Curriculum dell attività scientifica e didattica di Antonio Lotta. Dati anagrafici e breve curriculum vitae

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1 Curriculum dell attività scientifica e didattica di Antonio Lotta Dati anagrafici e breve curriculum vitae Dati anagrafici: Nato a Taranto il 24/11/ lotta@dm.uniba.it Laureato in Matematica il 23/3/1995 presso l Università degli studi di Bari (votazione 110/110 e Lode) con tesi in Geometria Differenziale dal titolo Immersioni minimali in spazi Euclidei ed immersioni minimali inclinate in varietà di Kähler. Relatrice: Prof.ssa Anna Maria Pastore. Vincitore di una borsa di studio del CNR per laureandi (Bando n ), della durata di 12 mesi a decorrere dall 1/7/1995, di cui ha continuato ad usufruire dopo la laurea, su richiesta della Prof.ssa A.M. Pastore, per svolgere attività di studio e di ricerca sotto la sua direzione presso il Dipartimento di Matematica dell Università di Bari. Titolo di Dottore di Ricerca in Matematica conseguito il 27/4/2001 presso l Università di Pisa, discutendo una tesi finale dal titolo: Cartan connections on CR manifolds. Tutore: Prof. Mauro Nacinovich. Titolare nel periodo dal 16/8/2000 al 31/10/2001 di un assegno di ricerca su Applicazioni e morfismi armonici, presso il Dipartimento Interuniversitario di Matematica di Bari. Posizione attuale: Ricercatore confermato presso il Dipartimento di Matematica della Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali dell Università di Bari. Settore: MAT/03. Attività di ricerca Il Dott. A. Lotta svolge attività di ricerca nell ambito della Geometria Differenziale. I principali temi di interesse sono le proprietà geometriche delle varietà di Cauchy-Riemann, la Geometria di Contatto e le Geometrie di Cartan. Nei lavori sviluppati sono trattati in particolar modo i seguenti temi: simmetrie e connessioni adattate per varietà CR di codimensione maggiore di uno; caratterizzazione e studio delle strutture di Cauchy-Riemann dal punto di vista delle Geometrie di Cartan e dal punto di vista della geometria di contatto; forme spaziali e mutazioni di modelli per le Geometrie di Cartan; sottovarietà notevoli di varietà metriche di contatto; proprietà di curvatura e simmetrie delle metriche di Webster e Sasakiane. 1

2 Elenco delle pubblicazioni 1. A. Lotta: Slant submanifolds in contact geometry, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roum. Nouv. Sr. 39 (1996), No.1-4, A. Lotta: Three-dimensional slant submanifolds of K-contact manifolds, Balkan J. Geom. Appl. 3 (1998), no. 1, A. Lotta: Foliations of the Sasakian space R 2n+1 by minimal slant submanifolds, Acta Math. Hungar. 84 (1999), no. 1-2, A. Lotta: Cartan connections on CR manifolds. (Abstract of thesis). Boll. Unione Mat. Ital., Sez. A, Mat. Soc. Cult. (8) 4 (2001), No.3, A. Lotta: On model mutation for reductive Cartan geometries and non-existence of Cartan space forms, Kodai Math. J. 27 (2004), no. 2, A. Lotta, A.M. Pastore: The Tanaka-Webster connection for almost S-manifolds and Cartan geometry, Arch. Math. (Brno) 40 (2004), no. 1, A. Lotta, M. Nacinovich: On a class of symmetric CR manifolds, Adv. Math. 191 (2005), no. 1, G. Dileo, A. Lotta: On the structure and symmetry properties of almost S-manifolds, Geom. Dedicata 110 (2005), A. Lotta, M. Nacinovich: CR-admissible Z 2 -gradations and CR symmetries, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 187 (2008), no. 2, G. Dileo, A. Lotta: A classification of spherical symmetric CR manifolds, Bull. Austr. Math. Soc. 80 (2009), A. Lotta: Non existence of homogeneous contact metric manifolds of nonpositive curvature, Tohoku Math. J. 62 (2010), G. Dileo, A. Lotta: Generalized pseudohermitian manifolds, Forum Math. 24 (2012) p G. Dileo G, A. Lotta: Levi-parallel contact Riemannian manifolds, Math. Z., on print. 2

