Esercitazione 24 marzo

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1 Esercitazione 24 marzo Esercizio 1 Una persona contrae un prestito di e, che estinguerà pagando le seguenti quote capitale: 3000 e fra 6 mesi, 5000 e fra un anno, 8000 e fra 18 mesi, 4000 e fra 2 anni e il resto fra 2 anni e 6 mesi. Calcolare il piano di ammortamento nelle ipotesi che il tasso di interesse annuale è del 10.25%. Il tempo fra ogni versamento è di 6 mesi quindi calcoliamo il tasso semestrale. i 2 = 1, = 0, 05 = 5% Posso riscrivere il problema di ammortamento come , , , , , ,00 Se calcoliamo il debito residuo otteniamo D i = D i 1 C i ie e mettendoli nella tabella otteniamo D 1 = D 0 C 1 = 22000, , , , , , , , , , ,00 0,00 Rimane quindi da calcolare l interesse, ottenuto tramite la formula I j = D j 1 i, ossia D 1 = D 0 i = = mettendoli in tabella otteniamo 1

2 , , , , , , , ,00 850, , ,00 450, , ,00 250,00 0,00 Infine calcoliamo le rate: R j = C j + I j e otteniamo , , , , , , , , , , ,00 850, , , ,00 450, , , ,00 250,00 0,00 Verificare che Rj 1 (1 + i 2 ) j = D 0 = C. Esercizio 2 Completare il seguente piano di ammortamento utilizzando prima l ammortamento francese e poi quello italiano , Calcoliamo il tasso di valutazione dalla relazione tra quota interesse e debito residuo I 1 = D 0 i i = I 1 = 4000 D = 2% 2

3 Ammortamento francese (rate costanti) In questo caso calcoliamo la rata usando la condizione di chiusura finanziaria, ossia valore atteso delle rate = capitale iniziale. Sfruttiamo la formula C = R a n,i da cui Il piano è quindi R = C a n,i = (1.02) = 5252, ,48 400, , , ,48 Possiamo quindi di volta in volta calcolarci quote interessi,quote capitali e debito residuo: ottenendo D j 1 I j (= D j 1 i) C j (= R j I j ) D j (= D j 1 C j ) , ,48 400, , , ,52 302, , , ,52 203, , , ,49 102,99 0 Ammortamento italiano (quote capitale costante) Calcoliamo la quota capitale da cui otteniamo C j = C #periodi = = ,00 400, , , ,00 3

4 Risaliamo quindi alle quote di debito residuo, da cui deduciamo le quote interesse e quindi le rate. Otteniamo quindi , ,00 400, , , ,00 300, , , ,00 200, , , ,00 100,00 Esercizio 3 (esame gennaio) Scrivere un piano di ammortamento in 3 rate di un debito pari a Euro, ad un tasso passivo del 10%, sapendo che la seconda quota capitale è il doppio della prima e la terza quota capitale è il doppio della seconda. Per trovare le quote capitale è sufficiente risolvere l equazione x + 2x + 2(2x) = da cui otteniamo che la prima quota capitale è 10000, la seconda e la terza Esercizio 4 Una persona contrae un debito di eche decide di ripianare in 5 anni tramite ammortamento americano, sapendo che il tasso attivo è pari al 5% e il passivo al 7%. La quota di costituzione del fondo è data da Q = C dove s n,i = un 1 s n,i i 4 = 1, = 5.526

5 quindi Q = = L interesse sul prestito ammonta a I = Ci = = 7000 ne deduciamo che la rata annuale è di e. Esercizio 5 Un prestito è rimborsabile in 16 anni con ammortamento italiano. Calcolare l importo del prestito ed il tasso annuo, sapendo che il debito residuo dopo il pagamento della sesta rata è 5000 e la sesta quota interessi è 440. Nell ammortamento italiano, il debito residuo è pari al numero delle quote capitali non ancora versate, quindi l importo del prestito si ricava dalla seguente equivalenza: D k = D 0 n k n D 0 = 8000 Le quote capitali, tutte di pari importo, ammontano quindi a C = D 0 n = 500. Sfruttando il fatto che I 6 = D 5 i e D 5 = 5500 si ricava i = 0, 08. Esercizio 6 Un tizio riceve oggi un prestito di e che si impegna a restituire in due rate: una di 5000 e fra 3 anni e una di 7000 e fra sei anni. Stabilire il tasso annuo di interesse annuo necessario per rendere possibile tale ammortamento. La condizione di chiusura iniziale del prestito è = 5000(1 + i) (1 + i) 6 da cui si ricava, ponendo x = (1 + i) 3 10 = 5x + 7x 2 che ha come unica soluzione ammissibile x = 0.89, si ricava quindi da (1 + i) 3 = 0.89 che i = 3, 95%. 5

6 Usufrutto e nuda proprietà Si chiama usufrutto il valore attuale delle quote interesse che devono ancora essere corrisposte, nuda proprietà il valore attuale delle restanti quote capitale. In generale queste quantità sono calcolate usando un tasso di interesse i diverso dal tasso passivo i. In formule abbiamo e Evidentemente U s + P s = U s = P s = I k (1 + i ) + k s I k (1 + i ) k s C k (1 + i ) k s. C k (1 + i ) = k s R k (1 + i ) k s = V s cioè la somma di usufrutto e nuda proprietà coincide con il valore attuale al tempo s delle rate successive, al tasso di valutazione i. Theorem 1 (Makeham). Tra usufrutto e nuda proprietà vale la seguente relazione: P s = D s i i U s ove D s indica il debito residuo. e Nel caso di un ammortamento francese abbiamo le seguenti formule chiuse P s = R i i [(1 + 1) (n s) (1 + i ) (n s) ] U s = Ri a n,i a n,i. i i Esercizio 7 Si consideri un piano di ammortamento italiano di un debito iniziale di e in 5 rate annuali a un tasso passivo del 10%. Si calcolino usufrutto e nuda proprietà al tempo 3 utilizzando un tasso di valutazione del 5%. Il piano di ammortamento è 6

7 Calcoliamo ora l usufrutto mentre la nuda proprietà è Verifichiamo il teorema di Makeham U 3 = (1.05) 2 = 1406 P 3 = (1.05) 2 = 9297 D 3 i i U 3 = = 9297 = P 3. Esercizio 8 Viene contratto un prestito di 8550 e, ammortizzato in regime di ammortamento francese di 12 rate, con tasso di interesse del 4,5%. Calcolare nuda proprietà, usufrutto e valore del prestito dopo 4 anni e tasso di valutazione del 5%. Calcoliamo innanzitutto la rata che è pari a La nuda proprietà risulta quindi P 4 = mentre l usufrutto è R = Ca n,i = Ra 12,0.045 = 932, [ ] = 4911, 71 U 4 = a 8,0.045 a 8, =

8 Il debito residuo è pari al valore attuale delle rate mancanti D 4 = Ra 8,0,05 = 6024, 77 Osserviamo inoltre che P 4 + U 4 = =

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