La mediana (distribuzione disaggregata) La mediana: esempio. Proprietà della mediana. x M x. min

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1 La mediana (distribuzione disaggregata) La mediana: esempio La mediana e di n numeri ordinati in senso non decrescente {y,,y } è: per dispari e = y (+)/2 per pari e in [y /2 ; y (/2)+ ] Se X è quantitativa, si calcola la semisomma e = [y /2 +y (/2)+ ] /2 odalità di mezzo: 5% delle osservazioni stanno sotto e 5% sopra L. Grilli - Statistica 23/24 7 umero di telefoni posseduti: successione ordinata: =5 dispari posizione unità mediana = 3 ediana = 2 Errore: scrivere che la mediana è 3 umero di telefoni posseduti : successione ordinata: = pari posizione unità mediane = 3 e 4 ediana = (2+3)/2 = 2.5 L. Grilli - Statistica 23/24 8 La mediana: esempio Proprietà della mediana =49 Posizione mediana = 25 Distribuzione per titolo di studio Analfab eti Alfabeti Element ari edia Diploma Laurea frequenza ediana = Elementari Internalità Centro di ordine x x min : x min e i e i Applicabile anche a variabili ordinali (esercizio: calcolare la mediana della successione ALTO, BASSO, EDIO, BASSO, BASSO) e resta invariata se si sostituiscono i termini x< e oppure x> e (cioè non risente di valori anomali) e max L. Grilli - Statistica 23/24 9 L. Grilli - Statistica 23/24 2 Calcolo della mediana: tramite la funzione di ripartizione Calcolo della mediana: dati raggruppati (ipotesi dell istogramma) X: numero atti aggressivi in un ora di gioco 38 bambini di 2/3 anni x j tot n j j F(x j ) ediana: primo valore di x j per cui vale F(x j ) >.5 in questo caso e =4 Attenzione: se esiste x j per cui vale F(x j ) =.5, allora la mediana è tra x j e x j+ L. Grilli - Statistica 23/24 2 Passo : trovare la classe mediana (x m-, x m ) Passo 2: per determinare il valore di e si sfrutta la seguente relazione e m e m m F ( ) Fx ( ) x h.5 e Estremo inferiore della classe mediana da cui si ricava la seguente espressione: x m.5 F( xm ) h m Densità della classe mediana L. Grilli - Statistica 23/24 22

2 edia vs mediana edia vs mediana edia e mediana sono entrambi indici di posizione indicano il centro della distribuzione La mediana divide la distribuzione in due parti uguali La media è il punto di equilibrio dell istogramma, come una bilancia, si ottiene sommando i valori e dividendo per il numero di valori Per trovare la media osservando un istogramma possiamo sfruttare la proprietà di baricentro dobbiamo trovare il punto in cui mettere un dito sotto l asse orizzontale per tenere in equilibrio la distribuzione (immaginando che i rettangoli abbiano un peso proporzionale alla loro area) La mediana divide l area dell istogramma in due parti uguali L. Grilli - Statistica 23/24 23 L. Grilli - Statistica 23/24 24 edia e mediana: speranza di vita dei mammiferi Il valore in cui l istogramma sta in equilibrio (media) è più grande del valore che divide l area in due parti uguali (la mediana) perché la distribuzione non è simmetrica Se la distribuzione fosse simmetrica media e mediana sarebbero uguali I valori anomali a destra tendono a far crescere il valore medio ma non hanno effetto sulla mediana Per esempio, se i valori della classe [35, 4) fossero spostati nella classe [45, 5) la mediana resterebbe uguale mentre la media sarebbe più grande! edia vs mediana e < Simmetria e = Asimmetria positiva Asimmetria negativa e > L. Grilli - Statistica 23/24 25 L. Grilli - Statistica 23/24 2 Pro e contro della mediana Usa solo in parte l informazione contenuta nei dati (l ordine ma non i valori) dati diversi possono avere la stessa mediana è un indice robusto, cioè non è influenzato dai valori estremi (outliers) From the Cartoon Guide to Statistics e = 39.5 = e = 39.5 = 43. L. Grilli - Statistica 23/