3 Breve descrizione dei risultati pubblicati fino al 2009 Nel seguito si farà riferimento ai lavori elencati nel paragrafo Elenco delle Pubblicazioni mediante il numero progressivo tra parentesi tonde ( ). Il riferimento ad altre pubblicazioni in letteratura, prensenti nella bibliografia alla fine di questo paragrafo, sarà fatto mediante numero progressivo tra parentesi quadre [ ]. Nei lavori (1),(2),(3) si è introdotta e studiata la nozione di sottovarietà inclinata (slant submanifold) nell ambito della geometria di contatto, quale generalizzazione naturale dei concetti di sottovarietà invariante e di sottovarietà anti-invariante. Tale nozione costituisce l analago di quella di sottovarietà inclinata nell ambito della geometria (quasi) Hermitiana, dovuta a B.Y. Chen [5]. Una sottovarietà N di una varietà quasi di contatto metrica M (si veda [1]), con struttura (ϕ, ξ, η, g), è detta inclinata se, per ogni punto x M, e per ogni vettore tangente X ad N in x, linearmente indipendente da ξ x, l angolo θ(x, X) che il vettore ϕx forma con lo spazio tangente in x ad N, è costante al variare di x e di X. In (1) si è provato che, fissata una varietà M con struttura quasi di contatto metrica, la classe delle sottovarietà inclinate di M consta di due sottoclassi, determinate dal comportamento del campo caratteristico ξ di M rispetto alle sottovarietà. Tale campo risulta tangente ad una sottovarietà inclinata se solo se essa è di dimensione dispari, mentre è ortogonale se e solo se la sottovarietà ha dimensione pari. Ulteriori risultati si ottengono considerando varietà ambiente con strutture più forti, ad esempio di contatto metriche e K contatto. Tra questi si segnala un teorema di caratterizzazione intrinseca di sottovarietà inclinate in varietà con struttura di K contatto, in termini della curvatura sezionale relativa alla metrica indotta sulle sottovarietà. Una classe di esempi è esibita in (2), dove si prova l esistenza di sottovarietà inclinate di dimensione 3, con angolo di inclinazione assegnato, nella space form Sasakiana R 2n+1 di curvatura ϕ-sezionale -3. In particolare, per ogni ϑ [0, π 2 ], si sono determinate distribuzioni tridimensionali involutive su R 2n+1 le cui sottovarietà integrali sono minimali ed inclinate con angolo ϑ. In (3) è studiata la geometria intrinseca di sottovarietà inclinate di dimensione 3 di varietà di K contatto. In particolare, si è provato che tali sottovarietà risultano a curvatura sezionale quasi costante, e se ne è mostrata l omogeneità locale nell ipotesi di curvatura orizzontale costante. Il lavoro (4) è una sintesi dei risultati ottenuti nella Tesi di Dottorato del sottoscritto dal titolo Cartan Connections on CR manifolds, relatore il Prof. Mauro Nacinovich dell Università degli Studi di Pisa. Essa riguarda lo studio di strutture almost CR astratte, di codimensione arbitraria, dal punto di vista della geometria di Cartan. L approccio di E. Cartan allo studio di strutture geometriche su varietà è una naturale generalizzazione del Programma di Erlangen di F. Klein (si veda [9]). Una sruttura almost CR su una varietà differenziabile reale M consiste nel dato di un sottofibrato HM del fibrato tangente T M e di una struttura complessa J : HM HM su HM, tale che, comunque si assegnino delle sezioni X, Y di HM, il campo vettoriale [X, Y ] [JX, JY ] è ancora una sezione di HM. La codimensione CR della struttura (HM, J) si definisce come la codimensione reale del sottofibrato HM. Il risultato principale della tesi è una generalizzazione di un classico risultato di N. Tanaka ([10]), secondo cui ad ogni struttura CR fortemente regolare di tipo ipersuperficie (cioè avente codimensione CR uno), ed avente forma di Levi non degenere, è associata in modo canonico un unica connessione di Cartan normale con essa compatibile. 3

