6.2 Controllo ottimo di sistemi tempo-discreti

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1 Capitolo 6 CONTROLLO OTTIMO 6.1 Introduzione 6.2 Controllo ottimo di sistemi tempo-discreti Si consideri il sistema tempo-discreto x(k +1) = f (k,x(k),u(k)) (6.1) con k Z, x(k) IR n e u(k) IR m. Dato l intervallo temporale [t 0,t f ) = {t 0,t 0 +1,...,t f 1}, detto orizzonte di controllo, e lo stato iniziale x(t 0 ) = x 0 si vuole determinare la successione di ingressi u [t0,t f ) = {u(t 0 ),u(t 0 +1),...,u(t f 1)} che minimizza il costo non-negativo J (t 0,x 0,u( )) = t f 1 i=t 0 l(i,x(i),u(i)) + m(x(t f )). (6.2) Si noti che (6.2) è dato dalla somma dei costi istantanei l(i,x(i),u(i)) per i [t 0,t f ) più il costo terminale m(x(t f )) relativo allo stato terminale x(t f ). Sulla funzione f(k,x,u) che definisce la dinamica del sistema non si fanno ipotesi di alcun tipo; viceversa sulle funzioni di costo istantaneo l(k, x, u) e di costo terminale m(x), che definiscono l indice di prestazione (6.2), si fanno le seguenti assunzioni l(k,x,u) > 0 k, x, u = 0 (6.3) l(k,x,0) 0 k, x (6.4) m(x) 0 x (6.5) 1

2 2 CAPITOLO 6 CONTROLLO OTTIMO Le ipotesi (6.3)-(6.5) fanno sì che il costo istantaneo l(k,x,u) ed il costo terminale m(x) siano entrambi non-negativi per qualsiasi valore di k, x, u. Inoltre (6.3) implica che non esistono ingressi u = 0 a costo nullo; viceversa (6.4) e (6.5) permettono l esistenza di stati x = 0 a costo istantaneo e, rispettivamente, costo terminale nullo. Per risolvere il problema di controllo ottimo (6.1)-(6.2) conviene introdurre la seguente funzione di Bellman V(k,x) = min J(k, x, u( )) (6.6) u [k,tf ) associata ad ogni istante temporale k [t 0,t f ] e ad ogni stato x IR n. La funzione di Bellman V(k, x) fornisce dunque il costo ottimo (minimo) del problema (6.1)- (6.2) relativo all istante iniziale k e allo stato iniziale x(k) = x per ogni possibile k [t 0,t f ) e x IR n. Si noti che V(t f,x) = m(x) (6.7) Si consideri un qualunque istante temporale t (k,t f ). Poichè u [k,tf ) = u [k,t) u [t,tf ), J(k,x,u [k,tf )) = t 1 i=k l(i,x(i),u(i)) + J(t,x(t),u [t,tf )) si ha V(k,x) = min u [k,t) { min u [t,tf ) [ t 1 i=k l(i,x(i),u(i)) + J(t,x(t),u [t,tf )) ]} da cui si deduce l equazione di Bellman V(k,x) = min u [k,t) { t 1 i=k l(i,x(i),u(i)) + V(t,x(t)) }. (6.8) L equazione (6.8) mette in relazione le funzioni V(k,x) e V(t,x) per k < t; vista la natura discreta dell insieme dei tempi, si può determinare un legame ricorsivo considerando t = k + 1 in (6.8). Si ottiene così la seguente equazione ricorsiva ad un passo V(k,x) = min u(k) { l(k,x(k),u(k)) + V(k +1,x(k +1)) }. (6.9)

