4. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre

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1 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 1 Verifica di matematica, classe II liceo scientifico Sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione 1. 5 x y x 3y 1 risolvere con il metodo di Cramer. x 1 3 y y x 3 risolvere con il metodo di riduzione 3 x y y3 x risolvere con un metodo a scelta, tenendo conto delle C.E.. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre la misura z differisce di 19cm dalla somma delle altre due misure e che la misura x differisce di 11cm dalla differenza tra y e z. 5. Una gelateria prepara per la giornata di Ferragosto 30kg di gelato. Vende i coni da due palline a 1,50 e i coni da tre palline a,00. Si sa che da kg di gelato si fanno 5 palline di gelato. A fine giornata ha venduto tutto il gelato e ha incassato 57,50. Quanti coni di ciascun tipo ha venduto? 6. Si dimostri che le diagonali di un trapezio dividono il trapezio in quattro triangoli due dei quali sono equiestesi. x 7. x x determina le condizioni di esistenza ax a x x x x 1 ax a ab 3 abx ; ; 3 x x razionalizza risolvi l equazione 1. Nel triangolo rettangolo ABC, l altezza relativa all ipotenusa è AH. a) Se BC=1cm e AH= cm calcola il perimetro del triangolo ABC. b) Se AH= 1cm e il perimetro di ABH=36cm calcola l area del triangolo ABC. kx ky 1 kx k x Discuti al variare di k: per quale valore di k è impossibile? Per quale indeterminato? Per quali valori è determinato? Calcola i valori di x e y in funzione di k. Si consiglia il metodo di Cramer.

2 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 1. 5x y x 3y 1 risolvere con il metodo di Cramer D x D y D x D x D 5 17 y D y D

3 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 3. x 13y y x 3 risolvere con il metodo di riduzione x 3y 1 x y 3 Sommando membro a membro, si ottiene il valore della y; x 3y 1 x y 3 0 y y 1 Sostituiamo questo valore della y alla prima equazione: x x 1 3 x x 1

4 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 3. 3 x y y3 x risolvere con un metodo a scelta, tenendo conto delle C.E. Determiniamo per prima cosa le condizioni di esistenza: x 0 x y 3 0 y 3 y 3 0 y 3 x 0 x x C.E.: x y 3 Ora possiamo risolvere il sistema, riducendo le due equazioni, una per volta, in forma 3 3 y 3 3x 0 0 x y 3 x y 3 x y 3 normale. Dopo aver fatto il minimo comune multiplo, avendo posto le condizioni di esistenza, possiamo eliminare il denominatore. y 3 3 x 0 y 6 3x 6 0 y 3x 0 Passiamo ora alla seconda equazione: x y y 3 x y 3 x y 3 x Anche qui possiamo eliminare il denominatore: x y 3 0 x y 3 0 x y 5 0 Per comodità, cambiamo segno alle equazioni, in modo da avere il coefficiente della x positivo, e mettiamo a sistema le due equazioni ottenute: y 3x 0 3x y 0 x y 5 0 x y 5 0 Poiché è molto facile ricavare dalla seconda equazione un incognita, risolviamo il sistema con il metodo della sostituzione: 3x y 0 x y 5 Sostituiamo, quindi, la seconda equazione alla prima: 3 y 5 y 0 3y 15 y 0 y 15 Sostituiamo, poi, questo valore della y ad una delle due equazioni: x I valori che soddisfano il sistema sono quindi x=-10 e y=-15. Questi valori sono accettabili, perché non sono fra quelli esclusi nelle condizioni di esistenza.

