LE TEORIE PSICOLOGICHE DELLA CONOSCENZA MATEMATICA

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1 Capitolo primo LE TEORIE PSICOLOGICHE DELLA CONOSCENZA MATEMATICA Jean Piaget e lo sviluppo delle conoscenze matematiche Jean Piaget fu l'autore di una delle prime teorie cognitive sulla costruzione del numero nel bambino: la costruzione del numero è correlativa allo sviluppo della logica stessa. L'ipotesi elaborata negli anni Quaranta (Piaget e Szeminska, 1941), costituisce ancora oggi un prezioso punto di riferimento nel settore (Liverta Sempio, 1997). Piaget (1968), che delinea lo sviluppo del pensiero nell'ottica strutturalistica e costruttivistica, afferma l esistenza di un rapporto inscindibile tra strutture di intelligenza generale ed evoluzione delle competenze numeriche nelle abilità di pensiero. I singoli individui riassumono, nel corso del loro sviluppo, tutta la storia intellettuale della specie umana e la struttura della conoscenza si rivela attraverso lo studio dello sviluppo mentale del bambino da una parte (ontogenesi) e dell evoluzione della specie umana dall altra (filogenesi). Il concetto di numero si costituisce nel momento in cui l intelligenza del bambino passa dal livello di pensiero irreversibile preoperatorio al livello 6

2 del pensiero operatorio concreto reversibile e delle operazioni logiche, intorno ai sei anni. Rispetto alla genesi del concetto di numero, Piaget (1968) è convinto che al livello prelogico corrisponde un periodo prenumerico. Il numero si organizza, una tappa dopo l'altra, in stretta solidarietà con l'elaborazione graduale dei sistemi di inclusione (gerarchia delle classi logiche) e delle relazioni asimmetriche (seriazioni qualitative), la successione dei numeri venendo così a costituirsi in quanto sintesi operante della classificazione e della seriazione. Le operazioni logiche e aritmetiche ci sono dunque apparse un solo sistema totale e psicologicamente naturale, risultando le seconde dalla generalizzazione e dalla funzione delle prime, sotto i loro due aspetti complementari dell'inclusione delle classi e della seriazione delle relazioni, ma con eliminazione delle qualità. Tale passaggio permette di giungere alla padronanza sia di vere e proprie operazioni logiche (che consistono nel coordinare in vario modo i dati senza tener conto delle condizioni spaziali o temporali entro cui possono trovarsi i dati stessi), sia di operazioni spazio-temporali (vengono coordinati in vario modo dati di ordine spaziale, temporale e spaziotemporale). Le operazioni spazio-temporali garantiscono al bambino la capacità di riconoscere come valori invarianti i rapporti spaziali di ordine topologico e di ordine metrico (distanza, lunghezza, area, volume), o certe quantità fisiche come la permanenza e la quantità della sostanza, il peso, la durata, la velocità. Sono infatti le operazioni logiche a permettergli di utilizzare nozioni come quelle di classe, di serie e di numero. Il numero, a partire dal livello di assenza delle operazioni, si costruisce dunque in tappe parallele a quelle della costruzione dei raggruppamenti di 7

3 classe e di ordine. La conservazione viene raggiunta dal bambino attraverso un'evoluzione in stadi, cioè livelli qualitativamente diversi tra di loro. Uno stadio è un periodo di tempo in cui il pensiero ed il comportamento del bambino manifestano un particolare tipo di struttura cognitiva, che ha carattere integrativo e corrisponde ad una struttura d insieme. Ogni stadio presenta caratteristiche qualitative ben definite, diverse da un altro stadio, ma anche caratteristiche comuni 1 (Camaioni, 2007). Lo sviluppo intellettuale può essere descritto attraverso le modificazioni strutturali che avvengono nel passaggio da uno stadio al successivo. Lo sviluppo intellettuale è un processo continuo, governato dagli invarianti funzionali dell'organizzazione e dell'adattamento, ma anche un fenomeno discontinuo in cui si verificano modificazioni qualitative tra gli stadi di sviluppo più primitivi e quelli più evoluti. La caratteristica della discontinuità differenzia il processo dello sviluppo intellettuale dal lento e graduale apprendimento di competenze o abilità specifiche. Nel bambino più piccolo l'informazione sensoriale costituisce l'unico criterio di giudizio, 1 Gli stadi hanno 5 caratteristiche salienti: ogni stadio ha una struttura diversa che crea una diversa interazione con l'ambiente, dalla quale dipende una diversa visione del mondo. Piaget pone l'accento sull'aspetto qualitativo (strutture basate sulle azioni VS strutture basate sulle rappresentazioni mentali). ciascuno stadio deriva da quello precedente, lo incorpora, lo trasforma e prepara quello successivo: è impossibile la regressione ad uno stadio precedente, poiché è incorporato da quello attuale. gli stadi seguono una sequenza invariante, un determinato ordine e nessuno di loro può essere saltato. universalità degli stadi. ciascuno stadio include una preparazione ad essere e un essere vero e proprio: il periodo iniziale di ogni stadio è contraddistinto da strutture instabili, quello finale è invece stabile, generalizzato e ben organizzato. 8