3 6.2 CONTROLLO OTTIMO DI SISTEMI TEMPO-DISCRETI 3 Posto x = x(k), u = u(k) e utilizzando la dinamica (6.1), la (6.9) diventa V(k,x) = min u { l(k,x,u) + V (k +1,f(k,x,u)) } (6.10) L equazione (6.10) è la cosiddetta equazione ricorsiva di Bellman; essa consente di risolvere ricorsivamente il problema di controllo ottimo (6.1)-(6.2) partendo dalla condizione terminale (6.7). Infatti, data la funzione V(k + 1, x), (6.10) consente di determinare il controllo ottimo u (k,x) che minimizza rispetto ad u la quantità l(k,x,u)+v(k +1,f(k,x,u)), cioè u (k,x) = arg min u { l(k,x,u) + V (k +1,f(k,x,u)) } (6.11) Successivamente, sostituendo il controllo ottimo u (k,x) in (6.10), si determina il costo ottimo V(k,x) = l(k,x,u (k,x)) + V (k +1,f (k,x,u (k,x))) (6.12) Procedendo ricorsivamente a ritroso per k = t f 1,...,t 0 + 1,t 0 partendo da V(t f,x) = m(x) è possibile determinare in questo modo il controllo ottimo u (k,x) ed il costo ottimo V(k,x) per ogni k [t 0,t f ). Si noti che il controllo ottimo così ottenuto è in forma di retroazione statica dello stato, pertanto può essere implementato da un regolatore, in generale nonlineare, u(k) = u (k,x(k)) (6.13) che all istante k fornisce un valore dell ingresso di controllo dipendente dallo stato attuale x(k) in accordo alla mappa u (, ). Naturalmente la procedura indicata termina con successo se il problema di ottimizzazione (6.10) ammette un unica soluzione e tale soluzione può essere determinata esplicitamente in funzione di x per ogni k nell orizzonte di controllo desiderato. Questo non accade, in generale, qualunque siano le funzioni f(k,x,u), l(k,x,u) e m(x). Un caso particolare di notevole interesse, in cui la soluzione del problema di controllo ottimo può essere determinata in modo esplicito, verrà considerato in dettaglio nel prossimo paragrafo.

4 4 CAPITOLO 6 CONTROLLO OTTIMO 6.3 Controllo Lineare Quadratico di sistemi TD In questo paragrafo si considera un caso particolare del problema di controllo ottimo (6.1)-(6.2), in cui si assume il sistema (6.1) lineare cioè f(k,x,u) = A(k) x + B(k) u (6.14) ed il costo (6.2) quadratico, vale a dire l(k,x,u) = x Q(k) x + u R(k) u, m(x) = x P x. (6.15) Senza perdita di generalità si assumono le matrici P, Q(k) ed R(k) simmetriche; inoltre per le ipotesi (6.3)-(6.5), R(k) deve essere definita positiva mentre P e Q(k) possono essere semi-definite positive. Pertanto, P = P 0, Q(k) = Q (k) 0, R(k) = R (k) > 0. (6.16) Il problema di controllo ottimo così ottenuto è noto come controllo Lineare Quadratico o più semplicemente controllo LQ. Si noti che il costo istantaneo (6.15) penalizza sia l energia dello stato tramite la matrice di peso Q(k) che l energia dell ingresso tramite la matrice di peso R(k). Assumendo, senza perdita di generalità, che l obiettivo del controllo sia quello di regolare lo stato a zero, il termine x Q(k)x rappresenta un indice istantaneo delle prestazioni del sistema nel senso che prestazioni migliori corrispondono a valori inferiori di questo indice. Viceversa il termine u R(k)u rappresenta un indice istantaneo dei consumi. La scelta delle matrici di peso Q(k) e R(k) consente dunque di cercare un giusto compromesso fra le esigenze conflittuali di elevate prestazioni e bassi consumi. Si noti inoltre che, essendo Q ed R matrici, si possono scegliere le loro componenti in modo da dare un differente peso alle prestazioni relative alle varie componenti del vettore di stato ed ai consumi relativi alle varie componenti del vettore di ingresso. La soluzione del problema LQ può essere ottenuta da (6.10) e (6.7) sostituendo a f(k,x,u), l(k,x,u), m(x) le espressioni in (6.14)-(6.15). Si ha V(t f,x) = x P x V(k,x) = min u H(k,x,u) H(k,x,u) = x Q(k)x + u R(k)u + V(k,A(k)x+B(k)u) (6.17)

