UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa 1 Seconda prova intermedia 17 giugno 2013

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1 A Ricerca Operativa 1 Seconda prova intermedia Si è rotto un aereo che doveva trasportare un elevato numero di persone dalla città 3 alla città 8. Si rende quindi necessario utilizzare i posti disponibili in altri voli di linea per trasportare il massimo numero possibile di passeggeri da 3 a 8 utilizzando percorsi alternativi. In tabella è riportato un elenco di voli di linea tra coppie di città (da, a), ogni città è indicata con un numero da 1 a 8. Per ogni volo è riportato il numero di posti disponibili. Si assuma che per ciascuna città il volo in partenza sia sempre successivo al volo in arrivo, e con sufficiente anticipo perché un passeggero in arrivo possa sempre ripartire con uno dei voli in partenza. voli 1, 5 2, 1 2, 5 3, 1 3, 6 3, 7 4, 7 4, 5 4, 8 5, 8 6, 2 6, 3 7, 1 7, 5 7, 8 posti Calcolare il massimo numero di passeggeri che può raggiungere la città 8 a partire dalla città 3 utilizzando un opportuno algoritmo appreso durante il corso. 2. Dimostrare l ottimalità della soluzione trovata utilizzando una tecnica appresa durante il corso. 3. Illustrare la strategia adottata per risolvere il problema e per dimostrare l ottimalità della soluzione. Data la matrice di incidenza nodi/archi di un grafo non orientato in tabella: a b c d e f g h i j k l m n o Pesi Costruire la matrice di adiacenza del grafo. 2. Costruire un albero ricoprente di peso minimo tramite l algoritmo di Prim-Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono aggiunti gli archi all albero. 2. Partendo dal grafo in tabella, come varia la soluzione ottima se l arco (1, 4) ha peso 2? 3. Partendo dal grafo in tabella, come varia la soluzione ottima se l arco (6, 5) ha peso 4? Per i punti 2 e 3, usare le condizioni di ottimalità sui cammini (o sui cicli) per ricalcolare la nuova soluzione ottima, senza eseguire nuovamente l algoritmo. Descrivere la sensibilità del valore ottimo della funzione obiettivo, in un problema di PL, alle variazioni dei termini noti e alle variazioni dei costi delle variabili fuori base. Dimostrare i risultati descritti. Illustrare l interpretazione economica del duale nella PL.

2 B Ricerca Operativa 1 Seconda prova intermedia Tizio, Caio e Sempronio si sfidano in una gara di velocità: vince chi raggiunge per primo la città 8. Tizio correrà a piedi a partire dalla città 1, Caio correrà in bicicletta a partire dalla città 3 e Sempronio correrà in motorino a partire dalla città 6. Tutti e tre partiranno contemporaneamente e potranno utilizzare solo i collegamenti ammissibili (unidirezionali) tra le 8 città della regione rappresentati dagli archi orientati in tabella. In tabella è riportata anche la distanza in miglia per ogni arco. Sapendo che Tizio corre a 10 miglia/h, Caio a 20 miglia/h e Sempronio a 30 miglia/h, si vuole determinare il vincitore della gara. Archi 1, 5 2, 1 2, 5 3, 1 3, 7 4, 7 4, 5 4, 8 5, 8 6, 2 6, 3 6, 4 7, 1 7, 5 7, 8 Distanze Per ciascun partecipante alla gara, e utilizzando un opportuno algoritmo appreso nel corso, calcolare il percorso più breve per raggiungere la città 8 dalla rispettiva città di partenza, e in base a questo calcolo determinare il vincitore della gara. 2. Illustrare la strategia di soluzione adottata per risolvere il problema. In tabella sono riportati gli archi di una rete di flusso composta da 7 nodi 1 7. Per ogni arco è riportato un flusso iniziale e il valore della sua capacità massima. In particolare, 2 è il nodo sorgente e 7 è il nodo pozzo. Archi 1, 3 1, 4 2, 1 2, 3 2, 6 2, 7 3, 6 3, 4 4, 5 4, 6 5, 7 6, 5 6, 7 7, 2 Flussi Capacità Partendo dai dati in tabella, determinare se il flusso iniziale dal nodo 2 al nodo 7 è ammissibile. Se lo è, mostrare il flusso iniziale e determinare una soluzione ottima al problema del massimo flusso utilizzando l algoritmo di Ford e Fulkerson. Se non lo è, scaricare il flusso iniziale e risolvere il problema del massimo flusso utilizzando l algoritmo di Ford e Fulkerson. 2. Individuare un taglio di capacità minima tra i nodi 2 e 7. Evidenziare il taglio ottimo trovato. 3. Partendo dalla soluzione ottima trovata al punto 1, si determini il nuovo flusso massimo se la capacità dell arco (4, 5) è incrementata di 1 unità. Definire il problema di Flusso di costo minimo, illustrare un algoritmo noto per risolverlo e dimostrare che una base della matrice dei coefficienti del problema in forma standard corrisponde a un albero ricoprente della rete di flusso.

