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1 CopitoTotale_2Feb_tutti_20.nb L Sia data una distribuzione di carica positiva, disposta su una seicirconferenza di raggio R con densità lineare di carica costante l. Deterinare : al l espressione del capo elettrico nel punto O. bl Supponendo poi che la distribuzione di carica ruoti attorno ad O con velocità angolare costante w = w 0 ê, deterinare l espressione del capo induzione agnetica nel punto O. Soluzione: a) Chiaiao q l'angolo che fora R con il seiasse positivo dell'asse Y. Consideriao la carica infinitesia relativa all'arco di circonferenza R dq : dq = l R dq Questa carica esercita in O un capo elettrico infinitesio pari a d E = l R dq ÅÅ r`, con r` il versore radiale che da dq R 2 punta in O. Si nota per sietria che il capo deve essere orientato orizzontalente, cioè lungo il verso positivo dell'asse delle X. Infatti i contributi verticali lungo Y si annullano tenendo conto di tutti i contributi per 0 q p. Quindi a conti fatti, di d E ci interessa soltanto la coponente lungo X, ovvero de x = l R dq E tot = Ÿ 0 p l dq ÅÅ sin q. R 2 R sin q i ê = l R Ÿ 0 p sin q dq i ê = l R H-cos p + cos 0L i ê = l 2 p e 0 R i ê b) La seicirconferenza si ette in rotazione attorno all'asse Y con velocità angolare w 0 in odo antiorario. Quindi ciascuna carica infinitesia pria identificata fora una corrente infinitesia di = ÅÅ dq T, con T il periodo di rotazione, ovvero T = w 0 2 p, quindi d i = l R dq w 0 ÅÅÅ. 2 p Si noti che il oto di ciascuna carica infinitesia dq individua una relativa spira circolare perpendicolare all'asse Y, di raggio R sinq. In pratica, il capo cercato sarà la sovrapposizione di tutti i capi generati in O da tali spire. Pria di tutto consideriao il capo di una spira generica, posta da un angolo q. Utilizzereo la legge di Laplace: per un eleento dl della spira, in O il capo vale : d B HqL = 0 4 p d i dl ä r = 0 r 3 l R dq w 0 dl ÅÅÅ ä R 4 p 2 p R 3 Notiao che per costruzione dl e R sono sepre perpendicolari; per la regola della ano destra si nota che integrando su tutta la spira l'unico contributo che riane è diretto nel verso positivo dell'asse Y, e quindi d B HqL = 0 ÅÅÅ l R dq w 0 4 p 2 p 2 p R sin q R R 3 ê = 0 4 p l dq w 0 sin q ê Di conseguenza, integrando su q con 0 q p si trova: B tot = 0 l w 0 2 p ê.

2 d B HqL = 0 ä r 4 p d i dl = r 3 0 l R dq w 0 4 p 2 p ÅÅÅ dl ä R R 3 CopitoTotale_2Feb_tutti_20.nb Notiao che per costruzione dl e R sono sepre perpendicolari; per la regola della ano destra si nota che integrando 2 su tutta la spira l'unico contributo che riane è diretto nel verso positivo dell'asse Y, e quindi d B HqL = 0 ÅÅÅ l R dq w 0 4 p 2 p 2 p R sin q R R 3 ê = 0 4 p l dq w 0 sin q ê Di conseguenza, integrando su q con 0 q p si trova: B tot = 0 l w 0 2 p ê. 2) In una certa regione di spazio in cui non vi sono capi elettrici sono presenti i due capi vettoriali V Æ = AIx 2 y z iè - x y 2 z è + x 2 y 2 kèèm e V Æ 2 = BIx y z iè - x yz è M, dove A e B sono costanti. Deterinare: a) l espressione del gradiente della grandezza V Æ V Æ 2 ; b) quale dei due capi è un capo induzione agnetica e la corrispondente espressione della densità di corrente elettrica. Soluzione a) V Æ V Æ 2 = A B H x 3 y 2 z 2 + x 2 y 3 z 2 L Quindi J V ÿ V 2 N = A B I ÅÅ x ê i + ÅÅ y ê + ÅÅ z êê k M H x 3 y 2 z 2 + x 2 y 3 z 2 L = = AB 8H3 x 2 y 2 z x y 3 z 2 L iê + H2 x 3 y z x 2 y 2 z 2 L êê + H2 x 3 y 2 z + 2 x 2 y 3 zl kêê < b) Un capo di induzione agnetica è tale se ÿ B = 0, quindi occorre effettuare i seguenti prodotti scalari: - I ÅÅ x ê i + ÅÅ y ê + ÅÅ z êê k M ÿ V = 2 x y z - 2 x y z = 0 ; quindi V Æ è un capo di induzione agnetica - I ÅÅ x ê i + ÅÅ y ê + ÅÅ z êê k M ÿ V 2 = y z - x z ¹ 0 ; a patto che y x e che z 0, e quindi in genere non è un capo di induzione agnetica A questo punto, la relazione che lega il capo di induzione agnetica alla densità di corrente ci è data dalla IV equazione di Maxwell: ä B = 0 J c + 0 e 0 ÅÅ t E Attenzione che il testo indica che siao in una regione in cui non ci sono capi elettrici, di conseguenza la corrente di spostaento è nulla e J c = ÅÅ o ä B = ÅÅ 0 I ÅÅ x ê i + ÅÅ y ê + ÅÅ z êê k M ä V = = A 0 x 2 y + x y 2 L iê + H x 2 y - 2 x y 2 L êê - H x 2 z + y 2 zl kêêd Una carica puntifore positiva di assa = 0-6 g e carica q=2 nc si trova inizialente fera all interno di un tubo circolare vuoto, ad una distanza R = dal centro del tubo (vedi figura). Nel tubo è presente un capo elettrico E = E 0 n con E 0 = ÅÅÅ V/, entre n è un versore tangente alla circonferenza di raggio R, orientato in odo 2 p R destrorso. Nel tubo è presente anche un capo agnetico B = B 0 k dove k è un versore perpendicolare uscente dal piano in cui giace il tubo. Supponendo che la carica descriva una traiettoria circolare di raggio R, deterinare: a) l espressione della forza totale agente sulla carica nell istante iniziale. b) l espressione di B 0 in funzione del tepo; c) il nuero di giri che la carica deve copiere per portarsi ad un energia cinetica TC=0-6 J.

3 0 piano in cui giace il tubo. Supponendo che la carica descriva una traiettoria circolare di raggio R, deterinare: a) l espressione della forza totale agente sulla carica nell istante iniziale. CopitoTotale_2Feb_tutti_20.nb b) l espressione di B 0 in funzione del tepo; 3 c) il nuero di giri che la carica deve copiere per portarsi ad un energia cinetica TC=0-6 J. Soluzione : a) La fora generica della forza applicata su una particella carica in presenza di un capo elettrico E ed uno di induzione agnetica B è la seguente (trascurando ovviaente la forza di gravità!!!!!): F = q JE + v ä B N = F tang + F centripeta Inizialente la particella viene introdotta da fera nell'acceleratore, quindi v H0L = 0, e di conseguenza, all'istante iniziale, la forza agente sulla particella vale F = F tang = q E, di intensità pari a 2 nc Å V 2 p ~ N. b) Supponiao che la posizione della particella sia individuata dall'angolo q che cresce in direzione oraria tale che q (t=0)= 0. Traite seplici considerazioni cineatiche è possibile ricavarsi la relazione che lega q al tepo. Tali considerazioni fanno parte del prograa di Fisica, e si dovrebbero dare per scontate. Tuttavia si riportano qui per chiarezza: Il testo ci dice che la particella copirà rotazioni sepre alla distanza R dal centro del tubo. È quindi possibile scrivere il vettore posizione della particella coe r = R Hcos q ê i + sin q ê L, dove l'unica variabile che dipende dal tepo è q = q(t) Derivando rispetto al tepo si ottiene r = R q H-sinq iê + cosq ê L = R q nêê, con nêê il versore tangenziale. Se derivo ancora rispetto al tepo, si ottiene:.. r = R q.. H-sinq iê + cosq ê L + R q 2 H-cosq iê - sinq ê L = R q.. nêê + R q 2 êêê u c, ovvero l'accelerazione della particella è la coposizione di due parti ortogonali: l'accelerazione tangente alla traiettoria R q.., e l'accelerazione centripeta R q 2. Quindi posso scrivere: R q.. = q E 0 Å, da cui q.. = q E 0 R fl q = q E 0 R t fl q = q E 0 2 R t2 A questo punto ricordiao che l'unica forza che fa lavoro è la F tang, e quindi, per il teorea delle forze vive, tenendo conto che lo spostaento infinitesio della