RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

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1 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Rette e piani in forma cartesiana e parametrica. Parallelismo e perpendicolarità, posizioni reciproche tra rette e piani, distanze. Esercizio 1 Quali dei seguenti insiemi di punti sono una retta? 1) r 1 = {(t,t,2 t) : t R}; 2) r 2 = { (t,0,t 2 ) : t R } ; 3) r 3 = { (t 3,2t 3,0) : t R }. Esercizio 2 Trovare un versore ortogonale: 1) al piano 7x + y + z = 5; 2) al piano che contiene i punti (1, 2, 2), (1, 0, 3), ( 4, 4, 4); 3) ad entrambe le rette (x,y,z) = ( 1,t,2t) e (x,y,z) = (t,1 + t,1 t). Esercizio 3 Dato il piano π : x+2y 4z = 7 trovare tre versori u,v,w a due a due ortogonali tali che u,v siano paralleli a π. Esercizio 4 Dire se le rette x y + z = 1,2y z = 0 e (x,y,z) = (1 t,2t 1, 1 + 3t) 1) sono sghembe; 2) sono incidenti non ortogonali; 3) sono ortogonali non incidenti; 4) appartengono al piano z = 2y. Esercizio 5 Trovare le equazioni dei piani che contengono: 1) i punti P 1 = (1,2,1), P 2 = (1,3, 1) e P 3 = (0,2, 2); 2) il punto P 1 = (1,2,1) e la retta r : x = 1 + 2t,y = 3 + t,z = 0. In ciascun caso, scrivere un vettore n ortogonale al piano determinato. Esercizio 6 Siano x = xi + yj + zk, x 0 = x 0 i + y 0 j + z 0 k ed n = ai + bj + ck. Sapendo che la distanza tra il punto (x 0,y 0,z 0 ) ed il piano di equazione n x+d = 0 è uguale a n x 0 + d / n, trovare la distanza tra i seguenti punti/piani: 1) (0,0,0) e x + y + z + 6 = 0; 2) (1,2,3) e x = 4;

2 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Rette e piani nello spazio 2 3) (1,2,3) e x + y + z = 0. Esercizio 7 Verificare che le rette x 2y = 1,x z = 1 e x + y = 1,y z = 0 sono incidenti e trovare il piano a cui appartengono. Esercizio 8 In ciascuno dei seguenti casi, verificare che π 1 π 2, π 1 π 3 e π 2 π 3 sono rette e determinare π 1 π 2 π 3 : 1) π 1 : 2x + y + z = 0, π 2 : x 2y + z = 1, π 3 : x + y 2z = 1; 2) π 1 : 3x + y z = 0, π 2 : x + y 3z = 1; π 3 : x + y = 1; 3) π 1 : 4x + 2y + z = 0, π 2 : 3x 5y + z = 1, π 3 : 3x + y 2z = 1. Esercizio 9 Dati i piani π 1 : x + y + z = 1 e π 2 : x + 2y z = 0, sia r la retta π 1 π 2. Dire se 1) esistono a,b,c R per cui r è data da (x,y,z) = (1 + at, 1 + bt,1 + ct); 2) esistono k,l,m R per cui r è data da (x,y,z) = (k 3t,l + 2t,m + t). Esercizio 10 Si considerino i piani π 1 : ax+y 2z = 0, π 2 : by+z+2b = 0, π 3 : 2x+y+2z = 1. Trovare, se esistono, i valori di a e b per cui la retta π 1 π 2 è parallela a π 3. Esercizio 11 Siano r la retta x = 2y = z e π il piano x = y + z. Spiegare perchè una retta s in π che incontra r ha necessariamente la forma (x,y,z) = (at,bt,ct) e trovare la condizione su a,b,c R per cui s sia ortogonale ad r. Esercizio 12 Verificare che le seguenti coppie di rette sono sghembe e trovarne la distanza: 1) (x,y,z) = (2 + t, 1 t,4 + 3t) e (x,y,z) = (3 + t,2 + t,1 + t); 2) x y + z = 0,y + 3z = 0 e x + y = 1,y + 3z = 2; 3) x y + z = 0,y + 3z = 0 e (x,y,z) = (3 + t,2 + t,1 + t). Esercizio 13 Sono dati la retta r : (x,y,z) = (1 + 2t,t,1 t) ed i vettori r = (2,1, 1) e u = ( 1,3,1). Verificare che: 1) i vettori r e u sono perpendicolari; 2) se il punto (x,y,z) appartiene ad r, allora il vettore x = xi + yj + zk soddisfa x r = u; 3) se x = xi + yj + zk soddisfa x r = u, allora (x,y,z) appartiene ad r. Esercizio 14 Verificare che le rette (x,y,z) = (1 + 2t,1 t,3t) e x + y + z = 2,3y + z = 0 sono parallele e trovare: 1) il piano che le contiene entrambe; 2) la distanza tra le due rette. Esercizio 15 Date le equazioni hx + y + z = 0, y + 2z = 1, hx + 2y + (h + 1)z = k, stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (i) se h = 2 e k = 1, esse rappresentano tre piani che non hanno punti in comune; (ii) se h = 0 e k = 3, esse rappresentano tre piani con un solo punto in comune; (iii) se h = 2 e k = 1, esse rappresentano tre piani che passano per una stessa retta.

