UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PISA. 2. Termodinamica Applicata alle Macchine. Roberto Lensi

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1 Roberto Lensi 2. Termodinamica Applicata alle Macchine Pag. di UNIERSITÀ DEGLI STUDI DI PISA FACOLTÀ DI INGEGNERIA 2. Termodinamica Applicata alle Macchine Roberto Lensi DIPARTIMENTO DI ENERGETICA Anno Accademico

2 Roberto Lensi 2. Termodinamica Applicata alle Macchine Pag. 2 di DEFINIZIONI DI TERMODINAMICA CLASSICA Termodinamica classica Tratta la macrostruttura della materia e non il comportamento della singola molecola. Sistema termodinamico Tutto quanto costituisce l'oggetto dello studio termodinamico, normalmente contenuto in una specifica regione dello spazio (CR, Control Region, ovvero C, Control olume) ed è separato da ciò che è esterno ad esso mediante una ben definita superficie (CS, Control Surface, ovvero confine del sistema). La CS può essere fissa oppure mobile. Sistema chiuso Se la CS non permette flussi di massa (e la massa è quindi identicamente la medesima) il sistema è detto chiuso o a massa di controllo. L'analisi termodinamica di tali sistemi prende pertanto il nome di "studio di una massa di controllo". Sistema aperto Se la CS permette flussi di massa il sistema è detto aperto o a volume di controllo. L'analisi termodinamica di tali sistemi prende pertanto il nome di "studio di un volume di controllo (regione di controllo)". Sistema isolato Un sistema si dice isolato allorché modificazioni dell'ambiente non producono modificazioni nel sistema stesso. Universo Un sistema ed il suo ambiente costituiscono sempre, complessivamente, un sistema isolato che è detto universo. Stato termodinamico Condizione di un sistema che ad ogni determinato istante è descritta mediante le sue proprietà. Proprietà termodinamica (grandezza di stato) È ogni caratteristica misurabile di un sistema, il cui valore dipende dalla condizione in cui tale sistema si trova, ossia dallo stato e non dalla precedente "storia" del sistema. Le proprietà termodinamiche sono funzioni dello stato del sistema e non del processo che il sistema ha compiuto. Proprietà estensiva Dipende dall'estensione del sistema e gode della proprietà additiva. Per un sistema suddiviso in N sottosistemi, il valore di una proprietà estensiva X per l'intero sistema è la somma dei valori di tale proprietà per tutti i sottosistemi; se X j è il valore della proprietà estensiva in oggetto per il j-esimo sottosistema, si ha quindi: X = N X j j= Massa, volume ed energia sono proprietà estensive. Le proprietà estensive hanno significato indipendentemente dal fatto che il sistema sia in uno stato d'equilibrio. Proprietà intensiva Queste proprietà sono indipendenti dall'estensione del sistema ed hanno significato solamente per i sistemi che si trovano in uno stato d'equilibrio. Pressione e temperatura sono proprietà intensive. Mole Quantità di sostanza la cui massa, espressa in grammi, è numericamente uguale al suo peso molecolare.

