FUNZIONI SENO & COSENO TANGENTE & COTANGENTE

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1 FUNZINI SEN & SEN TNGENTE & TNGENTE

2 DEFINIZINE DI SEN E SEN onsiderndo l ngolo =, trimo un erhio di rggio qulunque R = = e on entro sul vertie dell ngolo. Le intersezioni del erhio on le semirette dell ngolo definisono l ro in orrispondenz iunivo on l ngolo l entro. ostruzione grfi: R 1) dl punto trimo il segmento perpendiolre l lto origine dell ngolo = ; llor il punto di intersezione rppresent l proiezione di su tle lto; ) rimngono llor definiti i due segmenti e ; essi, di ftto, individuno il tringolo rettngolo nel qule il rggio R = del erhio è l ipotenus; 3) l lunghezz dei segmenti e vri l vrire dell posizione di sull ironferenz, dunque l vrire dell mpiezz dell ngolo l entro ; e R e R 4) llor nhe i rpporti tr i segmenti e on il rggio vrino l vrire dell ngolo.

3 3 DEFINIZINE DI SEN E SEN Dunque i preedenti rpporti sono funzioni dell ngolo, e più preismente: R il rpporto tr l lunghezz del segmento on il rggio R= prende il nome di seno dell ngolo e viene indito on l notzione: sen o sin σιν = = R il rpporto tr l lunghezz del segmento on il rggio R= prende il nome di oseno dell ngolo e viene indito on l notzione: os χοσ = = R Trttndosi di rpporti tr grndezze omogenee, i vlori delle funzioni sen e os sono numeri dimensionli (puri), ed essendo si he minori di R, questi vlori sono sempre ompresi tr 0 e 1: -1 sin 1-1 os 1

4 4 DEFINIZINE DI SEN E SEN Siome il rggio R del erhio non modifi i rpporti preedenti, è possiile dottre un erhio di rggio unitrio (R = 1), he prende il nome di erhio goniometrio. ggiungimo poi un sistem di riferimento rtesino on origine in e on l sse delle ordinte oinidente on il lto origine dell ngolo. Y X Le definizioni di sen o os possono essere risritte in questo mito, he di ftto semplifi l notzione: σιν = = = 1 χοσ = = X Y os sin R=1 = 1 TTENZINE!!! l notzione preedente non deve ingnnre; nell reltà le funzioni seno e oseno non sono segmenti, m rimngono rpporti di segmenti. Tli rpporti nell m-ito del erhio goniometrio presentno i denomintori uguli ll unità.

5 300 DEFINIZINE DI SEN E SEN Immginimo di fr desrivere l punto l intero erhio goniometrio prtendo dll posizione inizile orrispondente = 0. R=1 + sen 300 = 1 =0 =0, =1 sen 0 = 0 os 0 = =100 =1, =0 sen 100 = 1 os 100 = 0 os 00 = 1 os 0 = sen 100 = 1 + =00 =0, = 1 sen 00 = 0 os 00 = -1 =300 = 1, =0 sen 300 = -1 os 300 = 0 =400 =0 =0, =1 sen 400 = 0 os 400 = Le funzioni seno e oseno sono periodihe on periodo π. I segni di seno e oseno nei 4 qudrnti seno oseno I Qudrnte + + II Qudrnte + III Qudrnte IV Qudrnte + 5

6 VLRI di SEN e SEN 30 onsiderimo l ngolo = 30 e trimo dl vertie il erhio goniometrio. Dopo ver proiettto su, il segmento rppresent il sen30 e il os30. Prolungndo il segmento fino inontrre ulteriormente il erhio in, viene determinto l ngolo he h l stess mpiezz di 30, pertnto dovrà nhe essere = 60. sin R=1 ½ os ½ R=1 Il tringolo è isosele (=1 e =1), pertnto gli ngoli e sono uguli e isuno di 60. llor il tringolo è nhe equiltero, per ui nhe = 1. Riordndo he in un tringolo equiltero un ltezz divide l se in due prti uguli, srnno = ½ e = ½; possimo periò srivere: sin30 = 1 = 0, os 30 = 1 = = os30 = 3 = 0,