3 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Rette e piani nello spazio 3 SVOLGIMENTI Esercizio 1 Indichiamo con P = (x,y,z) il generico punto dello spazio. 1) P r 1 se e solo se x = t y = t con t R, z = 2 t quindi r 1 è la retta per (0,0,2) parallela a (1,1, 1). 2) P r 2 se e solo se x = t y = 0 con t R, z = t 2 cioè { y = 0 z = x 2 per cui r 2 è una parabola nel piano y = 0. con x R qualsiasi, 3) P r 3 se e solo se x = t 3 y = 2t 3 z = 0 cioè { y = 2x z = 0 con t R, con x R qualsiasi, per cui r 3 è la retta intersezione dei piani y = 2x,z = 0. Esercizio 2 1) Un vettore ortogonale ad un piano è dato dei coefficienti con cui le coordinate x,y,z appaiono nella sua equazione, quindi il piano 7x + y + z = 5 è ortogonale al vettore n = (7,1,1). I versori normali al piano sono allora ± vers (n) = ± 1 51 (7,1,1). 2) Il piano che contiene i punti P 1 = (1,2, 2),P 2 = (1,0,3),P 3 = ( 4,4,4) è parallelo ai vettori P 1 P 2 = (0, 2,5) e P 1 P 3 = ( 5,2,6) e quindi un vettore ortogonale a tale piano è P 1 P 2 P i j k 1 P 2 = = (22,25,10). ( I versori normali al piano sono allora ± vers P 1 P 2 P ) 1 P 2 = ± (22,25,10).