3 Roberto Lensi 2. Termodinamica Applicata alle Macchine Pag. 3 di Proprietà specifica Una speciale categoria di proprietà intensive sono le proprietà specifiche, sia quelle massiche (rapporto tra le corrispondenti proprietà estensive e la massa del sistema cui esse si riferiscono) che quelle molari (rapporto tra le corrispondenti proprietà estensive ed il numero di moli cui esse si riferiscono). Processo termodinamico Due stati sono identici se e solamente se ogni proprietà presenta lo stesso valore in ciascuno dei due stati; se una (o più) proprietà del sistema cambia di valore si ha un cambiamento di stato e si dice che il sistema ha effettuato un processo. Processo quasi-statico (reversibile) Processo in cui il sistema è, in ogni istante, infinitamente prossimo all'equilibrio e ciascuno stato attraverso cui il sistema passa può essere descritto mediante coordinate termodinamiche. Un processo quasi-statico è un'idealizzazione cui ci si può avvicinare, nella pratica, con il grado di accuratezza desiderato. Ciclo Quando un sistema che si trova in un determinato stato iniziale effettua una sequenza di processi ed alla fine ritorna nel suo stato iniziale, si dice che esso ha effettuato un ciclo. Fase Quantità di materia che sia omogenea sia per composizione chimica sia per struttura fisica (interamente solida, interamente liquida, interamente vapore o gas). Un sistema può contenere una o più fasi. Sostanza pura Sostanza che sia interamente e invariabilmente caratterizzata dalla medesima composizione chimica (indipendentemente dal fatto che le fasi siano una o più). Equilibrio termodinamico Si ha un equilibrio completo in caso di esistenza contemporanea dei seguenti equilibri: equilibrio termico equilibrio meccanico equilibrio chimico (o di fase) uguaglianza della temperatura; uguaglianza della pressione; uguaglianza dei potenziali chimici. Per determinare se un sistema si trova in uno stato di equilibrio termodinamico si può pensare di eseguire il seguente test: isolare il sistema dal suo ambiente e verificare se si hanno cambiamenti nei valori delle proprietà del sistema; in assenza di tali cambiamenti, si può concludere che il sistema si trovava in uno stato di equilibrio. Un sistema isolato non può interagire col suo ambiente, tuttavia il suo stato può cambiare in conseguenze di fenomeni spontanei che avvengono internamente al sistema stesso e fanno tendere verso valori uniformi le proprietà intensive di questo, come temperatura e pressione. Quando tutti questi cambiamenti cessano il sistema è in equilibrio. All'equilibrio la temperatura è uniforme in tutto il sistema, analogamente la pressione la pressione può essere considerata uniforme fintanto che l'effetto della gravità è trascurabile (altrimenti può esistere una variazione di pressione con la quota, così come in una colonna verticale di liquido). Lavoro e calore (grandezze di scambio) L'energia può essere immagazzinata nei sistemi in varie forme macroscopiche: energia cinetica, E k ; energia potenziale gravitazionale, E p ; energia interna, U. L'energia può essere trasformata da una forma in un'altra. L'energia può essere trasferita da un sistema ad un altro; per i sistemi chiusi ciò avviene mediante trasferimenti di lavoro e di calore.

4 Roberto Lensi 2. Termodinamica Applicata alle Macchine Pag. 4 di La quantità totale di energia si conserva in tutte le trasformazioni ed in tutti i trasferimenti. Lavoro e calore sono fenomeni fisici che possono esser descritti al confine del sistema (aperto o chiuso) ed esistono soltanto finché il sistema e l'ambiente interagiscono; per questo sia il lavoro che il calore sono detti interazioni. Poiché tali interazioni si traducono in trasferimenti di energia attraverso il confine del sistema, lavoro e calore possono essere considerati come "energia in transito". Lavoro e calore denotano i diversi modi in cui l'energia è trasferita e non denotano cosa viene trasferito (in tutti e due i casi si tratta sempre di energia). Pur avendo in comune quest'importante caratteristica, esistono notevoli differenze tra lavoro e calore dalle quali derivano conseguenze di fondamentale rilevanza. Il lavoro (W), in termodinamica, denota un modo di trasferire energia da un sistema al suo ambiente tale che l'unico effetto sull'ambiente potrebbe consistere unicamente nel sollevamento di un peso (ossia in una forza agente durante uno spostamento nella direzione della forza, per cui il concetto di lavoro proprio della meccanica è compreso nella definizione precedente). Il calore (Q) rappresenta la quantità di energia trasferita ad un sistema chiuso durante un processo in modi diversi dal lavoro; un tale trasferimento di energia è sempre il risultato di una differenza di temperatura tra il sistema ed il suo ambiente. Lavoro e calore non sono proprietà del sistema ed è improprio parlare di lavoro o calore contenuto in un sistema. Per brevità, W e Q sono denominati trasferimenti di lavoro e di calore, rispettivamente, anche se, più formalmente, essi rappresentano la quantità di energia trasferita mediante interazioni di lavoro (W) e la quantità energia trasferita mediante interazioni di calore (Q). Acronimi TER Serbatoio di energia termica con una capacità termica così grande che esso può agire da sorgente o pozzo di calore senza risentire di variazioni finite di temperatura. MER Serbatoio di energia meccanica capace di immagazzinare energia meccanica completamente organizzata sotto la forma di energia potenziale gravitazionale (innalzamento di un peso in un campo gravitazionale) o cinetica; esso è un sistema ideale in cui l'energia è ricevuta, immagazzinata e fornita in maniera reversibile. HE Motore termico; opera in maniera ciclica e scambia energia termica e meccanica con altri sistemi. RHE Motore termico reversibile. HP Pompa di calore; opera in maniera ciclica e scambia energia termica e meccanica con altri sistemi. RHP Pompa di calore reversibile. Confine adiabatico Il confine (o la superficie di controllo) che non rende possibili le interazioni termiche. Confine diatermico Il confine (o superficie di controllo) che rende possibili le interazioni termiche. Convenzione classica (in termodinamica) sui segni degli scambi di energia Si considerano positivi i trasferimenti di calore dall'ambiente verso il sistema ed i trasferimenti di lavoro dal sistema verso l'ambiente. U 2 è il valore di U nello stato finale ed U è il valore di U nello stato iniziale.

