Algebra e topologia. Appendice A. 1. Algebra

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1 Appendice A Algebra e topologia In questa appendice richiamiamo alcuni concetti di algebra e di topologia che dovrebbero essere familiari a tutti. Questa è solo una breve lista di definizioni per una trattazione esauriente di questi argomenti il lettore può consultare [Hun80, Lan02] per l algebra e [Kur92, CTV76] per la topologia. 1. Algebra Un semigruppo è un insieme S 6= ; dotato di un operazione binaria che è associativa, cioè (a b) c = a (b c). Se esiste un elemento e 2 S tale che 8a 2 S (a e = e a = a) diremo che è un monoide. L elemento e è unico e si dice elemento neutro. Un gruppo è un monoide in cui ogni elemento ha un inverso, cioè 8x 2 S 9y 2 S (x y = y x = e). L inverso di x è unico e lo si denota con x 1. Un gruppo si dice commutativo o abeliano se l operazione è commutativa, cioè 8x, y 2 S (x y = y x). Spesso l operazione nei gruppi abeliani la si indica con + e l elemento neutro con 0. Unanello è un insieme R 6= ; dotato di due operazioni + e tali che (R, +) è un gruppo abeliano in cui 0 denota l elemento neutro, (R, ) è un semigruppo, vale la proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto, cioè (x + y) z = x z + y z, z (x + y) =z x + z y. Se c è un elemento e 2 R tale che x e = e x = x, per tutti gli x 2 R, diremo che l anello è unitario e l elemento e viene denotato con 1=1 R.Un anello si dice commutativo se l operazione è commutativa. Un dominio 463

2 464 A. Algebra e topologia di integrità è un anello commutativo in cui non ci sono divisori dello 0, cioè x y =0) x =0_ y =0.Uncorpo 1 è un anello unitario R in cui 0 6= 1e ogni elemento non nullo ha un inverso, cioè 8x 2 R \{0}9y 2 R \{0} (x y = y x = 1). Un corpo commutativo si dice campo. Il tipico esempio di corpo non commutativo sono i quaternioni H, mentre, per un teorema di Wedderburn, ogni corpo finito è un campo [Wei95]. La caratteristica di un campo è il più piccolo intero p>0 tale che 1+ +1=0 se questo intero p esiste allora {z } p volte è un numero primo, se non esiste, diremo che il campo ha caratteristica 0. Se R è un anello R[X] è l anello dei polinomi a coefficienti in R. Un campo k si dice algebricamente chiuso se ogni polinomio non nullo in k[x] ha una soluzione in k. Un numero complesso si dice algebrico se è soluzione di un polinomio di Q[X] equivalentemente, se è soluzione di un polinomio di Z[X]. Un numero complesso che non sia algebrico si dice trascendente. L insieme dei numeri algebrici forma un campo algebricamente chiuso Q ed è il più piccolo campo algebricamente chiuso di caratteristica 0. Uno spazio vettoriale su un campo k è un gruppo abeliano hv,+, 0i con una funzione k V! V, (r, v) 7! rv detta prodotto per scalare, che soddisfa le seguenti identità, per ogni r, s 2 k eogniu, v 2 V : r(u + v) =ru + rv (r + s)u = ru + su (r s)u = r(su) 1 k u = u. Gli elementi di V si dicono vettori, gli elementi di k si dicono scalari. Un insieme X V si dice linearmente dipendente se esistono v 1,...,v n 2 X ed esistono scalari r 1,...,r n 2 k tali che (r 1,...,r n ) 6= (0 k,...,0 k ) e P n i=1 r iv i = 0. Se X non è linearmente dipendente, diremo che è linearmente indipendente. Un X V è un insieme di generatori di V,seogniv 2 V può essere espresso come combinazione lineare v = P n i=1 r iv i, per qualche v 1,...,v n 2 X e r 1,...,r n 2 k. Uno spazio vettoriale si dice finitamente generato se ha un insieme finito di generatori. Una base di uno spazio vettoriale V èun insieme linearmente indipendente di generatori di V. Spesso nel caso degli spazi non finitamente generati si parla di basi di Hamel. 1 In inglese skew-field o division ring