4 mentre il bambino più grande non si lascia ingannare dalla percezione momentanea e fornisce un giudizio basato su considerazioni razionali: sono due tappe qualitativamente diverse nella conoscenza della realtà, segnate dal passaggio che si verifica attorno ai 6 o 7 anni quando il bambino abbandona una concezione del mondo pre-logica, intuitiva e magica a favore di una concezione di tipo razionale. Si è verificato un cambiamento strutturale, vale a dire una modificazione sostanziale delle strutture che il bambino usa per interagire con la realtà. Anche all'interno di ciascun stadio si verificano delle modificazioni, ma sono lente, graduali e di tipo quantitativo: c'è una fase di preparazione al raggiungimento di uno stadio, quindi assimilazione e accomodamento lo consolidano e lo portano sempre più vicino alla maturità funzionale, vicino al suo superamento e abbandono a favore di una forma di organizzazione più evoluta. Le acquisizioni di uno stadio non vanno perse con il raggiungimento dello stadio successivo, ma vengono integrate in strutture più evolute, secondo un principio di integrazione gerarchica tra stadi. Nessuno stadio può essere saltato e ciascuno stadio segue uno stadio più primitivo. Inoltre, secondo Piaget, vi è la medesima sequenza in tutti i bambini, ciò che può variare è la velocità con cui vengono raggiunti i diversi stadi. Piaget distingue quattro grandi periodi dello sviluppo cognitivo (Camaioni, 2007): Lo stadio sensomotorio (0-18/24 MESI) l'organizzazione interna consiste in schemi di azione pratici: è un intelligenza pratica che prolunga l uso dei riflessi. Non esiste, tuttavia, alcuna attività mentale, di pensiero o 9

5 di riflessione. Gli scambi con l'ambiente avvengono attraverso azioni manifeste, effettivamente eseguite sugli oggetti. Attraverso sei sottofasi, il bambino progredisce nella costruzione di un sistema di pensiero sensomotorio, muovendosi dall'uso di semplici riflessi a un insieme di schemi organizzati (comportamenti organizzati): 0-1 mese: nascita- Modificazioni dei riflessi per migliorare l adattamento. 2-4 mesi: reazioni circolari primarie e coordinazioni delle azioni. 4-8 mesi: reazioni circolari secondarie. Nessuna ricerca degli oggetti nascosti mesi: reazioni circolari terziarie. Sperimentazione con gli oggetti mesi: inizio della rappresentazione mentale. Imitazione differita. Lo stadio dell'intelligenza preoperatoria (18/24 MESI-7 ANNI) è caratterizzato dalla capacità di rappresentarsi, mediante simboli o immagini mentali, oggetti che non sono presenti. La comparsa dell attività rappresentativa si manifesta attraverso attività ben riconoscibili nel bambino di circa 2 anni. Si sviluppano sempre più la funzione semeiotica 2, il linguaggio, l'uso di simboli e la rappresentazione mentale. Il pensiero del bambino è caratterizzato dall'egocentrismo intellettuale (il bambino ha la 2 È la capacità di servirsi di un oggetto al posto di un altro (bastone per spada, ecc); compare così il gioco simbolico (far finta, ecc) 10

