Le ipotesi di base che si utilizzano sono le stesse quattro già viste con riferimento al caso della flessione semplice e cioè:

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1 LEZIONI N 44 E 45 CALCOLO A ROTTURA DELLA SEZIONE PRESSOINFLESSA PROBLEMI DI VERIFICA La procedura di verifica dei pilatri di c.a., ottopoti a forzo normale e momento flettente, è baata ulla cotruzione della curva di interazione M,N della ezione aegnata. La curva di interazione è la frontiera dello tato limite ultimo di reitenza per la ollecitazione compota di forza normale e fleione retta, cioè il luogo dei punti M ult, N ult, corripondenti alle condizioni di rottura della ezione. La verifica conite nell accertare che il punto rappreentativo delle ollecitazioni di progetto (M d,n d ) ia all interno della frontiera uddetta. Eaminiamo ora il procedimento da utilizzare per la cotruzione per punti della curva di interazione M,N di una aegnata ezione rettangolare ottopota a preione eccentrica retta. Le ipotei di bae che i utilizzano ono le tee quattro già vite con riferimento al cao della fleione emplice e cioè: 1) vale la conervazione delle ezioni piane, cioè la variazione delle deformazioni unitarie (y) ulla ezione è lineare; 2) l aderenza fra l acciaio ed il calcetruzzo è perfetta ( c = ), coì da ecludere qualiai corrimento relativo fra le armature e la matrice lapidea che le avvolge (queta ipotei è necearia perché valga l ipotei 1); 3) il calcetruzzo teo viene coniderato non reagente; 4) i legami cotitutivi dei materiali ono non-lineari. Se la ezione è immetrica ed è armata in modo immetrico, la curva di interazione è anch ea immetrica ripetto all ae N. Non lo è, però, ripetto all ae M, perché il calcetruzzo reagice diveramente a trazione ed a compreione. 191

2 Allo copo di procedere alla cotruzione della curva è opportuno individuare quali iano i diagrammi delle deformazioni unitarie ulla ezione che la portano a rottura. Ad ognuno dei diagrammi di rottura corriponde un unico punto del dominio di rottura, di coordinate M ult,n ult. Affinché un diagramma di ia un diagramma di rottura occorre che in eo i verifichi almeno una della eguenti condizioni: il calcetruzzo ia deformato al 3,5 (tra il 2 ed il 3,5 nel cao della preione eccentrica con centro di preione interno al nocciolo centrale d inerzia ezione interamente reagente); l acciaio teo ia nervato E poibile raccogliere tutti i diagrammi di deformazione rappreentativi di una condizione di rottura nello chema eguente: In eo è poibile individuare cinque zone: Zona 1: Trazione con piccola eccentricità. Zona 2: Fleione emplice o compota con fruttamento parziale della reitenza dei materiali (olo l acciaio teo è nervato). Zona 3: Fleione emplice o compota con fruttamento completo della reitenza dei materiali (ia l acciaio teo che quello compreo ono nervati). Zona 4: Fleione compota con tenione dell acciaio minore di quella di nervamento. Zona 4a: Fleione compota: l armatura inferiore comincia ad eere comprea. Zona 5: Compreione con piccola eccentricità. 192

