Laboratorio di Sperimentazione di Fisica Corso di Laurea in Matematica A.A R. Cerulli. Guide di laboratorio (versione 1.

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Gioacchino Calabrese
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1 Laboratorio di Sperimentazione di Fisica Corso di Laurea in Matematica A.A R. Cerulli Guide di laboratorio (versione 1.0) 1

2 Esperienza n. 4 La macchina di Stirling Scopo dell esperienza: A. Misura del rendimento,, di una macchina di Stirling con potenza utile nulla, per due differenti tensioni di alimentazione del filamento di rame: 14 V e 8 V. Il rendimento verrà calcolato dall espressione: η = 1 Q 1 Q 2 dove Q 1 e Q 2 sono, rispettivamente il calore ceduto ed il calore assorbito nel ciclo. B. Misura del rendimento della macchina di Stirling con motore con freno applicato, per due differenti tensioni di alimentazione del filamento di rame: 14 V e 8 V. Il rendimento verrà calcolato dall espressione: η = L Q 2 dove L è il lavoro compiuto dalla macchina. C. Misura del rendimento della macchina di Stirling dal grafico p-v, per due differenti tensioni di alimentazione del filamento di rame: 14 V e 8 V. Il rendimento verrà calcolato dall espressione: Materiale a disposizione: Macchina di Stirling Alimentatore Serbatoio di acqua a Temperatura Ambiente Thermos Sensore di pressione Termometri a Mercurio Cinghia di rame 2 dinamometri Recipiente graduato PC con sistema di acquisizione dati Software di analisi dati LoggerPro A1. Procedura L tot η = L tot + Q 1 1. Collegare il serbatoio dell acqua fredda alla Macchina di Stirling avendo cura di non lasciare aria nel tubo di collegamento 2. Collegare il tubo dell acqua riscaldata in uscita dalla Macchina al Thermos 3. Collegare il sensore di pressione alla Macchina. 4. Misurare la Temperatura T F dell Acqua a Temperatura Ambiente con il Termometro a Mercurio 5. Misurare con un multimetro digitale la Resistenza, R, del filamento di Rame 2

3 6. Collegare i cavi di alimentazione e fornire alla Macchina la tensione V 0 desiderata (14 V o 8 V). 7. Mettere in funzione la macchina. Aspettare qualche minuto affinché il motore vada a regime. 8. Far partire il cronometro e, simultaneamente, collegare il tubo dell acqua di uscita dalla macchina al Thermos. Si avvii, inoltre, il sistema di acquisizione che registra in funzione del tempo i valori della pressione e lo spostamento del pistone di lavoro. 9. Dopo un tempo t, (pochi minuti, prima che il Thermos si sia riempito!), fermare il cronometro e scollegare simultaneamente il tubo dell acqua di uscita dal Thermos. Fermare nello stesso istante il sistema di acquisizione. A2. Misura del rendimento 1. Si ricavi Q 1, calore ceduto nel tempo t dalla macchina di Stirling, dato da: Q 1 = V acqua ρ acqua c acqua (T C T F ) con: V acqua = volume dell acqua raccolta nel thermos; ρ acqua = densità dell acqua alla Temperatura T C c acqua = 1 cal g -1 K -1 è il calore specifico dell acqua T C,F = Temperature dell acqua raccolta nel Thermos e dell acqua del serbatoio rispettivamente 2. Si ricavi Q 2, calore fornito per effetto Joule dal filamento di rame riscaldante nel tempo t, dato da: Q 2 = W R Δt dove W R = V 2 0 R è la potenza dissipata per effetto Joule in un conduttore ohmico di resistenza R, e è il fattore di conversione tra Joule e calorie (1 cal = 4,187 J). 3. Si riportino per le due tensioni di alimentazione del filamento le misure con le rispettive incertezze in una Tabella analoga a quella che segue: B1. Procedura V 0 R t T C T F V acqua acqua (T C ) Q 1 Q 2 Si ricavi infine il valore del rendimento per le due tensioni considerate. 1. Applicare la cinghia di rame al mozzo del motore in modo che sia aderente ad esso; collegare gli estremi della cinghia ai due dinamometri, ancorando questi ad un supporto fisso. Si misuri il valore delle forze F 1 ed F 2 esercitate sul mozzo a motore fermo. 2. Si misuri il diametro, d, del mozzo 3. Ripetere la procedura e le misure descritta al punto A. 3

4 4. A motore avviato si leggano sui dinamometri i valori delle forze applicate al mozzo: F 1 e F 2. B2. Misura del rendimento 5. Il momento resistente, M, è dato da: M = ( ΔF 1 + ΔF 2 ) d/2 con ΔF 1,2 = F 1,2 F 1,2 (si noti che ΔF 1 = ΔF 2 ). Il lavoro compiuto dalla macchina nel tempo t, è dato da: L = W u t = Mω t essendo W u il lavore compiuto nell unità di tempo ed ω la velocità angolare di rotazione del motore. 6. Dal grafico dell andamento della pressione in funzione del tempo, ottenuto con il sistema di acquisizione dati, si ricavi, con un fit, la pulsazione ω della macchina. Stampare il grafico con il risultato del fit. 7. Il rendimento risulta: η = L = W u t Q 2 W R t = MωR 2 V 0 C1. Procedura 1. Si misuri il raggio del rocchetto su cui è avvolto il filo che collega il pistone di lavoro al trasduttore che trasforma il moto del pistone in un moto angolare. 2. Si eseguano le stesse misure descritte nel punto A, registrando col sistema di acquisizione dati anche i grafici p- delle trasformazioni cicliche effettuate. è lo spostamento angolare del rocchetto. C2. Misura del rendimento 1. Il Lavoro compiuto in un ciclo dalla Macchina di Stirling si può ricavare dall area del ciclo nel piano p-. A tal fine è però necessario conoscere quale variazione di volume V max corrisponde alla variazione dell angolo θ max (si veda lo schema di seguito). Indicando con S la superficie del pistone di diametro interno, con il raggio del rocchetto e con h max la massima escursione in altezza del pistone, si può ricavare il fattore di conversione; si ha: da cui: V max = S h max e h max = ρ θ max 4

