MATLAB Esercitazione #1: (dominio di Laplace)

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1 Matlab Es# MATLAB Esercitazione #: (dominio di Laplace) Costruzione F.d.T. e operazioni elementari: num,den,tf; *,+-,/» help tf TF Creation of transfer functions or conversion. You can create SISO or MIMO transfer functions by SYS = TF(NUM,DEN) Continuous-time model NUM(s)./DEN(s)... For SISO models, NUM and DEN are row vectors listing the numerator and denominator coefficients in descending powers of s or z by default.. SYS = TF(SYS) converts an arbitrary LTI model SYS to transfer function.. Alternativa (più semplice): s = TF('s') specifies the transfer function H(s) = s (Laplace variable). Z = TF('z',TS) specifies H(z) = z with sample time TS. You can then specify transfer functions directly as rational expressions in S or Z, e.g., s = tf('s'); H = (s+)/(s^2+3*s+) Esempio:» a=2; b=;num=[a b];den= [4 ];sys=tf(num,den) 2 s s^2 + s + Alternativa:» s = tf('s'); H = (2*s+)/(4*s^2+s+) 2 s s^2 + s + Altre Operazioni tra FdT:» p=tf(,[ ]); p=/(s+)» p2=tf(,[2 ]); p2=/(2s+)» p3=p*p2 prodotto di due FdT in serie s^2 + 3 s +» p4=p-p2; differenza (parallelo) di due FdT s s^2 + 3 s +» p5=p/p2 rapporto di due FdT 2 s s +... fare altre operazioni su FdT Es#-

2 Amplitude risposte Dinamica e Controllo dei Processi Matlab Es# Risposta OL di un sistema esempio: primo ordine, ingresso a gradino (varia la costante di tempo Tau) ) Sequenza comandi da tastiera; uso di step (default) Tau=» k=;t=;d=[t,];p=tf(k,d) s +» step(p) risposta al gradino: Costruisce la prima curva nel grafico»» hold Current plot held Tau=5» k=;t=5;d=[t,];p=tf(k,d) s +» step(p) Costruisce la seconda curva nel grafico Tau=2» k=; T=2;d=[T,];p=tf(k,d) 2 s +» step(p) Costruisce la terza curva nel grafico Nella figura possono essere riportate scritte, con i comandi riportati sotto; - per altri comandi: --> help plot - per altre modifiche alla figura(frecce, lettere): --> vedere menu del grafico» title('risposta di un sistema del primo ordine: Tau=5,,2') titolo grafico» xlabel('tempo') etichetta asse x» ylabel('risposte') etichetta asse y» gtext('5') etichetta sul grafico (da piazzare con il cursore)» gtext('')» gtext('2')» legend('5', '', '2') legenda (... comando preferibile a gtext) Step Response Risposta di un sistema del primo ordine: Tau=5,, Time tempo (sec.) Es#-2

3 Matlab Es# 2) Sequenza comandi da tastiera; definizione vettore tempo; uso di plot» clf cancella la figura» t=linspace(,2,); definisce vettore tempo=linspace(tiniz,tfin,npti)» n=; tau=» tau=;d=[tau ];p=tf(n,d) s +» y=step(p,t); salva in y il risultato per tau= (sintassi migliore ) tau=2» tau=2;d=[tau ];p=tf(n,d) 2 s +» y2=step(p,t); salva in y2 il risultato per tau=2 tau=5» tau=5;d=[tau ];p=tf(n,d) 2 s +» y5=step(p,t); salva in y5 il risultato per tau=5» plot(t,y) riporta la prima curva in grafico» hold Current plot held» plot(t,y2,'--') riporta la seconda curva in grafico (-- tratteggio)» plot(t,y5,'-.') riporta la terza curva in grafico (-. tratto-punto)» title('risposta di un sistema del primo: Tau=,2,5') --> Vedi grafico sotto NOTA: per avere grafici in finestre diverse definire il numero della figura:» figure(n), plot(x,y) Risposta di un sistema del primo: Tau=,2, Es#-3

4 Matlab Es# 3) con salvataggio risultati in memoria (matrice) e su disco (file) I valori delle uscite possono essere salvati in memoria per usi successivi» who Your variables are: d p tau y2 n t y y5 notare che le variabili sono ordinate by default in vettori riga o colonna» size(t) t: riga; ans =» size(y) y: colonna; ans =» ris=[t',y,y2,y5] costruisce una matrice con i vettori ordinati come indicato ris = t y y2 y I valori delle uscite possono essere salvati su disco per usi successivi» who Your variables are:» ris=[t',y,y2,y5]; salva in memoria in ris i vettori t,y,y2,y5» save sim ris salva su disco nel file sim la matrice ris» clear cancella le variabili in memoria» who nessuna variabile in memoria» load sim carica da disco c:\matlab\bin\sim.mat» who Your variables are: ris» plot(ris(:,),ris(:,2)) grafico prima variabile y(t)» hold» plot(ris(:,),ris(:,3),'--') grafico seconda variabile y2(t)» plot(ris(:,),ris(:,4),':') grafico terza variabile y3(t)» title('stesso grafico con save... Tau=,2,5') --> Vedi grafico sotto Stesso grafico con save... Tau=,2, Comando rapido: save sim: salva nel file sim tutte le variabili presenti in memoria; tutte le variabili possono essere ricaricate in memoria con il comando: load; le variabili ovviamente mantengono il loro nome. Es#-4

