Studio sull impiego dell algoritmo della suddivisione della tangente, per ottenere la tracciatura di curve del 2 ordine diverse dalla circonferenza.

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1 Studio sull impiego dell lgoritmo dell suddivisioe dell tgete per otteere l trccitur di curve del ordie diverse dll circoferez. Michele De Frchis 1 Uiversità degli Studi di Plermo Mssimilio Cldrio 3 Atoio Gci Uiversità degli Studi di Plermo Giov Bttist Rildi 4 Uiversità degli Studi di Plermo 1 Professore Icricto di Mtemtic Diprtimeto di Mtemtic Fcoltà di Igegeri Studete luredo del Corso di Lure i Igegeri Amietle Uiversità di Plermo 3 Igegere STMicroelectroics s.r.l. Cti 4 Professore Associto di Disego Tecico Idustrile Diprtimeto D.I.A.S. Fcoltà di Igegeri Sommrio Gli. ho itrpreso uo studio tedete verificre l possiilità di dttre medite ppositi ccorgimeti mtemtici uo stesso lgoritmo ll trccitur di più curve del secodo ordie verificdoe che gli evetuli limiti di pplicilità e l res i termii di trccitur sullo schermo di u computer. L lgoritmo dell suddivisioe dell tgete sottoposto questo studio h dimostrto di potere essere coveietemete utilizzto ell direzioe sopr dett. Summry The uthors hve uderte study to verify the possiility to dpt y proper mthemticl expediets the sme lgorithm out drwig of more secod-clss curves suject to suitility of pplictio d to the drwig qulity s to coversio o scree of persol computer. The sudivisio lgorithm of tget sumitted to this study hs proved to e coveietly used i terms previously stted. Itroduzioe L uso dei computer ed il coseguete sviluppo dell grfic computerizzt ho spito gli studiosi progettre lgoritmi di trccitur schermo delle primitive geometriche veti l crtteristic di ridurre l mole dei clcoli mtemtici si dl puto di vist qulittivo che d quello qutittivo. A questo scopo soo stti messi puto diversi lgoritmi (DDA puto di mezzo prmetrici o prmetrici etc.) che se d u prte ho il vtggio di ridurre i prodotti i somme o di utilizzre semplici cofroti tr i segi delle fuzioi per stilire quli pixel ccedere dll ltr producoo risultti o sempre ccettili sul pio geometrico. Tli lgoritmi iftti lvoro su pprossimzioi successive e se vegoo lsciti lieri di operre possoo produrre risultti che o corrispodoo lle proprietà primitive quli d esempio: - trcciture diverse se lo stesso segmeto di rett viee percorso ei due versi; - circofereze che percorsi i 360 o si chiudoo. I coseguez di ciò l iizile semplicità di clcolo si pg co l ecessità di imporre u serie di cotrolli tedeti d evitre i suddetti icoveieti. Le potezilità di clcolo perltro sempre cresceti delle ttuli mcchie ho covito gli utori seguire u metodologi di clcolo divers che prte dlle equzioi esplicite delle curve sez imporre d esse lcu mipolzioe; ciò sce dll cosiderzioe che sotto queste codizioi l trccitur sullo schermo è più fedele proprio perché ogi puto viee clcolto i mier idipedete rispetto l precedete; risulto quidi iiflueti le sigole pprossimzioi che ltrimeti si ccumulereero. 1