7 VLRI di SEN e SEN 60 onsiderimo l ngolo = 60 e trimo dl vertie il erhio goniometrio. Dopo ver proiettto su, il segmento rppresent il sen60 e il os60. Trindo il segmento, si viene llor determinre il tringolo. R=1 os ½ 1 ½ 60 sin R=1 Il tringolo è isosele ( = 1 e = 1), pertnto gli ngoli e sono uguli e isuno di 60. llor il tringolo è nhe equiltero. Riordndo nor he in un tringolo equiltero un ltezz divide l se in due prti uguli, srnno = ½ e = ½; possimo periò srivere: os60 = 1 = 0, sin 60 = 1 = = sin60 = 3 = 0,

8 VLRI di SEN e SEN 45 8 onsiderimo l ngolo = 45 e trimo dl vertie il erhio goniometrio. Dopo ver proiettto su, il segmento rppresent il sen45 e il os45. Prolungndo il segmento fino inontrre ulteriormente il erhio in, viene determinto l ngolo he h l stess mpiezz di 45, pertnto dovrà nhe essere = 90, quindi il tringolo è rettngolo. R=1 1 1 / / os sin R=1 Il tringolo è nhe isosele ( = 1 e = 1), pertnto gli ngoli e sono uguli e isuno di 45. Possimo poi immginre il tringolo ome l metà di un qudrto di lto l = R = 1. llor è l digonle di un qudrto di lto l, pertnto l su lunghezz è = l =. Essendo poi = / e =, perhé è isosele, si h: sin 45 = = 1 os45 = = 1

9 9 GRFII DELLE FUNZINI I vlori delle funzioni seno e oseno vengono lolti on l mhin loltrie, on essi è possiile ostruire i grfii di queste funzioni Il grfio dell funzione seno si him sinusoide; per ostruirlo oorre fissre un sl onvenzionle per riportre gli ngoli sulle sisse (per es. nell intervllo e fissndo un opportuno psso) e un per i vlori delle funzioni (d -1 +1) sull sse delle ordinte. Il grfio dell funzione oseno si him osinusoide; per ostruirlo oorre proedere in modo nlogo qunto visto per l funzione seno. Se le sle onvenzionli sono le stesse, i due grfii possono essere triti nell stess rppresentzione y = sen y = os

10 10 DEFINIZINE DI TNGENTE E TNGENTE onsiderndo nor l ngolo =, trimo un erhio di rggio qulunque R = = e on entro sul vertie dell ngolo R 1) Ripetimo l ostruzione grfi, già vist in preedenz, on l qule rimne definito il tringolo rettngolo. ) onsiderimo i rpporti tr i segmenti e (e vievers). Essi vrino solo l vrire dell ngolo, e non l vrire del rggio R,

11 DEFINIZINE DI TNGENTE E TNGENTE 11 Dunque i preedenti rpporti sono funzioni dell ngolo,, e più preismente: R Il rpporto (qundo esiste) tr il segmento, opposto d, e il segmento, diente, viene definito ome tngente dell ngolo e si indi on tg o tng. tg = χοτg = Il rpporto (qundo esiste) tr il segmento, diente d, e il segmento, opposto, viene definito ome otngente dell ngolo e si indi on otg. Trttndosi di rpporti tr grndezze omogenee, i vlori delle funzioni tg e otg sono numeri dimensionli (puri), e vriili in tutto il mpo rele: - h tg +h - h otg +h

12 DEFINIZINE DI TNGENTE E TNGENTE sservndo i preedenti rpporti si riv l ovvi relzione: R onsiderimo nor i rpporti tr i segmenti e. Pensimo or di dividere si il numertore he il denomintore di questi rpporti per l stess quntità = R tg = tg = ΒΧ Ρ ΟΧ Ρ Riordndo poi l definizione di sen e os, possimo risrivere le definizioni di tg e otg in questo modo: 1 χοτγ ot g = ΟΧ Ρ ΒΧ Ρ tg = σιν χοσ ot g = χοσ σιν 1

13 13 DEFINIZINE DI TNGENTE E TNGENTE ome già detto, il rggio R del erhio non modifi i rpporti preedenti; è llor possiile dottre un erhio di rggio unitrio R=1 (erhio goniometrio). nhe le definizioni di tg e di otg possono essere risritte in questo mito he, di ftto, semplifi l notzione. R = 1 Y tg R = 1 T S otg X H onduimo l tngente nel punto origine. Prolunghimo poi il lto estremo dell'ngolo fino intersere nel punto T l rett preedente. Restno definiti i due tringoli rettngoli e T. Questi tringoli sono simili, per ui si possono srivere i seguenti rpporti di similitudine: = ΑΤ ΟΑ = ΑΤ 1 Dunque, nell mito del erhio goniometrio, l tngente dell ngolo è rppresentt dl segmento T: tg = T on onsiderzioni nloghe si ottiene: ot g = ΣΗ

