2 I METODI DI ANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO AD ANELLO CHIUSO LINEARI 12

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1 COSO DI SISTEMI Sommario 1 I SISTEMI DI CONTOLLO Introduzione Sitemi di controllo ad anello aperto Sitemi di controllo a previione Sitemi di controllo ad anello chiuo lineari Sitemi di controllo ad anello chiuo ONOFF Sitemi di controllo programmati I METODI DI ANALISI DEI SISTEMI DI CONTOLLO AD ANELLO CHIUSO LINEAI Le pecifiche dei itemi di controllo La funzione di traferimento di un itema di controllo a retroazione Tipo di itema di controllo uadagno tatico ad anello aperto Sitemi a retroazione unitaria La ripota nel dominio del tempo dei itemi retroazionati del 1 ordine La ripota nel dominio del tempo dei itemi retroazionati del 2 ordine egolazione PWM di un motore in c.c SISTEMI DI CONTOLLO AD ANELLO CHIUSO NON LINEAI Introduzione Sitemi di controllo ONOFF Un eempio: controllo di temperatura ONOFF LA STABILITA' Introduzione Criterio generale Stabilità dei itemi ad anello chiuo: il criterio di Bode Margine di fae e margine di guadagno Le reti correttrici eti correttrici a polo dominante...24

2 COSO DI SISTEMI 5 ESEMPI Eempio 1: controllo di temperatura Eempio 2: controllo di velocità di un motore in corrente continua.25

3 COSO DI SISTEMI

4 COSO DI SISTEMI I itemi di controllo aumono una importanza fondamentale nella vita quotidiana. Eitono itemi di controllo nei frigoriferi, nei forni a microonde, nelle centrali di produzione dell energia elettrica, nei cicli di produzione di beni di uo comune, ecc.. Per comprendere quali iano gli copi di un itema di controllo i conideri il eguente eempio. In un impianto di ricaldamento di un edificio è neceario ricaldare l acqua in modo che la temperatura all interno dell edificio aicuri un adeguato confort alle perone preenti in eo. La temperatura dell acqua deve eere innalzata o abbaata al fine da compenare le maggiori o minori perdite di calore che i hanno attravero le pareti o le finetre in bae all abbaamento od innalzamento della temperatura eterna. A tal fine poono eere utilizzate metodologie differenti. Si può utilizzare un emplice termotato che regola la temperatura all interno della caldaia in modo che non cenda otto o i 50 o opra gli 80. E evidente che tale metodo non è adeguato perché porterebbe ad un dipendio di calore durante le giornate calde e fore una temperatura troppo baa durante le giornate fredde. In pratica i utilizza un circuito elettronico che confronta itante per itante la temperatura interna con la temperatura di riferimento e contemporaneamente comanda una valvola che regola il fluo dell acqua calda nei radiatori. In intei poiamo affermare che:!"#$% & " "'% r SISTEMA DI CONTOLLO m SISTEMA CONTOLLATO c r: variabile di riferimento ciò che vogliamo m: variabile manipolabile c: variabile controllata ciò che effettivamente abbiamo Negli apparati di controllo più emplici e diffui l obiettivo della regolazione è l ineguimento, cioè ottenere itante per itante la proporzionalità di c ripetto ad r. c t K r t dove K è la cotante di regolazione. " In queto cao i ha che: "

