11. Geometria piana ( ) ( ) 1. Formule fondamentali. Rettangolo. A = b = h = = b h. b = base h = altezza. Quadrato

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1 11. Geometri pin 1. Formule fonmentli Rettngolo = h = h = h p = + h p = + h h= p = p h + ( ) = h = h h= = se = igonle p = perimetro h = ltezz = re p = semiperimetro Qurto = l l = = l l = l = lto = igonle = re p = perimetro p = semiperimetro Prllelogrmm = se h = ltezz = lto oliquo = re p = perimetro Tringolo c m h,, c = lti h = ltezz = re p = perimetro p= semiperimetro = h = h = h p = + = p = p ( ) I lti opposti sono prlleli e uguli. Gli ngoli opposti sono uguli. Gli ngoli icenti sono supplementri. Le igonli si tglino reciprocmente metà. h = = h = h = p( p )( p )( p c) formul i Erone + + c p = + + c p = 1 Mein reltiv l lto è m = + c l = cp p + c isettrice reltiv l lto è ( ) 1

2 Tringolo rettngolo h c = = h = c p=++c H Teorem i Pitgor γ M = + c, c=, = c h 1 teorem i Euclie = H, = H teorem i Euclie H = H H c Il tringolo rettngolo è sempre inscriviile in un semicirconferenz i imetro l ipotenus e rggio M. = ipotenus = cteto c = cteto h = ltezz reltiv ll ipotenus M = M = mein reltiv ll ipotenus = re p = perimetro Tringoli prticolri Romo p =4 1 l = = 1 1 l + r = 4 4 4l 1 = = 1 l = lto 1, = igonli = re p = perimetro r = rggio el cerchio inscritto Deltoie 1, = igonli, =re = 1 1 = = 1 Il eltoie h le igonli perpenicolri e i lti uguli ue ue.

3 Trpezio 1 = se mggiore = se minore = re ( 1+ ) h = = 1 h h = = h Trpezio isoscele l h l = se mggiore, = se minore, l = lto, h = ltezz = igonle, = re, p = perimetro ( + ) h = p = l+ + l = h + h = l + = h + Trpezio rettngolo D H D = se minore, = se mggiore, = lto oliquo, D = H = ltezz, e D igonli H = D D = D + H = H = H + H = D + D Poligono regolre l r l O H tutti gli ngoli e tutti i lti uguli. l = lto el poligono, n = numero i lti r = rggio el cerchio circoscritto, = potem = rggio el cerchio inscritto, p = perimetro, p = semiperimetro, = re, f = numero fisso re, N = numero fisso potem lto tringolo equiltero l 3 = r 3, lto qurto l 4 = r lto pentgono regolre l 5 = r 10 5 lto ecgono regolre l 10 = r = p = n l = l f l = + = l N = p = nl r p N numero fisso potem f numero fisso re Tringolo Qurto pentgono esgono ettgono ottgono enngono ecgono

4 irconferenz e cerchio = irconferenz = re = imetro Settore circolre r l π = π r r = π = π r r = π = π = π = ngolo el settore, l = lunghezz ell rco l = π r 180 r = π r = l π 360 = π r l 180 = π r 360 r = π oron circolre r R r = rggio el cerchio interno, R = rggio el cerchio esterno, = re ( ) = π R r Poligono circoscritto un circonferenz p = perimetro el poligono, p = semiperimetro = re el poligono r = rggio el cerchio inscritto = p r r = p p = r Tringolo inscritto e cricoscritto un circonferenz R r = re el tringolo,, c lti el tringolo R = rggio el cerchio circoscritto r = rggio el cerchio inscritto p = semiperimetro c c = R = r = 4 R 4 p 4