3 Quando non usare la mediana Esempio La mediana è poco informativa se il carattere è discreto con pochi valori distinti: in tal caso la mediana può assumere valori identici per distribuzioni piuttosto diverse Esempio: numero di gol segnati in 7 partite dai calciatori A, B e C Unità ediana edia A.57 B. C Country GDP per capita Carbon dioxide emissions per capita (tonnes) Internet users (per people) Australia Brazil China France Germany India Japan exico Russian Federation Sweden United Kingdom United States median mean L. Grilli - Statistica 23/24 29 L. Grilli - Statistica 23/24 3 Quantili Si fa riferimento alla favola Jack ed il fagiolo magico di Richard Walker La mediana lascia alla sua sinistra una proporzione di osservazioni pari a p=.5 (salvo arrotondamenti). a p può essere un qualunque numero tra e p =.5 ediana p =.25,.5,.75 Quartili p =.,.2,,.8,.9 Decili p =.,.2,,.98,.99 Percentili p Funzione di densità Pr(X<=x p ) -p F(x) 3 x p x p L. Grilli - Statistica 23/24,9,8,7,,5,4,3,2, Funzione di ripartizione p Esempi di quantili Calcolo dei quantili: tramite la funzione di ripartizione Calcolo dei quantili: dati raggruppati (ipotesi dell istogramma) X: numero atti aggressivi in un ora di gioco 38 bambini di 2/3 anni x j tot n j j F(x j ) Esempio, calcoliamo i quartili: dobbiamo trovare il primo valore di x j per cui vale F(x j ) > p, per p=.25,.5,.75 In questo caso Q=.3, Q2=.2 e Q3=.78 Attenzione: se esiste x j per cui vale F(x j ) = p, allora il p (,) x : pr X x F( x ) p [ p] [ p] [ p] ) Trovare la classe (x j-, x j ) in cui F supera p 2) Calcolare x x [ p] j p F( xj ) h j corrispondente quartile è tra x j e x j+ L. Grilli - Statistica 23/24 33 L. Grilli - Statistica 23/24 34

4 Esempio: decili di reddito in Scozia Annual income thresholds for different family types (income after tax and BHC) Scotland 2/ - Single person with no Couple with no Single person with aged 5 and 4 Couple with aged 5 and 4 UK median income (before housing costs) % of UK median income (before housing costs) - relative poverty threshold Scottish st income decile Scottish 2nd income decile Scottish 3rd income decile Scottish 4th income decile Scottish 5th income decile Scottish th income decile Scottish 7th income decile Scottish 8th income decile Scottish 9th income decile L. Grilli - Statistica 23/24 35 Esempio: trend del reddito USA Evolution of US household income at the 2th 5th 8th and 95th percentile from 97 to 2 in 2 constant (CPI-U-RS adjusted) dollars. Percentile th % 5th % 8th % 95th % th 8th 5th 2th 3 edie di potenze (momenti) edia quadratica s s x i i s = = media aritmetica s= 2 2 = q media quadratica s = - = a media armonica s = g media geometrica X s (X) f f / s Y (Y) edia aritmetica f(x)=x xi xi i i 2 : valore che sostituito agli termini della successione ne lascia invariata la somma dei quadrati /2 L. Grilli - Statistica 23/24 37 L. Grilli - Statistica 23/24 38 edia geometrica edia geometrica: esempio f(x)= log x g (logaritmo naturale) g exp log xi exp log xi exp(log xi ) i i i i x i g valore che sostituito agli termini della successione ne lascia invariato il prodotto g applicata ad una progressione geometrica (con dispari) fornisce il termine centrale della progressione ota: si dimostra che g lim s L. Grilli - Statistica 23/24 39 s La media geometrica consente di calcolare il tasso medio di crescita Esempio: un capitale investito per tre anni ha fatto registrare i seguenti rendimenti: 2%, 8%, %. Qual è il tasso di rendimento medio? C C.2.8. finale iniziale r 3 Ciniziale Obiettivo: trovare r tale che 3 r.2.8. r r.9857 (ovvero 9.8%) 3 edia geometrica dei fattori di capitalizzazione L. Grilli - Statistica 23/24 4

