1. Serie numeriche. Esercizio 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: n2 n 3 n ; n n. n n. n n (n!) 2 ; (2n)! ;

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1 . Serie umeriche Esercizio. Studiare il carattere delle segueti serie: ;! ;! ;!. Soluzioe.. Serie a termii positivi; cofrotiamola co la serie +, che è covergete: Pertato, per il criterio del cofroto asitotico, la serie è covergete.. Serie a termii positivi. Usiamo il Criterio del rapporto: a + a + + +! +! + +! + +! + 0, da cui segue il carattere covergete della serie.. Serie a termii positivi. Usiamo il Criterio del rapporto: a + a + + +!! + +! ,! da cui il carattere covergete della serie. 4. Serie a termii positivi; cofrotiamola co la serie +, che è covergete:!!!. Dal mometo che 0 e! 0, per il Criterio del cofroto asitotico la serie è covergete. Esercizio. Studiare il carattere delle segueti serie 4 + ; log ; + si +. Soluzioe.. Serie a termii positivi. Usiamo il Criterio della radice: a 4 + 4, + / dove si ricordi che b per ogi b R e + /. Relativamete a quest ultimo ite, basta osservare che +,

2 da cui segue + / / /. Di cosegueza, poichè / e /, per il Teorema dei carabiieri si ha ache + /. Mettedo isieme queste iformazioi si ottiee a + 4, da cui il carattere covergete della serie.. Dal mometo che 4 0 e log 0 per risultati geerali sul cofroto tra ifiiti, abbiamo a log log Pertato, poichè la serie è a termii positivi quidi o coverge o diverge e o è verificata la codizioe ecessaria per la covergeza ifatti la successioe a o è ifiitesima la serie diverge.. Serie a termii positivi. Osservado che a + si + + si, + cofrotiamo la serie co la serie geometrica + 0 che è covergete. Si ha + a + si +, + pertato la serie coverge per il Criterio del cofroto asitotico. Esercizio. Studiare il carattere delle segueti serie e / si ; 4 + ; 4 ; + + ; + arcta ;. Soluzioe.. Serie a termii positivi. Dal mometo che a e si e si /,

3 e per risultati geerali sui iti otevoli si ha e + si +,, coviee cofrotare la serie co la serie armoica geeralizzata è covergete. I particolare si ha a e si + + / / /, pertato la serie è covergete per il Criterio del cofroto asitotico.. Serie a termii positivi. Usado il Criterio della radice, si ottiee a e >, da cui la serie diverge.. Serie a termii positivi perchè?. Dal mometo che + + /, che 0, e ricordado il ite otevole arcta x + x per ogi successioe x 0, x 0, coviee u cofroto co la serie geometrica 0 che è covergete. I particolare si ha + + arcta + + arcta arcta + + e la serie coverge per il Criterio del cofroto asitotico Serie a termii positivi. Usado il Criterio della Radice, si ottiee + a e <, quidi la serie coverge. 5. Serie a termii positivi. Razioalizzado si ha a , perciò, ituitivamete, coviee u cofroto co la serie armoica, che diverge. I particolare si ha a pertato la serie diverge per il Criterio del cofroto asitotico.,

4 4 6 Serie a termii positivi perchè?. Usado l idetità a ed osservado che ,,, coviee il cofroto co la serie armoica geeralizzata che coverge. Ifatti si ha a + + da cui il carattere covergete della serie. + +, Esercizio 4. Studiare il carattere delle segueti serie: cos + log + + ; log +. Soluzioe. Etrambe le serie o soo a termii positivi; proviamo a studiare la covergeza assoluta che a sua volta implica la covergeza semplice.. Ricordado che cos, otteiamo a + log + +, pertato la serie a coverge per cofroto diretto co la serie +.. Osservado che a log + log + dove + log + log +, /, < coviee il cofroto tra la serie a e la serie, che è covergete. / Ifatti si ha a log / Pertato la serie log + coverge assolutamete.