4 La generalizzazione consiste nella trattazione di strutture almost CR ancora fortemente regolari, ma aventi codimensione CR arbitraria, e la cui algebra di Levi Tanaka (cfr. [7]) è semisemplice. La tecnica dimostrativa utilizzata, basata sulla nozione di gauge di Cartan, differisce da quella di Tanaka, rendendo più semplice l effettiva costruzione della connessione di Cartan canonica. Nella suddetta tesi sono presentati alcuni esempi di calcolo della connessione e della relativa curvatura in casi concreti. Facendo riferimento alla classificazione delle algebre di Levi Tanaka semisemplici, nella tesi si stabilisce anche che, in quasi tutti i casi, con alcune eccezioni, la geometria di Cartan canonicamente associata ad una struttura CR nelle ipotesi di cui sopra, è una geometria parabolica, secondo la definizione introdotta recentemente da A. Čap and H. Schichl (si veda [4]). Ancora nella tesi si prova la non esistenza di Cartan space forms non piatte nell ambito della geometria CR; si mostra cioè che se la curvatura della connessione di Cartan canonica è costante, essa è necessariamente nulla. L articolo (5) concerne aspetti di naturale più generale delle Geometrie secondo Cartan. In tale teoria una struttura geometrica è sempre modellata su uno spazio omogeneo G/H, o più generalmente su uno spazio omogeneo infinitesimo (g, h) ed è definita formalmente come una connessione di Cartan su un fibrato principale il cui gruppo strutturale ha per algebra di Lie h. Viene esaminato in modo dettagliato il problema della mutazione del modello, concetto introdotto e sviluppato per la prima volta in [9]. Si prova che, contrariamente a quanto affermato in [9], nel caso di geometrie con modello infinitesimo riduttivo, per le quali sussite una decomposizione g = h m con m un H-modulo, non è sempre possibile mutare il modello in modo che [m, m] = 0. Per tener conto di questo fenomeno si introduce quindi la nozione di modello non simmetrico. Si mostra che l ostruzione ad una tale mutazione è l esistenza di forme spaziali e che, per una certa classe di modelli, i due problemi sono equivalenti. Si fornisce quindi una serie di esempi di Geometrie di Cartan con modello non simmetrico e di modelli infinitesimi che non ammettono forme spaziali. Tra le prime rientrano le strutture Sasakiane. I lavori (7) e (9) sono dedicati all investigazione delle proprietà di simmetria per varietà CR aventi codimensione arbitraria. Una varietà quasi CR è detta simmetrica (si veda [6]) se ammette una metrica Riemanniana g, Hermitiana su (HM, J), tale che, per ogni punto x M esista una simmetria σ x. Si richiede che σ x sia un isometria CR che lasci fisso x ed il cui differenziale concida con Id sul sottospazio D (x) H x M di T x M. Qui D X(M) è il modulo generato dalle sezioni differenziabili di HM. Nel lavoro (7) si prova che ogni varietà CR standard compatta è uno spazio simmetrico CR. Una varietà CR standard è una varietà CR fortemente regolare nel senso di N. Tanaka [10], il cui gruppo strutturale ha dimensione massima (si veda [7]). Questo risultato è ottenuto sfruttando l immersione naturale di una tale varietà M come sottovarietà CR generica di una varietà bandiera complessa F [7]. Si prova quindi l esistenza di metriche Hermitiane invarianti su F la cui restrizione ad M è dotata di CR-simmetrie. Risulta inoltre che tali varietà CR standard appartengono ad una più ampia classe di sottovarietà CR simmetriche, compatte, di varietà bandiera complesse. Sia F = G C /Q una varietà bandiera complessa, con G C gruppo semisemplice complesso e Q sottogruppo parabolico. La classe di varietà CR in questione consiste di orbite compatte per l azione olomorfa di una forma reale G G C. Si è provato in (7) e (9) che una tale orbita è uno 4

5 spazio simmetrico CR rispetto alla restrizione della metrica di Killing della varietà bandiera ambiente se e solo se la corrispondente algebra parabolica CR (g, q) dove Lie(g) = G e Lie(q) = Q, ammette una Z 2 -gradazione compatibile con la struttura CR. La classificazione di tali orbite simmetriche è quindi ricondotta a quella delle le algebre CR paraboliche minimali fondamentali dotate di una Z 2 -gradazione compatibile. Il lavoro (7) contiene la classificazione completa, ottenuta mediante diagrammi di Satake (diagrammi di Satake crociati). Il lavoro (6) riguarda una particolare classe di varietà CR dette quasi-s-varietà che comprende come casi particolari le varietà di contatto metriche (cf. [2]). Si tratta di varietà CR Hermitiane (M, HM, J, g) per le quali HM è un fibrato