5 COSO DI SISTEMI c: temperatura interna dell edificio r: ingreo analogico del termotato m: egnale di comando dell impianto di ricaldamento Sitema controllato: Sitema di controllo: edificio impianto di ricaldamento centralina di regolazione termotatica In particolare, e il egnale di comando è booleano iamo in preenza di una regolazione ONOFF, mentre e il egnale di comando è di tipo analogico iamo, molto probabilmente, in preenza di una regolazione PID. Le caratteritiche dei itemi di controllo permettono una loro prima claificazione di maima: ad anello aperto a previione ad anello chiuo lineari ad anello chiuo ONOFF a microproceore " Nei itemi di controllo ad anello aperto il egnale di riferimento r è generalmente determinato da un congegno di controllo, tarato in ede di fabbricazione in bae ad un modello matematico del itema controllato. r SISTEMA DI CONTOLLO m SISTEMA CONTOLLATO c Qualora le condizioni di funzionamento iano divere da quelle previte, a caua di diturbi eterni e/o variazioni dei parametri, la variabile di ucita c i dicota dal valore predeterminato. In tal cao occorre intervenire manualmente ul dipoitivo di controllo. Si prenda come eempio il itema di ricaldamento di una tanza rappreentato da un ventilconvettore dotato di una manopola di regolazione dotata di cinque poizioni Al mattino, dopo eere entrati in ufficio i pone la manopola nella poizione adeguata a econda della temperatura richieta. Se durante la giornata variano le condizioni ambientali eterne, oppure viene aperta troppo frequentemente la porta di ingreo, oppure varia la temperatura del fluido termico, la temperatura della tanza può ubire una variazione non deiderata. In otanza un itema di controllo ad anello aperto è enibile a: variazioni di carico variazioni dei parametri del itema controllato diturbi eterni " " Si conideri il olito motore in corrente continua ad eccitazione cotante. Si vuole cotruire un dipoitivo, che agendo ulla tenione di armatura v A mediante un egnale di comando in tenione v, renda oddifatta, itante per itante, la eguente relazione nel dominio compleo: Ω V Se i fa l ipotei emplificativa che v ed il carico applicato all albero varino molto lentamente in modo tale da poter fare riferimento ad un modello tatico del motore in c.c. la relazione tra ingreo ed ucita i riduce alla emplice funzione algebrica. *

6 COSO DI SISTEMI ω t K v r t dove K è la cotante di regolazione. La relazione precedente può eere ottenuta mediante il eguente controllo ad azione diretta. V A V A M Ω A rappreenta la funzione di traferimento dell amplificatore di potenza che genera la tenione di armatura V A che alimenta il motore. M rappreenta la funzione di traferimento che decrive il comportamento del motore teo. In realtà il modello precedente non è adeguato perché non tiene conto dell influenza della coppia reitente ul funzionamento del motore. Il eguente modello prende in coniderazione anche la coppia motrice: Ω V C C V A V A M Ω Tale controllo preenta alcuni inconvenienti: a La velocità angolare del motore è funzione, oltre che della tenione di comando anche di altre variabili come la coppia reitente c. La coppia reitente è una variabile di ingreo non manipolabile e non prevedibile e, come tale, rappreenta un diturbo per il funzionamento correttoo deiderato del motore ed introduce un errore E quantificabile nel modo eguente: E Ω V C b Se la tenione di armatura richieta per il comando upera un certo limite l amplificatore di potenza, non è più in grado di generarla a caua di fenomeni di aturazione dello tadio finale di potenza. In tal cao i ece da una condizione di funzionamento lineare, inficiando coì tutto il modello lineare del itema.

7 COSO DI SISTEMI "# I itemi di controllo a previione, o feedforward, il controllore agice in modo da prevenire gli effetti dovuti ai diturbi. Perché l azione preventiva del controllore ia corretta è neceario che il controllore poa miurare direttamente i diturbi. " "# Il eguente chema a blocchi rappreenta un controllo ad azione diretta di un motore in c.c. con compenazione di diturbo: C P V A V A M Ω In queto cao, poto: i ha che A M V C C Ω dopo alcuni emplici paaggi matematici i ottiene P C E Ω V Si deduce che i avrebbe una compenazione perfetta dell errore qualora P A M P In realtà queto metodo di controllo preenta alcuni inconvenienti che ne limitano l applicazione: a Per effettuare il controllo a previione è indipenabile che la grandezza o le grandezze di diturbo iano facilmente rilevabili; purtroppo i diturbi peo ono di difficile miura o addirittura inacceibili. b Speo in un problema di controllo i diturbi ono numeroi portando coì ad una ecceiva complicazione del controllore. Un eempio di controllo feedforward i incontra peo nei itemi di ricaldamento degli edifici: un traduttore rileva la temperatura eterna diturbo inviando il dato alla centralina di comando dell impianto di ricaldamento che previene repentine variazioni della temperatura interna anticipando gli effetti della variazione eterna di temperatura.,