3 C Si è rotto un aereo che doveva trasportare un elevato numero di persone dalla città 3 alla città 8. Si rende quindi necessario utilizzare i posti disponibili in altri voli di linea per trasportare il massimo numero possibile di passeggeri da 3 a 8 utilizzando percorsi alternativi. In tabella è riportato un elenco di voli di linea tra coppie di città, ogni città è indicata con un numero da 1 a 8. Per ogni volo è riportato il numero di posti disponibili. Si assuma che per ciascuna città il volo in partenza sia sempre successivo al volo in arrivo, e con sufficiente anticipo perché un passeggero in arrivo possa sempre ripartire con uno dei voli in partenza. voli 1, 5 2, 1 2, 5 3, 1 3, 6 3, 7 4, 7 4, 5 4, 8 5, 8 6, 2 6, 3 7, 1 7, 5 7, 8 posti Calcolare il massimo numero di passeggeri che può raggiungere la città 8 a partire dalla città 3 utilizzando un opportuno algoritmo appreso durante il corso. 2. Dimostrare l ottimalità della soluzione trovata utilizzando una tecnica appresa durante il corso. 3. Illustrare la strategia adottata per risolvere il problema e per dimostrare l ottimalità della soluzione. È dato il problema primale di PL in figura. 1. Utilizzando l algoritmo del simplesso rivisto (fase 1 e fase 2) trovare una soluzione ottima del primale o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. 2. Scrivere il problema duale del primale dato. 3. Se al passo 1 è stata trovata una soluzione ottima, trovare la soluzione ottima del duale con le condizioni di ortogonalità. Altrimenti risolvere il duale con il metodo grafico dopo aver proiettato le variabili in eccesso con il metodo di Fourier-Motzkin. max 6x 1 + x x x2 + x3 6 x1 2x2 x3 = 4 x1 + x2 2 x1 libera, x2, x Descrivere la sensibilità del valore ottimo della funzione obiettivo, in un problema di PL, alle variazioni dei termini noti e alle variazioni dei costi delle variabili fuori base. Dimostrare i risultati descritti. Illustrare l interpretazione economica del duale nella PL.

4 D Tizio, Caio e Sempronio si sfidano in una gara di velocità: vince chi raggiunge per primo la città 8. Tizio correrà a piedi a partire dalla città 1, Caio correrà in bicicletta a partire dalla città 3 e Sempronio correrà in motorino a partire dalla città 6. Tutti e tre partiranno contemporaneamente e potranno utilizzare solo i collegamenti ammissibili tra le 8 città della regione rappresentati dagli archi in tabella. In tabella è riportata anche la distanza in miglia per ogni arco. Sapendo che Tizio corre a 10 miglia/h, Caio a 20 miglia/h e Sempronio a 30 miglia/h, si vuole determinare il vincitore della gara. Archi 1, 5 2, 1 2, 5 3, 1 3, 7 4, 7 4, 5 4, 8 5, 8 6, 2 6, 3 6, 4 7, 1 7, 5 7, 8 Distanze Per ciascun partecipante alla gara, utilizzando un opportuno algoritmo appreso nel corso, calcolare il percorso più breve per raggiungere la città 8 dalla rispettiva città di partenza, e in base a questo calcolo determinare il vincitore della gara. 2. Illustrare la strategia di soluzione adottata per risolvere il problema. È dato il problema primale di PL in figura. 1. Utilizzando l algoritmo del simplesso rivisto (fase 1 e fase 2) trovare una soluzione ottima del primale o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. 2. Scrivere il problema duale del primale dato. 3. Se al passo 1 è stata trovata una soluzione ottima, trovare la soluzione ottima del duale con le condizioni di ortogonalità. Altrimenti risolvere il duale con il metodo grafico dopo aver proiettato le variabili in eccesso con il metodo di Fourier-Motzkin. min 6x 1 x x + 2x x1 x2 + x4 = 2 2x1 + x2 2x3 + x4 = 6 2x2 + x3 + x4 = 0 x1, x2, x3, x Illustrare le definizioni di vertice e soluzione base ammissibile. Dimostrare che una soluzione ammissibile di un problema di PL in forma standard è un vertice del poliedro delle soluzioni ammissibili se e solo se è una soluzione base ammissibile.