4 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Rette e piani nello spazio 4 3) Le due rette sono parallele rispettivamente ai vettori u 1 = (0,1,2) e u 2 = (1,1, 1) e quindi un vettore ortogonale ad entrambe è u 1 u 2 = ( 3,2, 1). I versori normali alle due rette sono allora ± vers (u 1 u 2 ) = ± 1 14 ( 3,2, 1). Esercizio 3 Siccome π è ortogonale ad n = (1,2, 4), possiamo subito prendere w = vers (n) = 1 21 (1,2, 4). Scrivendo poi x = 7 2t + 4s π : y = t, z = s si vede subito che π è parallelo a t = ( 2,1,0) ed s = (4,0,1), quindi, scegliendo ad esempio u = vers (t) = 1 5 ( 2,1,0), possiamo calcolare i j k v = t n = = ( 4, 8, 5) e prendere v = vers (t n) = ( 4, 8, 5), che risulta parallelo a π in quanto ortogonale ad n. Esercizio 4 Indichiamo r : { x y + z = 1 2y z = 0 x = 1 t ed s : y = 2t 1 z = 1 + 3t. 1) L intersezione delle due rette, se esiste, si ha per t soddisfacente il sistema { (1 t) (2t 1) + ( 1 + 3t) = 1, 2(2t 1) ( 1 + 3t) = 0 che è verificato se e solo se t = 1 e pertanto fornisce (sostituendo nelle equazioni di s) l unico punto di intersezione P 0 = (0,1,2). Dunque r ed s sono incidenti e pertanto non sono sghembe (né parallele). 2) Come verificato al punto precedente, r ed s sono incidenti; controlliamo allora l eventuale ortogonalità. La retta s è parallela ad t = ( 1,2,3) e quindi essa è ortogonale ad r se e solo se t è parallelo ad entrambi i piani che determinano r, cioè se e solo se t (1, 1,1) = t (0,2, 1) = 0. Siccome ( 1,2,3) (1, 1,1) = = 0 ma ( 1,2,3) (0,2, 1) = 4 3 0, r ed s risultano incidenti non ortogonali. 3) Come verificato ai punti precedenti, r ed s non sono né ortogonali né non incidenti. 4) Dalle sue equazioni, si vede subito che r appartiene al piano z = 2y. Per quanto riguarda s, invece, si ha z 2y = 2t 1 2(2t 1) 0 e quindi s non appartiene al piano z = 2y.

5 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Rette e piani nello spazio 5 Esercizio 5 1) Il piano per i punti P 1,P 2,P 3 può essere ad esempio descritto come il piano parallelo a P 1 P 2 = (0,1, 2) e P 1 P 3 = ( 1,0, 3) passante per P 1, la cui equazione è x 1 y 2 z = 0, cioè 3x 2y z + 2 = 0. Un vettore normale a tale piano è n = (3, 2, 1). 2) Poiché P 1 / r (le coordinate di P 1 non soddisfano le equazioni di r), il piano contenente P 1 ed r è univocamente determinato ed è il piano passante per P 1 e per due punti distinti qualsiasi di r, ad esempio (1, 3, 0) (per t = 0) e (3, 4, 0) (per t = 1). Ragionando come al punto precedente, si ottiene allora l equazione x 1 y 2 z = 0, cioè x 2y 2z + 5 = 0. Un vettore normale a tale piano è n = (1, 2, 2). Esercizio 6 Si tratta di applicare la formula data nel testo: la distanza del punto P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) dal piano π : (a,b,c) (x,y,z) + d = 0 è d(p 0,π) = (a,b,c) (x,y,z) + d (a,b,c) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2. 1) Si ha P 0 = (0,0,0) e π : (1,1,1) (x,y,z) + 6 = 0, da cui d(p 0,π) = (1,1,1) (0,0,0) + 6 (1,1,1) = 6 3 = ) Si ha P 0 = (1,2,3) e π : (1,0,0) (x,y,z) 4 = 0, da cui d(p 0,π) = (1,0,0) (1,2,3) 4 (1,0,0) = 1 4 = 3. 3) Si ha P 0 = (1,2,3) e π : (1,1,1) (x,y,z) = 0, da cui d(p 0,π) = (1,1,1) (1,2,3) (1,1,1) = 6 3 = 2 3. Esercizio 7 L intersezione delle due rette, se esiste, si ottiene risolvendo il sistema tra tutte le loro equazioni, cioè x 2y = 1 x z = 1, x + y = 1 y z = 0