8 COSO DI SISTEMI $ I itemi di controllo ad anello chiuo,o a feedback, ed in particolare quelli lineari, intendono eliminare od almeno ridurre gli inconvenienti preentati dai precedenti itemi di controllo ad anello aperto e a previione. iprendiamo l eempio del controllo in velocità del motore c.c.. " $ Il rilevamento della coppia reitente applicata ad un motore elettrico non è una imprea facile, pertanto normalmente i opta per la eguente oluzione ad anello chiuo. Il blocco H rappreenta la traduzione della variabile controllata Ω, eventualmente implementata da una dinamo tachimetrica calettata ull albero motore. Vediamo come i modifica la relazione di dipendenza di Ω da V e da C. Dal precedente chema a blocchi i deducono le eguenti relazioni: C E Ω H V E Ω Dopo alcuni paaggi algebrici i ottiene la eguente relazione: 1 1 C H V H Ω Se 1 >> H la precedente relazione può eere eprea nella eguente forma: 1 0 C V H Ω in cui 1 0 H V A V Ω A M C H E

9 COSO DI SISTEMI Apetti poitivi Da una analii i poono notare alcuni apetti poitivi: a Una maggiore immunità ai diturbi eterni; il itema retroazionato è molto meno enibile ai diturbi eterni, rappreentati in queto cao particolare da C, in quanto <<. 0 b Una maggiore immunità ai diturbi interni; il legame tra Ω ed V tende ad eere indipendente da eventuali non linearità e variazioni parametriche dell amplificatore di potenza e del motore teo, poiché tende ad eere dipendente dalla funzione di traferimento H del traduttore. Si rammenta che tali miglioramenti i poono ottenere e H >> 1, ovvero avendo a dipoizione un elevato guadagno d anello. Apetti negativi In realtà il controllo in retroazione ha un punto debole, legato proprio al fatto che il guadagno di anello H è molto elevato. Un itema retroazionato con un guadagno d anello molto elevato tende ad avere un comportamento tranitorio inoddifacente a caua di ecceive ovraelongazioni ed ocillazioni in ripota a ollecitazioni di ingreo bruche come il egnale a gradino. Tale comportamento può giungere fino ad una vera e propria intabilità. La caua profonda dell intabilità nei itemi dinamici in retroazione riiede nell inerzia del itema controllato, ovvero nel ritardo con cui eo riponde ad una eventuale azione correttrice del itema di controllo. L inerzia fa i che l azione correttrice impota dalla variabile manipolabile i manifeti per un tempo ecceivo ripetto a quello trettamente neceario per l annullamento dell errore ovracorrezione. Se poi l errore cauato in eno oppoto è uperiore all errore originario i inneca una erie di ocillazioni di ampiezza via via crecenti, ovvero una condizione di intabilità. Nei itemi reali le ocillazioni ad un certo punto raggiungeranno i limiti fiici del itema teo tabilizzandoi eventualmente in un regime ocillatorio di ampiezza molto elevato, con effetti in alcuni cai catatrofici Un eempio di itema intabile Prendiamo in eame un controllo di temperatura di un fluido per micelazione. AZIONAMENTO VALVOLA CONTOLLOE T IF X T C T H20 T F Agendo ulla poizione x dello telo della valvola variabile manipolabile i doa la portata di acqua calda in modo da regolare la temperatura T H20 dell acqua in ucita dal condotto variabile controllata. Si upponga di partire da una condizione in cui l acqua in ucita ia troppo fredda e la valvola ia completamente chiua..