5 5 Esercizio 5. x R: Studiare il carattere delle segueti serie al variare del parametro x cos ; log + x. +. La serie è termii positivi, quidi o coverge o diverge. Per x < 0 si ha cos x +, pertato o è soddisfatta la codizioe ecessaria per la covergeza: essedo a termii positivi, e deduciamo che la serie diverge. Si vede facilmete che la serie diverge ache per x 0. Cosideriamo quidi il caso x > 0. Ricordado il ite otevole. + cos, ricorriamo al cofroto co la serie armoica geeralizzata. x Ifatti, poichè da. risulta + x cos x + le due serie hao lo stesso carattere. I coclusioe la serie coverge per x > { covergete se x >, divergete se x. cos x e diverge altrimeti.. Osservado che x + 0, la serie è a termii positivi. Ioltre, x. x + +, da cui si ha a log + x x, + se x >, log se x, 0 se x <. Ricordado la codizioe ecessaria per la covergeza e ricordado che ua serie a termii positivi o coverge o diverge, abbiamo che la serie sicuramete diverge per x oppure per x. Quado < x <, basta osservare che da. si ha log + + x x + + log + x + x + +, pertato la serie ha lo stesso carattere della serie geometrica 0 x < quidi covergete. I coclusioe la serie coverge per x, e diverge altrimeti. x di ragioe

6 6 Esercizio 6. Studiare al variare del parametro x R la covergeza semplice ed assoluta delle segueti serie:!x ; x +. Soluzioe.. La serie coverge chiaramete per x 0. Se x 0, osservado che a!x! x, si ha.4 a + a x +! + +! x Ne segue che a +.5 x + a e. + Pertato, applicado il criterio del rapporto alla serie dei valori assoluti, si coclude che la serie coverge assolutamete per x < e. Quado ivece x > e, da.5 si ottiee.6 + a + a x e >. Ne segue che a + e quidi o è verificata la codizioe ecessaria per la covergeza: i coclusioe per x > e la serie o coverge, eache semplicemete. Ifie, se x e, da.4 abbiamo.7 a + a e +, ricordado che + e per ogi N. La successioe a risulta quidi crescete e di cosegueza o può essere ifiitesima. Se e deduce che ache i questo caso la serie o coverge. Riassumedo la serie coverge assolutamete per x e, e e o coverge altrove.. Cosideriamo la successioe dei valori assoluti a x +. Chiaramete per x > 0 abbiamo a +; i questo caso, o essedo verificata la codizioe ecessaria, la serie o coverge. Per x < 0, cofrotado la serie dei valori assoluti a co la serie covergete x otteiamo a x + x.. Quidi la serie risulta essere assolutamete covergete per x < 0. Ifie, per x 0, ci si riduce a studiare la serie a segi alteri.8 +.

7 7 Dal mometo che la successioe α : + è positiva, ifiitesima e decrescete ifatti per ogi N, dal Criterio di Leibiz discede la covergeza semplice di.8. Si oti che la covergeza o è assoluta, dal mometo che + + e la serie armoica è divergete. + + Esercizio 7. Dimostrare che per ogi p > vale la seguete implicazioe: a < + a p < +. Soluzioe. Ricordado la codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie ovvero + a 0 esiste u idice ν N tale che a < per ogi ν. Ne segue che per tali si ha ache a p < a per ogi p >. Pertato la coclusioe segue dal Teorema del Cofroto. Esercizio 8. Siao a e b tali che a < + e b < +. Si dimostri che le serie a b, a + b soo covergeti. Soluzioe. Ricordado che 0 < a b a + b a b, si ha.9 a b a b a + b. Pochè per ipotesi a < + e b < + da cui ache a + b < + da.9 e dal Criterio del Cofroto segue la covergeza assoluta di cosegueza ache semplice della prima serie. Questo i particolare implica che.0 a + b + a b < +. Relativamete alla secoda, osserviamo che 0 a + b a + b + a b ; pertato la coclusioe segue dal cofroto diretto co la serie i.0, che è covergete.

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