6 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Rette e piani nello spazio 6 che fornisce un unico punto di intersezione P 0 = (1,0,0). Dunque le due rette sono incidenti e quindi complanari. Il piano che le contiene entrambe può essere descritto come il piano passante per P 0 e parallelo a due vettori direttori qualsiasi delle due rette (che saranno linearmente indipendenti perché le rette non sono parallele), ad esempio u 1 = (1, 2,0) (1,0, 1) = (2,1,2) ed u 2 = (1,1,0) (0,1, 1) = ( 1,1,1) (ottenuti come prodotto esterno di vettori normali ai due piani che determinano ciascuna retta). Il piano cercato ha dunque equazione x 1 y z = 0, cioè x + 4y 3z = 1. Esercizio 8 L intersezione tra due piani è una retta se e solo se i due piani non sono paralleli, cioè non lo sono le direzioni normali ai due piani. 1) π 1,π 2,π 3 sono rispettivamente normali ai vettori n 1 = ( 2,1,1), n 2 = (1, 2,1), n 3 = (1,1, 2), i quali sono evidentemente a due a due non paralleli, per cui tutte le intersezioni π 1 π 2,π 2 π 3,π 1 π 3 sono rette. L intersezione π 1 π 2 π 3, se esiste, si ottiene risolvendo il sistema tra tutte le equazioni dei piani, cioè 2x + y + z = 0 x 2y + z = 1. x + y 2z = 1 Riducendo la matrice completa per righe, si ottiene ad esempio (tramite R 2 R 2 + 2R 1, R 3 R 3 R 1 ; R 3 R 3 + R 2 ) , per cui il sistema equivale a { 2x + y + z = 0 3x + 3z = 1 Ciò significa che π 1 π 2 π 3 è la retta 2x + y + z = 0, 3x + 3z = 1. 2) Si procede esattamente come al punto 1): π 1 π 2,π 2 π 3,π 1 π 3 sono rette e l intersezione π 1 π 2 π 3 consiste dell unico punto ( 1 6, 7 6, 2 3). 3) Si procede esattamente come al punto 1): π 1 π 2,π 2 π 3,π 1 π 3 sono rette e l intersezione π 1 π 2 π 3 risulta vuota (il sistema delle loro equazioni è impossibile). Esercizio 9 1) La condizione richiesta è verificata se e solo se (1, 1,1) è un punto di r (nel qual caso basta prendere come a,b,c le componenti di un qualsiasi vettore parallelo ad r), cioè se e solo se il punto (1, 1,1) sta su entrambi i piani π 1 e π 2, cioè soddisfa il sistema { x + y + z = 1 x + 2y z = 0. (1) Sostituendo, si vede che (1, 1,1) non è soluzione e quindi gli a,b,c richiesti non esistono.

7 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Rette e piani nello spazio 7 2) La condizione richiesta è verificata se e solo se ( 3,2,1) è un vettore parallelo ad r (nel qual caso basta prendere come k,l,m le coordinate di un qualsiasi punto di r), cioè se e solo se il vettore ( 3, 2, 1) è parallelo a (1, 1, 1) (1, 2, 1) = ( 3, 2, 1) (prodotto esterno di due vettori normali ai piani che individuano r). Ciò è ovviamente vero, quindi la condizione richiesta è verificata. Ponendo ad esempio y = 0 nel sistema (1), si trova che il punto ( 1 2,0, 1 2) sta su entrambi i piani, cioè sta su r, e si può quindi prendere k = 1 2,l = 0,m = 1 2. Esercizio 10 La retta π 1 π 2 è parallela al vettore u = (a,1, 2) (0,b,1) = (1 + 2b, a,ab) (prodotto esterno di due vettori normali a π 1 e π 2 rispettivamente) ed è quindi parallela al piano π 3 se e solo se u è ortogonale alla direzione normale a π 3, la quale è individuata ad esempio dal vettore n = (2,1,2). Dunque la condizione di parallelismo tra π 1 π 2 e π 3 è la proporzionalità tra le componenti di u ed n, ossia Ciò equivale a 1 + 2b 2 = a = ab, cioè 1 + 2b = 2a = ab. 2 { 2a = 1 2b ab + 2a = 0, { 2a = 1 2b a(b + 2) = 0, { 2a = 1 2b (1 + 2b) (b + 2) = 0, che significa b = 2 ed a = 3 2, oppure b = 1 2 (a,b) = ( 3 2, 2) oppure (a,b) = ( 0, 2) 1. ed a = 0. Il problema è dunque è risolto per Esercizio 11 Si vede facilmente che r e π si incontrano solo nell origine, per cui ogni retta di π che incontri r deve necessariamente intersecarla nell origine, ossia avere la forma (x, y, z) = (at,bt,ct), t R, con a,b,c non tutti nulli. Assumendo ad esempio z come parametro nelle equazioni dei piani che la determinano, la retta r ammette rappresentazione parametrica (x,y,z) = ( t, 1 2 t,t) e pertanto è parallela al vettore (2, 1, 2). Allora la retta s : (x, y, z) = (at, bt, ct) sta su π ed è ortogonale ad r se e solo se { at = bt + ct per ogni t R (cioè s π) (a,b,c) (2,1,2) = 0 (cioè s r). Ciò equivale a { a = b + c 2a + b + 2c = 0, { a = b + c 3b + 4c = 0, { a = c/3 b = 4c/3 e dunque la condizione cercata è (a,b,c) = ( 1 3, 4 3,1) c con c 0 qualsiasi, ossia s è la retta (x,y,z) = (t,4t, 3t), t R. Esercizio 12 1) Si ha r u = (2,1, 1) ( 1,3,1) = 0.

