Dall idrostatica alla idrodinamica. Fisica con Elementi di Matematica 1

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1 Dall idrostatica alla idrodinamica Fisica con Elementi di Matematica 1

2 Concetto di Campo Insieme dei valori che una certa grandezza fisica assume in ogni punto di una regione di spazio. Esempio: Consideriamo il valore della pressione atmosferica in tutti i punti dell aula 1. Poiché la pressione è una grandezza scalare questo campo è un campo di tipo scalare. Per rappresentare il campo possiamo associare un NUMERO (il valore della pressione) ad ogni punto dello spazio (cioè ad ogni terna (x,y,z)) dell aula 1. Campo scalare (pressione) Fisica con Elementi di Matematica

3 Concetto di Campo Altro Esempio: Consideriamo il valore della velocità delle molecole di aria, in tutti i punti dell aula 1. Poiché la velocità è una grandezza vettoriale questo campo è un campo di tipo vettoriale. Per rappresentare un campo vettoriale si usa la convenzione delle linee di flusso (o linee di campo) Fisica con Elementi di Matematica Campo vettoriale (2D)

4 Rappresentazione di un campo vettoriale tramite le linee di flusso (o linee di campo) Convenzione: 1) In ogni punto il vettore ha la direzione tangente alle linee di flusso. 2) Il verso del vettore è quello indicato dalle linee di flusso. 3) L intensità del vettore è proporzionale al numero di linee di flusso che attraversano una superficie unitaria e normale alle linee stesse. Le linee di flusso sono le linee curve in blu. Fisica con Elementi di Matematica 4

5 Campi Uniformi e/o Stazionari Un campo (scalare o vettoriale) si dice UNIFORME se la grandezza fisica assume un valore costante in TUTTI i punti dello spazio (considerato). Se, ad esempio, la pressione atmosferica è costante in tutti i punti dell aula 1, il campo di pressione nell aula 1 è detto UNIFORME. Un campo (scalare o vettoriale) si dice STAZIONARIO se la grandezza fisica assume un valore costante al variare del tempo. Se, ad esempio, la pressione atmosferica è costante nell arco di una intera giornata, in ogni punto dell aula 1 (ma varia da punto a punto) il campo di pressione nell aula 1 è detto STAZIONARIO Fisica con Elementi di Matematica 5

6 Definizione di Fluido Ideale Un fluido si dice ideale se è incomprimibile e non viscoso. incomprimibile: comunque vari la pressione sulla massa fluida, il suo volume non si modifica -> la sua densità NON varia; non viscoso: all interno della massa di fluido in movimento non sono presenti attriti il fluido ideale è un sistema meccanicamente conservativo. Fisica con Elementi di Matematica 6

7 Studio dei Fluidi in Movimento (Idrodinamica) E conveniente studiare il comportamento di una grandezza fisica (es: velocità del fluido) al variare del TEMPO, IN CIASCUN PUNTO, piuttosto che studiare il moto di ogni singola particella che compone il fluido. Le grandezze fisiche solitamente utilizzate in idrodinamica sono: -) pressione p -) densità r -) velocità v. Studio quanto vale la velocità del fluido nel punto Q al variare del tempo. Q Fisica con Elementi di Matematica 7

8 Studio dei Fluidi in Movimento (Idrodinamica) Si consideri un fluido ideale in moto stazionario. moto STAZIONARIO: la velocità del fluido in un dato punto è un vettore costante nel tempo Q Parliamo quindi di campo IDRODINAMICO STAZIONARIO se: pressione p = p(x,y,z) densità r = r(x,y,z) velocità v = v(x,y,z) Non dipendono dalla VARIABILE TEMPO ma sono solo funzione della posizione occupata dal fluido Fisica con Elementi di Matematica 8

9 Tubo di flusso

10 Moto di un fluido ideale in regime stazionario Per un fluido in moto stazionario La massa di fluido che attraversa in un dato intervallo di tempo una sezione del condotto deve essere eguale a quella che passa nello stesso intervallo di tempo per ogni altra sezione (non può esserci creazione, accumulazione o perdita di materia in qualsiasi regione del tubo) cioè: m 1 = m 2 Fisica con Elementi di Matematica 10