3 Una volta elezionato un diagramma di rottura, che ha la caratteritica di paare per uno dei punti A, B o C, è automaticamente definita la poizione dell ae neutro e, quindi, i diagrammi delle tenioni nei due materiali cotitutivi: ono quindi note le tenioni nel calcetruzzo e nell acciaio. E utile preciare che la retta che epara i campi 2 e 3 è individuata dal fatto che ad ea corriponde il primo nervamento delle armature compree. Ad ea corriponde la poizione dell ae neutro: 0, , , 0035 y1 d' d' d' 2,27 d' 0, 0035 f yk 450 yd 0, , 0035 E 1, La deformazione corripondente dell acciaio teo vale: F d y 0,0035 y 1 1 Poiamo allora determinare la riultante delle tenioni N ult ed il momento riultante M ult con emplici coniderazioni di equilibrio. La coppia di valori (N ult,m ult ) fornice le coordinate di un punto della curva di interazione. Ripetendo il procedimento a partire da altri diagrammi di i ottengono altri punti e i può diegnare la curva. La cotruzione dell intero dominio di interazione può eere eeguita facendo variare in modo itematico il diagramma delle deformazioni unitarie. Ad eempio i può partire dalla trazione pura (diagramma A-D) e, ruotando intorno al punto A, che funge da perno, i poono coniderare tutti i diagrammi di deformazione fino a quello A-B. Quindi i può continuare facendo perno ul punto B ed arrivare fino al diagramma B-E, che corriponde alla condizione in cui il calcetruzzo diventa tutto reagente. Infine ruotando intorno al punto C i giunge alla condizione di compreione pura (centrata). 193

4 Il dominio di interazione M-N di una ezione rettangolare avente armatura doppia immetrica ha l apetto eguente: Una verione emplificata della curva può eere cotruita a mano determinando le coordinate dei punti più ignificativi: - la compreione centrata, A; - la rottura bilanciata, B; - la fleione emplice, C; - la trazione centrata, D (che ha, però, importanza ridotta nelle applicazioni). ed approimando la curva con una pezzata. Il riultato che i ottiene è in favore di icurezza, in quanto la pezzata i trova empre all interno della curva continua. 194

5 Determiniamo ora i punti A, B, C e D nel cao della ezione rettangolare dotata di armatura doppia immetrica A = A. Le coordinate del punto A (compreione centrata) i trovano immediatamente: M A = 0 N A = C + C + T = f bh + 2 A f yd coì come quelle del punto D (trazione centrata): M D = 0 N D = - 2 A f yd Il punto B è rappreentativo del imultaneo collao del conglomerato e dell acciaio (rottura bilanciata) e corriponde al maimo valore poibile del Momento ultimo. Il diagramma di deformazioni corripondenti è rappreentato dal egmento che epara le zone 3 e 4 del erbatoio dei diagrammi di rottura e che è definito, uperiormente da c = 3.5 ed, inferiormente, da = f yd /E. Queta modalità di collao imultaneo è poibile nella preione eccentrica qualiai ia la percentuale di armatura, al contrario del cao della fleione emplice, dove ea non può verificari mai nel cao di armatura doppia immetrica 195

6 ed è biunivocamente legata ad una particolare percentuale di armatura, detta appunto critica, nel cao di armatura emplice. Nella preione eccentrica l elemento critico non è la percentuale di armatura, ma la coppia (M ult, N ult ) che determina il contemporaneo collao dei due materiali, ovvero la eccentricità: e crit = (M ult /N ult ) crit = M bil /N bil Valutiamo M bil ed N bil. La riultante delle tenioni di compreione C nel calcetruzzo vale: C = 0,81 f b y La tenione ultima nel calcetruzzo è: La poizione dell ae neutro è nota e vale: f 0,83 R 0,85 1, 5 ck y cu cu y d Nel cao, in cui venga utilizzato acciaio tipo B450C i ha: y d 0.641d / (1.15 x200000) C, riultante delle tenioni di compreione nell acciaio A, vale: C = A f yd, in cui f yk f yd 1,15 e T, riultante delle tenioni di trazione, vale: T = A f yd. Poiché le armature tea e comprea ono uguali ed entrambe nervate, ee fornicono forze uguali e di egno oppoto e quindi i ha C = T. 196

