Appunti di Geometria Analitica. Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano

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1 Appunti di Geometria Analitica In questi brevi appunti, richiameremo alcune nozioni di geometria analitica studiate negli anni precedenti: in particolare, rivedremo il concetto di coordinate cartesiane e alcune curve fondamentali nel piano cartesiano: la retta, la parabola e la circonferenza. Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano Consideriamo un piano e, su di esso, due rette fra loro perpendicolari e un'unità di misura u. Indichiamo come punto (origine) il punto di incontro delle rette e ad esso assegniamo la coppia di valori (0, 0). Sulla retta orizzontale fisso il punto ottenuto riportando a destra di l'unità di misura. AH,3L Sulla retta verticale fisso il punto ottenuto riportando in alto rispetto ad l'unità di misura. Dal primo punto 3 ottenuto mando la verticale e dal secondo l'orizzontale; UH,L chiamo U (,) il punto ottenuto. In questo modo ottengo una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali, nel senso che ad ogni coppia di numeri, corrisponde un punto nel piano e ad ogni punto nel piano corrisponde una coppia di numeri reali. Indicheremo con la notazione (x, y) la coppia di numeri reali associata ad ogni punto del piano (le sue coordinate) e chiameremo ascissa la x e ordinata la y. Con la costruzione precedente abbiamo diviso il piano in 4 parti che chiameremo quadranti e che, di solito, vengono indicati con numeri romani. Nel primo quadrante i punti hanno entrambe le coordinate positive, vedi ad esempio il punto A(, 3) Nel secondo quadrante i punti hanno la prima coordinata negativa e la seconda positiva, vedi ad esempio il punto B(-4, ) Nel terzo quadrante i punti hanno entrambe le coordinate negative, vedi ad esempio il punto C(-5, -3) Nel quarto quadrante i punti hanno la prima coordinata positiva e la seconda negativa, vedi ad esempio il punto D(3, -4) II I 4 AH,3L BH-4,L CH-5,-3L -4 DH3,-4L III IV L'asse orizzontale sarà chiamato asse x oppure asse delle ascisse e i suoi punti avranno sempre la seconda coordinata uguale a zero; (,0), (,0), (3,0) sono tutti punti sull'asse x. L'asse verticale sarà chiamato asse y oppure asse delle ordinate e i suoi punti avranno sempre la prima coordinata uguale a zero; (0,), (0,), (0,3) sono tutti punti sull'asse y.

2 Distanza fra due punti nel piano Consideriamo i punti nel piano: A = (x, y ) e B = (x, y ), e si voglia calcolare la misura della loro distanza. Per comodità supponiamo che entrambi i punti si trovino nel primo quadrante, la formula che otterremo sarà comunque valida in tutto il piano. Da A e B traccio le coordinate e considero il triangolo rettangolo ABH. Di esso conosco i cateti: AH = x x e BH = y y Utilizzando il Teorema di Pitagora posso trovare y B l'ipotenusa AB: AB =AH BH da cui: AB= AH BH A y H Sostituendo: AB= x x y y Esempio: trovare la distanza tra i punti A(4, ) e B(, 3): x x AB= 4 3 = 4 = 5 Notiamo che nel caso particolare che i due punti si trovino entrambi sull'asse x, la loro distanza è semplicemente x x. E in modo analogo per due punti sull'asse y. Punto medio di un segmento Conoscendo le coordinate di due punti nel piano è possibile determinare le coordinate del loro punto intermedio (punto medio del segmento). Consideriamo i punti nel piano: A = (x, y ) e B = (x, y ), e diciamo M = (x M, y M ) il loro punto di mezzo. Si ha : x M = x x y M = y y y B Il punto medio di un segmento di estremi dati è dato dalla semisomma delle coordinate omonime degli estremi stessi. Esempio: trovare il punto medio del segmento di estremi A(, 3) e B(4, 7): x M y A M x x M x x M = ( + 4)/ = 6/ =3 y M = (3 + 7)/ = 0/ =5 dunque, il punto medio sarà: M(3, 5).