5 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 5. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre la misura z differisce di 19cm dalla somma delle altre due misure e che la misura x differisce di 11cm dalla differenza tra y e z. Considerando le informazioni forniteci dal problema, possiamo impostare un sistema a tre incognite. La prima equazione sarà z y z 53, poiché sappiamo che il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei suoi lati, è di 53cm. Il problema dice poi che la misura z differisce di 19cm dalla somma delle altre due misure; tenendo presente che in un triangolo ogni lato è sempre minore della somma degli altri due, impostiamo la seconda equazione: x y z 19; allo stesso modo, tenendo presente che in un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due, possiamo scrivere che x y z11. Quindi abbiamo x y z 53 x y z 19 x y z 11 x y z 53 x y z 19 x y z 11 Ricaviamo l incognita x dalla prima equazione, e sostituiamola alla seconda: x 53 y z x 53 y z x 53 y z x y z y z y z y z y z 19 x y z 11 x y z 11 x y z 11 x 53 y z x 53 y z z z 3 17 x y z 11 x y z 11 Abbiamo quindi trovato la lunghezza di un lato. Sostituiamo questo valore alle altre due equazioni, in modo da ottenere un sistema a due incognite. x 53 y 17 x 36 y z 17 x y 6 x y Ricaviamo la x dalla seconda equazione e risolviamo il sistema con il metodo del confronto: x 36 y x 6 y 36 y 6 y 36 6 y y y y 1 Sostituiamo questo valore ad una delle due equazioni: x Le lunghezze dei tre lati sono quindi 15cm, 1cm e 17 cm.

6 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 6 5. Una gelateria prepara per la giornata di Ferragosto 30kg di gelato. Vende i coni da due palline a 1,50 e i coni da tre palline a,00. Si sa che da kg di gelato si fanno 5 palline di gelato. A fine giornata ha venduto tutto il gelato e ha incassato 57,50. Quanti coni di ciascun tipo ha venduto? Per prima cosa, ricapitoliamo i dati fornitici dal problema: I coni da due gusti costano 1,50 ; I coni da tre gusti costano,00 ; Il gelataio prepara 30 kg di gelate e a fine giornata lo finisce tutto, guadagnando 57,50 Da kg di gelato di formano 5 palline; Possiamo, quindi, ricavare da quest ultima informazione il numero totale di palline che si formano con 30 kg di gelato, impostando una proporzione: kg: 5palline 30kg: xpalline 5 30 x 375 Abbiamo in tutto 375 palline. Per risolvere il problema dobbiamo impostare un sistema di equazioni a due incognite, considerando per un equazione il numero delle palline, per l altra il guadagno totale. Chiamiamo con x il numero dei gelati con due gusti (due palline) e con y il numero dei gelati a tre gusti (tre palline). Sapendo che il numero totale di palline è 375, avremo che: x 3y 375. Dato che un gelato da due palline costa 1,50 e uno da tre ne costa,00, possiamo scrivere 1,50 x,00 y 57,5. Abbiamo quindi il sistema, che risolveremo con il metodo della sostituzione. x 3y y 375 3y x x 1,50x y 57, y 1,50x y 57,5 1,50 y 57, y x 56,5,5y y 57, y x 56,5,5y y y x 0,5y 7, y x y 7,5 0,5 95 x y 95 x 5 y 95 Il gelataio ha quindi venduto 5 coni da due palline e 95 coni da tre palline.

7 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 7 6. Si dimostri che le diagonali di un trapezio dividono il trapezio in quattro triangoli due dei quali sono equiestesi. A D O B H Dobbiamo dimostrare che due di questi quattro triangoli AOB cioè che hanno la stessa estensione, ovvero la stessa area. ;AOD ;BOC; DOC sono equiestesi, I triangoli AOD e BOC sono troppo diversi dagli altri per poter essere equiestesi, uno è troppo grande, l altro troppo piccolo; prendiamo quindi in considerazione gli altri due, AOB e DOC. Per dimostrare la loro equiestensione dobbiamo dimostrare che hanno la stessa area, cioè che il prodotto della base per l altezza diviso due dell uno sia uguale a quello dell altro. Poiché, però non abbiamo elementi a sufficienza per farlo, dobbiamo avvalerci di altri triangoli, dei quali i due in questione fanno parte, per poi utilizzare la proprietà di equivalenza per differenza. Consideriamo i triangoli ACB e DBC. Questi triangoli sono equiestesi, poiché hanno la stessa base BC e altezze congruenti, AH = DK. Di conseguenza, hanno la stessa area. Notiamo che ciascuno di questi due triangoli può essere scomposto in altri due: ACB è composto da AOB + BOC ; DBC è composto da DOC + BOC. Vediamo quindi che vi è un triangolo in comune ( BOC ). Per questo motivo, essendo ACB DBC, deve per forza essere che AOB DOC. Abbiamo quindi dimostrato la tesi del problema. K C

8 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 8 7. x x1 x determina le condizioni di esistenza Affinché un radicale esista è necessario che il suo radicando sia maggiore o uguale a zero. C.E. xx 1 x 0 Risolviamo ora la disequazione: N 0 0 x x 1 x o x 1 0 x 1 Eseguiamo lo studio del segno: Abbiamo, quindi, per il numeratore, x 0 x 1. D 0 x 0 x Impostiamo ora lo studio del segno fra numeratore e denominatore: Poiché la disequazione di partenza era maggiore o uguale a zero, prendiamo gli intervallo positivi: 0 x 1 x.

