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1 1) Due blocchi di massa m 1 = 2 kg e m 2 = 1 kg, sono posti su un piano orizzontale privo di attrito a contatto fra di loro,: una forza orizzontale F = 6 N è applicata al blocco di massa m 1 e spinge l insieme dei due. Determinare l accelerazione con cui si muovono i due blocchi e la forza di contatto fra i due. F 1 2 2) Un mattone di massa m = 5 Kg è posto a contatto di una parete verticale scabra e si trova ad un altezza dal suolo h = 1.8 m. Esso è mantenuto fermo da una forza F che lo preme contro la parete; F forma un angolo = p/3 rispetto alla perpendicolare alla parete e la sua componente verticale è rivolta verso l alto. Sapendo che il coefficiente di attrito fra mattone e parete è m = 0.6, calcolare: a) il valore massimo e minimo di F per cui si ha euilibrio, b) per F pari alla metà del valore minimo precedentemente trovato calcolare l accelerazione con cui si muove il mattone, il tempo che impiega a giungere a terrra e la corrispondente velocità. 2 F F 1 3) Due blocchi, denominati 1 e 2, di massa rispettivament m 1 = 6 Kg e m 2 = 4 Kg sono collocati uno sopra l altro. Il blocco 1 poggia su un piano orizzontale liscio, mentre il blocco 2 è posto sopra il blocco 1. Fra i due blocchi vi è attrito ed il coefficiente di attrito statico è m = 0.8 ; al blocco 1 è applicata una forza orizzontale F. a) Determinare il massimo valore F M che può assumere F affinchè i due blocchi si muovano in modo solidale. b) Determinare l accelerazione con cui si muovono i due blocchi per F = F M /2. 4) Nel sistema del problema 3) si suppone che le dimensioni del blocchetto 2 siano trascurabili e che il blocchetto 1 sia di forma cubica di lato l = 15 cm. Il sistema è inizialmente fermo, con il punto 2 nel centro della faccia superiore del blocco 1, e a uest ultimo viene applicata una forza F = 2F M. a) Si determini l istante in cui il punto 2 casca dal bloccco 1, e in corrispondenza la sua velocità e la sua distanza dalla posizione iniziale. b) Si determini il moto successivo della massa 2 ed in particolare a uale distanza dalla sua posizione iniziale urta il piano orizzontale

2 5) Due blocchi di massa m 1 = 3 kg e m 2 = 2 kg, sono posti su un piano inclinato scabro che forma un angolo con l orizzontale e sono collegati rigidamente da una sbarra, parallela al piano inclinato e di massa trascurabile (*), con m 1 sopra m 2 ; i coefficienti di attrito dei due blocchi con il piano sono rispettivamente m 1 = 0.5 e m 2 = 0.6. a) calcolare il valore massimo dell angolo per cui si ha euilibrio. b) per = p /6 calcolare l accelerazione dei due blocchi e la forza esercitata dalla sbarra sul blocco 2. c) dire che cosa cambia nelle risposte alle precedenti domande se si scambiano fra di loro i due blocchi. d) dire che cosa cambia nelle risposte alle precedenti domande se si sostituisce la sbarra con una funicella. (* come conseguenza della disposizione della sbarra e della sua massa nulla si può dimostrare che le forze applicate dalla sbarra ai due blocchi sono parallele alla sbarra medesima e di uguale modulo. Si faccia uindi uesta ipotesi.) ) Un blocco 1 di massa m 1 = 500 gr è posto su un piano scabro, inclinato di un angolo = 30 rispetto all orizzontale, e il coefficiente di attrito relativo è m = 0.3 ; esso si trova ad una certa distanza dal bordo superiore del piano inclinato ed è collegato, tramite una funicella passante per una piccola carrucola, ad una massa m 2 che pende liberamente lungo la verticale; si suppone inoltre che il tratto di funicella che va dal blocco 1 alla carrucola sia parallelo al piano inclinato. a) Determinare il valore massimo e minimo di m 2 per cui il sistema è in euilibrio e le corrispondenti tensioni della funicella. b) Con una massa m 2 pari al doppio del valore massimo trovato in a) calcolare l accelerazione con cui si muove il sistema e la tensione della funicella. M m 1 m 2 7) Data una molla, di costante elastica K = 10 4 N/m e lunghezza a riposo l 0 = 20 cm, di estremi O e A, si collega ad A una massa m = 200 gr mentre O viene collegato ad un perno. Il sistema viene posto in rotazione, con velocità angolare costante, attorno al perno