10 COSO DI SISTEMI Il controllore comanderà l apertura della valvola, ma, e il guadagno d anello è troppo elevato l azione correttrice porterà alla completa apertura della valvola. Solo dopo un certo tempo inerzia del itema controllato il enore a valle rileverà un ecceivo innalzamento della temperatura, inducendo in queto modo una forte azione correttrice negativa che porterà alla chiuura completa della valvola. Queto proceo i ripeterà continuamente intaurando coì un regime di ocillazioni permanenti della temperatura dell acqua in ucita. T C T F In queto cao un controllo ad azione diretta, anche e più imprecio, può eere preferibile e non i vogliono correre richi di intabilità. I itemi di controllo ad anello chiuo i uddividono in due grandi categorie, in bae all andamento del egnale di riferimento: egolatori Servoitemi Nei regolatori la grandezza controllata deve rimanere cotante ad un valore indicato dal egnale di riferimento, che in queto cao prende il nome di etpoint, indipendentemente dalle condizioni di carico. Nei ervoitemi il egnale di riferimento può variare nel tempo e la grandezza controllata deve eguire le ue variazioni. Quando la grandezza controllata è di tipo meccanico i parla più propriamente di ervomeccanimo. Ne ono un eempio i itemi di puntamento delle antenne di comunicazione atellitare ed i itemi di controllo dei movimenti dei robot. $011 I itemi di controllo ONOFF ad anello chiuo, detti anche tuttoniente, meritano una valutazione a parte. Innanzitutto ei rientrano nella caitica dei itemi non lineari a caua della preenza del blocco di controllo che i comporta in modo non lineare.infatti tra l ingreo di errore, normalmente analogico, e l ucita digitale non vi è una relazione lineare, anzi non vi è nemmeno un legame funzionale in eno tretto. Pertanto ei vengono normalmente tudiati con metodologie differenti da quelle intravite per i itemi di controllo lineari, di cui uno è il metodo della funzione decrittiva. * "% I itemi di controllo a microproceore fanno uo di un elaboratore o di un itema a microproceore dedicato per eeguire una erie di operazioni che, per la loro compleità, non poono eere volte da un itema analogico cablato. I itemi di controllo getiti da un elaboratore trovano applicazione in tutti quei cai in cui vi ia un elevato numero di variabili da controllare e di calcoli complei da effettuare:ne ono un eempio il controllo di molti procei di lavorazione indutriale, il controllo del traffico aereo, ecc. /

11 COSO DI SISTEMI I itemi di controllo con microproceore dedicato ono utilizzati in applicazioni meno complee, ma in cui è richieta una certa fleibilità nell azione di controllo che traduce nella poibilità di poter programmare il itema. Nel eguente chema a blocchi è decritto a grandi linee un itema di controllo getito da un microproceore. SISTEMA A µp CONV.DA AMPLIFIC. POTENZA POCESSO CONV AD TASDUZIONE

12 COSO DI SISTEMI "$ Un buon itema di controllo deve dare il valore della grandezza di ucita variabile controllata uguale, per quanto poibile, a quello deiderato. E evidente che in una ituazione reale queto non può mai accadere a caua dei diturbi di varia origine, interna od eterna, delle varie ipotei emplificative effettuate quando i cotruice il modello matematico e comunque a caua dei limiti intrineci del problema. Un buon itema di controllo deve, allora, realiticamente ripondere ad una erie di requiiti, o pecifiche: % Eo è lo cotamento nella fae a regime tra il valore effettivo della grandezza controllata ed il valore deiderato e deve eere ridotto al minimo. Un piccolo errore a regime coincide con una elevata preciione. L errorea regime i ricava dall analii della ripota nel dominio del tempo. 4 5" Con il termine generico velocità di ripota i condenano una erie di parametri della ripota nella fae tranitoria tempo di alita, tempo di ritardo, tempo di aetamento, ecc. che il itema di controllo deve oddifare. Ei ono dati normalmente come valori maimi. La velocità di ripota i ricava dall analii della ripota nel dominio del tempo nel tranitorio. # % L ampiezza della ovraelongazione, quando i ha una bruca variazione del egnale di comando o dei diturbi, deve eere limitata ad un valore maimo onde evitare eventuali danni o inutili ollecitazioni. La ovraelongazione i ricava dall analii della ripota nel dominio del tempo nel tranitorio. 6 5 La tabilità viene identificata con due parametri, il margine di guadagno ed il margine di fae, che quantificano quanto il itema di controllo ia lontano da uno tato di intabilità. Il margine di fae ed il margine di guadagno i ricavano dall analii nel dominio della frequenza. Si è già vito che per effettuare l analii di un itema dinamico è neceario ricavare la funzione di traferimento del itema, da cui i può ricavare la ripota ai egnali canonici. In figura è riportato il tipico chema a blocchi di un itema di controllo a retroazione. E C F H