3 2. Topologia Topologia Uno spazio topologico è un insieme X dotato di una famiglia T P(X) tale che (1) ;,X 2 T, (2) se A, B 2 T allora A \ B 2 T, (3) se {A i i 2 I} T allora S i2i A i 2 T. La famiglia T si dice topologia e i suoi elementi si dicono aperti. Quando la topologia T è chiara dal contesto diremo, con abuso di linguaggio, che X è uno spazio topologico. Se x 2 V X e se esiste U aperto tale che x 2 U V diremo che V èunintorno del punto x. Se possiamo prendere U = V, cioè se V è aperto, parleremo di intorno aperto. Uno spazio si dice primo-numerabile ovvero che soddisfa al primo assioma di numerabilità se per ogni x 2 X esiste un insieme {V n n 2!} di intorni di x tale che ogni intorno di x contiene uno dei V n. Un x 2 X si dice punto isolato se {x} è un aperto. Il complementare di un insieme aperto di dice chiuso. Un insieme che sia simultaneamente chiuso ed aperto si dice chiuso-aperto. Gli spazi X in cui gli unici insiemi chiusi-aperti sono ; e X si dicono connessi. In caso contrario si dicono sconnessi. Se Y X l interno di Y elachiusura di Y sono, rispettivamente, il più grande aperto contenuto in Y e il più piccolo chiuso contenente Y, cioè Int(Y )= [ {U Y U 2 T} Cl(Y )= \ {C Y X \ C 2 T}. La frontiera di Y è Fr(Y )=Cl(Y ) \ Int(Y ). Se Y X, latopologia indotta da X su Y è {Y \ U U 2 T} e diremo che Y, con questa topologia, è un sottospazio di X. Una funzione tra due spazi topologici si dice continua se la controimmagine di un aperto è un aperto la funzione di inclusione tra un sottospazio e lo spazio ambiente è continua. Un sottoinsieme Y si dice denso in X se Cl(Y )=X. Uno spazio che abbia un sotto-insieme denso e numerabile si dice separabile. 2.A. Basi. Una base per una topologia su X èunab P(X) chiusa per intersezioni finite e tale che 8x 2 X 9B 2 B (x 2 B). La topologia generata da B è ˆB = { S i2i B i {B i i 2 I} B}.

4 466 A. Algebra e topologia Diremo che B è una base per la topologia T se ˆB = T. Se uno spazio topologico ha una base numerabile diremo che è secondo numerabile ovvero che soddisfa al secondo assioma di numerabilità. Per l assioma delle scelte numerabili, uno spazio secondo-numerabile è anche separabile (Esercizio 27.31). Per ogni S P(X) la famiglia {A 1 \ \A n A 1,...,A n 2 S}[{X} è una base per una topologia T su X e diremo che S èunasottobase per questa topologia. Data una famiglia di spazi topologici (Y i, T i ) (i 2 I), un insieme X e delle funzioni F i : X! Y i,latopologiaindottasux dalle F i è quella generata dagli insiemi Fi 1 [U i ], con U 2 T i e i 2 I. Una sottobase per questa topologia è {Fi 1 [U i ] U i 2 T i,i2 I} e quindi un aperto di base è della forma F 1 i [U i ] U i 2 T i,i2 J, J I finito. Questa topologia T rende ogni F i continua ed è la minima topologia siffatta, nel senso che ogni topologia su X che rende tutte le F i continue deve contenere T. Se prendiamo come X = " i2i Y i il prodotto cartesiano degli spazi Y i e F i : X! Y i è la funzione valutazione f 7! f(i), si ottiene la topologia prodotto o topologia di Tychonoff i cui aperti di base sono della forma N(U i0,...,u in )={f 2 " i2i Y i f(i k ) 2 U ik,k=0,...,n} = " j2{i0,...,i n}u j " i2i\{i0,...,i n}y i dove {i 0,...,i n } I e U ik è aperto in Y ik. 2.B. Assiomi di separazione. Gli spazi topologici possono essere classificati in base alla loro abilità di distinguere punti mediante aperti. Uno spazio topologico (X, T) si dice T 0 se punti distinti hanno famiglie degli intorni distinte, x 6= y )9U 2 T ((x 2 U ^ y/2 U) _ (y 2 U ^ x/2 U)) T 1 se punti distinti sono distinguibili mediante aperti, x 6= y )9U, V 2 T (x 2 U ^ y/2 U ^ y 2 V ^ x/2 V ). Equivalentemente: X è T 1 se {x} è un chiuso, per ogni x 2 X. T 2 odihausdorff se punti distinti sono separabili mediante aperti, x 6= y )9U, V 2 T (x 2 U ^ y 2 V ^ U \ V = ;)