5 6.3 CONTROLLO LINEARE QUADRATICO DI SISTEMI TD 5 Si noti che la funzione V(k+1,x) è quadratica in x per k+1 = t f. Procedendo per induzione si postula che V(k + 1,x) = x P(k + 1)x è quadratica in x per qualche matrice P(k + 1) = P (k + 1) 0. Allora la funzione H(k,x,u), da minimizzare rispetto ad u, diventa H(k,x,u) = x Q x + u R u + (Ax+Bu) P(k +1) (Ax+Bu) = u (R+B P(k +1)B)u+2x A P(k +1)Bu+x (Q+A P(k +1)A)x (6.18) dove per semplicità di scrittura si è omesso l argomento temporale k nelle matrici A,B,Q,R. Si noti che H(k,x,u) è una funzione quadratica in u, con Hessiano 2(R + B P(k + 1)B) 2R > 0 in virtù dell ipotesi R > 0. Pertanto H(k,x,u) ammette un unico minimo globale rispetto ad u, che può essere ottenuto eguagliando a zero il gradiente di H(k,x,u) rispetto ad u. Usando le seguenti formule di derivazione matriciale si ha u (u Mu) = 2Mu, u (v u) = v H u (k,x,u) = 2 (R+B P(k +1)B) u + 2B P(k +1)A x = 0 (6.19) Poiché la matrice Ψ(k) = R(k) + B (k) P(k +1) B(k) è invertibile, risolvendo (6.19) rispetto ad u, si determina il controllo ottimo u (k,x) = [R(k) + B (k) P(k +1) B(k)] 1 B (k) P(k +1) A(k) x (6.20) Sostituendo il controllo ottimo (6.20) in H(k, x, u) si determina il costo ottimo dove, dopo semplici calcoli, P(k) = A (k)p(k +1)A(k)+Q(k) V(k,x) = H(k,x,u (k,x)) = x P(k)x (6.21) A (k)p(k +1)B(k)[R(k)+B (k)p(k +1)B(k)] 1 B (k)p(k +1)A(k) (6.22) La (6.22) è la cosiddetta equazione alle differenze di Riccati che, inizializzata con la condizione terminale P(t f ) = P, (6.23)

6 6 CAPITOLO 6 CONTROLLO OTTIMO consente di determinare ricorsivamente la successione di matrici P(k) per k = t f,t f 1,...,t 0 +1,t 0 e quindi il corrispondente costo ottimo (6.21). Si noti che la soluzione del problema LQ fornisce il controllo ottimo sotto forma di retroazione statica lineare dello stato u (k,x) = F(k) x k [t 0,t f ) (6.24) con guadagno tempo-variante F(k) = G( A(k),B(k),R(k),P(k +1) ) G(A,B,R,P) = (R+B PB) 1 B PA (6.25) Inoltre fornisce come costo ottimo una forma quadratica dello stato V(k,x) = x P(k) x k [t 0,t f ) (6.26) con matrice P(k) tempo-variante ottenuta iterando l equazione di Riccati P(t f ) = P P(k) = R( A(k),B(k),Q(k),R(k),P(k +1) ) R(A,B,Q,R,P) = A PA + Q A PB (R+B PB) 1 B PA (6.27) Quindi il controllo LQ può essere implementato da un regolatore (statico) lineare tempo-variante (6.24) il cui guadagno può essere precalcolato tramite le formule (6.25) e (6.27). Tale controllo minimizza l indice di prestazione J(t 0,x 0,u [t0,t f )) = t f 1 fornendo un costo ottimo pari a k=t 0 { x (k)q(k)x(k) + u (k)r(k)u(k) } + x (t f )Px(t f ) (6.28) V(t 0,x 0 ) = x 0 P(t 0 ) x 0. (6.29) 6.4 Controllo LQ di sistemi TD - Caso TI In questo paragrafo si considera il problema LQ per un sistema ed un costo entrambi tempo-invarianti. Pertanto si assume che le matrici A, B, Q, R non dipendono da k, vale a dire A(k) A, B(k) B, Q(k) Q, R(k) R k. (6.30)