3 in O su un piano orizzontale privo di attrito. Calcolare l allungamento della molla e la forza agente sul perno uando la massa m compie 10 giri al secondo. 8) Un punto materiale P di massa m = 200 gr è collegato tramite una funicella ad una massa M. Mediante un opportuno supporto O, in cui la funicella può scorrere liberamente, si realizza una condizione di euilibrio dinamico: la massa M è ferma e pende liberamente lungo la verticale passante per O mentre P si muove di moto circolare uniforme attorno all asse verticale passante per O in una configurazione in cui il tratto di funicella che va da O a P è l = 75 cm e forma con la verticale un angolo = p/6. a) Determinare la velocità angolare di P ed il valore di M. b) Con la stessa massa M si riduce la lunghezza del tratto di funicella OP a l = 50 cm realizzando una nuova situazione di euilibrio dinamico. Calcolare il lavoro necessario per passare dalla prima alla seconda delle due configurazioni. O l P M 9) Una massa puntiforme m = 200 gr è attaccata all estremità P di una cordicella ideale OP di lunghezza l = 50 cm. a) Calcolare la tensione della funicella uando la massa m pende liberamente lungo la verticale. b) Calcolare la tensione della funicella uando essa viene utilizzata per imprimere un accelerazione a = 3 m/s 2, diretta verso l alto o verso il basso, alla massa m. c) Calcolare la tensione della funicella, in funzione della velocità angolare w, uando la massa m viene fatta ruotare attorno ad O, in un piano verticale. Si calcoli in particolare il suo valore nel punto più alto e più basso della traiettoria per w = 6 rad/s. 10) Una massa m = 125 gr, di dimensioni trascurabili, è appesa all estremità P di una funicella ideale di lunghezza l = 1 m il cui altro estremo O è appeso al soffitto di un vagone ferroviario. Supposto che il vagone si muova con accelerazione costante A = 5 m/s 2 si calcoli: a) la tensione della funicella e l angolo che essa forma rispetto alla verticale uando il pendolo è fermo rispetto al vagone; b) il periodo delle piccole

4 oscillazioni, attorno alla posizione di euilibrio, e la sua variazione percentuale rispetto al periodo che ha il pendolo uando il vagone si muove con velocità costante. 11) Sul pavimento, liscio, di un vagone ferroviario è posta una massa m = 100 gr collegata ad una molla, di costante elastica K = 10 N/m, il cui altro estremo è fissato alla parete del vagone. a) Si determini la compressione della molla uando la massa m è ferma rispetto al vagone e uesto si muove con accelerazione costante A = 2 m/s 2. b) Si determini il moto della massa m, relativo al vagone, nel caso in cui la massa ed il vagone siano inizialmente fermi e l accelerazione di uest ultimo passi istantaneamente da 0 al valore A = 2 m/s 2 e rimanga poi costante. c) Si determini il moto della massa m, relativo al vagone, nel caso in cui la massa ed il vagone siano inizialmente fermi e uest ultimo si metta in moto con uno strattone assumendo una velocità costante. Si suppone che durante uesta fase, di durata t = 0.01 s, agisca una accelerazione costante A = 100 m/s 2 e che la massa non si sposti rispetto al vagone. A 12) Un pendolo semplice è costituito da una massa m = 150 gr appeso all estremità P di una corda ideale di lunghezza l = 75 cm sospesa con l altro estremo ad un chiodo O. Esso viene lanciato, in un piano verticale, con velocità v 0 = 2 m/s dalla posizione in cui la corda forma un angolo 0 = - 30 con la verticale discendente. a) Calcolare la velocità della massa nel punto più basso della traiettoria. b) Calcolare il minimo valore di v 0 per cui la corda durante il moto può disporsi orizzontalmente. c) Calcolare il minimo valore di v 0 per cui il pendolo può descrivere una circonferenza completa invece di oscillare. d) Stabilire come cambiano i valori della velocità calcolati ai punti b)-c) nel caso in cui la corda sia sostituita da un asticella di uguale lunghezza e di massa trascurabile. 13) Una massa puntiforme m è appesa ad un filo di lunghezza l = 60 cm e può oscillare in un piano verticale attorno ad O. Essa viene abbandonata, da ferma, dalla posizione in cui il filo è orizzontale e uando passa per la verticale il filo inizia ad avvolgersi attorno ad un chiodo C posto al disotto di O. Determinare il minimo valore della distanza b fra C ed O perchè la massa m descriva una circonferenza completa attorno al chiodo.