5 Roberto Lensi 2. Termodinamica Applicata alle Macchine Pag. 5 di GAS IDEALE (O PERFETTO) Nel caso di un gas reale, soltanto al limite di pressione tendente a zero l'equazione di stato assume la forma P = nrt ɶ. Inoltre l'energia interna di un gas reale è una funzione sia della pressione sia della temperatura. È utile definire un gas ideale (o perfetto), le cui proprietà, anche se non riscontrabili in nessuno dei gas esistenti, sono approssimativamente quelle di un gas reale a bassa pressione. Per definizione, un gas ideale soddisfa alle due seguenti proprietà e P = nrt ɶ equazione di stato ( T ) U = f funzione solamente di T L'equazione di stato per un gas ideale (i cui due membri sono energia, J) è P = nrt ( R ~ è la costante universale del gas ideale, J mol - K - ) () moli di gas (mol) n = m / m~ ( m m / n massa del gas (kg) m = n mɶ Dividendo l'equazione () per n si ha l'equazione seguente (i cui membri sono energia molare, J/mol) P vɶ = RT ɶ ( vɶ = /n è il volume molare, m 3 /mol) Dividendo l'equazione () per m si ha l'equazione seguente (i cui membri sono energia massica, J/kg) P v = RT (v = /m è il volume massico, m 3 /kg) nella quale R (J kg - K - ) è la costante del particolare gas ideale in esame, ~ R = R / m~ CAPACITÀ TERMICHE Per un'infinitesima trasformazione compiuta da un sistema chiuso in quiete, il primo principio della termodinamica si scrive δ Q δw = du (2) se la trasformazione è reversibile (o quasi statica), essendo in tal caso δ W = P d, si ha anche δ Q = du + P d (3) La capacità termica a volume costante C ( Q / dt ) C ( U T ) = / = δ è quindi esprimibile anche mediante la relazione nel caso dei gas ideali U è funzione soltanto di T e quindi la derivata parziale coincide con la derivata totale da cui C = du / dt du = C dt (4) ed anche, in termini massici, dove C, c e c ~, sono funzioni soltanto di T. du = c dt e, in termini molari, du~ = c ~ dt

6 Roberto Lensi 2. Termodinamica Applicata alle Macchine Pag. 6 di Legge di Mayer Sostituendo la (4) nella (3) δ Q = C dt + P d (5) nel caso dei gas ideali P Sostituendo = nrt ~ ~ ~ e quindi d ( P ) = d( nrt ) da cui P d + dp = nr dt P d = nr ~ dt dp nella (5) ~ δ Q = ( C + nr) dt dp e dividendo tutto per dt ~ δ Q / dt = ( C + nr) dp / dt = δ è La capacità termica a pressione costante C P ( Q / dt ) P C = C + n Rɶ = C + m R P ed anche ~ ~ nr R in termini massici, cp = c + = c + = c + R m m~ e, in termini molari, c~ ~ P = c~ + R quindi la capacità termica a pressione costante di un gas ideale è sempre maggiore di quella a volume costante e la differenza è pari a n R ɶ e quindi C C = n R = m R P ɶ P c c = R cɶ P cɶ = R ɶ Relazione tra entalpia e capacità termica a pressione costante Dato che U è funzione soltanto di T e lo stesso si può dire per il prodotto P allora anche H = U + P è funzione soltanto di T. Differenziando si ha dh = du + n R ɶ dt = nrt ɶ sostituendo nella precedente la du = C dt si ottiene dh = du + n Rɶ dt = C dt + n Rɶ dt = ( C + n Rɶ ) dt = C dt P da cui dh ɶ cɶ dt = CP dt dh = cp dt dh = P ARIA ATMOSFERICA STANDARD Le proprietà termodinamiche dell'aria ad un'altitudine di Z=0 m s.l.m. sono riportate nella tabella seguente T (K) P (Pa) ρ (kg m -3 ) g n (m s -2 ) m ~ (kg mol - ) C * (m s - ) µ (Pa s) 288,5 0325,225 9, , ,29,79 0-5