5 . Prime efinizioni i geometri rzionle Enti primitivi. Gli enti primitivi ell geometri sono punto, rett, pino. Semirett. Si chim semirett l prte i rett costituit un punto i ess, etto origine ell semirett, e tutti i punti che stnno ll stess prte rispetto ll origine. Semipino. Si ice semipino i origine l rett r l figur formt ll rett r e un elle ue prti in cui ess ivie il pino. Segmento. Si chim segmento l insieme ei punti e e i tutti quelli che stnno tr e. Segmenti consecutivi. Due segmenti si icono consecutivi se hnno in comune soltnto un estremo. Segmenti icenti. Due segmenti si icono icenti se sono consecutivi e pprtengono ll stess rett. D E F Figur 1. e sono segmenti consecuti; DE e EF sono segmenti icenti. Punto meio. Si chim punto meio i un segmento il punto interno l segmento che lo ivie in ue prti congruenti. ngolo Si ice ngolo ciscun elle ue prti in cui un pino è iviso ue semirette venti l origine in comune; le semirette si icono lti ell ngolo; l origine comune lle ue semirette si ice vertice ell ngolo. ngolo concvo. Un ngolo si ice concvo se contiene i prolungmenti ei suoi lti. ngolo convesso. Un ngolo si ice convesso se non contiene i prolungmenti ei suoi lti. L ngolo in grigio è concvo poiché contiene i prolungmenti ei suoi lti L ngolo in grigio è convesso poiché non contiene i prolungmenti ei suoi lti ngolo pitto è quello che h i lti che sono uno il prolungmento ell ltro. ngolo nullo è quello costituito solo ue semirette sovrpposte. ngolo giro è quello che h per lti ue semirette sovrpposte e che contiene tutti i punti el pino. ngolo retto è l ngolo metà ell ngolo pitto. ngoli consecutivi. Due ngoli si icono ngoli consecutivi se hnno il vertice e un lto comune e gicciono prte oppost rispetto l lto comune. ngoli icenti. Due ngoli si icono ngoli icenti se sono consecutivi e se i lti non comuni gicciono sull stess rett. 5

6 γ δ Figur. Gli ngoli e sono consecutivi; gli ngoli γ e δ sono icenti ngoli opposti l vertice. Due ngoli convessi si icono ngoli opposti l vertice se i lti el primo sono i prolungmenti ei lti ell ltro. isettrice. Si ice isettrice i un ngolo l semirett che h origine nel vertice ell ngolo e ivie l ngolo in ue ngoli congruenti. ngoli complementri. Due ngoli si icono complementri se l loro somm è un ngolo retto. ngoli supplementri. Due ngoli si icono supplementri se l loro somm è un ngolo pitto. ngoli esplementri. Due ngoli si icono esplementri se l loro somm è un ngolo giro. ngolo cuto. Un ngolo si ice cuto se è minore i un ngolo retto. ngolo ottuso. Un ngolo si ice ottuso se è mggiore i un ngolo retto. Misur egli ngoli Sistem sessgesimle (DEG). L unità i misur per gli ngoli è il gro, efinito come l 360 prte ell ngolo giro. I sottomultipli el gro sono il primo che è l sessntesim prte i un gro (60 =1 ) e il secono che è l sessntesim prte el primo (60 =1 ). Sistem sessecimle (GRD). Nel sistem sessecimle l unità è sempre il gro m i suoi sottomulpli sono il ecimo i gro, il centesimo i gro, ecc. Esempio. Pssre gri sessecimli sessgesimli: 35,1 = 35 0,1 60' = 35 7,' = 35 7' 0, 60" = 35 7'1" Rinti (RD). Un'ltr unità i misur per i gri è il rinte, efinito come ngolo l centro i un circonferenz tle che l misur ell rco esso iniviuto è ugule ll misur el rggio ell circonferenz. Per pssre gri rinti e vicevers si us quest proporzione 180 : gr = π : r Dove gr è l misur in gri ell ngolo, r è l misur inrinti ello stesso ngolo. 1 r = 180 = 57,9578 = π π 3 Esempio. Trsformre 135 in rinti. 180 :135 = π : r r = = π Rette complnri. Due rette si icono complnri se pprtengono uno stesso pino. Rette sgheme. Due rette si icono sgheme se non pprtengono uno stesso pino. Rette incienti. Due rette complnri si icono incienti se hnno uno, e uno solo, punto in comune. Rette prllele. Due rette complnri che non hnno nessun punto in comune si icono prllele. Rette perpenicolri. Due rette si icono perpenicolri se incontrnosi formno quttro ngoli retti. Distnz punto-rett. L istnz i un punto P un rett r è il segmento i perpenicolre contt l punto ll rett. sse i un segmento. Si ice sse i un segmento l rett perpenicolre l segmento e pssnte per il punto meio. 6