8 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Rette e piani nello spazio 8 2) Se (x,y,z) appartiene ad r, allora si ha x r = (1 + 2t,t,1 t) (2,1, 1) = i j k 1 + 2t t 1 t = ( 1,3,1) = u. 3) Poiché i j k x r = (x,y,z) (2,1, 1) = x y z = ( y z,x + 2z,x 2y), la condizione x r = u significa ( y z,x + 2z,x 2y) = ( 1,3,1), ossia y z = 1 x + 2z = 3. x 2y = 1 Si tratta allora di verificare che tale sistema (intersezione di tre piani) individua la retta r. Ciò può essere fatto in più modi, ad esempio verificando che tutti i punti (1 + 2t,t,1 t) di r soddisfano il sistema: risulta infatti t (1 t) = t + 2(1 t) = t 2t = 1 per ogni t R. Esercizio 13 Due rette sono sghembe se e solo se non si incontrano e non sono parallele. In tal caso la loro distanza coincide con la distanza di un punto qualsiasi di una delle due rette dal piano parallelo ad entrambe che contiene l altra. 1) Le due rette x = 2 + t r 1 : y = 1 t z = 4 + 3t x = 3 + s ed r 2 : y = 2 + s z = 1 + s (si è cambiato nome al parametro di una delle due per distinguerlo da quello dall altra) sono parallele a (1, 1,3) e (1,1,1) rispettivamente, quindi non sono parallele tra loro. Esse si intersecano se e solo se esistono valori dei parametri t,s tali che 2 + t = 3 + s t s = 1 1 t = 2 + s, cioè t + s = t = 1 + s 3t s = 3 Si vede facilmente che questo sistema è impossibile e dunque r 1 ed r 2 sono sghembe. Cerchiamo il piano parallelo ad entrambe e contenente una di esse, ad esempio r 1. Si