banale e dotato di un riferimento ortonormale ξ 1,..., ξ s le cui forme duali η i soddisfano: dη i = Φ, i = 1,..., s. Qui Φ è la 2-forma con nucleo HM determinata da X, Y ΓHM Φ(X, Y ) = g(x, JY ). Una S-struttura è quindi definita mediante l ulteriore condizione di normalità [ϕ, ϕ] + 2dη i ξ i = 0. dove ϕ è la f-struttura con nucleo HM, prolungamento di J. Nel caso in cui la codimensione CR è uno, si tratta delle varietà di Sasaki. Si prova in (6) che una tale struttura CR è dotata di una connessione canonica con torsione, adattata ad essa. Si tratta di una generalizzazione della nozione di connessione di Tanaka-Webster associata ad una struttura CR fortemente pseudocovessa di tipo ipersuperfice (cf. [10]). Si prova anche, esibendo esempi, che esistono varietà dotate di quasi S-strutture non normali, la cui connessione canonica è piatta (contrariamente a quanto avviene per il tipo ipersuperficie). Infine si risolve il problema dell equivalenza per le S-strutture, caratterizzandole come Geometria di Cartan con un opportuno modello infinitesimo riduttivo. Nel lavoro (8) si approfondisce lo studio delle proprietà geometriche delle (quasi)-svarietà iniziato nel lavoro (6). Si prova che una S-varietà semplicemente connessa con codimensione CR maggiore o uguale a 2 è non compatta. Ciò si ottiene classificando le S-varietà complete come prodotti N R s 1 dove N è una varietà di Sasaki, dotati di un opportuna metrica prodotto. Si prova inoltre che una S-varietà è uno spazio simmetrico CR se e solo se la corrispondende connessione di Tanaka-Webster ha curvatura parallela. Esibendo esempi, si mostra invece che per S- strutture non normali, le due proprietà sono indipendenti. Infine, in (10) si classificano le varietà CR fortemente pseudoconvesse di tipo ipersuperficie, semplicemente connesse, sferiche, la cui metrica di Webster è CR-simmetrica. La sfericità consiste nella locale equivalenza CR con la sfera S 2n+1, condizione che si caratterizza con l annullarsi del tensore di Chern-Moser-Tanaka o equivalentemente del tensore di curvarura di tipo Bochner B determinato dalla connessione di Tanaka-Webster ([10],[8]). La classificazione ottenuta è principalmente basata sul calcolo del tensore B nel caso in cui la metrica di Webster soddisfa la condizione di (k, µ)-nullità (cf. [3]) R(X, Y )ξ = k(η(y )X η(x)y ) + µ(η(y )hx η(x)hy ) k, µ R 5

6 dove R è il tensore di curvatura Riemanniano, η è la struttura di contatto (o struttura pseudohermitiana), ξ il campo di Reeb e h = 1 2 L ξϕ. Per le metriche di Webster non Sasakiane, viene provato infatti che la (locale) simmetria CR è equivalente a tale condizione. Risulta che B si annulla se e solo se µ = 2 e ciò porta alla classificazione. Bibliografia 1. D.E. Blair: Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds. Progress in Mathematics 203, Birkhäuser, Boston, D.E. Blair: Geometry of manifolds with structural group U(n) O(s) J. Differ. Geom. 4 (1970), D.E. Blair, T. Koufogiorgos, B. J. Papantoniou: Contact metric manifolds satisfying a nullity condition, Israel J. Math. 91 (1995), A. Čap, H. Schichl: Parabolic geometries and canonical Cartan connections, Hokkaido Math. J. 29, (2000) 5. B. Y. Chen: Slant immersions, Bull. Austral. Math. Soc. vol. 41, (1990) 6. W. Kaup, D. Zaitsev: On Symmetric Cauchy Riemann Manifolds, Adv. Math. 149 (2000), C. Medori, M. Nacinovich: Levi-Tanaka algebras and homogeneous CR manifolds, Compositio Math. 109 (1997), K. Sakamoto, Y. Takemura: Curvature invariants of CR-manifolds, Kodai Math. J. 4 (1981), R.W. Sharpe: Differential geometry. Cartan s generalization of Klein s Erlangen program, Graduate Texts in Mathematics 166, Springer-Verlag, New York, N. Tanaka: On non-degenerate real hypersurfaces, graded Lie algebras and Cartan connections, Japan. J. Math. 20 (1976),