2 L strd dell lleggerimeto può quidi essere seguit sfruttdo l possiilità di usre degutmete equzioi di curve simili; questo d esempio è il cso dell ellisse e dell circoferez. Metodo dell suddivisioe dell tgete (versioe origiri) Il metodo dell suddivisioe dell tgete di seguito descritto è to come lgoritmo specifico per le circofereze. L itervllo di clcolo viee limitto llo spzio golre crescete el verso positivo compreso tr 0 e 45 lscido poi ll simmetri d otto vie il compito di completre ove serv l circoferez. L struttur dell lgoritmo o rede coveiete l estesioe dei clcoli oltre il limite già detto iftti l tgete ssumeree vlori sempre cresceti rededo ecessrio l uso di u mggiore umero di suddivisioi sez cosiderre che già soltto vvicidosi i 90 i umeri d trttre divetereero grdissimi e quidi o più mipolili di computer. Questo vree ovvimete come risultto l impossiilità di completre l trccitur che per u solo qudrte. D qui l ecessità dei limiti golri predetti. Cosiderimo u circoferez (figur 1) di rggio R1 co il cetro ell origie degli ssi x + y 1 prededoe i cosiderzioe solmete il primo ottte che è delimitto di puti ( ) P ( 10) e P. Si trcci u semirett s tgete ll circoferez el puto P (10) fio ll itersezioe A(11) co l rett s 1 (isettrice dell golo di 90 ) uscete dll origie degli ssi e psste per P. Così costruito il segmeto che uisce i puti A e P h u lughezz pri π tg 4 1 e rppreset l tgete verticle i corrispodez dell rco cosiderto. Si suddivid il segmeto AP i prti uguli essedo u umero turle. Per ricvre l lgoritmo di trccitur dell circoferez si uisc ciscu puto derivte dll suddivisioe dell tgete (i figur P ) co l origie degli ssi i modo d itercettre i corrispodeti puti sull circoferez (i figur C ). Il geerico puto P vrà coordite 1 co 0. Poiché C e soo sull stess semirett uscete dll origie O essi ho coordite P proporzioli secodo u coefficiete ; m è il rpporto tr i vettori e. FIGURA 1

3 Si h duque C ed impoedo che st sull circoferez d cui e Si coclude che C h coordite + + Itroduzioe l metodo geerlizzto dell tgete Per l mier già descritt di operre del metodo dell suddivisioe dell tgete per trccire le ltre curve del secodo ordie o è sufficiete l sol porzioe che gice el primo ottte occorre che quell che gice el secodo; risult pertto ecessrio per rggiugere l richiest geerlizzzioe del metodo operre si sull tgete verticle che su quell orizzotle impoedo ioltre delle opportue codizioi. Trccitur di ellissi Cosiderimo i puti P(10) A(11) e Q(01) e chimimo PA l tgete verticle e QA l tgete verticle (ll circoferez vete cetro ell origie e rggio 1) (figur ). Applichimo quidi il metodo di suddivisioe dell tgete prim ll tgete verticle PA per x y costruire i logi per quto ftto per l circoferez l prte dell ellisse + 1 che st el primo ottte; poi ll tgete orizzotle QA per costruire l prte dell ellisse che st el secodo ottte. FIGURA Dividimo duque PA i prti uguli e si P il puto corrispodete l umero turle vriile tr 0 ed. Srà P 1 e detto C il puto dell ellisse itercettto dll semirett srà 3

4 vedo chimto il rpporto tr e ; e + 1. Duque il puto dell ellisse C è idividuto d + ed h pertto coordite. + + Ciò vle per i puti C dell ellisse che cdoo el primo ottte. Per otteere l costruzioe per i puti dell prte rimete dell ellisse el primo qudrte occorre pplicre l itero procedimeto ll tgete orizzotle QA (figur 3). I questo cso co il solito sigificto dei simoli P 1 co + 1 ossi. + Cioè i puti C dell ellisse el secodo ottte si trovo i corrispodez dei trovti vlori per che vri d 0 (il puto (0)) d (il puto che è il C trovto che + + el 1 settore). L curv complet si otterrà utilizzdo l simmetri quttro vie prtire dlle due sezioi del primo qudrte qui costruito. FIGURA 3 4

5 Trccitur dell prol Limitdoci che qui ll prol (i form coic) y x (>0) osservimo che l su trccitur equivle quell dell prol y x disegt sul pio crtesio i cui si ssum l uità di misur ugule d ( l puto (11) corrispoderà che pprtiee ll prol y x ). Bst duque limitrsi l trccimeto dell prol y x rispetto ll qule ssumedo le tgeti verticle ed orizzotle PA e QA (già viste el cso precedete) si perviee ll idividuzioe dei puti dell rco tr (00) e (11) e di quello tr (11) e l itersezioe dell prol co l rett y x vedo proceduto sull tgete orizzotle i corrispodez dell 0 su divisioe i prti uguli prtire d 0 (<) positivo e scelto opportumete i relzioe ll porzioe di curv che si itede disegre. Così operdo co i soliti procedimeti e sigificti dei simoli (figur 4) si ottiee el primo ottte (tgete verticle): co che prte 0 che dà l origie forisce il puto C dell prol corrispodete ossi C 01 Operdo sull tgete orizzotle P A si ottiee (figur 4) co che prte 0 forisce (per 0 ) cui corrispode il puto C dell prol (el secodo ottte) C 1 Si cosidererà l simmetri rispetto ll sse y per otteere l iter curv; e quell rispetto ll sse xel cso <0 rispetto ll prol y x. FIGURA 4 5