7 Figur concv o convess. Un figur si ice convess se, consierti ue qulsisi suoi punti, il segmento che li unisce è contenuto nell figur. Si ice concv se esistono lmeno ue punti per i quli il segmento che li unisce non è intermente contenuto nell figur. F G Figur. L figur F è concv perché il segmento che unisce i suoi punti e ce in prte esternmente F; G è convess perché tutti i suoi punti sono uniti segmenti che cono sempre internmente G Figure congruenti. Due figure si icono congruenti quno esiste un movimento rigio che le sovrppone perfettmente. Rette prllele tglite un trsversle. Due rette prllele tglite un trversle formno le seguenti coppie i ngoli γ δ δ' ' γ' ' lterni interni congruenti: γ= ; =δ lterni esterni congruenti: γ =; =δ corrisponenti congruenti: = ; = ; γ= γ ; δ =δ coniugti interni supplementri: γ+δ =180 ; +=180 coniguti esterni supplementri: γ +δ=180 ; + =

8 3. Tringoli Si ice ltezz reltiv un lto il segmento i perpenicolre l lto conott l vertice opposto. Si ice mein reltiv un lto il segmento che unisce il punto meio el lto con il vertice opposto. Si ice isettrice i un ngolo l semirett uscente l vertice ell ngolo e che ivie metà l ngolo stesso. Si ice sse i un lto l rett perpenicolre l lto e pssnte per il suo punto meio. riteri i congruenz ei tringoli Dti ue tringoli come in figur c ' ' c' γ 1 criterio: i ue tringoli sono congruenti se hnno congruenti ue lti e l ngolo compreso = ; = ; γ=γ criterio: i ue tringoli sono congruenti se hnno congruenti un lto e i ue ngoli esso icenti = ; = ; c=c 3 criterio: i ue tringoli sono congruenti se hnno congruenti rispettivmente i tre lti = ; = ; c=c riteri i congruenz ei tringoli rettngoli Due tringoli rettngoli sono congruenti se hnno orintmente congruenti: ue cteti; un cteto e un ngolo cuto; l ipotenus e un ngolo cuto; l ipotenus e un cteto. Proprietà i ngoli e lti i un tringolo In un tringolo ogni ngolo esterno è mggiore i ciscuno egli ngoli interni esso non icenti. In un tringolo un ngolo esterno è congruente ll somm ei ue ngoli interni esso non icenti. φ In un tringolo l somm egli ngoli interni è un ngolo pitto. In un tringolo l somm egli ngoli esterni vle 360. In un tringolo con ue lti isuguli, lto mggiore è opposto ngolo mggiore. In un tringolo con ue ngoli isuguli, ll ngolo mggiore è opposto il lto mggiore. In un tringolo ciscun lto è minore ell somm egli ltri ue e mggiore ell loro ifferenz. γ' ϕ = + ' ' 8

9 c <+c, <+c, c<+ > -c, > -c, c> - In un tringolo rettngolo gli ngoli cuti sono complementri. Se per il punto meio i un lto si trcci l prllel un ltro lto, ess tgli il terzo lto nel suo punto meio. ongiungeno ue punti mei i ue lti i un tringolo si ottiene un segmento prllelo l terzo lto e congruente ll su metà. Proprietà el tringolo isoscele Definizione. Un tringolo che h ue lti congruenti si ice isoscele. In un tringolo isoscele gli ngoli icenti ll se sono congruenti. In un tringolo isoscele l isettrice ell ngolo l vertice è mein e ltezz. Punti notevoli i un tringolo Gli ssi ei lti i un tringolo si incontrno in uno stesso punto etto circocentro. Le isettrici egli ngoli interni i un tringolo pssno per uno stesso punto etto incentro. Le ltezze i un tringolo si incontrno in uno stesso punto etto ortocentro. Le meine i un tringolo si incontrno in uno stesso punto etto ricentro. Figur. Il punto D è l intersezione elle ltezz, quini è l ortocentro. Il punto E è l incontro elle isettrici, quini è l incentro. Il punto I è l intersezione elle meine, quini il ricentro. Teoremi sul tringolo rettngolo Teorem i Pitgor. In un tringolo rettngolo l somm ei qurti costruiti sui cteti è equivlente l qurto costruito sull ipotenus. 9