7 Conferenze e seminari tenuti Comunicazione dal titolo Sottovarietà inclinate in geometria di contatto nell ambito del convegno Nuovi contributi italiani alla Geometria Differenziale, svoltosi presso il Dipartimento di Matematica dell Università di Bari, nel periodo 3 6 Settembre Seminario su invito dal titolo Connessioni di Cartan su varietà CR presso il Dipartimento di Matematica, Università di Parma (Marzo 2001). Seminario su invito dal titolo On symmetric CR manifolds and minimal orbits in complex flag manifolds - Università di Shizuoka (Giappone) (Febbraio 2003). Conferenza dal titolo Symmetric CR submanifolds of complex flag manifolds nell ambito del convegno Recent Developments in Real and Complex Geometry svoltosi presso il Grand Hotel Bellavista- Levico Terme (Trento) nel periodo 28 settembre- 1 Ottobre Comunicazione dal titolo Generalized Pseudohermitian Geometry, nell ambito del convegno Workshop on CR and Sasakian geometry, University of Luxembourg, Marzo Conferenza dal titolo Admissible metrics on contact manifolds, nell ambito del convegno Second Workshop on CR, Pseudo-Hermitian and Sasaki Geometry (Invited speaker), Institut de Mathmatiques, Neuchtel, 3-5 Maggio Comunicazione dal titolo Metriche ammissibili su varieta di contatto, PRIN Workshop New Trends in Differential Geometry L Aquila, 7-9 Settembre Comunicazione dal titolo Metriche ammissibili su varieta di contatto, XIX Congresso dell UMI, Bologna Settembre Conferenza dal titolo Special metrics on almost CR manifolds, XVII Geometrical Seminar, Zlatibor, Serbia 3-8 Settembre Attività di referee per riviste scientifiche Il sottoscritto ha svolto attività di referee per le seguenti riviste scientitifiche a diffusione internazionale: -SIGMA. Symmetry, Integrability and Geometry. Methods and Applications. -Note di Matematica. -Ricerche di Matematica. Attività organizzative e partecipazione a progetti di ricerca Il Dott. Lotta ha contribuito all organizzazione delle seguenti attività: Una serie di seminari a carattere interdisciplinare denominata Conversazioni Matematiche. Questi incontri, rivolti anche a studenti e dottorandi della Facoltà di Scienze, si sono svolti presso il Dipartimento di Matematica di Bari, a partire dall anno 2004 ( Seminario di Matematica di Bari: -seminario su invito del Prof. C. Medori (Università di Parma), Marzo

8 -seminario su invito del Prof. M. Nacinovich (Università di Roma Tor Vergata), Maggio seminario su invito del Dott. A. Altomani (Università di Roma Tor Vergata), Settembre Il Dott. Lotta è stato con continuità membro dei seguenti gruppi ricerca: Gruppo di Ricerca Geometria Differenziale afferente la quota di bilancio 60% presso l Università degli Studi di Bari. Coordinatore: Prof.ssa A.M. Pastore (Università di Bari). Progetto Nazionale (ex 40%) Proprietà geometriche delle Varietà Reali e Complesse. Coordinatore nazionale: Prof. V. Ancona (Università di Firenze). Progetto Nazionale (ex 40%) Analisi Complessa e varietà di Cauchy-Riemann. Coordinatore nazionale: Prof. C. Rea (Università di Roma Tor Vergata). Gruppo Nazionale Strutture Algebriche, Geometriche e loro Applicazioni (GNSAGA). Sezione 1 Geometria Differenziale. Attività didattica recente (dal 2004) svolta presso l Università di Bari, Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Insegnamenti tenuti come titolare: - Matematica Discreta per il Corso di Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale (sezione distaccata a Taranto), negli anni a.a. 2004/05, 2005/06,2006/07. - Geometria 3 per il Corso di Laurea in Matematica a.a. 2007/08. - Geometria 1 per il Corso di Laurea in Matematica a.a. 2009/10. Corsi di esercitazioni svolti presso il Corso di Laurea in Matematica: Insegnamenti di Geometria 1, Geometria 2, Geometria 3, Geometria 4, Istituzioni di Geometria Superiore 2, Laboratorio Matematico-Informatico, Geometria Riemanniana. Il sottoscritto è stato inoltre relatore delle seguenti Tesi di Laurea: Teoremi di rigidità per ipersuperfici di R n (Candidato: M. Iacobellis), Laurea quadriennale in Matematica, a.a. 2005/06 L invarianza topologica della dimensione (Candidata: L. Palmisano), Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2007/08 G-strutture di tipo finito e connessioni naturali (Candidato: I. Lacirasella), Laurea Specialistica in Matematica, a.a. 2008/09. 8