14 VRIZINE dell TNGENTE Immginimo di fr desrivere l punto l intero erhio goniometrio prtendo dll posizione inizile orrispondente = 0. tg = 300 tg 300 = Fh =0 =0, =1 tg 0 = =100 =1, =0 tg 100 = non esiste tg 00 = 0 tg 0 = 0 00 tg 100 = ±h R = 1 L funzione tngente è periodi on periodo π (00 ). Però, qundo l'ngolo h un vlore di poo inferiore 100, m ssi prossimo 100, llor il segmento esiste ed è piolissimo e positivo. Dunque in questo mito il vlore dell tngente srà un vlore grndissimo e positivo (indito ome infinito +h). 100 Qundo poi l'ngolo h un vlore di poo superiore 100, m ssi prossimo 100, llor il segmento esiste, è piolissimo e negtivo. Dunque in questo mito il vlore dell tngente srà un vlore grndissimo e negtivo (indito ome infinito h). Pertnto, in modo onvenzionle si us srivere: tg 100 = ±h =00 =0, =-1 tg 00 = 0 =300 =-1, =0 tg 300 = non esiste (Fh) =400 =0 =0, =1 tg 400 = 0 14

15 15 χοτg = 300 otg 300 = VRIZINE dell TNGENTE otg00 = ±h 0 otg 0 = ±h Qundo poi l'ngolo h un vlore di poo inferiore 0, m ssi prossimo 0, llor il segmento esiste, è piolissimo e negtivo. Dunque in questo mito il vlore dell otngente srà un vlore otg 100 = 0 grndissimo e negtivo (indito ome infinito -h). Pertnto, in modo onvenzionle si us srivere: 100 R = 1 =0 =1, =0 otg 0 = non esiste Però, qundo l'ngolo h un vlore di poo superiore 0, m ssi prossimo 0, il segmento esiste ed è piolissimo e positivo. Dunque in questo mito il vlore dell otngente srà un vlore grndissimo e positivo (indito ome infinito +h). =100 =0, =1 otg 0 = ±h otg 100 = 0 (± h) 00 L funzione otngente è periodi on periodo π (00 ). =00 =-1, =0 otg 00 = non esiste (±h) =300 =0, =-1 otg 300 = 0 =400 =0 =0, =1 otg 400 = non esiste (±h)

16 16 SEGNI di TNGENTE e TNGENTE Per vlutre i segni he tngente e otngente ssumono nei vri qudrnti, st osservre he queste funzioni sono nhe fornite di rpporti tr seno e oseno dello stesso ngolo, dunque è suffiiente vlutre i segni di queste ultime funzioni nei vri qudrnti. sin os tg = ot g = os sin Intnto possimo osservre he tngente e otngente ssumono sempre lo stesso segno Questo è positivo qundo seno e oseno presentno segni onordi (I e III ). È invee negtivo qundo seno e oseno presentno segni disordi (II e IV ) tngente otngente I Qudrnte + + II Qudrnte III Qudrnte + + IV Qudrnte

17 VLRI di TNGENTE e TNGENTE Riordndo i vlori ssunti dlle funzioni seno e oseno riferiti gli ngoli 30, 60, 45, è file determinre i vlori he ssumono l tngente e l otngente in orrispondenz di tli ngoli. 1 3 sin 30 1 os30 τγ30 = = = ot γ 30 = = = 3 os sin sin 60 os60 1 τγ60 = = = 3 ot γ 60 = = = os60 1 sin sin 45 os 45 τγ45 = = = 1 ot γ 45 = = = 1 os 45 sin 45 17

18 18 GRFII DELL FUNZINI I vlori delle funzioni tngente e otngente vengono lolti on l mhin loltrie,, on essi è possiile ostruire i grfii delle loro funzioni y = tg y = otg Il grfio dell funzione tngente si him tngentoide; esso è rtterizzto d punti di indeterminzione 100, 300, e. In orrispondenz di isuno di questi punti sono presenti sintoti. Il grfio dell funzione otngente si him otngentoide; esso è rtterizzto d punti di indeterminzione 0, 00, e. In orrispondenz di isuno di questi punti sono presenti sintoti