5 Amplitude Dinamica e Controllo dei Processi Matlab Es# 4) Uso di un File.M = esecuzione di una sequenza di comandi. Attivare Editore di Matlab: File, Open file-m (New/Old). I comandi possono essere copiati dall ambiente Matlab Command Window (MCW) mediante CTRL+C, CTRL+V OL.M? File.M per risposta in Anello Aperto di un sistema del ordine clf t=linspace(,2,); tau=[ 2 5]; crea vettori di 3 dati= valori delle costanti di tempo n=; for i=:3 i d=[tau(i) ]; p=tf(n,d) step(p,t) hold on end title('risposta di un sistema del primo: Tau=,2,5') Risposta di un sistema del primo: Tau=,2, Time (sec) Studiare le risposte al gradino di sistemi diversi Es#-5

6 Amplitude Dinamica e Controllo dei Processi Matlab Es# Risposta di un secondo ordine OL2.M risposte di un secondo ordine al gradino (csi:parametro) clf t=linspace(,2,); tau= ; fissata la costante di tempo csi=[ ]; crea vettori di 5 dati= valori del fattore csi n=; for i=:5 d=[tau^2 2*tau*csi(i) ]; p2=tf(n,d) step(p2,t) hold on end title('risposta di un sistema del secondo ordine al variare di csi') --> Vedi grafico risposte in grafico comando copy, file.jpg.8.6 Risposta di un sistema del secondo ordine al variare di csi CSI Time (sec) Commenti vari Es#-6

7 Matlab Es# Risposta nel tempo per ingressi di tipo qualsiasi A) Risposta all impulso sistema Ordine al variare di tau A2) Risposta ad una sinusoide sistema Ordine A3) Risposta all impulso: contributo dei singoli poli A4) Risposta al gradino: contributo dei singoli poli A) Uso di Impulse: Impulse.m Sistema del Primo Ordine s=tf('s'); variabile di Laplace tau=[5,,2]; costante di tempo c=['b','r','g']; vettore di colori t=linspace(,2,4); intervallo di tempo for i=:3 P=/(tau(i)*s+); FdT y=impulse(p,t); risposta all'impulso plot(t,y,'color',c(i)),hold on end legend('t=5','','2') T= A2) Uso di impulse: ingresso sinusoidale nota: la risposta ad un ingresso qualsiasi può ricavarsi dalla risposta all impulso memo: TdL di impulso = n=;t=2;d=[t,]; p=tf(n,d) def. processo ordine A=;om=;nx=A*om;dx=[ om^2]; px=tf(nx,dx) def. ingresso sinusoidale px=p*px sistema complessivo t=linspace(,3,3); tempo y=impulse(px,t);y2=impulse(px,t); risposte plot(t,y,'r'),hold on,plot(t,y2) p s + px s^2 + px Es#-7

8 Matlab Es# s^3 + s^2 + 2 s +.8 ingresso risposta sinusoide A3) Uso di impulse: tipologie di Poli s=tf('s'); p=-; p2=-; p4=.2; poli del sistema P=/(s-p);P2=/(s-p2); P3=/(s^2+2.4*s+); FdT P4=/(s^2-.24*s+); [n,d]=tfdata(p3); [r,p,k]=residue(n{},d{}) calcola residui, poli, costante di EFP [n4,d4]=tfdata(p4); [r4,p4,k4]=residue(n4{},d4{}) calcola residui, poli, costante di EFP t=linspace(,8,4); tempo y=impulse(p,t); risposte contributi poli.. y2=impulse(p2,t); y3=impulse(p3,t); y4=impulse(p4,t); plot(t,y,'r');hold on, plot(t,y2,'b'); plot(t,y3,'g');plot(t,y4,'k'); legend('p','p2','p3','p4') Nota: tipologie di poli diverse comportano risposte molto diverse. L espansione in frazioni parziali, nel caso di poli complessi coniugati, fornisce dei residui complessi coniugati. In questo caso, diventa molto laborioso ricavare la risposta analitica nel tempo del sistema complessivo P=P*P2*P3*P4. Il comando impulse permette di valutare immediatamente la risposta del sistema complessivo, ma i contributi dei singoli poli non vengono pesati attraverso i residui della EFP. Es#-8