10 1 teorem i Euclie. In un tringolo rettngolo il qurto costruito su un cteto è equivlente l rettngolo vente per lti l ipotenus e l proiezione i quel cteto sull ipotenus. teorem i Euclie. In ogni tringolo rettngolo il qurto costruito sull ltezz reltiv ll ipotenus è equivlente l rettngolo vente per lti le proiezioni ei cteti sull ipotenus. Teorem i Tlete. Un fscio i rette prllele tglite ue trsversli etermin su i esse ue insiemi i segmenti irettmente proporzionli. r r = = ' ' ' ' ' ' Figur 3. Teorem i Tlete Teorem ell isettrice ell ngolo interno. L isettrice i un ngolo interno i un tringolo ivie il lto opposto in prti proporzionli gli ltri ue lti. K :=K:K Teorem ell isettrice ell ngolo esterno. L isettrice i un ngolo esterno i un tringolo, se non è prllel l lto opposto, incontr il prolungmento el lto opposto in un punto le cui istnze gli estremi el lto stnno fr loro come i lti icenti. D H isettrice ell ngolo esterno D H punti i intersezione tr l isettrice e il prolungmento el lto. Il teorem fferm che :=H:H Teorem ell prllel un lto. In un tringolo un qulsisi prllel un lto che intersec gli ltri ue lti etermin su i essi segmenti in proporzione. H 10

11 E D E:E=D:D riteri i similituine ei tringoli 1 criterio. Due tringoli sono simili se hnno ue ngoli orintmente congruenti, cioè isposti llo stesso moo rispetto ll ngolo tr essi compreso. criterio. Due tringoli sono simili se hnno ue lti proporzionli e l ngolo tr essi compreso congruente. 3 criterio. Due tringoli sono simili se hnno i tre lti proporzionli. Proprietà ei tringoli simili In ue tringoli simili le ltezze, le meine e le isettrici che si corrisponono sono proporzionli un coppi i lti omologhi, il loro rpporto è ugule l rpporto i similituine. In ue tringoli simili i perimetri sono proporzionli un coppi i lti omologhi, il loro rpporto è ugule l rpporto i similituine. In ue tringoli simili le ree sono proporzionli l qurto i un coppi i lti omologhi, cioè il loro rpporto è ugule l qurto el rpporto i similituine. Due tringoli equilteri sono sempre simili. Due tringoli rettngoli, con un ngolo cuto congruente, sono simili. Due tringoli isosceli, con gli ngoli l vertice congruenti, sono simili. 4. Poligoni Proprietà egli ngoli i un poligono L somm egli ngoli interni i un poligono convesso i n lti è congruente n- ngoli pitti. L somm egli ngoli esterni i un poligono è sempre congruente ue ngoli pitti. γ' ' γ δ' ' φ δ φ' Somm egli ngoli interni ++γ+δ+φ=(n-)180 Somm egli ngoli esterni + +γ +δ +φ =

12 Proprietà el prllelogrmm Definizione. Si ice prllelogrmm un quriltero convesso che h i lti opposti prlleli tr i loro. O δ γ D Il prllelogrmm h Lti opposti congruenti: =D; D= ngoli opposti congruenti: =γ; =δ ngoli icenti llo stesso lto sono supplementri: +δ = 180 ; γ+=180 Le igonli si incontrno nel loro punto meio O=O; DO=O Il punto i incontro elle igonli è il centro i simmetri Proprietà el rettngolo Definizione. Si ice rettngolo un prllelogrmm che h tutti gli ngoli congruenti. Il rettngolo h le igonli congruenti. Proprietà el romo Definizione. Si chim romo il prllelogrmm che h tutti i lti congruenti Il romo h: le igonli perpenicolri; le igonli sono isettrici egli ngoli opposti. Poligoni inscritti e circoscritti un circonferenz Un poligono si ice inscritto in un circonferenz se tutti i suoi vertici sono punti ell circonferenz; l circonferenz si ice circoscritt l poligono; il rggio ell circonferenz si ice nche rggio el poligono. Un poligono si ice circoscritto un circonferenz se tutti i suoi lti sono tngenti ll circonferenz; l circonferenz si ice inscritt nel poligono, il rggio ell circonferenz si ice potem el poligono. potem Poligono inscritto Poligono circoscritto Teorem. Un poligono è inscriviile in un circonferenz se gli ssi ei suoi lti si incontrno tutti nello stesso punto. Teorem. Un poligono è circoscriviile un circonferenz se le isettrici ei suoi ngoli interni si incontrno tutte nello stesso punto. 1