7 Roberto Lensi 2. Termodinamica Applicata alle Macchine Pag. 7 di COMPRESSIONE ED ESPANSIONE Compressione adiabatica ideale e reale Espansione adiabatica ideale e reale

8 Roberto Lensi 2. Termodinamica Applicata alle Macchine Pag. 8 di SISTEMI CHIUSI (ANALISI DI UNA MASSA DI CONTROLLO) IL PRINCIPIO ZERO DELLA TERMODINAMICA Se due sistemi A e B sono in equilibrio col sistema C, quando sono in contatto termico con C, allora essi sono in equilibrio tra loro. Questo "principio dell'equilibrio termico" è alla base della misurazione della temperatura. Nell'enunciato precedente, infatti, il sistema C rappresenta il termometro. IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA Esso definisce l'espressione del bilancio dell'energia per processi che si svolgono in assenza di flusso, detta anche NFEE (Non Flow Energy Equation). Sistemi non in moto Esiste una proprietà estensiva del sistema, detta energia interna U, tale che per un sistema non in moto, in relazione ad ogni cambiamento di stato vale la relazione con Q W U Q - W = U Sistemi in moto calore trasferito dall'ambiente al sistema lavoro trasferito dal sistema all'ambiente U finale U iniziale Nel caso di sistemi che possono essere in moto, si ha la seguente e più generale forma del bilancio dell'energia Q - W = E in cui il secondo membro rappresenta la variazione dell'energia del sistema ed è in relazione con la variazione dell'energia interna del sistema U E = U + E k + E p con (valutate rispetto ad un opportuno riferimento) E k = variazione dell'energia cinetica del sistema E p = variazione dell'energia potenziale del sistema Forma differenziale La forma differenziale dell'equazione dell'energia per un'infinitesima porzione del processo è δq - δw = de nella quale δ rappresenta una variazione elementare ed è utilizzato in sostituzione dell'operatore differenziale d allo scopo di mettere in evidenza il fatto che Q e W non possono essere valutati senza informazioni sul percorso seguito dal processo, non essendo proprietà del sistema (non sono funzioni di stato, ossia non sono funzione solamente dello stato in cui si trova il sistema). Principio di conservazione dell'energia Il termine E dell'equazione di bilancio dell'energia rappresenta l'incremento netto dell'energia del sistema; poiché l'energia in ingresso nel sistema proviene dall'ambiente e l'energia in uscita dal sistema si riversa nell'ambiente, per l'universo (sistema e ambiente considerati insieme) è E UNIERSO = E SIS + E AMB = 0 In generale, per qualsiasi sistema isolato (proprietà necessariamente posseduta dall'universo) è E ISOL = 0 Il principio di conservazione dell'energia può essere espresso: "l'energia di un sistema isolato è costante".