5 O C P 14) Sono dati due piani inclinati di altezza h = 1m i cui angoli rispetto all orizzontale sono 1 = p/6 e 2 = p/4. Ciascuno di essi, nella parte più bassa, è raccordato con una guida semicircolare. Dal punto più alto di ciascuno dei piani inclinati si abbandona, con velocità nulla, una massa m = 100 gr che si suppone opportunamente vincolata a muoversi lungo i piani inclinati e le guide semicircolari. a) supposto nullo l attrito fra la massa m e i piani inclinati e la guida, calcolare: i) la velocità della massa uando giunge in fondo ai due piani inclinati, ii) la uota massima a cui essa risale lungo la guida circolare nei due casi, iii) il tempo che impiega la massa m ad arrivare in fondo ai due piani inclinati. b) supposto che vi sia attrito fra la massa m e i soli piani inclinati e che il relativo coefficiente di attrito sia m = 0.1, calcolare: i) la velocità della massa uando giunge in fondo ai due piani inclinati, ii) la uota massima a cui essa risale lungo la guida circolare nei due casi, iii) il tempo che impiega la massa m ad arrivare in fondo ai due piani inclinati h 15) E dato un piano inclinato formante un angolo = p /6 con l orizzontale. Una massa m = 150 gr viene lanciata lungo il piano inclinato, dal suo fondo, con una velocità v O = 5 m/s. a) nel caso in cui il piano inclinato sia liscio (senza attrito) determinare la uota massima raggiunta dalla massa m. b) nel caso in cui vi sia attrito determinare, in funzione del coefficiente di attrito m, la uota

6 massima raggiunta dalla massa m e uindi il valore minimo m m del coefficiente di attrito per cui essa una volta raggiunta la massima uota rimane ferma. c) per m = 2m m determinare il valore della uota massima. d) per m = m m /2 determinare il valore della velocità uando la massa m torna al punto di partenza. v O 16) Su un piano inclinato liscio formante un angolo = p/6 con l orizzontale è posta una massa m = 0.12 Kg, collegata ad una molla di costante elastica K = 10 N/m disposta parallelamente al piano inclinato. a) determinare l allungamento della molla nella configurazione di euilibrio del sistema. Abbandonata la massa m da ferma dalla posizione di riposo della molla (elongazione nulla) determinare: b) la massima elongazione della molla, c) la velocità massima della massa, d) il valore massimo e minimo dell accelerazione e le corrispondenti elongazioni della molla, e) il valore massimo della forza esercitata sul supporto a cui è attaccato l altro estremo della molla, f) il tempo che intercorre fra due passaggi consecutivi della massa per la posizione corrispondente all euilibrio. 17) Su un piano inclinato formante un angolo = p /6 con l orizzontale è posta una massa m = 0.12 Kg, collegata ad una molla di costante elastica K = 10 N/m disposta parallelamente al piano inclinato; fra il piano inclinato e la massa vi è attrito e il corrispondente coefficiente è m = 0.1. La massa m viene abbandonata da ferma da una posizione in cui la molla ha un elongazione x 0 =12 cm, calcolare : a) la deformazione della molla nel punto di arresto immediatamnte successivo, b) la forza agente sulla massa m in tale punto.