3 La retta nel piano cartesiano Equazione della retta in forma esplicita y Un'equazione di primo grado in due variabili del tipo: y mx q y = mx + q è rappresentabile nel piano cartesiano come una retta. I punti appartenenti alla retta sono quelli le cui coordinate (x, y) soddisfano l'equazione data. Ad esempio: se l'equazione della retta è y=x+, il punto P(, ) appartiene alla retta perché, se sostituiamo le sue coordinate all'interno dell'equazione, otteniamo: = + => = un'identità. I parametri m e q che compaiono nell'equazione della retta hanno entrambi un preciso significato: il parametro m è detto coefficiente angolare e fornisce informazioni sulla pendenza della retta. In particolare, m è la tangente trigonometrica dell'angolo che la retta forma col semiasse positivo delle x: m = tg α. Se m è positivo, la retta forma con il semiasse positivo delle x un angolo acuto (< 90⁰), mentre se m è negativo l'angolo formato dalla retta e dal semiasse positivo delle x è ottuso (> 90⁰). Inoltre, più grande è m (in valore assoluto) e maggiore sarà la pendenza della retta. Ad esempio, m= corrisponde ad una retta che forma un angolo di 45⁰ con l'asse positivo delle x, mentre m= corrisponde ad un angolo di circa 63⁰, m=3 a circa 7⁰ e così via, fino a m= che corrisponde alla retta verticale che forma un angolo di 90⁰ col semiasse positivo delle x. il parametro q viene spesso detto termine noto e fornisce l'ordinata all'origine, cioè il punto in cui la retta taglia l'asse delle y. Ad esempio, se considero l'equazione della retta y = x + 3, posso subito dire che tale retta taglia l'asse delle y nel punto (0,3). Notare che se una retta passa per l'origine avrà q =0. q m tg x Casi particolari: Retta passante per l'origine: y = mx Retta parallela all'asse x: y = k (costante) Retta parallela all'asse y: x = k (costante)

4 y y y y=mx y=k x=k k x x k x Nota che all'equazione y = costante (retta orizzontale) corrisponde il coefficiente angolare m= 0, mentre l'equazione x = costante rappresenta una retta verticale, a cui corrisponde il valore convenzionale di m=. Come si disegna il grafico di una retta Uno dei postulati della geometria euclidea dice che "per punti passa una ed una sola retta". Per fare il grafico di una retta basterà, dunque, cercare due punti qualsiasi appartenenti alla retta: dopo aver assegnato due valori qualunque ad x, troveremo i corrispondenti valori di y. In pratica, si cercherà di assegnare punti abbastanza lontani fra loro per poter meglio tracciare la retta e tali da non avere frazioni come risultato. Esempio tracciamo la retta: y = x - diamo dei valori qualunque alla x e leggiamo i valori corrispondenti per la y. Mi conviene dare alla x il valore 0 e poi un valore abbastanza lontano, ad esempio 3: x y fisso sul piano cartesiano i punti (0,-) e (3,5) poi traccio la loro congiungente y x Rette parallele e rette perpendicolari Consideriamo due rette nel piano, descritte in forma esplicita: y=m x q y=m' x q' sono parallele se e solo se: m=m ' cioè hanno lo stesso coefficiente angolare sono perpendicolari se e solo se: m= m' opposti ed inversi. cioè i coefficienti angolari sono

5 La parabola nel piano cartesiano Una parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto dato, detto fuoco, e da una retta, detta direttrice. La retta passante per il fuoco e ortogonale alla direttrice costituisce l'asse di simmetria della curva. Nel caso semplice che l'asse di simmetria della parabola sia parallelo all'asse delle y, il grafico di una parabola nel piano cartesiano corrisponde ad un'equazione quadratica del tipo: y=a x b x c P asse di simmetria Il punto di intersezione tra l'asse di simmetria e la parabola (che corrisponde al punto che ha ordinata minima) viene detto vertice. Le coordinate del vertice della parabola si possono esprimere semplicemente, in funzione dei coefficienti dell'equazione: V x V, y V con x V = b a e y V = b 4 a c 4a F V direttrice Inoltre, il segno di a, il coefficiente del termine x, dà indicazioni sulla concavità della parabola: a > 0 => la parabola è rivolta verso l'alto a < 0 => la parabola è rivolta verso il basso In ultimo, il termine noto c fornisce l'ordinata del punto in cui la parabola intercetta l'asse delle y. Vediamo, ora, con un esempio, come si può tracciare semplicemente il grafico di una parabola: Esempio: disegnare la parabola: y= x 4 x 3. Concavità della parabola: a=> 0 => la parabola è rivolta verso l'alto. Coordinate del vertice: x V = b a = 4 = Per calcolare l'ordinata del vertice, si può usare la formula vista sopra o, più semplicemente, sostituire il valore - alla x nell'equazione delle parabola: y V = 4 3= Dunque, il vertice è il punto V(-, ). B 3 C V