9 Roberto Lensi 2. Termodinamica Applicata alle Macchine Pag. 9 di Processi ciclici Per i processi ciclici, in cui lo stato iniziale e finale coincidono, la formulazione del primo principio è δq = δw essendo du = 0 (per l'energia interna così come per qualsiasi altra funzione di stato). La relazione precedente afferma che quando un sistema esegue un processo ciclico, il lavoro netto trasferito all'ambiente è uguale al calore netto trasferito al sistema. Il primo principio della termodinamica non esclude quindi la possibilità di trasformare integralmente il calore in lavoro durante un processo ciclico. IL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA Secondo l'espressione del postulato dell'entropia: "esiste una proprietà estensiva del sistema, detta entropia, S. L'entropia di un sistema isolato non può mai diminuire". Da cui ( S ) 0 ISOL nella quale il segno di uguale corrisponde al caso di processo reversibile. Se il sistema studiato non è un sistema isolato, occorre considerare tutti i sistemi che prendono parte al processo, cosicché il nuovo sistema esteso possa essere considerato come un sistema isolato e possa quindi essere applicata ad esso la relazione precedente. Per l'universo si ha ( S) ( S) SIS + 0 AMB Molteplici sono le implicazioni del secondo principio della termodinamica. La condizione di aumento dell'entropia dei sistemi isolati può servire a prevedere quali processi, reazioni chimiche, trasformazioni tra varie forme di energia, trasferimenti di calore, ecc., possono o non possono avvenire. L'EQUAZIONE DI GIBBS L'applicazione del postulato dell'entropia nell'analisi termodinamica dei sistemi macroscopici, richiede la valutazione quantitativa delle variazione dell'entropia del sistema considerato. Allorché il sistema è costituito da una sostanza semplice comprimibile, di composizione invariabile, che si trova in uno stato di equilibrio, il postulato di stato afferma che due qualsiasi proprietà indipendenti possono essere usate per determinare una terza proprietà. Risulta conveniente esprimere l'energia interna in funzione dell'entropia e del volume U ( ) = U S, differenziando la quale si ha du U = S U ds + U Dalla definizione di temperatura termodinamica T = S proprietà la cui uguaglianza nelle due parti di un sistema, inizialmente non in equilibrio, è condizione necessaria per l'equilibrio termico del sistema stesso; U e dalla definizione di pressione termodinamica (assoluta) P = S proprietà la cui uguaglianza nelle due parti di un sistema, inizialmente non in equilibrio, è condizione necessaria per l'equilibrio meccanico del sistema stesso; si ha du = T ds P d S d

10 Roberto Lensi 2. Termodinamica Applicata alle Macchine Pag. 0 di Sostituendo nella δq δw = du (equazione dell'energia per un sistema chiuso non in moto) ed essendo, per un infinitesimo processo quasi-statico (processo reversibile) δw = P d si ha anche δq RE T ds e quindi ds QRE = δ T La precedente può essere considerata un'ulteriore espressione che definisce la funzione entropia ed in essa il pedice RE ricorda che la relazione precedente può essere applicata solamente ai processi reversibili. Esplicitando ds dall'espressione di du riportata sopra, si ottiene l'equazione di Gibbs ds T du P T d la quale permette di valutare la variazione di entropia di una sostanza semplice comprimibile, di composizione invariabile. ariazione di entropia di un gas perfetto Dall'equazione di Gibbs scritta con riferimento all'unità di massa si ha ds = T du + P T dv essendo (per un gas perfetto) P v = R T e du = cv dt si ha (dalla prima) v dv = T P v dt P dp R P dt RT + = P dp 2 e (sostituendo nell'equazione di Gibbs) T ds ( ) T c dt P R T P dt RT P dp = c R dt R dp v + = v + 2 T P essendo R = c P c v e quindi c P = c v + R si ottiene infine (Legge di Mayer) ds = c dt R dp P T P la quale, integrata tra il punto iniziale ed il punto finale 2, diventa T2 P2 s2 s = cp ln R ln T P relazione che permette di calcolare la variazione di entropia massica di un gas perfetto il quale passi da uno stato iniziale (T, P ) ad uno stato finale (T 2, P 2 ). Analoghe espressioni per la variazione di entropia massica di un gas perfetto possono essere ricavate anche in funzione delle coppie di proprietà termodinamiche (T, v) e (P, v) T2 v s2 s = cv ln + R ln T v P2 v s2 s = cv ln + cp ln P v 2 2

11 Roberto Lensi 2. Termodinamica Applicata alle Macchine Pag. di BIBLIOGRAFIA Acton, Caputo, "Introduzione allo studio delle Macchine", UTET, Torino, 979. Çengel, "Termodinamica e trasmissione del calore", McGraw-Hill, 998. Kotas, "The Exergy Method of Thermal Plant Analysis", Krieger, Melbourne (Florida), 995. INDICE Frontespizio... Definizioni di termodinamica classica...2 Gas ideale (o perfetto)...5 Aria atmosferica standard...6 Compressione ed espansione...7 Sistemi chiusi (analisi di una massa di controllo)...8 Bibliografia... Indice...