Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti:

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1 Minori di un mtrice Si A K m,n, si definisce minore di ordine p con p N, p<minimo{m,n}, estrtto d A un mtrice ottenut togliendo d A m-p righe ed n-p colonne. Osservzioni: è evidente che un minore di ordine p è un sottomtrice qudrt di ordine p estrtt d A in qunto rimngono esttmente p righe e p colonne. In generle esistono più minori di ordine p estrtti in qunto è possibile togliere d A righe e le colonne differenti. Esempio Dt l mtrice E estrimo due minori di ordine differenti: Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-

2 ,6 E R 5 p, m e n6: dobbimo togliere m p - righe e n p 6 colonne. togliendo l prim rig, l second, l qurt e l quint colonn si ottiene: M M R b togliendo l second rig, l prim, l terz e l qurt colonn si ottiene: M M R Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-

3 I minori di ordine sono numerosi Csi prticolri: i minori di ordine che si possono estrrre d E sono 6 e quelli di ordine sono.. Dt un mtrice A M n K qudrt di ordine n, indichimo con A i,j il minore di ordine n- di A ottenuto togliendo d A l i-esim rig e l j-esim colonn. Esempio,, A M,, K Per i,j, i minori estrtti di ordine sono i quttro A i,j M K: Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-

4 A,,, A,,, A,, e A,,. Esempio,,, A,,, M K,,, Per i, j,, i minori estrtti di ordine sono i nove A i,j M K:,,, M K,, A,,, M K,, A,,, M K,, A,,, M K,, A Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-

5 Il erminte di un mtrice qudrt Si A M n K un mtrice qudrt di ordine n, definimo erminte di A e lo indichimo con A o A, l elemento di K definito ricorsivmente nel seguente modo: Se n llor l mtrice è del tipo A, e A:,. Se n>, supponendo di sper clcolre i erminnti delle mtrici qudrte di qulsisi ordine k con k<n-, definimo per ogni coppi di indici i,j con i,j,,n il complemento lgebrico di i,j come lo sclre Γ i,j Γ i,j : - ij A i,j e il erminnte come: A:, Γ,, Γ,,n Γ,n sviluppo del erminnte seguendo l I rig di A. Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-5

6 Clcolo del erminnte di mtrici qudrte di ordine Dt l mtrice:,, A, M, K Γ, : - A,, Γ, : - A, -, llor A, Γ,, Γ,,, -,, Esercizio A M R - Γ, : - A,.. Γ, : - A, llor A, Γ,, Γ,.. Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-6

7 Esercizio Prim di cercre un formul per il erminnte delle mtrici qudrte di ordine clcolimolo per B M R B: b, Γ, b, Γ, b, Γ, B Γ, Γ, - Γ, d ltr prte: Γ, : - B, /- / Γ, : - B, - /- -/ Γ, : - B, - Quindi: B..-.. Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-7

8 Clcolo del erminnte di mtrici qudrte di ordine,,, A,,, M K,,, Γ, : - A, Γ, : - A, Γ, : - A, m A,,,,, -,,,, A,,,,, -,,,, A,,,,, -,,,, Γ, : - A,,, -,, Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-8

9 Γ, : - A, -,, -,, Γ, : - A,,, -,, infine A:, Γ,, Γ,, Γ,,,, -,, -,,, -,,,,, -,,,,,,,,,,, -,,,,,,,,, Per ricordrsi si può utilizzre il seguente grfico:,,,,,,,,, -, È possibile utilizzre questo metodo di Srrus,, ricordndosi che vle solo ed esclusivmente per il clcolo di erminnti di mtrici l mssimo di ordine.,,,,,, Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-9

10 Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9- Esercizio Clcolre il erminnte di C M R Clcolimo il erminnte sviluppndolo seguendo l I rig: C: c, Γ, c, Γ, c, Γ, c, Γ, Γ, Γ, - Γ, - Γ, - C -,, Γ C -,, Γ

11 Γ, - C, -8 5 Γ, - C, C Primo teorem di Lplce Dt un mtrice A M n K qudrt di ordine n il erminnte di A è: A i, Γ i, i, Γ i, i,n Γ i,n Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-

12 n h i, h Γ i, h K I teorem di Lplce, primo enuncito per ogni i,,n fissto sviluppo secondo l i-esim rig A,j Γ,j,j Γ,j n,j Γ n,j n h h, j Γ h, j K I teorem di Lplce, secondo enuncito per ogni j,,n fissto sviluppo secondo l j-esim colonn. Conseguenze importnti Potendo scegliere un qulsisi rig o colonn di un mtrice qudrt converrà selezionre quell con il mggior numero di zeri. Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-

13 Se un rig o un colonn contiene tutti zeri, llor l mtrice vrà erminnte nullo. Esercizio Clcolre il erminnte di D M R Clcolimo il erminnte sviluppndolo seguendo l II rig perché contiene il mggior numero di zeri: D: d, Γ, d, Γ, d, Γ, d, Γ, m l unico complemento lgebrico che vle l pen di clcolre è quello di d, : Γ, Γ, - D Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-

14 Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9- Allor D: Γ,. Γ, Γ,. Esercizio 5 Clcolre il erminnte di E M 5 R Clcolimo il erminnte sviluppndolo seguendo l I colonn perché contiene il mggior numero di zeri: E: e, Γ, e, Γ, e, Γ, e, Γ, e 5, Γ 5,.. Γ,

15 Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-5 Or clcolo questo erminnte sviluppndolo sull I colonn nuovmente perché contiene il mggior numero di zeri Γ ,. Dunque il erminnte di E è. Esercizio 6 Clcolre il erminnte di F M 5 R

16 Clcolimo il erminnte sviluppndolo seguendo l I colonn perché contiene il mggior numero di zeri: F: f, Γ, f, Γ, f, Γ, f, Γ, f 5, Γ 5, f, Γ, Γ, Γ, continundo sviluppre seguendo le I colonne che vi vi incontrimo si ottiene: Γ, - -. Dunque il erminnte di F è. Osservzione Dt un mtrice A M n K qudrt di ordine n tringolre superiore, il erminnte di A è dto Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-6

17 Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-7 dl prodotto degli elementi dell digonle principle: A,, n,n. Inftti continundo sviluppre il erminnte rispetto ll prim colonn si ottiene: n n n n n A,,,,,,, L O O M O Allo stesso risultto si perviene nche nel cso l mtrice si tringolre inferiore, sviluppndo il erminnte sull prim rig. Esercizio 7 Clcolre il erminnte di 5 G M 5 R

18 Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-8 Clcolimo il erminnte sviluppndolo seguendo l IV rig perché contiene il mggior numero di zeri: G:g, Γ, g, Γ, g, Γ, g, Γ, g,5 Γ,5 Γ, - Γ, , Γ -- 9 mentre..., Γ

19 Lezione - Esercitzioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-9 Infine G Γ, - Γ,.... Esercizi d svolgere Clcolre i erminnti di C, -8 - B, - - A R M 5 E, 6 D M R 5 5 G, F M R

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