6 3. Intersezione con l'asse delle y : è data dal termine noto c=3. Dunque, la parabola interseca l'asse delle y nel punto C(0, 3). Per simmetria, la parabola passa anche per il punto B(-, 3). A questo punto conosciamo il vertice della parabola e due suoi punti: ciò è sufficiente per tracciarne il grafico. Intersezioni con l'asse delle x A volte può essere necessario (ad esempio, quando si devono calcolano degli integrali definiti) trovare le intersezioni della parabola con l'asse delle x, se ne esistono. Queste si calcolano risolvendo l'equazione di secondo grado: a x b x c=0 che, naturalmente, ha come soluzioni x, = b± b 4a c a A seconda del segno del discriminante =b 4 a c, vi sono tre possibilità:. 0 => l'equazione ha due soluzioni reali distinte, cioè la parabola ha due intersezioni distinte con l'asse delle x: =0 => l'equazione ha due soluzioni coincidenti: la parabola interseca l'asse x in un solo punto, cioè ha il vertice sull'asse:

7 3. 0 => l'equazione non ha soluzioni reali: la parabola non interseca l'asse x. Questo significa che la curva è tutta sopra l'asse x se la concavità è rivolta verso l'alto, mentre è tutta sotto l'asse x se è rivolta verso il basso La circonferenza nel piano cartesiano La Circonferenza è definita come il luogo dei punti che hanno tutti stessa distanza da un punto detto centro; tale distanza viene definita raggio della circonferenza e corrisponde al segmento che unisce il centro con uno qualsiasi dei punti della circonferenza. P r La più semplice delle circonferenze nel piano cartesiano è quella con centro nell'origine degli assi e raggio r. Essa corrisponde - - all'equazione: x y =r Ad esempio, in figura vediamo il grafico della circonferenza di equazione: x y =4, con centro nell'origine e raggio. Più in generale, quando il centro della circonferenza è un punto qualsiasi del piano cartesiano, che diremo C(x C, y C ), l'equazione ha la seguente forma: x x C y y C =r che, una volta svolti i quadrati, diventa: x y a x b y c=0 Questa è l'equazione in forma canonica della circonferenza. sserviamo che:. l'equazione è di secondo grado sia in x che in y. i termini x e y hanno lo stesso coefficiente (il cui valore è nella forma canonica) 3. manca il termine in xy Data l'equazione di una circonferenza in forma canonica, è possibile ricavare le coordinate del centro ed il raggio mediante le seguenti relazioni: - -

8 x C = a y C = b r= x C y C c= a b 4 c Per tracciare grafico di una circonferenza, dunque, basterà calcolare le coordinate del centro ed il raggio. Naturalmente, perché la circonferenza esista, il raggio dovrà essere maggiore di zero, e cioè: a b 4 c 0 Invece, nel caso in cui sia r = 0 la circonferenza degenera in un punto: il suo centro. Esempio: l'equazione x y 4 x y 5=0 sembrerebbe l'equazione di una circonferenza scritta in forma canonica. Tuttavia, si ha: r= a b 4 c= 6 4 0=0 cioè il raggio della circonferenza è nullo, dunque la circonferenza degenera in un punto. Esempio: tracciare il grafico della circonferenza x y 4 x y 3=0 Calcoliamo le coordinate del centro e il raggio: 3 x C = a = 4 = y C= b = = - C r r= a b 4 c= 6 4 = 8= = Queste informazioni bastano per tracciare il grafico della circonferenza. Tuttavia, in certi casi, può essere utile trovare anche le intersezioni con l'asse x. Queste si ottengono ponendo y=0 nell'equazione della circonferenza e risolvendo l'equazione di secondo grado in x che ne deriva: x 0 4 x 0 3=0 => x, = 4 ± 6 x 4 x 3=0 = 4± 4 = 4± ==> x = e x = Casi particolari:. c =0 L'equazione della circonferenza diventa: x y a x b y=0 Si può allora osservare che l'equazione è verificata dalla coppia (0, 0); ne segue che il punto (0, 0) appartiene alla circonferenza, quindi, che la circonferenza passa per l'origine degli assi