5 Problema edia armonica Un automobile da corsa fa due giri di pista, il primo ad una velocità di km/h e il secondo ad una velocità di 3 km/h Qual è la velocità media? f(x)=/x a x i i Si usa quando il reciproco di x ha un significato e l obiettivo è lasciare invariata la somma dei reciproci L. Grilli - Statistica 23/24 4 L. Grilli - Statistica 23/24 42 edia armonica: esempio Relazione tra le medie di potenze Tempo impiegato da tre falegnami per realizzare una sedia: h 2h 2h x (ore per una sedia) /x (sedie in un ora) 2 /2 2 /2 In un ora i 3 falegnami realizzano 2 sedie mediamente ognuno realizza 2/3 di sedia in un ora, ovvero per una sedia impiega 3/2 di ora (cioè un ora e mezzo) 3 3 a.5 2 x 2 2 i i L. Grilli - Statistica 23/24 43 Per una successione di valori strettamente positivi si possono calcolare tutte le medie di potenze Si dimostra che tra le medie di potenze esiste un ordinamento: Se s t allora s t con uguaglianza se e solo se la distribuzione è degenere (cioè i valori sono identici) Per quanto riguarda le medie più comuni, questo risultato implica che media quadratica (s=2) media aritmetica (s=) media geometrica (s) media armonica (s=) L. Grilli - Statistica 23/24 44 Quale media? Le medie calcolabili dipendono dal tipo di variabile: se nominale si può calcolare solo la moda, se quantitativa si possono calcolare moda, mediana e medie analitiche La scelta mediana vs medie analitiche dipende dalla asimmetria della distribuzione e dalla presenza di outliers La media analitica più comune è la media aritmetica Tuttavia in alcuni casi il principio di invarianza suggerisce l uso di una media diversa da quella aritmetica: es. la media armonica dei tempi lascia invariata la produttività totale, oppure la media geometrica lascia invariato il montante finale di un investimento a interesse composto L. Grilli - Statistica 23/24 45 L. Grilli - Statistica 23/24 4

6 edia aritmetica: proprietà associativa Esempio della proprietà associativa Se un collettivo statistico di unità viene suddiviso in L sottoinsiemi disgiunti aventi numerosità (), (2),, (L) e medie m (), m (2),, m (L), allora la media del collettivo può essere così calcolata Dunque la proprietà associativa afferma che la media generale si ottiene come media ponderata delle medie dei sottoinsiemi, dove i pesi di ponderazione sono le proporzioni dei sottoinsiemi In una classe l altezza media delle femmine è 7 cm, mentre l altezza media dei maschi è 7 cm: qual è l altezza media degli studenti della classe? Forse 73 cm? Sì, ma solo se maschi e femmine sono in egual numero! Supponiamo vi siano 5 femmine e 5 maschi: in tal caso l altezza media è 7*5/2+7*5/2 = 74.5 Altro esempio: calcolare il reddito medio nazionale a partire dai redditi medi regionali L. Grilli - Statistica 23/24 47 L. Grilli - Statistica 23/24 48 Trasformazioni di media e mediana Abbiamo visto che la media aritmetica di una trasformazione lineare dei dati è uguale alla trasformazione lineare della media aritmetica originale; questa proprietà vale solo per trasformazioni lineari: Y=f(X) Y = f( X ) Y=g(X) Y g( X ) se f è lineare se g non è lineare Ad esempio, la media aritmetica del logaritmo naturale dei dati è diversa dal logaritmo naturale della media originale. Per la mediana, invece, vale la seguente proprietà: Y=h(X) ed Y = h(ed X ) se h è monotona ota: una funzione lineare è un caso speciale di funzione monotona (una funz. monotona crescente preserva l ordinamento, mentre una funz. monotona decrescente inverte l ordinamento, in entrambi i casi l unità mediana è invariata) originale lineare monotona non monotona somma media mediana *(media). +.5*(mediana) 9. log(media) 2.99 log(mediana) 2.89 (media-7)^2 9. (mediana-7)^2. L. Grilli - Statistica 23/24 49 L. Grilli - Statistica 23/24 5