11 L equazione di continuità m 1 =m 2 r V 1 = r V 2 r A 1 l 1 = r A 2 l 2 (fluido ideale, quindi incomprimibile) A 1 l 1 = A 2 l 2 A 1 v 1 t= A 2 v 2 t A 1 v 1 = A 2 v 2 EQU. di continuità N.B. un fluido può entrare o uscire unicamente attraverso le sezioni del condotto (reale o tubo di flusso)

12 Una manifestazione dell equazione di continuità Equazione di continuità: la velocità di un fluido ideale in regime stazionario aumenta al diminuire della sezione del condotto (sia esso un condotto reale o un tubo di flusso). A 1 v 1 = A 2 v 2 1 con v 1 < v 2 perché l acqua è in caduta libera A 1 > A 2 2 Fisica con Elementi di Matematica 12

13 Il Teorema di Bernoulli Studia il comportamento di un fluido ideale in moto stazionario in un condotto Fisica con Elementi di Matematica 13

14 Il Teorema di Bernoulli y Teorema dell Energia Cinetica: L= E K Calcoliamo inizialmente la variazione di Energia cinetica del liquido quando passa dalla quota y 1 alla quota y 2 E K = m(v 22 v 12 = ra 1 l 1 (v 22 v 12 Fisica con Elementi di Matematica 14

15 Il Teorema di Bernoulli y L= E K =ra 1 l 1 (v 22 v 12 Chi compie lavoro sulla massa di fluido? a) La forza gravitazionale b) Le forze di pressione L = L g +L p Il lavoro della forza gravitazionale L g è < 0! L g =-mg(y 2 - y 1 )= -ra 1 l 1 (y 2 - y 1 )g Fisica con Elementi di Matematica 15

16 Il Teorema di Bernoulli y Calcoliamo il lavoro delle forze di pressione: L p = L 1 + L 2 F 2 L 1 = F 1 l 1 = p 1 A 1 l 1 F 1 L 2 = -F 2 l 2 = -p 2 A 2 l 2 Fisica con Elementi di Matematica 16

17 Il Teorema di Bernoulli y Torniamo a L= E K L g + L 1 + L 2 = E K F 2 -ra 1 l 1 (y 2 - y 1 )g+ p 1 A 1 l 1 -p 2 A 2 l 2 = F 1 ra 1 l 1 (v 22 v 12 Fisica con Elementi di Matematica 17

18 Il Teorema di Bernoulli L g + L 1 + L 2 = E K -ra 1 l 1 (y 2 - y 1 )g+ p 1 A 1 l 1 -p 2 A 2 l 2 = ra 1 l 1 (v 22 v 12 -ry 2 g+r y 1 g+ p 1 -p 2 = rv 22 /2 rv 12 ry 1 g+ p 1 + rv 12 /2 = r y 2 g+ p 2 rv 22 p + rv 2 /2 + ryg = costante Per un fluido incomprimibile e non viscoso, è costante, in ogni sezione del condotto, la somma della: pressione dinamica, della pressione cinetica e della pressione di gravità Fisica con Elementi di Matematica 18

19 Applicazioni biologiche Applichiamo l equazione di Bernoulli al sangue che fluisce all interno di una arteria, qualora il suo spessore non sia costante Il sangue, molto viscoso, non è un fluido ideale, dunque facciamo una trattazione qualitativa Analizziamo due frequenti modificazioni dello spessore dell arteria, in qualche suo punto: - Dilatazione dell arteria (aneurisma) - Restringimento dell arteria (stenosi) Si tratta di fenomeni irreversibili che tendono a cronicizzare: l aneurisma tende ad espandersi e la stenosi a restringersi. Fisica con Elementi di Matematica 19

