione n rappresenta la parte intera del numero n. Es: 8.6 equivale a 8. L espressione (N p ) - N p rappresenta la parte frazionaria del numero N p. Numeri razionali non periodici in una base possono diventare periodici in una diversa base. (Provare a convertire in base 2.) Se il prodotto della conversione risulta essere periodico, e` necessario fermare l esecuzione dell algoritmo. 10

11 Rappresentazione Frazionari 10 p : Esempio p = 2, N = a -1 = 1 N = 0.25 a -2 = 0 N = 0.50 a -3 = 1 N = Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 11 11

12 Rappresentazione Reali : Notazione floating point b = base (intero) S = +1 / -1 E = esponente (intero) F = mantissa (frazionario) conversione alla base 10 : S F b E Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 12 La mantissa puo` avere parte intera e/o frazionaria diversa da zero, a seconda delle convenzioni. 12

13 Rappresentazione Floating Point : Esempio b = 10, S = +1, E = 11, F = 3.49 conversione alla base 10 : Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 13 13

14 Interi senza segno su n bit conversione : N 10 N 2 aggiungo zeri a sinistra sino a n bit esempio (n = 3) : range : [ 0, 2 n -1 ] Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 14 Le successive rappresentazioni sono relative alla macchina. Mentre le rappresentazioni matematiche esaminate in precedenza non pongono limitazioni nella codifica, la macchina adotta una rappresentazione necessariamente finita per i numeri. Il metodo senza segno applica una semplice conversione a base binaria. Eventuali bit disponibili a sinistra vengono posti a 0. La nozione di range deriva dalla imposizione che la rappresentazione sia finita. 14

15 Modulo e segno su n bit conversione : N 10 N 2 aggiungo zeri a sinistra sino a n -1 bit a n = 0 se N 10 0 ; a n = 1 se N 10 0 esempio (n = 3) : range : [-2 n , 2 n ] Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 15 Il metodo modulo e segno applica una conversione binaria del modulo limitata agli n-1 bit piu` a destra. Eventuali bit disponibili a sinistra vengono posti a 0. Il bit piu` a sinistra, rappresentato qui da a n, codifica il segno. Il numero 0 ha due rappresentazione, dunque la codifica e` ridondante. La rappresentazione comporta inoltre alcuni problemi con l algoritmo di somma (vedi oltre). 15

16 Complemento a 2 su n bit conversione (traslazione asse negativi) : N 2 se N 10 0 ; (N n ) 2 se N 10 < 0 aggiungo zeri a sinistra sino a n bit esempio (n = 3) : range : [-2 n - 1, 2 n ] Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 16 Il metodo complemento a due applica una conversione binaria se il numero e` non negativo, altrimenti applica una conversione binaria sul numero traslato. Eventuali bit disponibili a sinistra vengono posti a 0. Cio` si applica solamente ai numeri positivi, poiche` i negativi comportano sempre l intera occupazione degli n bit disponibili. Il bit piu` a sinistra codifica il segno. Il numero 0 ha una sola rappresentazione. La rappresentazione e` monotona, cioe` procedendo da sinistra a destra nell asse i numeri rappresentati crescono, ad eccezione del salto dal massimo numero positivo rappresentabile al minimo numero negativo rappresentabile. 16

17 Modulo e segno 2 rappresentazioni per il valore 0 algoritmi di somma differenti a seconda del segno (non posso eseguire la somma per colonne) Complemento a 2 una sola rappresentazione per lo 0 (un valore in più disponibile nel range rispetto al modulo e segno) posso applicare l algoritmo di somma per colonne Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 17 Vantaggi del complemento a 2 rispetto al modulo e segno. Vedi oltre per l algoritmo di somma. 17

18 Complemento a 2 : Somma somma per colonne (1) Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 18 Algoritmo di somma per colonne. Parto dalla colonna piu` a destra, chiamata C 1, e procedo verso sinistra conteggiando gli eventuali riporti, sino all ultima colonna, chiamata C n. Osservare che la presenza di un riporto originato sulla colonna C n non identifica necessariamente un errore nella rappresentazione del risultato ottenuto. 18

19 Complemento a 2 : Overflow regola si ha overflow se e solo se esiste un solo riporto sulle colonne C n -1 e C n error error Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 19 Il fenomeno di overflow (trasbordo) indica che il range a disposizione della rappresentazione non e` sufficiente per rappresentare il risultato della somma corrente. La presenza di un riporto originato alla colonna C n non indica necessariamente un overflow. La presenza di overflow puo` essere rilevata conteggiando eventuali riporti presenti alle colonne C n-1 e C n. Tale conteggio deve essere pari ad 1 (dunque se il conteggio e` 2 oppure 0 non vi e` overflow). 19