13 COSO DI SISTEMI Dove : è la tr. di Laplace della variabile di riferimento C è la tr. di Laplace della variabile di controllata E è la tr. di Laplace della variabile di errore F è la tr. di Laplace della variabile di feedback rappreenta la f.d.t. della catena di amplificazione diretta H rappreenta la f.d.t. della catena di traduzione La determinazione della funzione di traferimento è quai immediata tenendo conto che: E C C H E La funzione di traferimento ad anello chiuo aume la forma : 1 H C W Un itema a retroazione negativa può eere ridotto ad un unico blocco di funzione di traferimento W. Si upponga ora ad aprire l anello di retroazione appena prima del nodo ommatore: In queto cao ' H F Il prodotto H prende il nome di funzione di traferimento ad anello aperto. Ea è di fondamentale importanza per l analii e la progettazione dei itemi di controllo a catena chiua. La funzione di traferimento ad anello aperto può eere eprea nella eguente forma: q n q n H k H τ τ τ τ τ τ W C H E F C

14 COSO DI SISTEMI pota la parte di priva di poli nell origine ed H la parte di H priva di poli nell origine, la funzione di traferimento ad anello aperto H è pari a 1 H ' H ' k H 0 q q è denominato guadagno tatico della amplificazione diretta è denominato guadagno tatico della retroazione è la molteplicità del polo nell origine. " La molteplicità q identifica il tipo di itema di controllo. Il itema i dice di tipo zero, uno, due, e è q 0, 1, 2,. Ciò corriponde ad una funzione di traferimento ad anello aperto contenente 0, 1, 2, elementi integratori. I itemi di tipo zero ono i regolatori, mentre i itemi di tipo 1 e 2 ono i coiddetti ervoitemi o aervimenti. Si vedrà più avanti il legame eitente tra l errore a regime nella ripota a i egnali canonici gradino, rampa e parabola ed il tipo di itema. 7% " Si può oervare che: k lim' H 0 0 lim H ' 0 Si definice guadagno tatico d anello k ST di un itema retroazionato il valore del limite: k ST lim 0 ' H ' k H 0 Eo è un indice della capacità del itema di controllo di amplificare il egnale che percorre tutto l anello. Si può intuire che un itema di controllo con un guadagno tatico elevato tende ad avere una ripota alle variazioni degli ingrei, comprei anche i diturbi, più pronta, ma che nel contempo i epone, in alcuni cai, al richio dell intabilità. Nei itemi a retroazione unitaria H 1. Ciò equivale a ipotizzare una catena di retroazione di tipo tatico in cui la grandezza controllata viene traformata itantaneamente, ovvero con ritardo nullo, con una grandezza di feedback confrontabile con il egnale di riferimento. Effettivamente ciò accade in molti cai di controllo. Ad eempio, nel controllo di temperatura di una vaca di liquido, vite le cotanti tempo in gioco, i può tranquillamente ipotizzare che la ripota del traduttore ad una variazione di temperatura ia molto più veloce della ripota del itema vaca elementi ricaldanti ad un comando di innalzamento di temperatura dettato dal controllore. In generale è preferibile ricondurre lo chema di un itema di retroazione a quello di un itema a retroazione unitaria perché in tal modo ne riulta più agevole lo tudio. La figura eguente motra come, mediante alcune traformazioni d equivalenza, un generico itema a retroazione H poa eere ricondotto ad un itema a retroazione unitaria.

15 COSO DI SISTEMI F E H 1 H C " " 8 Si conideri il itema del primo ordine di figura, a retroazione unitaria. F E k 1 τ C Si ottoponga il itema ad una ollecitazione a gradino di ampiezza. La traformata C della ripota è uguale a: C k k 1 τ 1 k 1 La ripota c t nel dominio del tempo del itema retroazionato è: c k 1 e k 1 t τ k 1 t Confrontiamola con la ripota ct del itema non retroazionato c t k 1 e τ t Si rileva che la controreazione provoca una diminuizione dell ampiezza della ripota e della cotante tempo τ 1 < k 1 del itema perché entrambe riultano moltiplicate per il fattore 1. Il itema retroazionato i porta regime in un intervallo di tempo inferiore del itema non retroazionato, ma l aumento della velocità avviene a pee dell ampiezza del egnale d ucita. *