9 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione ax a x x x x 1 ax a 1 Per prima cosa, determiniamo le condizioni di esistenza. Dobbiamo studiare il segno del radicale cubico in relazione a quello del radicale quadratico. N 0 ax a 0 ax 1 0 a 0 a 0 x 1 x 1 x x 1 0 x 1 0 x, x 1 Per la seconda radice poniamo il radicando maggiore o uguale a zero: x x1 x ax a a x 1 N 0 x 1 0 x D 0 a x 1 0 a 0 x 1 0 x 1 Nel caso in cui a sia minore di zero, avremo che a 0 x 1 Ora, consideriamo due casi: a 0 x 1 x 1 Poiché per l esistenza del radicale quadratico è necessario che x sia maggiore di uno, avremmo sempre positivo anche il radicale cubico. a 0 x 1 x 1 Affinché esista il radicale quadratico, la x deve essere minore di uno. In questo intervallo, però, abbiamo due segni del radicale cubico: positivo per x<-1 e negativo per -1<x<1. Ora dobbiamo ridurre le radici allo stesso indice, che in questo caso è 6. Consideriamo il caso in cui a sia maggiore di zero.

10 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 10 ax a x x 1 x 3 x 1 ax a 6 6 a x 1 x 1 x 1 3 a x a x 1 x 1 3 x 1 a x a x 1 x 1 6 x 1 a 3 x 1 Semplifichiamo 1 x 1 x 1 a x 1 3 a x 1 Nel caso in cui a sia minore di zero, dobbiamo considerare l intervallo in cui il radicale cubico è negativo, cioè per -1<x<1. In questo caso, è necessario portare fuori dalla radice cubica il segno -. ax a 3 x x 1 x x 1 ax a A questo punto possiamo procedere con la riduzione allo stesso indice. ax a x x 1 x 3 x 1 ax a 6 6 a x 1 x 1 x 1 3 a x a x 1 x 1 x 1 3 a x 1 6 a x 1 x 1 x a 3 x 1 1 x 1 x 1 a x 1 3 a x1

11 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione Possiamo scomporre 50 come Allo stesso modo per 0 :

12 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione ab 3 abx ; 3 ; razionalizza a) ab 3 abx Per razionalizzare questa frazione dobbiamo moltiplicarla per un altra frazione in modo da mandar via la radice che vi è al denominatore. Ricordiamo che, nel caso in cui la frazione sia del tipo Prima però impostiamo le condizioni di esistenza: C.E. 3 abx0 ab a b 3 x (a b 3 x) 3 (a b 3 x) 3 ab (a b 3 x) 3 a b 3 x (a b 3 x) 3 n b a m dovremo moltiplicarla per ab (a b 3 x) 3 a b 3 x (a b 3 x) 3 n n a n m a n m ab (a b 3 x) 3 (a b 3 x) 3 (a b 3 x) ab (a b 3 x) 3 (a b 3 x) ab (a b 3 x) 3 a b 3 x Svolgiamo il cubo dentro parentesi: ab 3 a 3 b 33 x 3 ab a b 3 x a b 3 x 3 a 6 b 9 x 3 ab 6 a 6 b 9 x 3 a b 3 x Possiamo portare fuori radice i termini che hanno esponente maggiore o uguale a : ab a a b 8 b x 3 a b 3 x a b 3 a b x 3 a b 3 x Semplifichiamo: a bx 3 x ab a b a b x 3 a b 3 x b) 3 In questo caso, la frazione è del tipo c a b. Per razionalizzare si moltiplica per a a b b (3 ) (3 ) (3 ) Svolgiamo i calcoli ricordando che al denominatore abbiamo il prodotto di una somma per una differenza, che si svolge calcolando il quadrato del primo meno il quadrato del secondo.