9 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Rette e piani nello spazio 9 tratta del piano parallelo ai vettori direttori (1, 1,3) e (1,1,1) e passante per il punto (2, 1,4) di r 1, il quale ha equazione x 2 y + 1 z = 0, cioè 2x y z = La distanza di tale piano da un punto qualsiasi di r 2, ad esempio (3,2,1), coincide con la distanza di r 1 ed r 2, perciò si ha d(r 1,r 2 ) = (2, 1, 1) (3,2,1) 1 (2, 1, 1) = ) Si procede come al punto 1). Le due rette sono parallele a (1, 1,1) (0,1,3) = ( 4, 3,1) e (1,1,0) (0,1,3) = (3, 3,1) ed il sistema x y + z = 0 y + 3z = 0 x + y = 1 y + 3z = 2 è ovviamente impossibile (v. seconda e quarta equazione), perciò le due rette sono sghembe. Il piano parallelo ad entrambe e contenente la prima è chiaramente y +3z = 0 (la seconda sta sul piano y + 3z = 3, parallelo a questo) ed un punto della seconda retta è ad esempio ( 1,2,0); dunque la distanza tra le due rette è data da d = (0,1,3) ( 1,2,0) (0,1,3) = ) Si procede come al punto 1). Le due rette sono parallele a (1, 1,1) (0,1,3) = ( 4, 3,1) e (1,1,1) ed il sistema { 3 + t (2 + t) t = t + 3(1 + t) = 0 risulta impossibile, perciò le due rette sono sghembe. Il piano parallelo ad entrambe e contenente la seconda è x 3 y 2 z = 0, cioè 4x 5y + z = 3, ed un punto della prima retta è ad esempio (0,0,0); dunque la distanza tra le due rette è data da 3 42 d = (4, 5,1) = 14. Esercizio 14 Due rette sono parallele (eventualmente coincidenti) se e solo se hanno vettori direttori paralleli. Le due rette date hanno rispettivamente vettori direttori u = (2, 1, 3) e ( 1,1,1) (0,3,1) = ( 2,1, 3) = u, per cui sono parallele.

10 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Rette e piani nello spazio 10 1) Due rette parallele non coincidenti individuano un unico piano che le contiene entrambe, il quale può essere caratterizzato come il piano passante per un punto qualsiasi di una delle due rette e parallelo alla direzione delle rette ed al vettore che unisce un punto di una ad un punto dell altra. Le rette date non sono coincidenti, perché la prima passa per il punto P 1 = (1,1,0) mentre la seconda no. Un punto della seconda retta è ad esempio P 2 = ( 2,0,0), quindi il piano cercato passa per P 2 ed è parallelo ad u e P 1 P 2 = ( 3, 1,0), ossia ha equazione x + 2 y z = 0, cioè 3x 9y 5z = ) La distanza di due rette parallele non coincidenti è data dalla distanza di un punto qualsiasi di una delle due rette dall altra. Calcoliamo ad esempio la distanza di P 2 da r 1 : (x,y,z) = (1 + 2t,1 t,3t): essa coincide con la distanza di P 2 dalla propria proiezione P 2 su r 1, la quale è data dall intersezione tra r 1 ed il piano ortogonale ad r 1 passante per P 2. Tale piano ha equazione (P P 2 ) u = 0, cioè 2x y + 3z = 4 ed interseca r 1 nel punto P 2 = ( 2 7, 19 14, 14) 15, come si ottiene risolvendo l equazione 2(1 + 2t) (1 t) + 3(3t) = 4 e sostituendo poi il parametro t = 5 14 nelle equazioni di r 1. Dunque la distanza delle due rette date è (2 d = d ( ) 2 ( ) 19 2 ( P 2,P 2) = ) = Esercizio 15 L intersezione dei tre piani corrisponde alle soluzioni del sistema lineare hx + y + z = 0 y + 2z = 1 hx + 2y + (h + 1) z = k che può essere studiato riducendo per righe la sua matrice completa: tramite le trasformazioni successive R 3 R 3 R 1 ed R 3 R 3 + R 2, si ottiene h h h h 2 h + 1 k 0 1 h k 0 0 h + 2 k + 1 Consideriamo allora le affermazioni proposte. (i) VERA; infatti, per h = 2 e k = 1, si ottiene la matrice e quindi il sistema risulta incompatibile, provando che i tre piani non hanno intersezioni.

11 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Rette e piani nello spazio 11 (ii) FALSA; infatti, proseguendo la riduzione per h = 0 e k = 3, si ottiene /3 e pertanto anche in questo caso il sistema risulta incompatibile. (iii) VERA; infatti, per h = 2 e k = 1, si ottiene la matrice e quindi il sistema ammette una retta di soluzioni, intersezione dei tre piani.