7 Pertanto lo forzo normale ultimo N bil i determina immediatamente imponendo l equilibrio alla tralazione: C+C -T=N bil da cui i ricava: N bil = C = 0,81 f b y Il momento ultimo va calcolato ripetto al baricentro della ezione non feurata. Il contributo delle armature al momento ultimo è A f yd (d-d ) e quindi i ha che: M bil = N bil x (H/ y) + A f yd (d-d ) L eccentricità critica vale allora: e crit M N bil bil H ' Nbil 0,416 y A ( ) 2 fyd d d 0,81 f by L angolo corripondente, ul diagramma che contiene la curva di interazione è, naturalmente: crit = arctg (e crit ) Quando l angolo è minore di crit, oppure l eccentricità e è minore di e crit i ha rottura fragile, altrimenti i ha rottura duttile. I punti del ramo uperiore AB della curva di interazione corripondono a condizioni di rottura fragile, dovuta allo chiacciamento del calcetruzzo, mentre i punti del ramo inferiore BCD i rifericono a crii la cui caua primaria è lo nervamento dell acciaio teo. 197

8 Nel cao del punto C (fleione emplice) l acciaio compreo non può eere nervato, la deformazione ultima del calcetruzzo è pari al 3,5 e quella dell acciaio teo è molto maggiore della deformazione allo nervamento. Per ea naturalmente i ha: N C = 0. Per valutare M C occorre determinare la poizione dell ae neutro, y, tramite l equazione di equilibrio delle forze interne C + C = T. Poiché l acciaio teo è nervato, T è nota e vale: T = f yd A La riultante di compreione nel calcetruzzo è: C = 0,81 f by Per quanto riguarda C, la tenione di compreione nell acciaio dipende dalla deformazione unitaria dell acciaio compreo, che non è nervato: C A E A ' ' ' ' ' Il valore della deformazione unitaria dell acciaio compreo i ricava facilmente mediante la imilitudine di triangoli: y d' ' cu y in cui cu =3,5 198

9 L equazione di equilibrio diviene pertanto: y d 0,81 f by E 3,5 10 A f A y ' 3 yd Sviluppando i ottiene l equazione di econdo grado determinatrice della poizione dell ae neutro: 2 3 0,81f 3,510 3,510 3 ' by E fyd A y E Ad 0 che vale quindi: 2 E 3,510 f A E 3,510 f A 40,81f be 3,510 Ad y 20,81 f b ' yd yd La conocenza dell ae neutro permette infine di valutare la deformazione unitaria dell acciaio teo: cu d y y e di controllare la deformazione dell acciaio compreo: y d' ' cu y Infine i può valutare il momento ultimo della ezione: M C = C ( ) y + C (y-d ) + T (d-y) 199

10 PROBLEMI DI PROGETTO CONDIZIONATO I problemi di progetto condizionato dei pilatri i affrontano utilizzando una delle eguenti procedure. a) Prima procedura (cotruzione manuale del dominio di interazione M-N) - Si aegna, in via di tentativo, il valore dell area di acciaio A ed A, nella maggior parte dei cai immetrica; - i cotruice per punti il corripondente dominio di interazione M-N (può accadere che non ia neceario determinare tutti i punti ignificativi del dominio, in funzione dei valori dello forzo normale e del momento di progetto); - i controlla che il punto M d,n d ia interno alla ezione; - in cao contrario i modifica opportunamente l area di acciaio e i ripete la procedura. b) Seconda procedura (utilizzo di tabellazioni o grafici) Sono diponibili in letteratura tabellazioni e grafici che fornicono le coordinate dei domini di interazione M-N di pilatri rettangolari, eprei in forma adimenionale, del tipo di quello riportati nella pagina eguente. Il grafico della pagina eguente è relativo ad un valore prefiato del rapporto tra copriferro ed altezza totale della ezione: c/h = 0,10. L armatura è doppia immetrica: A=A Si definicono le eguenti grandezze: Momento flettente adimenionale: M d d 2 b H f Sforzo normale adimenionale: N b H d d f Percentuale meccanica d armatura: A f d b H f yd 200

11 d = d Dominio N-M normalizzato per c/h = c /H = 0,10. Si entra nel grafico con il momento flettente e lo forzo normale adimenionale e i legge il valore corripondente della percentuale meccanica di armatura d. Si ricava quindi l armatura invertendo la relazione che definice d. ' f A A db H f yd 201

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