20 Aneurisma p 1 v 1 p 2 A 1 A 2 v 2 Sezione A 1 > sezione A 2 Dalla equazione di continuità: A 1 v 1 = A 2 v 2 v 1 < v 2 Dal teorema di Bernoulli (y 1 = y 2 ) : p 1 + rv 12 /2 = p 2 rv 22 p 1 > p 2 Ovvero, dove l arteria è più dilatata, la pressione del sangue è maggiore, e tende ad espanderla ancora di più, forzando sulle pareti e peggiorando la situazione Fisica con Elementi di Matematica 20

21 Stenosi p 1 A 1 A 2 p 2 Sezione A 1 < sezione A 2 v 1 v 2 Dalla equazione di continuità: A 1 v 1 = A 2 v 2 v 1 > v 2 Dal teorema di Bernoulli (y 1 = y 2 ) : p 1 + rv 12 /2 = p 2 rv 22 p 1 < p 2 Ovvero, dove l arteria è più stretta, la pressione del sangue è minore, portando ad un ulteriore restringimento e a bloccare il flusso di sangue in corrispondenza dell occlusione Fisica con Elementi di Matematica 21

22 Sistema circolatorio (fluido non ideale diminuzione di p) A: energia dissipata per attrito per unità di volume

23 Sistema circolatorio Fisica con Elementi di Matematica 23

24 Sistema circolatorio: velocità del sangue Fisica con Elementi di Matematica 24

25 Sistema circolatorio: velocità del sangue Fisica con Elementi di Matematica 25

26 Una applicazione del Teorema di Bernoulli Calcolare v 1 (problema svolto in esercitazioni) Fisica con Elementi di Matematica 26

27 esercizi Dell acqua ad una pressione di 3 atm a livello della strada fluisce all interno di un palazzo ad una velocità di 0.5 m/s tramite un tubo di diametro 4 cm. Il diametro del tubo diventa 2.6 cm all ultimo piano, 5 m sopra il livello della strada. Supponendo che l acqua sia un fluido ideale, calcolarne velocità e pressione nel tubo all ultimo piano.

28 esercizi [Marzo 2012] Un oggetto di ambra (d=1100 kg/m3), avente forma cubica di lato 52.5 cm, è completamente immerso in acqua. L oggetto ha al suo interno una cavità cubica vuota e perfettamente centrata. Determinare il lato della cavità cubica.

29 esercizi [marzo 2013] Una nave cacciatorpediniere della marina militare durante un esercitazione rilascia in mare una bomba di profondità. La bomba ha forma cilindrica con area di base S = 6.5 m2 ed altezza h = 2 m e densità ρ = 2500 Kg/m3. Se la densità dell acqua marina è ρm = 1300 Kg/m3 e la bomba si muove verso il fondo marino con accelerazione costante determinare l accelerazione del corpo. Se la bomba è tarata per esplodere quando la pressione esterna è maggiore di Po = Pa, cosa succederà a 50 m di profondità?

30 esercizi Una persona di massa 78 kg sale su una lastra di ghiaccio che galleggia sopra l acqua libera di un lago. Si calcoli la massa minima di ghiaccio necessaria affinchè la persona non si bagni, sapendo che r = r r r GH H 2O = [922 kg]

31 esercizi Tre bambini di 37 kg, 40 kg e 35 kg vogliono costruire una zattera per gioco. Hanno a disposizione tronchi di diametro 32 cm, lunghezza 1.75 m e densità 755 kg/m3. Di quanti tronchi avranno bisogno per fabbricare la zattera? Se volessero costruirla in modo da portare dei giochi ad un amico per un totale di altri 50 kg, di quanti altri tronchi avrebbero bisogno? [4,5]

32 esercizi Un blocco di legno ha massa di 3.67 kg e densità di 594 kg/m 3. Lo si vuole caricare con del piombo in modo che galleggi in acqua con l 88.3% del suo volume immerso. Qual è la massa di piombo necessaria per: - porre il piombo sopra il legno - attaccarlo sotto il legno La densità del piombo è 1.14 * 10 4 kg/m 3. [1.78 kg, 1.95 kg]