5 2. Topologia 467 T 3 o regolare se è possibile separare un punto x da un chiuso C mediante aperti, cioè x/2 C )9U, V 2 T (x 2 U ^ C V ^ U \ V = ;). Equivalentemente: X è T 3 se per ogni aperto U eognix 2 U, èpossibile trovare un aperto V tale che x 2 V Cl(V ) U. Se X è T 0,allora T 3 implica T 2. 2.C. Compattezza. Sia X uno spazio topologico e sia K un suo sottospazio. Un ricoprimento aperto di K è una famiglia {A i i 2 I} di aperti che ricoprono K, cioè K S i2i A i. Diremo che K è compatto se da ogni ricoprimento aperto {A i i 2 I} possiamo estrarre un sotto-ricoprimento finito, cioè se esiste I 0 I finito tale che K S i2i 0 A i. In generale diremo che uno spazio topologico è compatto se lo è come sottospazio di sé stesso. Uno spazio è compatto se ogni famiglia C di chiusi ha la proprietà dell intersezione finita: se8c 1,...,C n 2 C (C 1 \ \C n 6= ;), allora T C2C C 6= ;. Un chiuso di un compatto è compatto. Uno spazio compatto è T 3 :sex/2 C e C è chiuso (e quindi compatto), scegliamo aperti U y e V y disgiunti con x 2 U y e y 2 V y. Poiché {V y y 2 C} ricopre C possiamo estrarre un sotto-ricoprimento finito {V y1,...,v yn }. Allora x 2 U y1 \ \U yn = U, C V y1 [ [V yn = V e U \ V = ;. Uno spazio topologico si dice localmente compatto se è T 2 eogni punto ha un intorno la cui chiusura è compatta. Equivalentemente: se U è aperto e x 2 U allora 9V aperto tale che x 2 V Cl(V ) U e Cl(V ) è compatto. 2.D. Spazi metrici. Uno spazio metrico è un insieme X dotato di una metrica d: X X! [0; +1) che soddisfa alle tre proprietà: d(x, y) =0se e solo se x = y, d(x, y) =d(y, x), per ogni x, y 2 X, d(x, y) apple d(x, z)+d(z,y), per ogni x, y, z 2 X. La palla aperta di centro x 2 X eraggior>0 è l insieme B(x; r) =B (X,d) (x; r) def = {y 2 X d(x, y) <r} mentre la palla chiusa B(x; r) cl ha la medesima definizione, con apple al posto di <. Ildiamtero di un insieme A X è diam(a) =sup{d(x, y) x, y 2 A}. Un insieme si dice limitato se il suo diametro è < 1. Uno spazio metrico è anche uno spazio topologico, prendendo come sottobase la famiglia delle palle aperte. Inoltre la topologia così ottenuta è T 0 e T 3 e soddisfa al primo assioma di numerabilità. Uno spazio metrico separabile è

6 468 A. Algebra e topologia anche secondo-numerabile: se D è un sottoinsieme denso e numerabile basta prendere come base {B(x; q) x 2 D ^ q 2 Q + }. Una successione (x n ) n in uno spazio metrico (X, d) converge ad un x 2 X se 8" >0 9N 8n >N (d(x n,x) <"). Una successione si dice di Cauchy se 8" >0 9N 8n, m > N d(x n,x m ) <". Uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy converge in X. In questo caso la metrica si dirà completa.