16 COSO DI SISTEMI " " " 8

17 COSO DI SISTEMI * % 9: Nella eguente figura è illutrato lo chema di principio di controllo di velocità PWM ad anello chiuo, applicato ad un motore a corrente continua. Un amplificatore di errore ente la differenza fra una tenione di riferimento Vi e la tenione di reazione Vf generata da una dinamo tachimetrica, e la amplifica generando una tenione di errore Ve. Un comparatore confronta la tenione Ve con una tenione a dente di ega od eventualmente triangolare generata da un appoito ocillatore. L ucita del comparatore è un onda rettangolare di periodo cotante e pari a quello della tenione a dente di ega, ma con duty cicle dipendente dal valore della tenione di errore Ve. Queta onda rettangolare pilota un elemento attivo il tranitor BJT. Se, a caua di un aumento della coppia reitente applicata all albero del motore o per un abbaamento della tenione di alimentazione, diminuice la velocità angolare del motore, cende anche la tenione di feedback generata dalla dinamo tachimetrica. Crece, di coneguenza, la tenione Ve di errore e quindi aumenta il duty cicle all ucita del comparatore. Si ha come coneguenza finale un aumento della corrente media di armatura e pertanto della coppia motrice che tende coì a contratare la diminuizione iniziale di velocità. Una reazione invera i viene a creare e la velocità angolare del motore dovee indebitamente aumentare.,

18 COSO DI SISTEMI Nello tudio dei itemi di controllo ad anello chiuo lineari la nonlinearità è vita come un fenomeno di per é dannoo, e non altro perché impedice di applicare ad ei tutti i metodi di analii e intei viluppati per ei. Tutti queti metodi i fondano ull ipotei che tutte le parti cotituenti il itema di controllo i comportano in modo lineare. Peraltro non empre la non linearità nei itemi di controllo va vita come un fenomeno dannoo, neceariamente da evitare. Normalmente i cotruicono itemi di controllo volutamente non lineari, come i itemi di controllo ONOFF, per motivi economici e tecnici. 011 I itemi di controllo ad anello chiuo ONOFF ono un cao particolare di itemi di controllo non lineari. Ei ono uualmente impiegati in molti ambiti civili, come ad eempio il controllo di temperatura di ambienti, di elettrodometici comuni come il forno da cucina o il ferro da tiro, dove il requiito della preciione della grandezza controllata non è particolarmente tringente. Il loro tudio riulta concettualmente relativamente emplice, e volto ad un certo livello. Nello chema a blocchi eguente è rappreentato un itema di controllo ONOFF. In un punto della catena di amplificazione diretta è preente un blocco non lineare, all interno del quale è evidenziata la ua caratteritica ingreoucita. E AMPLIFICATOE E A M ATTUATOE C TASDUTTOE In queto cao il egnale di comando M può aumere olo due valori o tati: attivo ON e inattivo OFF. Per eempio eo potrebbe eere il egnale con cui i attiva la reitenza di ricaldamento di un ferro da tiro. Vediamo con maggiore dettaglio una tipica caratteritica ingreoucita del blocco nonlineare. Da ea i può evidenziare che: l ucita può aumere olo due livelli è preente un iterei L iterei è dovuta al fatto che la commutazione dell ucita avviene u due oglie divere. Il limite uperiore agice quando il egnale di errore E A è poitivo e ta crecendo, ovvero quando la grandezza controllata C ha uperato il valore impoto dal egnale di riferimento e ta ancora crecendo.

19 COSO DI SISTEMI Il limite inferiore agice quando il egnale di errore E A è negativo e ta crecendo in valore aoluto, ovvero quando la grandezza controllata C è cea otto il valore impoto dal egnale di riferimento e ta ancora cendendo. M E A " "011 L obiettivo di queto eempio è quello di tudiare e perimentare un controllo di temperatura ONOFF. La celta della temperatura come grandezza fiica da controllare è baat u alcune coniderazioni di carattere pratico: I procei termici ono generalmente caratterizzati da una dinamica piuttoto lenta, e ciò permette di realizzare itemi di controllo con pretazioni accettabili anche utilizzando un elettronica relativamente emplice, nel cao di controllo cablato, o linguaggi ad alto livello nel cao di un controllo programmato. Il problema del controllo di temperatura è un problema molto diffuo nel controllo dei procei Il fenomeno fiico i preta ad eere modellato con relativa emplicità. {inerire chema elettrico del controllo di temperatura on.