7 6.4 CONTROLLO LQ DI SISTEMI TD - CASO TI 7 Nonostante la tempo-invarianza del sistema e delle matrici di peso, sia il controllo ottimo che il costo ottimo risultano tempo-varianti. Infatti, sostituendo (6.30) in (6.24)-(6.27), la soluzione del problema LQ su orizzonte finito [t 0,t f ) nel caso TI è data da dove u (k,x) = F(k) x V(k,x) = x P(k) x F(k) = (R+B P(k +1)B) 1 B P(k +1)A (6.31) P(k) = A P(k +1)A+Q A P(k +1)B(R+B P(k +1)B) 1 B P(k +1)A (6.32) dipendono, in generale, da k anche se (A,B,Q,R) sono costanti, a meno che l equazione alle differenze di Riccati non sia inizializzata da una matrice P(t f ) = P opportuna. Infatti, se la matrice P del costo terminale m(x) = x Px è tale che P = R(A,B,Q,R,P), cioè soddisfa l equazione algebrica P = A PA + Q A PB (R+B PB) 1 B PA (6.33) allora (6.31)-(6.32) fornisce una soluzione costante (tempo-invariante) P(k) P F(k) F = (R+B PB) 1 B PA k [t 0,t f ) (6.34) Un tale controllo ottimo avente la struttura di un regolatore statico LTI, risulterebbe estremamente vantaggioso dal punto di vista dell implementazione. Naturalmente l utilità pratica del regolatore è condizionata al fatto che il guadagno F stabilizzi il sistema, cioè sp(a+bf) IC s. L equazione (6.33) è nota come equazione algebrica di Riccati (ARE). Una soluzione P = P 0 di (6.33) tale che il corrispondente guadagno F = (R+B PB) 1 B PA stabilizza il sistema, cioè tale che sp(a+bf) = sp ( A B(R+B PB) 1 B PA ) IC s, è detta soluzione stabilizzante della ARE. La retroazione u(k) = Fx(k), dove F è dato da (6.34), prende il nome di legge di controllo associata alla soluzione P della ARE. La legge di controllo associata a P minimizza il costo J(t 0,x 0,u( )) = t f 1 k=t 0 { x (k)qx(k) + u (k)ru(k) } + x (t f )Px(t f ) (6.35)

8 8 CAPITOLO 6 CONTROLLO OTTIMO qualunque sia l intervallo temporale [t 0,t f ). A tale proposito viene naturale considerare un orizzonte di controllo infinito (t 0 = 0, t f = ) e porsi il problema di minimizzare il corrispondente indice di prestazione J(x 0,u( )) = { x (k)qx(k) + u (k)ru(k) } (6.36) k=0 Le suddette considerazioni pongono alcuni interessanti quesiti: 1. Esiste, ed eventualmente sotto quali condizioni, una soluzione stabilizzante della ARE? 2. La legge di controllo associata minimizza, ed eventualmente sotto quali condizioni, il costo su orizzonte infinito (6.36)? Per rispondere a tali quesiti è opportuno introdurre una matrice C tale che Q = C C. (6.37) Si noti che, definita l uscita y = Cx, si ha x Qx = x C Cx = (Cx) (Cx) = y y; pertanto il costo istantaneo dello stato x(k) considerato nell indice di prestazione coincide con la norma euclidea dell uscita y(k) = Cx(k). Il seguente teorema, riportato senza dimostrazione, fornisce i risultati fondamentali della teoria del regolatore LQ. Teorema 6.1 (Regolatore LQ su orizzonte infinito) - Sia (A, B) stabilizzabile e C definito da (6.37). 1. La ARE (6.33) ammette alpiù una soluzione stabilizzante. 2. La soluzione stabilizzante esiste se e solo se la coppia (A,C) non ha autovalori inosservabili in ĨC s. 3. Fra tutte le leggi di controllo stabilizzanti, quella associata alla soluzione stabilizzante della ARE (6.33) fornisce il valore minimo del costo (6.36). 4. Se la coppia (A, C) è rivelabile, la ARE (6.33) ammette un unica soluzione P = P 0, tale soluzione è stabilizzante, e la legge di controllo associata minimizza l indice di prestazione (6.36)

9 6.4 CONTROLLO LQ DI SISTEMI TD - CASO TI 9 Il regolatore LTI associato all unica soluzione stabilizzante della ARE, qualora tale soluzione esista, è detto regolatore LQ. Tale regolatore ha sicuramente proprietà interessanti in quanto, oltre a stabilizzare il sistema, rende minimo l indice di prestazione (6.36) che, tramite un opportuna scelta delle matrici di peso Q e R, può perseguire un qualunque compromesso fra prestazioni e consumi. Si noti anche che il regolatore LQ esiste sotto condizioni molto generali quali la stabilizzabilità di (A, B), senza la quale non esisterebbe alcun regolatore stabilizzante, e l assenza di autovalori inosservabili della coppia (A, C) sulla frontiera della regione di stabilità, che comunque può essere evitata scegliendo opportunamente Q. Ad esempio, se Q > 0, la coppia (A, C) risulta completamente osservabile e quindi priva di autovalori inosservabili. Il Teorema 6.1 suggerisce una valida alternativa alla sintesi modale del regolatore. Nella sintesi modale si sceglie F in modo da assegnare gli autovalori (i modi) di A+BF. Viceversa nella sintesi ottimale, in senso LQ, si sceglie F in modo da minimizzare l indice di prestazione (6.36). In quest ultimo caso si usano le matrici di peso Q ed R, al posto degli autovalori, come parametri di progetto per sintonizzare le prestazioni del sistema controllato. Dal punto di vista numerico, la sintesi LQ richiede la soluzione dell equazione algebrica di Riccati (6.33) per cui esistono algoritmi computazionalmente efficienti e numericamente affidabili. Per meglio illustrare i vari aspetti, teorici e pratici, della sintesi del regolatore LQ si considerano di seguito due semplici esempi relativi a sistemi del primo e, rispettivamente, secondo ordine per i quali è possibile risolvere analiticamente l equazione algebrica di Riccati. In esempi più complicati, tuttavia, è necessario ricorrere ad una soluzione numerica della ARE. Esempio Dato il sistema del 1 ordine, ad un solo ingresso, si vuole minimizzare il costo x(t+1) = a x(t) + b u(t) (6.38) J(x 0,u) = k=0 { q x 2 (k) + r u 2 (k) } (6.39) con r > 0 e q 0. La ARE, in questo esempio, si riduce all equazione scalare