5 V max = κ = S ρ = π δ2 θ max 4 ρ Si ricavi il valore di κ. 2. Con il programma LoggerPro si calcoli l area, A, di un ciclo (in unità kpa rad) e si trasformi questa in Lavoro (in unità Joule): L c = A κ 3. Il lavoro totale, L tot = Q 2 Q 1, eseguito dalla macchina nel tempo t, si può approssimativamente scrivere: L tot = ω 2π L c t mentre il calore assorbito risulta Q 2 = L tot + Q Si calcoli, infine il rendimento della macchina, usando la seguente espresione (si ricordi che υ = ω 2π): η = L tot υl c = L tot + Q 1 υl c + Q 1 / t 5

... un pò di Fisica: la macchina di Stirling... Descriviamo di seguito la macchina di Stirling della Leybold utilizzata nell esperienza di laboratorio.

6 ... un pò di Fisica: la macchina di Stirling... Descriviamo di seguito la macchina di Stirling della Leybold utilizzata nell esperienza di laboratorio. La macchina di Stirling è una machina termica, ossia un dispositivo in grado di traformare parzialmente calore in lavoro. Essa è una macchina ad aria calda ed opera una trasformazione ciclica nota come ciclo di Stirling. La macchina è costituita da un cilindro entro cui scorrono due pistoni: il pistone di lavoro che comprime e dilata periodicamente l aria in esso contenuta, ed il pistone di spostamento che serve a mettere in contatto il gas con la parte superiore calda o quella inferiore fredda del cilindro. Il pistone di spostamento ha un canale assiale riempito di lana di rame entro il quale il gas può passare durante le trasformazioni. La lana di rame, grazie all ampia superficie totale ed alla sua elevata conducibilità, assorbe calore dal gas caldo che proviene dall alto e lo cede al gas freddo che proviene dal basso. Questo dispositivo prende il nome di rigeneratore. Il pistone di spostamento e quello di lavoro sono sfasati di 90. La parte superiore del cilindro viene riscaldata e mantenuta a temperatura elevata tramite un filamento di rame nel quale scorre una corrente elettrica che dissipa calore per effetto Joule; la parte inferiore del cilindro ha invece un intercapedine nella quale scorre acqua che assorbe calore dal gas presente nel cilindro. Di seguito è riportato nel piano p-v il ciclo ideale di Stirling. Descriviamo brevemente il ciclo compiuto dalla macchina: - inizialmente, il pistone di spostamento si trova nella sua posizione più bassa ed il pistone di lavoro nella sua posizione più elevata (stato A). Tutto il gas si trova nella parte calda ed il volume occupato è il minimo possibile; - a questo punto inizia l espansione isoterma a temperatura T C ; il pistone di lavoro si abbassa fino al punto più basso mentre il gas assorbe una quantità di calore Q AB =Q 2 ; questa trasformazione porta il gas dallo stato A allo stato B; - il pistone di spostamento, a questo punto, si muove verso l alto e il gas si sposta dalla parte calda del pistone alla parte bassa a contatto con l acqua di raffreddamento; in questo spostamento il gas si raffredda attraversando il rigeneratore al quale cede la quantità di calore Q BC e raggiunge lo stato C; - il gas, a contatto con la parte del cilindro dove è presente l intercapedine con l acqua, viene quindi compresso isotermicamente, a temperatura T F, dal movimento verso l alto del pistone di lavoro; il gas viene portato allo stato D; nella trasformazione CD il gas cede la quantità di calore Q CD =Q 1 all acqua di raffreddamento; - per riportare il sistema allo stato iniziale A, il pistone di spostamento si muove verso il basso, il gas attraversa di nuovo il rigeneratore assorbendo la quantità Q DA di calore e si riporta nella parte alta del cilindro, ripristinando le condizioni iniziali. Calcoliamo ora il lavoro compiuto nel ciclo di Stirling da un gas perfetto, la cui equazione di stato, ricordiamo, si scrive: 6

7 pv = nrt Il lavoro totale è dato da: B L tot = pdv = pdv + A D pdv C essendo nullo il contributo nelle due isocore BC e DA. Come detto, le trasformazioni AB e CD sono isoterme a temperature T C e T F rispettivamente; si ha: B L tot = nrt D C V dv + nrt F V dv = nrt Cln ( V B ) + nrt V F ln ( V D ) = nr(t A V C T F )ln ( V B ) C V A A C La somma delle quantità di calore scambiate dal sistema (positive se assorbite e negative se cedute) nelle quattro trasformazioni che costituiscono il ciclo sono uguali al lavoro totale compiuto poiché l energia interna del sistema nello stato iniziale e finale è la stessa ( U=0): L tot = Q AB + Q BC + Q CD + Q DA Poiché si ha Q BC +Q DA =0, si ottiene: L tot = Q 2 Q 1 Il rendimento della macchina di Stirling sarà quindi: η = L Q 2 = 1 Q 1 Q 2 7

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