9 Matlab Es#.8.6 p p2 p3 p A4) Contributo dei poli: sistema Ordine 3 p=-6; p2=-2; p3=-.2; poli del sistema s=tf('s'); P=(/(s-p));P2=(/(s-p2));P3=(/(s-p3)); FdT P=P*P2*P3 FdT complessiva g=/s;pg=p*g; FdT processo*gradino [n,d]=tfdata(pg); [r,p,k]=residue(n{},d{}) calcola residui, poli, costante di EFP Transfer function: ---- s^ s^ s r = p = k = [] t=linspace(,3,3); tempo y=r()*exp(p()*t); risposte: contributi dei poli y2=r(2)*exp(p(2)*t); y3=r(3)*exp(p(3)*t); y4=r(4)*exp(p(4)*t); y=y+y2+y3+y4; risposta complessiva analoga allo step ys=step(p,t); plot(t,y,'r');hold on, plot(t,y2,'b'); plot(t,y3,'g'); plot(t,y4,'m'); plot(t,y,'k'); Es#-9

10 Matlab Es# plot(t,ys,'c'); legend('p','p2','p3','p4','p') p p2 p3 p4 P B) Uso di lsim per ingresso qualsiasi u(t). t=... definizione del vettore tempo u=... definizione di un vettore ingresso (analitico o dati numerici) p=... definizione del processo lsim(p,u,t) grafica la risposta del processo p, all'ingresso u, per un tempo t y=lsim(p,u,t) calcola la risposta... Per un applicazione, si veda l Esercitazione 4, file.m. #4. Nota: lsim assume condizioni iniziali nulle; se diverse da zero, va specificato; vedi:» help lsim Studiare risposte di sistemi diversi con ingressi qualsiasi Es#-

11 Matlab Es# Ritardo e Approssimazione di Padé» help pade PADE Pade approximation of time delays. [NUM,DEN] = PADE(D,N) returns the Nth-order Pade approximation of the continuous time delay exp(-d*s) in transfer function form. The row vectors NUM and DEN contain the polynomial coefficients in descending powers of s. Esempio per sistema FOPTD: T=D=» p=tf(,[,]) costruisce primo ordine con costante di tempo T= s +» [nd,dd]=pade(,); costruisce Padè approx. di ordine n= del ritardo D=;» pd=tf(nd,dd) -s +.2 s +.2» [nd3,dd3]=pade(,3); costruisce Padè approx. di ordine n=3 del ritardo D=;» pd3=tf(nd3,dd3) -s^3 +.2 s^2 -.6 s s^3 +.2 s^2 +.6 s +.2» [nd5,dd5]=pade(,5); costruisce Padè approx. di ordine n=5 del ritardo D=;» pd5=tf(nd5,dd5) -s^5 + 3 s^4-4.2 s^ s^ s s^5 + 3 s^ s^ s^ s +.324» p=p*pd costruisce il processo FOPTD con Padè approx. di ordine n= -s s^2 + 3 s +.2» p3=p*pd3; costruisce il processo FOPTD con Padè approx. di ordine n=3» p5=p*pd5; costruisce il processo FOPTD con Padè approx. di ordine n=5 E possibile anche costruire la risposta con Ritardo esatto, con l opzione iodel, secondo la sintassi riportata di seguito:» pdel=tf(,[,],'iodel',) exp(-*s) * s + Oss: In questo modo può essere ottenuta la risposta esatta in anello aperto [comando: step(pdel)]. In ogni caso, per le più comuni operazioni di Matlab non può essere usato iodel, ma è necessario usare Pade: ad esempio, già quando deve essere definito un processo in CL. Es#-

12 Amplitude Dinamica e Controllo dei Processi Matlab Es# Esempi di risposte al gradino di un sistema con ritardo e approssimazioni di Padé di grado diverso» step(p) risposta al gradino Pade n=» hold Current plot held» step(p3) risposta al gradino Pade n=3» step(p5) risposta al gradino Pade n=5» step(pdel) risposta al gradino Esatta» grid» gtext('n=') scritte sul grafico...» gtext('n=3')» gtext('n=5')» gtext('esatto')» title('effetto approssimazione di Padé')» gtext('processo: FOPTD; T=D=') Oss: Approssimazione di Pade di ordine n=3 dà precisione sufficiente in generale. Step Response Effetto approssimazione di Padé n=3 esatto n=5 processo: FOPTD; T=D= n= Time (sec.) Verificare efficacia dell approssimazione di Padé al variare dell ordine e delle caratteristiche dinamiche del processo. Es#-2