10 10 CAPITOLO 6 CONTROLLO OTTIMO nell incognita p e la formula del guadagno LQ è p = a 2 p+q a2 b 2 p 2 r+b 2 p f = abp r+b 2 p da cui l autovalore ad anello chiuso risultante è a+bf = ar r +b 2 p (6.40) (6.41) (6.42) Si consideri inizialmente il caso b = 0, in cui il sistema non è raggiungibile. In questo caso il regolatore LQ, come peraltro ogni regolatore, non ha effetto sulla dinamica (6.54). Infatti f = 0 e a+bf = a per ogni scelta dei pesi q ed r. Se a < 1 (sistema stabilizzabile), la dinamica (6.54) è asintoticamente stabile ed il costo (6.55) assume un valore finito, poiché x(t) = a t x 0 = qx 2 (t) = k=0 qa 2t x 2 0 = k=0 D altro canto la ARE (6.40), per b = 0, ammette un unica soluzione p = q > 0 se a < 1. 1 a2 q 1 a 2 x2 0. (6.43) Questo conferma che il costo ottimo V(x 0 ) = px 2 0 è proprio uguale al valore calcolato in (6.43). Se viceversa a 1 (sistema non stabilizzabile), la dinamica (6.54) non è asintoticamente stabile ed il costo (6.55) non può essere finito comunque si scelga u( ). In questo caso la ARE non ammette soluzione p 0. Si considera adesso b = 0. Conviene distinguere i due sottocasi q = c 2 > 0 e q = 0. Nel primo sottocaso, la coppia (a,c), con c = q, è osservabile e, a maggior ragione, rivelabile. La ARE (6.40) fornisce, dopo semplici passaggi, l equazione di secondo grado in p b 2 p 2 ( a 2 r r+b 2 q ) p qr = 0. (6.44) Qualunque sia il segno del coefficiente r a 2 r b 2 q di p, l equazione (6.44) ammette per q > 0duesoluzioni reali, unapositiva el altranegativa. Lasoluzionediinteresse per la sintesi LQ è ovviamente quella positiva p = δ + δ 2 +4b 2 qr 2b 2 > 0, δ = (a 2 1)r +b 2 q. (6.45)

11 6.4 CONTROLLO LQ DI SISTEMI TD - CASO TI 11 Il Teorema 6.1 garantice che la soluzione (6.45) è stabilizzante. Da (6.42) si può confermare la validità di questo risultato. Infatti, se a 1, a+bf = a r r +b 2 p < a < 1. Prima di considerare il caso a > 1, si noti che r +b 2 p = r+ 1 [ ] δ + δ b 2 qr > r +δ = a 2 r+b 2 q > a 2 r. Quindi, da (6.42), a+bf = a r r+b 2 p < a r a 2 r = 1 a. Di conseguenza a+bf < 1 anche se a > 1, cioè a+bf < 1 per ogni a. Rimane da analizzare il sottocaso q = 0, in cui la ARE (6.40) si riduce a che ammette due soluzioni b 2 p 2 (a 2 1)r p = 0 p = 0 e p = (a2 1)r b 2. (6.46) Essendo q = c 2 = 0, la coppia (a,c) non è osservabile. Il Teorema 6.1 garantisce che, escludendo i casi a = ±1 in cui l autovalore inosservabile a è esattamente sulla frontiera del cerchio di stabilità, la (6.40) ammette una soluzione stabilizzante, una delle due soluzioni in (6.46). Si noti che p = (a2 1)r b 2 p = 0 = a+bf = a = a+bf = ar r+b 2 p = 1 a. Quindi se a < 1 la soluzione stabilizzante è p = 0; viceversa se a > 1 la soluzione stabilizzante è p = (a 2 1)r/b 2. In accordo con la teoria del regolatore LQ (vedi Teorema 6.1) si verifica quanto segue. Se a < 1: la coppia (a,c) è rivelabile e la ARE ammette una unica soluzione non-negativa p = 0 che risulta stabilizzante. Se a > 1: la coppia (a,c) non è rivelabile e la ARE ha due soluzioni nonnegativep = 0ep = (a 2 1)r/b 2 dicuisoltantouna, laseconda, èstabilizzante. Alla soluzione stabilizzante corrisponde un costo V(x) = (a 2 1)rx 2 /b 2 > 0 maggiore rispetto a quello nullo della soluzione non stabilizzante.