5 E 24 aprile 2013 L acciaio è uno dei prodotti più facilmente riciclabili (e riciclati) al mondo. In effetti, è sufficiente fondere qualsiasi rottame di ferro per incenerire tutti gli eventuali residui plastici o di vernice contenuti nel rottame, restando così con solo metallo liquido. Il problema nasce in quanto è difficile separare i diversi metalli presenti nel rottame, per cui, insieme al ferro, si ritrovano nel metallo liquido anche rame, nichel, cromo e altri metalli. In diverse produzioni alcuni metalli sono desiderati e altri no. Ad esempio, nella produzione dell acciaio 18=10 (utilizzato nella produzione di pentole), si vuole avere il 18% di cromo ed il 10% di nichel nel prodotto finito, per cui l eventuale presenza di questi metalli nei rottami di ferro è altamente desiderabile, in quanto cromo e nichel sono molto più costosi sia dei rottami che dello stesso acciaio 18=10. Al contrario, il rame è un impurità che rovina le caratteristiche estetiche dell acciaio 18=10. Ansalmec ha di recente analizzato le caratteristiche di sei lotti di rottami di ferro, riportate in Tabella. Nella stessa tabella sono riportati anche il peso complessivo di ciascun lotto e il costo unitario di acquisto. L obiettivo per l azienda è produrre, al costo minimo, almeno 100 quintali di acciaio 18=10 con una presenza del 18% di cromo, 10% di nichel, almeno il 65% di ferro e al più un 1% di impurità. 1. Formulare il problema come problema di PL. 2. Utilizzando le condizioni di ortogonalità, dimostrare o confutare l esistenza di una soluzione ottima che utilizzi 30 q di Rott.1, 40 q di Rott.2, 20 q di Rott 3 e 10 q di Rott. 5. Componente Rott. 1 [%] Rott. 2 [%] Rott. 3 [%] Rott. 4 [%] Rott. 5 [%] Rott. 6 [%] Ferro Nichel Cromo Impurità Peso [q] Costo [ ] In tabella sono riportati gli archi di un grafo pesato composto da 8 nodi 1 8. Per ogni arco sono date le distanze (a, b) tra il nodo testa a e il nodo coda b. Archi 1, 5 2, 1 2, 5 3, 1 3, 7 4, 7 4, 5 4, 8 5, 8 6, 2 6, 3 6, 4 7, 1 7, 5 7, 8 Distanze Trovare l albero dei cammini di peso minimo dal nodo 6 verso tutti gli altri nodi utilizzando la versione efficiente dell algoritmo di Dijkstra. 2. Mostrare l albero dei cammini minimi e calcolare il peso del cammino minimo dal nodo 6 al nodo 8, e dal nodo 6 al nodo Ripetere il punto 1 partendo dai dati in tabella e ponendo il peso dell arco (5, 8) pari a 1. Definire il problema di Flusso di costo minimo, illustrare un algoritmo noto per risolverlo e dimostrare che una base della matrice dei coefficienti del problema in forma standard corrisponde a un albero ricoprente della rete di flusso.

6 F 24 aprile 2013 Ges Group è un rivenditore umbro specializzato nella distribuzione di carni avicole. L azienda è titolare di due magazzini refrigerati per lo stoccaggio di tale prodotto a Gubbio e Spoleto e di quattro punti vendita all ingrosso localizzati, oltre che presso i magazzini stessi, a Perugia e Terni. Le distanze chilometriche tra i magazzini refrigerati e i punti vendita sono riportate in Tabella. Presso i magazzini di Gubbio e Spoleto è disponibile una quantità di prodotto pari, rispettivamente, a kg e kg. Da parte dei punti vendita all ingrosso di Gubbio, Spoleto, Perugia e Terni pervengono domande di merce pari a 450, 820, 500, 600 kg rispettivamente. Si assuma che il trasporto sia realizzato tramite collegamenti diretti e con furgoni refrigerati di proprietà, a un costo chilometrico pari a 0,06 per ogni kg di prodotto trasportato. 1. Formulare il problema di soddisfare le domande a costo minimo come problema di PL; 2. Riformulare il problema come problema di flusso di costo minimo su una rete opportuna; 3. Risolvere il problema utilizzando il simplesso su reti. Magazzino Gubbio Spoleto Perugia Terni Gubbio Spoleto State applicando l algoritmo di Floyd e Warshall ad un grafo con 5 nodi, A E. Alla fine del passo 2 ottenete le matrici in figura (quella di sinistra indica i cammini minimi, quella di destra i predecessori). passo 2 A B C D E passo 2 A B C D E A A A A B A A B B B B B B A C C C C C B C D D D A B D D E E B E B B E 1. Effettuate i passi 3, 4 e 5 dell algoritmo, aggiornando entrambe le matrici ad ogni passo dell esecuzione. In presenza di cicli negativi arrestate l algoritmo e mostrate un ciclo negativo. 2. Se non trovate cicli negativi, mostrate i cammini minimi dal nodo E al nodo A, e dal nodo C al nodo D. 3. Sostituite la riga C con la riga e ripetete i passi 3, 4 e 5 dell algoritmo. In presenza di cicli negativi arrestate l algoritmo e mostrate un ciclo negativo. Descrivere la sensibilità del valore ottimo della funzione obiettivo, in un problema di PL, alle variazioni dei termini noti e alle variazioni dei costi delle variabili fuori base. Dimostrare i risultati descritti. Illustrare l interpretazione economica del duale nella PL.