9 . b=0 L'equazione della circonferenza diventa: x y a x c=0 Allora il centro C(-a/; 0) sta sull asse delle x (luogo dei punti del piano aventi ordinata nulla) 3. a=0 L'equazione della circonferenza diventa: x y b y c=0 Allora il centro C(0, -b/) sta sull asse delle y (luogo dei punti del piano aventi ascissa nulla). Equazione della circonferenza in forma esplicita Notiamo che, se si vuole scrivere l'equazione della circonferenza nella forma y= f(x), bisogna esplicitarla rispetto alla y. Nel caso semplice di una circonferenza che ha centro nell'origine degli assi si ha: y =r x ==> y=± r x cioè, si ottengono due equazioni che descrivono, separatamente, i due semicerchi sopra e sotto l'asse x: y= "############# 4- x y= - "############# 4 -x - -

10 Grafici di alcune funzioni notevoli In questo paragrafo vedremo i grafici di alcune funzioni notevoli, che saranno utili negli esercizi sul calcolo delle aree. Per tracciare le curve, faremo uno studio di funzione molto semplificato, con pochi ed essenziali punti: La funzione esponenziale Ha equazione y=e x. Campo di esistenza: è una funzione definita per x che va da - a +, cioè su tutto l'asse reale.. Limiti: per quanto riguarda i limiti della funzione, si ha: lim e x =0 e x lim e x = x 3. Segno della funzione e intersezioni con gli assi: la funzione y=e x assume solo valori positivi, cioè è tutta sopra l'asse x. Inoltre, e x non può mai essere uguale a zero, dunque la curva non ha intersezioni con l'asse x. Per trovare le intersezioni con l'asse y, invece, poniamo x=0 e otteniamo: y=e 0 = cioè la curva interseca l'asse y nel punto (0, ). 4. Derivata della funzione e punti di massimo e minimo: la derivata della funzione è y' =e x. Volendo trovare i punti di massimo e di minimo, poniamo la derivata uguale a zero: y' =e x =0 ma abbiamo visto che questa equazione non ha soluzioni. Dunque, la funzione non ha né massimi né minimi e, poiché la derivata è sempre positiva, la funzione è sempre crescente. Riassumendo, il grafico della funzione esponenziale è il seguente: 3 y e x

11 La funzione logaritmo naturale Ha equazione y=ln x. Campo di esistenza: l'argomento della funzione logaritmo non può essere un valore negativo né il valore 0. Dunque è una funzione definita per x che va da 0 a +, con 0 escluso.. Limiti: per quanto riguarda i limiti della funzione, si ha: lim ln x= e x 0 lim ln x= x 3. Segno della funzione e intersezioni con gli assi: poiché x non può assumere valore 0, la funzione non ha intersezioni con l'asse y. Per trovare le intersezioni con l'asse x, invece, poniamo y=0 e otteniamo: ln x=0 ==> e 0 = x ==> x= cioè la curva interseca l'asse x nel punto (, 0). Inoltre, per x > la funzione è positiva, mentre per 0 < x < la funzione è negativa. 4. Derivata della funzione e punti di massimo e minimo: la derivata della funzione è y' =/ x, che è sempre positiva per x positivi e non si annulla mai. Dunque, la funzione logaritmo è sempre crescente e non ha punti di massimo né di minimo. Riassumendo, il grafico della funzione logaritmo è il seguente:.5 y= ln x