particella è d l 2 v 0 2 HtL = 0 q F tang ÿ R q nêê = q E 0 R q = q E 0 R q E 0 2 R t2 dove v 0 HtL è il odulo della velocità lineare della particella all'istante generico t Da cui v 2 HtL = H q E 0 tl2 fl vhtl = q E 0 t. = R dq n êê, e sostituendo il valore di q appena trovato si ha: Ricordiao ancora una volta che la traiettoria della particella è lungo la circonferenza di raggio R, antenuta tale dall'accelerazione centripeta indotta dal capo agnetico B (perpendicolare a v): F centripeta ÅÅ ƒ ƒ = q vhtlä B Å ƒ ƒ = ÅÅ q vhtl B = v2 HtL ÅÅ R,

4 2 v 0 2 HtL = 0 F tang ÿ R q nêê = q E 0 R q = q E 0 R q E 0 2 R t2 CopitoTotale_2Feb_tutti_20.nb dove v 0 HtL è il odulo della velocità lineare della particella all'istante generico t 4 Da cui v 2 HtL = H q E 0 tl2 fl vhtl = q E 0 t. Ricordiao ancora una volta che la traiettoria della particella è lungo la circonferenza di raggio R, antenuta tale dall'accelerazione centripeta indotta dal capo agnetico B (perpendicolare a v): F centripeta ÅÅ ƒ ƒ = q vhtlä B Å ƒ ƒ = ÅÅ q vhtl B = v2 HtL ÅÅ R, da cui vhtl = q B R ÅÅÅ che ci perette di ottenere: = q E 0 Å t B(t) = E 0 t R. c) Ad ogni giro, la particella acquisisce un'energia pari a q E 0 2 p R = q V = J. Quindi per arrivare a 0-6 J la 0 particella deve fare Å -6 = 500 giri ) Una spira rettangolare di lati a e b giace sullo stesso piano d un filo rettilineo indefinito percorso dalla corrente elettrica i =k t, con k una costante nota e positiva. I due lati della spira lunghi b sono paralleli al filo (da assuersi coe asse y del riferiento cartesiano nel piano) e all istante t=0 ne distano rispettivaente d e (d+a). La spira si uove di oto traslatorio rettilineo e unifore sul piano, allontanandosi dal filo nella direzione dell asse x con velocità V = V 0 i antenendo i lati costanteente paralleli a se stessi. Deterinare: a) il verso in cui circola la corrente nella spira; b) l espressione del flusso F(B) del capo agnetico concatenato con la spira al generico istante t. c) la circuitazione lungo il bordo della spira del capo elettrico indotto. Soluzione. Per rispondere al quesito a) occorre pria trovare la risposta al quesito b). Infatti, per deterinare il senso di circuitazione della corrente, occorre valutare la variazione del flusso del capo B attraverso il circuito. Tale flusso dipende sia dal oto del circuito che dalla variazione della corrente nel filo. b) FJB N = B ÿ S sup circuito con B = p r ihtl êê k e ds = - b dr kêê, scegliendo coe norale alla spira un versore allineato con il capo B. Si calcola allora FJB N = 0 2 p k t r f b r Ÿ ri r = 0 2 p b k t lni r f Å M r i

5 b) FJB N = con sup circuito B ÿ S CopitoTotale_2Feb_tutti_20.nb 5 B = p r ihtl êê k e ds = - b dr kêê, scegliendo coe norale alla spira un versore allineato con il capo B. Si calcola allora FJB N = 0 2 p k t r f b r Ÿ ri r = 0 2 p b k t lni r f Å M ricordando che r i = V 0 t + d, r f = V 0 t + d + a r i FJB N = 0 2 p b k t lni V 0 t+d+a Å Å V 0 t +d M. a) possiao quindi deterinare il verso di circuitazione della corrente indotta. Con riferiento al flusso deterinato nel punto b) si possono fare le seguenti considerazioni: - per t =0, F =0 ; - per t, si ha una indeterinazione del tipo 0, infatti k t, entre lni V 0 t+d+a Å Å V 0 M 0. Coe si può procedere? t +d Possiao ricondurre il tutto alla fora indeterinata Å riscrivendo il flusso coe FJB N = 0 b k 2 p t. lni V 0 t+d+a V 0 t +d M- A questo punto posso ricorrere al teorea dell'hopital, secondo cui li t f HtL f = li ' HtL ghtl t. g ' HtL Si diostra quindi ( e questa inforazione veniva fornita