13 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 13 3 ( ) 3 ( ) c) 3 5 In questo caso, vale il metodo precedente, anche se abbiamo al denominatore la somma di tre radicali ( 3 5)( 3 5) 3 5 ( 3) ( 5) 3 5 ( ) ( 3) 3 ( 5) A questo punto, moltiplichiamo sia il numeratore che il denominatore per ( 3 5) :

14 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 1 x x Svolgiamo i quadrati: x x 3 x x x x 3 3x 6 x x x 3 3x 6 x 3x 6 3 ( 3)x 7 x x ( 3) risolvi l equazione 3 x 6 Razionalizziamo moltiplicando numeratore e denominatore per 7 x ( 3) x ( 3) ( 3) 7 3 x ( ) ( 3) x x 7 3 x 7 3 3

15 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione Nel triangolo rettangolo ABC, l altezza relativa all ipotenusa è AH. a) Se BC=1cm e AH= cm calcola il perimetro del triangolo ABC. b) Se AH= 1cm e il perimetro di ABH=36cm calcola l area del triangolo ABC. a) Il problema può essere risolto impostando un sistema a due incognite. Chiamiamo il lato CH con x e il lato HB con y. Impostiamo il secondo teorema di Euclide, secondo il quale l altezza, in un triangolo rettangolo, è media proporzionale fra le due proiezioni dei cateti sull ipotenusa. Abbiamo, quindi, che: CH : AH AH : HB x : AH AH : y x : : y Da cui xy xy 16 Possiamo impostare la seconda equazione sapendo che l ipotenusa, data dalla somma di CH e HB, è lunga 1 cm. CH HB 1 Quindi x y 1 xy 16 Impostiamo quindi il sistema: x y 1 Notiamo che il sistema è simmetrico e che possiamo ridurlo ad un equazione del tipo t st p 0 dove per s si intende la somma x+y, mentre per p il prodotto xy. t (x y)t xy 0 t 1t 16 0 Risolviamo ora l equazione: b b ac t a 1 Poiché in un sistema simmetrico le soluzioni sono simmetriche, i valori trovati valgono, alternativamente, sia per la x che per la y. Quindi: x 6 5 x 6 5 y 6 5 y 6 5 b) Chiamiamo con x il lato AB e con y il lato HB; anche in questo casa cerchiamo di impostare un sistema a due incognite. Sappiamo che il perimetro del triangolo ABH è 36 cm, quindi AB BH AH 36 x y 1 36 x y 36 1 x y x y

16 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 16 Possiamo inoltre ricavare il lato AH con il teorema di Pitagora: AH AB HB AH AB HB 1 x y Abbiamo quindi due equazioni: x y x y 1 Possiamo risolvere il sistema per sostituzione: x y x y x y x y 1 y y y 8y y 1 x y x y x y 8y y 3 y 3 x y 9 x 15 y 9 A questo punto, sapendo che in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale fra l ipotenusa e la sua proiezione sell ipotenusa, possiamo scrivere che CB : AB AB : HB CB : x x : y CB :15 15 : CB 5 9 Sapendo quindi che l ipotenusa è lunga 5 cm e che la sua altezza relativa misura 1 cm, possiamo calcolare l area del triangolo. CB AH 5 1 A ABC 150cm

17 Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 17 kx ky kx k x 0 Discuti al variare di k: per quale valore di k è impossibile? Per quale indeterminato? Per quali valori è determinato? Calcola i valori di x e y in funzione di k. Si consiglia il metodo di Cramer. Per prima cosa, calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti in funzioni di k: kx ky 1 xk k 0 k k D k k 0 k 0 k k k kk k k k 3 Poniamo il determinante uguale a zero e risolviamo l equazione in funzione di k: k k 3 0 k 1 k 0 k 0 k 0 1 k 0 k 1 Per verificare se il sistema è indeterminato o impossibile, troviamo i determinanti delle incognite considerando k 0 e k 1: D x 1 k k 0 0 k 1 D y k k 0 k 0 1 k k k k Le soluzioni del sistema saranno quindi: x D x D 0 k k 0 e y D y 3 D k k k k k1 k 3 k 1 k 1 k con k 0 k 1 Nel caso in cui k sia uguale a zero, il sistema sarebbe così: 0 x 0 y 1 x Il sistema è quindi impossibile per k=0. Consideriamo il caso in cui k sia uguale a 1: 1 x 1 y 1 x11 0 x y Il sistema è indeterminato per k=1.