6 tendenza a percepire ed interpretare il mondo solo dal suo punto di vista perché crede che corrisponda a quello degli altri). L'egocentrismo caratterizza inoltre la comunicazione. la valutazione cardinale è sottomessa all esperienza percettiva e la seriazione consiste nel mettere un termine vicino all altro senza rispettare le relazioni di ordine (3/4 anni). Se presentiamo una fila di sei gettoni blu e chiediamo di fare una fila con altrettanti gettoni rossi, a 4-5 anni farà una fila della stessa lunghezza, senza preoccuparsi del numero: la quantità viene valutata in relazione allo spazio che occupa. ancora sottomesso all esperienza percettiva, il bambino inizia a formare gruppi equivalenti e ad ordinare spontaneamente (5 anni), sarà capace di mettere un gettone rosso accanto a ciascun gettone blu: l'equivalenza EQUIPOTENZA dei due insiemi si basa sulla corrispondenza tra termini. Tuttavia, se allunghiamo la distanza tra i gettoni di una fila, il bambino negherà l'equivalenza e di nuovo valuterà sulla base dello spazio occupato. Quindi l'equivalenza è garantita da una corrispondenza visiva, non logica.. piena coordinazione del concetto di equivalenza (classe: essere incluso in) e di relazione asimmetrica (serie) (6 anni). Lo stadio operatorio concreto (7-11 ANNI) questo è lo stadio delle vere e proprie strutture intellettuali: le azioni interiorizzate si coordinano e si raggruppano per dar luogo alle operazioni intellettuali. Il bambino compie operazioni mentali a partire da un esperienza concreta e limitate ad oggetti 11

7 concreti. E' finalmente in grado di decentrare, conservare, invertire. verso gli 11 anni il bambino può compiere delle vere operazioni mentali, rappresentarsi sia trasformazioni che situazioni statiche e risolvere problemi di conservazione, inclusione di classe, tempo, seriazione etc. Perdura la difficoltà a pensare a tutte le possibili combinazioni e alle trasformazioni di trasformazioni. Lo stadio operatorio formale (oltre gli 11 ANNI) il bambino è in grado di operare mentalmente su idee e conoscenze astratte. Tale periodo è stato definito ipotetico-deduttivo perché opera su premesse non fattuali ma puramente ipotetiche, e quindi ricava le conclusioni logiche che discendono da esse. In base a tale teoria, nello stadio preoperatorio, saper produrre verbalmente una sequenza di numeri non significa possedere e comprendere i concetti di numero e quantità. Saper contare e possedere il concetto di numero rappresentano abilità cognitive evolutivamente differenti. I bambini possono infatti usare i numeri senza comprenderne il significato. Essi si devono rendere conto che ogni parola-numero corrisponde ad un oggetto, ed imparare la corrispondenza tra la sequenza numerica e la quantità dell'insieme considerato. Affinché ciò sia possibile, è necessario che il bambino giunga a padroneggiare proprio le operazioni logiche di classificazione e di seriazione, a partire dai 7-8 anni (ovvero in quello che Piaget definisce stadio operatorio concreto) prima di comprendere la corrispondenza tra una sequenza di numeri e il loro valore quantitativo (Piaget e Szeminska, 1941). 12

8 Critiche a Piaget Vi sono diverse debolezze nel modello piagetiano. Alcuni studiosi hanno verificato ad esempio che le risposte dei bambini sono facilitate se nelle domande vengono utilizzati nomi di collezioni (foresta, grappolo, mazzo), anziché di classi (alberi, acini, fiori). A livello di organizzazione concettuale la collezione può essere psicologicamente più forte poiché fondata sulla relazione «essere parte di», rispetto alla classe in cui la relazione tra gli elementi è «essere incluso in». Inoltre, i bambini possono essere indotti a sbagliare a causa di incompetenza conversazionale, dal momento che le domande presentate nei diversi compiti richiedono di focalizzare l attenzione sia su informazioni quantitative che percettive e spaziali (Siegal, 1991a, 1991b; McGarrigle e Donaldson, 1975). Mc Garrigle e Donaldson ad esempio ipotizzano che il fallimento di una prova può essere dovuto al fatto che il bambino interpreta in modo sbagliato il problema e di conseguenza risolve compiti differenti da quelli richiesti: essi sottolineano il ruolo del contesto, e in particolare del comportamento non verbale dello sperimentatore, ed ottengono in effetti in alcune classiche prove risultati notevolmente diversi, modificando esclusivamente tale variabile. Girelli, Lucangeli e Butterworth (2000) hanno recentemente dimostrato che i bambini più piccoli fanno molta fatica a riconoscere quale numero sia maggiore tra due, dei quali uno scritto in dimensioni percettivamente più grandi, o a riconoscere l uguaglianza di quantità che si riferiscono a oggetti percettivamente di grandezza differente (ad esempio elefanti e ciliegie). Nonostante le critiche, al modello piagetiano va riconosciuto il merito di 13

9 aver indagato lo sviluppo del bambino in tutti i suoi aspetti e risvolti, dando importanza alle competenze numeriche in un periodo storico in cui queste erano poco prese in considerazione. 14