19 SVILUPP DEI TRINGLI RETTNGLI

20 0 I TRINGLI RETTI L trigonometri serve risolvere i tringoli, ioè permette di lolre gli elementi inogniti qundo se ne onosono tre elementi, tr i quli deve sempre essere ompreso lmeno un lto (o un elemento linere). In un tringolo rettngolo un elemento è sempre noto (l ngolo retto: 90 ; 100 ; π/); pertnto l su risoluzione rihiede due elementi, di ui lmeno uno deve essere un lto (omunque un elemento linere). 100 β onvenzionlmente gli elementi del tringolo rettngolo sono individuti on l simologi mostrt nell figur fino. In un tringolo rettngolo gli ngoli uti e β sono omplementri, pertnto possimo srivere le seguenti relzioni: = 100 β e β =100

21 1 L MDLITÀ DELL STRUZINE L ostruzione he port definire tutte le funzioni goniometrihe è sempre stt propost in un ontesto prtiolre. Tuttvi l stess ostruzione può essere eseguit nhe in ltri ontesti senz mutre in lun modo l generlità delle ffermzioni fin qui enunite. Non solo, m osservimo nhe he in qulunque modlità vveng l ostruzione grfi, ess produe sempre un tringolo rettngolo (non import ome orientto). sservimo inoltre he nhe il erhio non è fftto indispensile ll ostruzione, m viene trito unimente per opportunità espositiv. R R

22 RIDEFINIZINE DI SEN E SEN Dunque l elemento essenzile dell ostruzione grfi è solo il tringolo rettngolo; pertnto, onsiderndo solo ngoli uti, possimo riformulre le definizioni di seno e oseno riferendoi un qulunque tringolo rettngolo, omunque orientto. In un tringolo rettngolo: il seno di un ngolo uto è il rpporto tr l lunghezz del teto opposto ll ngolo e l ipotenus; il oseno di un ngolo uto è il rpporto tr l lunghezz del teto diente ll ngolo e l ipotenus. β onsiderndo l ngolo uto possimo srivere: σιν = χοσ = 100 onsiderndo l ngolo uto β possimo srivere: σινβ = χοσβ =

23 TEREMI DEI TRINGLI RETTI Dll definizione di seno e oseno l ngolo uto si ottiene: β 100 = = sin sin Dll definizione di seno e oseno l ngolo uto β si ottiene: σιν = χοσ = = os = σινβ = os χοσβ = sin = os β = sin β = os β sin = os (100 ) os = sin β os = sin (100 ) = sin β = os β 3

24 4 ENUNITI DEI TEREMI DEI T.R. Dlle preedenti relzioni è possiile formulre i seguenti enuniti: in ogni tringolo rettngolo, l misur di un teto è ugule l prodotto dell ipotenus per il seno dell ngolo opposto quel teto; β in ogni tringolo rettngolo, l misur di un teto è ugule l prodotto dell ipotenus per il oseno dell ngolo diente quel teto; 100 in ogni tringolo rettngolo, l misur dell ipotenus è ugule l rpporto tr un teto e il seno dell ngolo opposto questo teto; oppure è ugule l rpporto tr un teto e il oseno dell ngolo esso diente.

25 RIDEFINIZINE DI TG E TG nlogmente qunto visto per le funzioni seno e oseno, possimo riformulre le definizioni di tngente e otngente riferendoi un qulunque tringolo rettngolo, omunque orientto. In un tringolo rettngolo: l tngente di un ngolo uto è il rpporto tr l lunghezz del teto opposto ll ngolo e il teto diente; l otngente di un ngolo uto è il rpporto tr l lunghezz del teto diente ll ngolo e il teto opposto. β onsiderndo l ngolo uto possimo srivere: tg = χοτg = 100 onsiderndo l ngolo uto β possimo srivere: tg β = χοτg β = 5

26 6 TEREMI DEI TRINGLI RETTI Dll definizione di tg e otg l ngolo uto si ottiene: β 100 = β τγ = β χοτγ Dll definizione di tg e otg l ngolo uto β si ottiene: tg = χοτ g = = χοτγ = tg β = τγ χοτg β = tg = otg β tg = otg (100 ) = τγ β = β χοτγ β otg = tg β otg = tg (100 ) = χοτγ β = β τγ β

27 7 ENUNITI DEI TEREMI DEI TRINGLI RETTNGLI Dlle preedenti relzioni è possiile formulre i seguenti enuniti: β in ogni tringolo rettngolo, l misur di un teto è ugule l prodotto dell ltro teto per l tngente dell ngolo opposto quel teto; 100 in ogni tringolo rettngolo, l misur di un teto è ugule l prodotto dell ltro teto per l otngente dell ngolo diente quel teto.