durante il copito - fatevi il conto per controllo) che li 0 t 2 p r b k t lni V 0 t+d+a Å Å V 0 t +d M = 0 2 p r b k ÅÅ a V 0. Questo significa che FJB N cresce fino ad un valore asintotico. Coe cosnseguenza di ciò, nel circuito si deve indurre un capo di induzione agnetica diretto in direzione opposta B, ovvero nel verso positivo dell'asse Z, e pertanto la corrente indotta deve circolare in verso ANTIORARIO. c) La cricuitazione del capo elettrico indotto è pari alla f.e.. indotta e ind = - Å d d t FJB N = - Å d d t A 0 2 p b k t lni V 0 t+d+a Å Å V 0 t +d M E = - 0 ÅÅ 2 p b k 9 lni V 0 t+d+a Å Å V 0 t +d M + ÅÅÅ t v Å l ÅÅ v t +d +a - v v t + d D= = = p b k 9 Å v t a A ÅÅÅ Hv t +d +al Hv t +dl E - lni V 0 t+d+a Å Å V 0 t +d M = l 0 Dove l 0 è una lunghezza unitaria (si tira fuori quando si deriva il logarito, assuendo che essa oltiplicasse e dividesse il suo argoento). 5) Il circuito ostrato in figura è coposto da cinque resistenze rispettivaente del valore R = R 2 = R 3 =20W ed R 4 = R 5 =0W, da tre condensatori di capacità C = C 2 = C 3 =0F, da due generatori di forza elettrootrice rispettivaente ε = 20 V ed ε 2 = 30 V e resistenza interna trascurabile e da un interruttore T inizialente aperto. Deterinare a) la corrente elettrica che circola nelle quattro resistenze in funzione del tepo; Deterinare in regie stazionario (t Æ ): b) il valore del potenziale nel punto A; c) l energia totale iagazzinata nel sistea. d) la potenza dissipata nel sistea.

6 5) Il circuito ostrato in figura è coposto da cinque resistenze rispettivaente del valore R = R 2 = R 3 =20W ed R 4 = R 5 =0W, da tre condensatori di capacità C = C 2 = C 3 =0F, da due generatori di forza elettrootrice CopitoTotale_2Feb_tutti_20.nb rispettivaente ε = 20 V ed ε 2 = 30 V e resistenza interna trascurabile e da un interruttore T inizialente 6 aperto. Deterinare a) la corrente elettrica che circola nelle quattro resistenze in funzione del tepo; Deterinare in regie stazionario (t Æ ): b) il valore del potenziale nel punto A; c) l energia totale iagazzinata nel sistea. d) la potenza dissipata nel sistea. Soluzione a)la f.e.. e 2 separa in due aglie indipendenti il circuito. Poiché ai capi del rao con e 2, la d.d.p. riane sepre fissata, ovvero pari a e 2 = 30V, la parte di sinistra non risente della parte di destra, e viceversa. La parte di sinistra si trova già in regie stazionario, indipendenteente dal tasto T, che influenza solo la parte di destra. A causa dei condensatori C 2 e C 3, che aprono la circuitazione a sinistra, nessuna corrente passerà ai attraverso R 4 ed R 5. A destra invece si ha un circuito RC seplicissio, pertanto la corrente in funzione nel tepo che attraversa la resistenza R tot = R + R 2 êê R 3 = 30 W vale R tot e -t ÅÅÅ I tot = e 2 Rtot C. Questa è la corrente che carica il condensatore C, ovvero che attraversa R. In R 2 e R 3, dato che sono in parallelo e di pari valore, circolerà I tot 2. b) Poiché nella aglia di sinistra non circola corrente, è nulla la caduta ohica ai capi di R 4 o R 5 (è equivalente, tanto sono in parallelo!). Di conseguenza il potenziale in A vale e 2 = 30 V. c) A regie stazionario, l'energia è iagazzinata in tutti i condensatori. Infatti la d.d.p. ai capi di C vale e 2, entre la d.d.p. ai capi di C tot = C 2 + C 3 = 20 F vale e tot =e 2 - e = 0 V. Di conseguenza U tot = 2 e 2 2 C + 2 e tot 2 C tot = V F V F = J. d) A regie stazionario (t ) non circola corrente in entrabe le aglie, di conseguenza non c'è alcuna potenza dissipata sulle resistenze.

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