6 Trccitur dell iperole x y Cosiderimo i csi dell iperole equilter xy e dell iperole 1. Per il primo cso st limitrsi d 1: il trccimeto per 1equivle quello per 1 riferito l pio crtesio i cui si ssum l uità di misur ugule d (l puto (11) corrispoderà ()). Bsterà ioltre per rgioi di simmetri limitrsi l primo ottte; cioè ll tgete verticle (figur 5). Si h ove 1 cioè K 1. Si cosidererà l simmetri rispetto d yx per otteere il rmo (completo) di iperole del primo qudrte; e quidi quell rispetto ll origie per il rmo del terzo qudrte. Se si vorrà cosiderre che il cso i cui l posto di vi si u termie oto egtivo si potrà ripetere il procedimeto per e predere l curv simmetric rispetto ll sse x. x y el secodo cso (iperole 1 co e per semplicità positivi) isog teere coto che l iperole si svilupp ell golo delle y tr e delle x>0 e x e x dell x<0; ossi che il rmo del primo qudrte è compreso tr l sse x (y0) e l sitoto y x. Sicchè se si cogliero tutti e soli i puti dell iperole el primo qudrte operdo sull sol tgete verticle per 01 1 (per si h l sitoto yx); se < si dovrà operre sempre sull 0 sol tgete verticle m per 01 0 co 0 tle che < ossi 1 0 se è u itero; ltrimeti 0 (prte iter di ); se ifie > si operà oltre che sull tgete verticle per tutti gli turli d 0 fio d che sull tgete orizzotle per tutti gli d 0 fio d co 0 tle che risulti miore di ossi co 1 0 se questo è u itero ed 0 ltrimeti. 0 FIGURA 5 el primo cso sterà trttre il cso 1 (si v l cso geerle prededo il riferimeto ()). Dividedo PA i prti uguli e fcedo corrispodere d il puto 6

7 P 1 (01.-1) si vrà dett C l itersezioe dell iperole co l semirett (figur 6): co 1 ossi (1.-1) FIGURA 6 Duque C. Si procederà scegliedo stz grde ed mssimo più o meo grde (vicio d -1) i relzioe l prolem. Si opererà co le opportue simmetrie se si vorrà completre l iperole. el secodo cso < si procederà pure sull sol tgete verticle m iterrompedo il procedimeto d u (opportuo) 0 come idicto i premess. Si h co il solito sigificto dei simoli (figur 7) co 1 ossi Si trovo così i puti C. 7

8 FIGURA 7 Ifie el terzo cso > si procederà prim sull tgete verticle per d 0 d e poi sull tgete orizzotle per gli come osservto i premess. Si h (figur 8): 0 1) sull tgete verticle co 1 ossi 01. cui corrispodoo i puti C ) sull tgete orizzotle co 1 ossi co 0 tle che < come chirito i premess. Vi corrispodero i puti (del secodo ottte) C Si osservi che d corrispode il puto dell isettrice del primo qudrte. 8

9 FIGURA 8 Rigrzimeti Gli.. rigrzio l Dott.ss Lur Stoocito 1 per l trduzioe del sommrio ed il Perito Idustrile Sig. Gicomo Cermi per l relizzzioe delle figure iserite el testo. 1 Professoress di ligu Iglese presso l Istituto Compresivo Amerigo Vespucci - Cti Fuziorio Tecico presso l Fcoltà di Igegeri - Plermo BIBLIOGRAFIA Gglirdo Versioe iformtic per elortore elettroico dell lisi mtemtic Frco Ageli 9