20 Complemento a 2 : Cambio segno algoritmo : identificare l occorrenza più a destra del simbolo 1 complementare tutti i bit a sinistra dell occorrenza identificata esempio (n = 8) : Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 20 Algoritmo di complementazione o cambio segno: Parto dal bit piu` a destra e procedo verso sinistra sino ad incontrare la prima occorrenza del simbolo 1. Tutti i simboli piu` a sinistra di tale occorrenza devono venire complementati. Algoritmo alternativo (ed equivalente): Complemento tutti i bit e sommo 1 al bit piu` a destra. Posso utilizzare l algoritmo di cambio segno per ridurre operazioni di differenza ad operazioni di somma algebrica. Posso inoltre utilizzare nella conversione di un numero negativo dalla base decimale alla rappresentazionecomplemento a due. 20

21 Eccesso k su n bit consideriamo il caso k = 2 n -1 conversione (traslazione intero asse) : (N n -1 ) 2 aggiungo zeri a sinistra sino a n bit esempio (n = 3): range : [-2 n - 1, 2 n ] Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 21 L eccesso k non presenta alcuna discontinuita` nella crescita dei numeri rappresentati procedendo da sinistra verso destra. Diversamente dalle precedenti codifiche, per l eccesso k abbiamo a n = 0 se N 10 < 0, a n = 1 se N

22 Reali : Standard IEEE S = 0 / +1 E = intero eccesso M (binario) F = frazionario binario normalizzato in modo tale che il bit più significativo corrisponda ad a 0 e sia omesso conversione dallo standard ad un numero reale : -1 S 1.F 2 E - M numeri molto vicini in prossimità dello zero, molto distanti al crescere del valore assoluto Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 22 Standard per la virgola mobile stabilito dall organizzazione internazionale IEEE (Institute for Electical and Electronic Engineering) ed approvato dall ANSI (American National Standards Institute). Ciascun numero reale viene rappresentato in virgola mobile mediante un bit per il segno S, alcuni bit per l esponente E (rappresentato in eccesso M) ed alcuni bit per la parte frazionaria F che deve essere normalizzata in modo tale che il bit piu` significativo (il bit piu` a sinistra) corrisponda ad a 0. La regola di conversione al numero reale rappresentato e` quella sopra specificata. Vi e` una eccezione alla regola nel caso in cui E ed F siano composti di soli zeri: in tale caso il bit corrispondente a a 0 deve essere posto a 0. Cio` serve per poter rappresentare il numero reale 0.0, la cui rappresentazione risulterebbe altrimenti impossibile. Rappresentazione non uniforme: non vi e` una distanza fissa tra due numeri adiacenti nella rappresentazione. 22

23 Reali : Standard IEEE (cont.) le specifiche per la rappresentazione di S, E, M ed F variano a seconda delle diverse precisioni singola doppia quadrupla S (b) E (b) M (val) F (b) tot (B) Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 23 23

24 Standard IEEE : Esempio X IEEE = = conversione ad un numero reale : S = 1 E = = F = = X = (-1) = Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 24 24

25 Standard IEEE : Esempio X = = = conversione alla precisione singola : S = 0 E = = 132 = F = X IEEE = = Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 25 I processori in commercio adottano lo standard IEEE nella rappresentazione dei numeri in virgola mobile. Esiste pero` una differenza: mentre le architetture di tipo big endian riportano in memoria i singoli byte della rappresentazione nell ordine regolare, le architetture little endian invertono tale ordine. Esempi di architettura big endian sono Motorola, IBM, Sun ed altri processori RISC. Esempi di architettura little endian sono Digital ed Intel. 25

26 Codice ASCII ASCI = American Standard Code for Information Interchange utilizzato per la rappresentazione dei caratteri più comuni, divisi in alfanumerici: a -z, A -Z, 0-9 segni : + /? ; : comandi : return, tab,... Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 26 La codifica ASCII e` uno Standard ANSI. 26

27 Codice ASCII 7 bit utilizzati, valori nel range [ ] : non stampabili codificati in [0.. 31] A-Z codificati in [ ] a-z codificati in [ ] 0-9 codificati in [ ] valori consecutivi rispetto all ordine alfabetico Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 27 I valori [ ] sono detti ASCII esteso, e vengono utilizzati per carratteri di lingua non Inglese (caratteri accentati, ecc). Tali valori non sono utilizzati in modo standard (le codifiche cambiano a seconda del costruttore. 27

28 Unicode progettato per rappresetare i caratteri di tutte le lingue conosciute prima versione: codici a due Bytes seconda versione: codici rappresentati da una o due unità di codifica di 2 Bytes esempio : { = x007b ښ = x069a Fond. di Informatica Rappresentazioni binarie 28 28