13 Teorem. Un quriltero inscritto in un circonferenz h gli ngoli opposti supplementri; vicevers un quriltero con un coppi i ngoli opposti supplementri è inscriviile in un circonferenz. +=180 +δ=180 δ γ Teorem. In un quriltero circoscritto un circonferenz l somm i ue lti opposti è congruente ll somm egli ltri ue lti; vicevers se in un quriltero l somm i ue lti opposti è congruente ll somm egli ltri ue lti esso è circoscriviile un circonferenz. +c=+ c Teorem i Tolomeo. In un quriltero inscritto in un circonferenz risult che: il rettngolo che h per imensioni le igonli el quriltero è equivlente ll somm ei rettngoli che hnno per lti i lti opposti el quriltero. c n m m n= c+ Definizione. Un poligono si ice poligono regolre se h tutti i lti congruenti e tutti gli ngoli congruenti. Teorem. Ogni poligono regolre è si inscriviile si circoscriviile un circonferenz e le ue circonferenze hnno lo stesso centro. Similituine tr poligoni Due poligoni i ugule numero i lti sono simili se hnno i lti omologhi in proporzione e gli ngoli orintmente congruenti. 13

14 5. irconferenz e cerchio Definizioni Si chim circonferenz il luogo ei punti el pino che hnno istnz costnte un punto fisso etto centro. Si chim cerchio l insieme ei punti i un circonferenz e ei suoi punti interni. Si chim cor un qulsisi segmento i cui estremi sono punti ell circonferenz. Si chim segmento circolre i se un cor ciscun elle ue prti in cui l cor ivie il cerchio. Si chim segmento circolre ue si l prte i cerchio elimitt ue core. Si chim rco i circonferenz l prte i circonferenz elimitt ue suoi punti. Si chim ngolo l centro un ngolo che h il vertice nel centro ell circonferenz. Si chim ngolo ll circonferenz un ngolo che h il vertice sull circonferenz e i lti entrmi secnti o uno secnte e l ltro tngente ll circonferenz. Si chim settore circolre un prte i cerchio elimitt ue rggi. Teorem ell tngente. Se un punto esterno un circonferenz si mnno le tngenti ll circonferenz stess, i segmenti i tngente sono congruenti e l semirett i orgine il punto esterno e pssnte per il centro è isettrice ell ngolo formto lle tngenti. O T P PT e PT sono tngenti PT=PT TPO= OPT ' OTP = OT ' P = 90 T Teorem ell ngolo l centro. Ogni ngolo ll circonferenz è l metà el corrisponente ngolo l centro. Teorem elle core. Se ue core i un circonferenz si intersecno, i segmenti ell un sono i mei e i segmenti ell ltr sono gli estremi i un proporzione. K DK:K=K:K D 14

15 Teorem elle secnti. Se un punto esterno un circonferenz si trccino ue secnti, un secnte e l su prte estern sono i mei, l ltr secnte e l su prte estern sono gli estremi i un proporzione. P P:PD=P:P D Teorem ell secnte e ell tngente. Se un punto esterno un circonferenz si conucono un secnte e un tngente ll circonferenz, il segmento i tngente è meio proporzionle fr l inter secnte e l su prte estern. P T P:PT=PT:P Sezione ure. L prte ure i un segmento è il segmento D che è meio proporzionle tr l intero segmento e l prte rimnente D, quini :D=D:D. D 5 1 D= = 0,618 Rpporto ureo. Si chim rpporto ureo il rpporto tr un segmento e l su prte ure, questo 1+ 5 rpporto vle ϕ = = 1,618. D Rettngolo ureo. Si ice rettngolo ureo un rettngolo nel qule il rpporto tr l se e l ltezz è il rpporto ureo. 15

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