20 COSO DI SISTEMI 22;2< Uno dei requiiti fondamentali di un itema di controllo è la tabilità, ovvero la capacità del itema di controllo di raggiungere uno tato di equilibrio dopo la fae di regolazione. Diamo ora una prima definizione di tabilità, valida per i itemi nella loro generalità e non olo per i itemi di controllo: "Un itema i dice tabile quando la ua ripota ad un egnale di durata limitata è anch'ea di durata limitata." La definizione appena data è denominata tabilità BIBO bounded input bounded output. In otanza, una volta ceato il egnale di ingreo l'ingreo è diventato nullo l'ucita deve andare a zero dopo un certo intervallo di tempo. % La ripota di un itema, ollecitato in ingreo da un egnale qualiai, i compone di una ripota forzata e di una ripota libera. La ripota forzata è dello teo tipo del egnale di ingreo ad eempio e l'ingreo è inuoidale ea è inuoidale. La ripota libera è dovuta alle ole caratteritiche del itema. La eguente figura evidenzia la ripota compleiva linea continua di un itema ad un egnale inuoidale. Si può intuire che la ripota compleiva ia data dalla omma di un egnale inuoidale e da egnale eponenziale decrecente linea tratteggiata Figura 1 ipota compleiva linea continua e ripota libera linea tratteggiatadi un itema. /

21 COSO DI SISTEMI Un itema è tabile e la ua ripota libera è di tipo tranitorio, oia e tende ad annullari dopo un certo tempo. La ripota libera r L t di un itema i calcola effettuando l'antitraformata della funzione di traferimento F del itema: t L [ F ] r L 1 Si dimotra che la antitraformata r L tè compota da una omma di funzioni di tipo eponenziale e inuoidoeponenziale. e pt dove p ono i poli reali della f.d.t. en ω t e dove p j ono i poli complei della f.d.t. σ t Queti contributi tendono ad annullari per t crecente e i poli reali p ono negativi p < 0 e e i poli complei hanno la parte reale negativa < 0. Poiamo quindi enunciare il eguente criterio generale di tabilità. "Un itema lineare è tabile e tutti i poli della ua funzione di traferimento hanno la parte reale negativa". Nel cao di poli reali ciò ignifica che devono eere negativi. Se un olo polo reale è poitivo od un olo polo compleo è a parte reale poitiva allora il itema è intabile; infatti la ua ripota libera contiene una componente crecente che non i annulla più. 6 5 $ ; Analizzeremo ora la tabilità nel cao pecifico dei itemi ad anello chiuo, a cui poono eere ricondotti i itemi di controllo. Speo può accadere che un itema ad anello aperto tabile può diventare intabile nell'inerimento ad anello chiuo: queto è uno dei groi vantaggi della regolazione ad anello chiuo. Il criterio generale di tabilità vito in precedenza, proprio per la ua generalità, è applicabile anche nel cao dei itemi ad anello chiuo. Ma determinare i poli della funzione di traferimento ad anello chiuo W C W 1 H noti i i poli della e della H è generalmente un'operazione complicata. Si ricorre allora ad altri criteri. Per analizzare la tabilità di un itema ad anello chiuo i poono uare divere metodologie; una di quete è il criterio di Bode. ; Il criterio di Bode fa uo dei diagrammi di Bode del guadagno e della fae della funzione di traferimento ad anello aperto H. Queto criterio i può eprimere in due formulazioni equivalenti, ottenibili dopo aver tracciato i diagrammi di Bode della H. Condizione necearia e ufficiente affinché un itema ad anello chiuo ia tabile è che: la fae della H, alla pulazione per cui il guadagno vale 0 db, ia inferiore a 180 oppure che: il modulo della H, alla pulazione per cui la fae vale 180, ia inferiore a 0 db.

