Rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei quadrilateri divisi in triangoli rettangoli

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1 Rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei quadrilateri divisi in triangoli rettangoli È necessario sapere e saper operare con: Le proporzioni Primo principio di equivalenza Rappresentazione e risoluzione grafica del triangolo non rettangolo Risoluzione analitica del triangolo non rettangolo Obiettivi di apprendimento: Rappresentazione e risoluzione grafica dei quadrilateri divisi in triangoli non rettangoli Risoluzione analitica dei quadrilateri divisi in triangoli non rettangoli Per la rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei seguenti quadrilateri si utilizzano nozioni riguardanti i triangoli rettangoli. N.. In alcuni casi è possibile avere una doppia soluzione, ovvero RISULTTI diversi ma TI uguali.

2 Esercizio TI SOLUZIONI 163? 185? 171,6? 123,7 61,8

3 Rappresentazione e risoluzione grafica 1 soluzione TI SOLUZIONI 163? 185? 171,6? 123,7 61,8

4 Svolgimento 1. isegnare l angolo 2. isegnare il lato

5 3. isegnare l angolo 4. isegnare il lato

6 5. Puntando in, disegnare un arco di raggio uguale la lato che intersechi la retta precedentemente tracciata per l angolo 6. Unire il vertice con il punto d intersezione dell arco

7 7. Si ottiene il quadrilatero finito 8. Misurare il lato e gli angoli e

8 Si ottiene TI ,6 123,7 61,8 SOLUZIONI 319,5 104,37 70,13

9 Risoluzione analitica 1 soluzione TI SOLUZIONI 163? 185? 171,6? 123,7 61,8

10 Svolgimento La risoluzione analitica del quadrilatero studiato richiede la risoluzione dei singoli triangoli in cui esso è scomposto, come mostrato di seguito.

11 1. Studiare il triangolo a. Ricavare il lato Il teorema del cos consente di impostare la seguente relazione 2 cos da cui $ 2 cos Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene $ cos123,7 $ cos123,7 $ %0, & $ ,67 $94256,67 307,01 b. Ricavare l angolo ' Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione (sin (sin + Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 307,01(sin123,7 163(sin + da cui sin123, , sin + 307,01 307,01,sin -+ +,26,21 c. Ricavare l angolo ' 135,61 307,01 0, ,

12 sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180, si ottiene sostituendo ai dati i valori 123,7 23, applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo membro cambiandoli di segno ,7 23,21 da cui + 30,09

13 2. Studiare il triangolo a. Ricavare l angolo. sapendo che + sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 61,8 30,09 applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al primo membro cambiandoli di segno 61,8 30,09 quindi, si ottiene 61,8 30,09 da cui 31,71 b. Ricavare l angolo il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione (sin (sin Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 307,01(sin 171,6(sin31,71 a cui 307,01 sin31,71 307,01 0, sin 171,6 171,6,sin -+,70,13 c. Ricavare l angolo. 161,38 171,6 0, ,

14 sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180, si ottiene 180 sostituendo ai dati i valori 70,13 31, applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo membro cambiandoli di segno ,13 31,71 da cui 78,16 d. Ricavare il lato Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione (sin (sin Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene (sin78,16 171,6(sin31,71 a cui sin78,16 171,6 0, ,6 167,95 sin 31,71 0, , ,5

15 3. Ricavare l angolo Osservando il quadrilatero ˆ 1 ˆ 2 È possibile notare che + Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 26,21 78,16 104,37 a cui 104,37 Si ottiene TI ,6 123,7 61,8 SOLUZIONI 319,5 104,37 70,13

16 Rappresentazione e risoluzione grafica 2 soluzione TI SOLUZIONI 163? 185? 171,6? 123,7 61,8

17 Svolgimento 1. isegnare l angolo 2. isegnare il lato

18 3. isegnare l angolo 4. isegnare il lato

19 5. Puntando in, disegnare un arco di raggio uguale la lato che intersechi la retta precedentemente tracciata per l angolo 6. Unire il vertice con il punto d intersezione dell arco

20 7. Si ottiene il quadrilatero finito 8. Misurare il lato e gli angoli e

21 Si ottiene TI ,6 123,7 61,8 SOLUZIONI 202,85 64,63 109,87

22 Risoluzione analitica 1 soluzione TI SOLUZIONI 163? 185? 171,6? 123,7 61,8

23 Svolgimento La risoluzione analitica del quadrilatero studiato richiede la risoluzione dei singoli triangoli in cui esso è scomposto, come mostrato di seguito.

24 1. Studiare il triangolo a. Ricavare il lato Il teorema del cos consente di impostare la seguente relazione 2 cos da cui $ 2 cos Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene $ cos123,7 $ cos123,7 $ %0, & $ ,67 $94256,67 307,01 b. Ricavare l angolo ' Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione (sin (sin + Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 307,01(sin123,7 163(sin +

25 da cui sin + sin123, ,01,sin -+ +,26,21 c. Ricavare l angolo ' 0, ,01 135,61 307,01 0, , sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180, si ottiene sostituendo ai dati i valori 123,7 23, applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo membro cambiandoli di segno ,7 23,21 da cui + 30,09

26 2. Studiare il triangolo a. Ricavare l angolo. sapendo che + sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 61,8 30,09 applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al primo membro cambiandoli di segno 61,8 30,09 quindi, si ottiene 61,8 30,09 da cui 31,71 b. Ricavare l angolo della 1 soluzione il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione (sin (sin Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 307,01(sin 171,6(sin31,71 a cui

27 307,01 sin31,71 307,01 0, sin 161,38 171,6 171,6 171,6 0, ,,sin -+,70,13 Quindi + / ,13 c. Ricavare l angolo. della 2 soluzione Studiando il seguente cerchio trigonometrico sin ˆ = 0, P Â ˆ 1 1 sin ˆ = 0, P 1 È possibile notare che i. Gli angoli e sono supplementari ii. I due triangoli evidenziati in rosso sono equivalenti Quindi, i seni di 70,13 e 109,87 sono uguali. Per ottenere la 2 soluzione, occorre considerare l angolo supplementare di 78,9:, ovvero / ,87 d. Ricavare l angolo. sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180, si ottiene 180 sostituendo ai dati i valori

28 109,87 31, applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo membro cambiandoli di segno ,87 31,71 da cui 38,42 e. Ricavare il lato Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione (sin (sin Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene (sin38,42 171,6(sin31,71 a cui sin38,42 171,6 0, ,6 106,63 sin 31,71 0, , ,85

29 3. Ricavare l angolo Osservando il quadrilatero ˆ 1 ˆ 2 È possibile notare che + Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 26,21 38,42 64,63 a cui 64,63 Si ottiene TI ,6 123,7 61,8 SOLUZIONI 202,85 64,63 109,87

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