Strumenti di indagine per la valutazione psicologica

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1 Strumenti di indagine per la valutazione psicologica.3 - La distribuzione normale Tempi di reazione Registrati i tempi di reazione (in millisecondi) a uno stimolo (n = 30). Classe Freq Freq relative Densità / 30 = / (30*50) = / 30 = / (30*50) = Davide Massidda davide.massidda@gmail.com / 30 = / (30*50) = / 30 = / (30*50) = / 30 = / (30*50) = / 30 = / (30*50) = Università di Cagliari, a.a. 203/ / 30 = / (30*50) = Tempi di reazione Distribuzioni di probabilità Registrati i tempi di reazione (in millisecondi) a uno stimolo (n = 30). A ogni intervallo è possibile associare un valore di probabilità e una densità. Le probabilità assume una certa distribuzione, detta distribuzione di probabilità, che descrive il fenomeno. Gli statistici hanno cercato di formalizzare attraverso delle formule matematiche le più comuni distribuzioni di probabilità, con lo scopo di prevedere la probabilità del verificarsi di certi eventi. Esempio: probabilità che un TR sia compreso tra 650 e 700 msec. Fenomeni di natura diversa possono essere regolati da distribuzioni di probabilità diverse.

2 Le funzioni che descrivono la probabilità La distribuzione normale Queste formule matematiche sono dette: Funzioni di probabilità (variabili discrete) Funzioni di densità di probabilità (variabili continue) Le prime associano, a ogni valore che la variabile può assumere, una certa probabilità di occorrenza. Le seconde associano, a ogni intervallo di valori che la variabile può assumere, una certa probabilità di occorrenza. Fa riferimento a variabili casuali continue ed è definita per valori compresi tra tra - e +. La probabilità di un fenomeno che si distribuisce come una normale è massima nell'intorno di un determinato valore, chiamato μ. Più un intervallo si allontana dal valore μ, minore sarà la probabilità che un valore ricada all'interno di tale intervallo. Allontanandosi dal valore μ, la probabilità decresce in maniera simmetrica per valori maggiori e minori di μ. In una variabile che si distribuisce normalmente, moda, mediana e media coincidono tutte col parametro μ. La distribuzione normale La distribuzione normale µ µ

3 La distribuzione normale Funzione di ripartizione In una distribuzione normale, l'area compresa tra i due estremi di un intervallo è definita dalla seguente funzione di probabilità cumulata (funzione di ripartizione normale): b p(a x b)= a σ 2 π e x è il valore noto che il fenomeno può assumere; π è la costante pi greco (approssimato: 3.4) e è il numero di Nepero (approssimato: 2.72) µ e σ sono i parametri della distribuzione. 2 ( x μ 2 σ ) dx Il parametro μ Attraverso la funzione di ripartizione possiamo calcolare la probabilità che un dato ricada tra - e un certo punto z. - p 0 z z p= - p + σ 2 π e 2 ( x μ 2 σ ) dx N.B. # L'area sottesa dalla curva rappresenta una probabilità. N.B. #2 Complessivamente, l'area sottesa dalla curva vale (perché la probabilità varia tra 0 e ). σ = È il valore nell'intorno del quale si registra il picco massimo di probabilità. Distribuzioni con diverso μ hanno il loro picco massimo di probabilità in punti diversi del continuum.

4 σ = σ = σ =.5 σ =.5 σ = 3 All aumentare di σ la campana si schiaccia e si allarga: la probabilità si concentra sempre meno su μ e aumenta per valori via via sempre più distanti da μ. Quindi, all'aumentare di σ, si riduce sempre più la probabilità che si presenti un valore nell'intorno di μ e aumenta la probabilità che si presentino altri valori da esso distanti. Se per valori piccoli di σ il fenomeno è moto prevedibile (quasi certamente assumerà un valore nei pressi di μ)......per valori grandi di σ, anche valori compresi in intervalli distanti da μ avranno buona probabilità di presentarsi: aumenta l'incertezza. All'aumentare di σ aumenta la variabilità del fenomeno.

5 Gli stimatori La distribuzione normale standardizzata Data una variabile casuale x che segue una distribuzione normale, i parametri μ e σ possono essere stimati rispettivamente attraverso la media e la deviazione standard della variabile. μ= n i= n x i σ= n i= (x i x) 2 n I valori dei parametri μ e σ sono conoscibili solo avendo a disposizione tutti valori della popolazione di riferimento. Tuttavia, utilizzando un campione rappresentativo della popolazione, essi possono essere stimati. Esistono infinite distribuzioni normali, ognuna descritta da un proprio μ e un proprio σ. Per poter confrontare fra loro variabili sì tutte normali, ma ognuna descritta da un proprio μ e un proprio σ, è possibile far riferimento a una stessa distribuzione normale di riferimento. La distribuzione normale di riferimento ha μ = 0 e σ = ed è detta standardizzata. Tutte le distribuzioni normali possono essere standardizzare e portate su una scala comune (es. voti). Standardizzare una variabile Un esempio pratico La variabile x viene trasformata in punti z. La media della nuova variabile z avrà M = 0 e SD =. Assumendo che la distribuzione dei voti del prof. Nepero sia normale, qual è la probabilità di osservare un voto superiore a 28? (Vedi lezione.2) z i = x i μ σ z i = x i x s x=25.7 z 28 = =.05 s =2.70 p( x.05)=0.85 p( x >28)= 0.85=0.5

6 Un esempio pratico La tavola della normale Assumendo che la distribuzione dei voti del prof. Nepero sia normale, qual è la probabilità di osservare un voto superiore a 28? (Vedi lezione.2) Le tavole della distribuzione normale standard forniscono alcuni valori di probabilità, già calcolati attraverso la funzione di ripartizione, per valori compresi tra 0 e alcuni punti z = 0.5 z ( ) = z =.05 Esercizio Data una distribuzione di tempi di reazione con: x= s=80.25 assumendo una distribuzione normale, calcolare la probabilità di osservare un TR compreso tra 550 e 750 msec.

7 Esercizio Area compresa tra 0 e z = -.58 Area compresa tra 0 e z = 0.9 z 550 = =.58 z 750 = = Esercizio La distribuzione dei tempi di reazione P = = z 550 =.58 z 750 = Nota bene Nel lavorare con i TR, di solito si assume la normalità distributiva, ma spesso questa assunzione risulta violata. Sono stati formulati diversi modelli cognitivi per spiegare l'asimmetria della distribuzione. Uno molto celebre prevede che il TR sia il risultato della somma di due componenti: una decisionale e una di trasduzione.