22 COSO DI SISTEMI La eguente figura illutra i diagrammi di Bode del guadagno e della fae della particolare funzione di traferimento ad anello aperto H 3 2 0,5 2 0,5 Applicando il criterio di Bode ad ei i può dedurre che la funzione di traferimento ad anello chiuo W è tabile. Figura 2 Criterio di Bode % %%% Nelle applicazioni pratiche è neceario valutare oltre alla tabilità teorica di un itema di controllo, anche i margini di icurezza per cui i può ragionevolmente ritenere che il itema rimanga tabile anche quando compaiono diturbi indeiderati e/o variazioni di alcuni dei parametri interni del itema, per eempio il guadagno tatico. Per queto motivo ono tati introdotti due parametri di qualità che conentono di valutare il grado di tabilità di un itema ad anello chiuo; ei ono il margine di fae ed il margine di guadagno. Nella eguente figura ono evidenziati ia il margine di fae m che il margine di guadagno m relativi alla precedente funzione di traferimento ad anello aperto.

23 COSO DI SISTEMI m m m Figura 3 Margine di fae e margine di guadagno Se indichiamo con la pulazione per cui il guadagno è nullo e con la pulazione per cui la fae è pari a 180, da un punto di vita matematico i ha che m φ 180 jω H jω m jω φ H jωφ db Normalmente i conidera ufficiente un margine di fae di 45 ed un margine di guadagno di circa 6 db. Un itema con un margine di fae ufficiente ha anche un margine di guadagno ufficiente, non è invece verificato il contrario. Per rendere tabili i itemi di controllo intabili o per migliorare la tabilità di quelli al limite della tabilità i inericono delle reti correttrici all'interno dell'anello chiuo, normalmente appena dopo il nodo di confronto. E C C F H Figura 4 Sitema di controllo con rete correttrice

24 COSO DI SISTEMI Le reti correttrici poono eere: a polo dominante ritardatrici anticipatrici " La rete correttrice contiene un polo che introduce una frequenza di taglio molto più baa ripetto a quella dei poli preenti nella H.

25 COSO DI SISTEMI * 9 * " " In una indutria i ha la neceità di prericaldare una determinata quantità d'acqua che, immea in un erbatoio, viene portata alla temperatura di 30 C tramite un itema di reitenze alimentate da una linea trifae. L'acqua, dopo eere tata ricaldata, reta nel erbatoio dal quale verrà prelevata integralmente dopo un determinato intervallo di tempo durante il quale un dipoitivo di controllo provvede a mantenere l'acqua alla temperatura di regime. Avendo timato nell'ordine del 10% le fluttuazioni che i potrebbero avere ad anello aperto a caua della preenza di diturbi additivi nell'intervallo di tempo in cui l'acqua ricaldata permane nel erbatoio, i deidera che il itema di controllo ad anello chiuo limiti tali diturbi entro il 2%. Il erbatoio contenente l'acqua può eere aimilato ad un modello la cui funzione di traferimento preenta 4 una cotante di tempo al denominatore τ 10 molto maggiore di almeno tre decadi ripetto alle altre del itema. Fatte eventuali opportune ipotei aggiuntive: 1 Si diegni uno chema a blocchi di un poibile itema di controllo 2 Si decriva a grandi linee il funzionamento del itema di controllo 3 Si determinino le caratteritiche dei ingoli blocchi, motivando le celte effettuate 4 Si verifichi la tabilità del itema di controllo * " # 5 Un motore in corrente continua utilizzato in un laminatoio deve mantenere la velocità di regime di n 0 di 4000 rpm. I guadagni tatici dei blocchi cotituenti il itema motore, dinamo tachimetrica e modulo di potenza valgono ripettivamente K m 12 rpm/v, K dt 0,1V/rpm, K mp 20, mentre le cotanti tempo del modulo di potenza e del motore cotanti elettriche e meccaniche valgono ripettivamente τ mp 1 m, τ e 10 m, τ m appreentare il itema di controllo mediante uno chema a blocchi. 2. Determinare la funzione di traferimento di ogni blocco, con l'ecluione del regolatore. Introdurre nel regolatore una azione proporzionale in modo che: 3. La retroazione riduca dal 10% al 0,2% gli effetti prodotti dai diturbi additivi ull'ucita. Dopo aver introdotto l'azione proporzionale verificare che: 4. Il itema nel uo compleo riulti tabile. 5. Indicare e decrivere brevemente le tecniche più comuni di correzione della tabilità. *

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