12 12 CAPITOLO 6 CONTROLLO OTTIMO Se a = 1, entrambe le soluzioni in (6.46) coincidono con p = 0 e la ARE non ammette soluzioni stabilizzanti. Per comprendere le implicazioni pratiche connesse con la scelta dei pesi q ed r, è istruttivo confrontare i casi limite r 0 e q = 0. Nel caso r 0, si tende a non penalizzare l ingresso per privilegiare le prestazioni a scapito di un potenziale elevato dispendio energetico. Dalla precedente analisi si osserva che r 0 = p q, f a, a+bf 0 (6.47) b cioè per r 0 il controllo tende a posizionare l autovalore ad anello chiuso in z = 0 (regolazione deadbeat) a scapito di un guadagno f = a/b che può essere molto elevato tanto più a/b è grande. Viceversa se q = 0 p = f = a+bf = 0, se a < 1 (a 2 1)r b 2, se a > 1 0, se a < 1 a2 1, se a > 1 ab a, se a < 1 1, se a > 1 a In questo caso, il controllo ottimo è u = 0 se il sistema è asintoticamente stabile oppure posiziona l autovalore in 1/a se il sistema è instabile: questa risulta essere la soluzione di minimo dispendio energetico fra tutte quelle che garantiscono la stabilità asintotica. Naturalmente, variando il rapporto r/q fra questi due casi limite (r/q = 0 e r/q = ) si può cercare un adeguato compromesso fra le due esigenze conflittuali di ottenere buone prestazioni di regolazione e di ridurre il dispendio energetico. Esempio Dato il sistema del 2 ordine, ad un solo ingresso, x 1 (t+1) = x 2 (t) x 2 (t+1) = x 1 (t)+u(t) (6.48)

13 6.5 SINTESI LQ PER SISTEMI TEMPO-CONTINUI 13 si vuole minimizzare il costo { J(x 0,u) = x 2 1 (k) + r u 2 (k) }. (6.49) k=0 Determinare il regolatore LQ u = F(r)x in funzione del parametro r > 0 e verificare la stabilità asintotica del sistema ad anello chiuso qualunque sia il valore di r. Studiare, in particolare, i casi limite r 0 e r. 6.5 Sintesi LQ per sistemi tempo-continui Nel caso tempo-continuo, la sintesi del regolatore LQ considera un sistema x = Ax + Bu (6.50) ed un indice di prestazione J(x 0,u) = 0 { x (t)qx(t)+u (t)ru(t) } dt. (6.51) La teoria ed il procedimento di sintesi del regolatore LQ nel caso TC sono analoghi a quelli del caso TD, purchè si utilizzino una diversa formula per il guadagno LQ F = R 1 B P (6.52) ed una diversa equazione algebrica di Riccati A P + PA + Q PBR 1 B P = 0. (6.53) Il Teorema 6.1, che sintetizza i punti salienti della teoria LQ, rimane valido anche nel caso TC. Seguendo la falsariga dell esempio 6.1, si consiglia al lettore per esercizio di esaminare in dettaglio la seguente versione TC del medesimo. Esempio Dato il sistema del 1 ordine, ad un solo ingresso, si vuole minimizzare il costo x(t) = a x(t) + b u(t) (6.54) con r > 0 e q 0. J(x 0,u) = 0 { q x 2 (t) + r u 2 (t) } dt (6.55)