7 18) Un piccolo anello P, di massa m = 70 gr e dimensioni trascurabili è infilato in una guida circolare, liscia, di raggio R = 50 cm e centro O disposta in un piano verticale. si indichi con l angolo che il raggio OP forma con la verticale ascendente. Inizialmente P è fermo nel punto più alto della guida e, a causa di uno spostamento infinitesimo dalla posizione di euilibrio, inizia a scivolare lungo di essa. a) Calcolare la reazione vincolare della guida in corrispondenza degli angoli 1 = 30 e 2 = 60. b) Nel caso in cui la massa P non sia infilata nella guida ma sia semplicemente appoggiata su un uguale supporto circolare si determini il valore dell angolo d per cui si ha il distacco di P dal supporto. c) Nel caso in cui vi sia attrito fra P ed il supporto, stabilire se il distacco avviene ad un angolo maggiore o minore di d. P O 19) Una massa m = 125 gr si muove su un piano orizzontale liscio con velocità costante v 0 = 7 m/s. Ad un determinato istante essa entra in contatto con l estremo libero di una molla, orizzontale, di costante elastica K = 1000 N/m fissata ad una parete. Determinare: a) la massima compressione della molla; b) la velocità della massa m alla fine dell interazione con la molla; c) la forza esercitata dalla molla sulla massa in funzione del tempo ed il suo modulo massimo; d) la durata dell interazione con la molla; e) l impulso totale fornito dalla forza elastica della molla. f) Si ricalcolino i valori numerici delle grandezze fisiche determinate nelle precedenti domande per una costante elastica della molla K = 100 K, e si consideri il loro comportamento uando la costante elastica della molla tende all infinito. v 0

8 20) Una massa m = 125 gr si muove su un piano orizzontale scabro, ed il coefficiente di attrito relativo è m = Ad un determinato istante, in cui la sua velocità è v 0 = 1 m/s, essa entra in contatto con l estremo libero di una molla, orizzontale, di costante elastica K = 1 N/m fissata ad una parete. Determinare: a) la massima compressione della molla; b) il massimo valore dellla velocità v 0 per cui la massa m, una volta raggiunta la posizione di massima compressione della molla, rimane ferma in uel punto; c) l energia dissipata; d) la forza esercitata dalla molla sulla massa in funzione del tempo; e) il tempo necessario a raggiungere la massima compressione della molla; f) l impulso totale fornito alla massa m e uello della sola forza elastica della molla. g) Si consideri il comportamento delle grandezze fisiche determinate nelle precedenti domande uando la costante elastica della molla e il coefficiente di attrito tendono all infinito, in modo tale però che il rapporto m/(k) 0.5 rimanga costante. 21) Due blocchi di massa m 1 e m 2 si muovono lungo una guida rettilinea orizzontale liscia con velocità rispettivamente v 10 e v 20 (v 20 < v 10 ) in modo tale che vadano a scontrarsi fra di loro. Al blocco di massa m 2 è attaccata una molla di costante elastica K. Calcolare: a) la velocità del centro di massa del sistema prima e dopo l interazione dei due blocchi; b) l energia cinetica relativa al centro di massa prima e dopo l interazione dei due blocchi e nell istante di massima compressione della molla; c) la massima compressione della molla d) le velocità dei due blocchi al termine della loro interazione. e) Nel caso in cui, raggiunta la massima compressione della molla, i due blocchi rimangano agganciati fra loro in uesta posizione, calcolare la loro velocità e l energia cinetica dissipata. f) Si discutano i risultati delle precedenti domande nel caso particolare in cui la massa m 2 è inizialmente ferma. g) Si discutano i risultati delle domande precedenti per il caso particolare m 1 = m 2 = m. h) Si discutano i risultati delle precedenti domande c) e d) nel limite (m 2 / m 1 ) >> 1. v 10 v 20 22) Due blocchi di massa m 1 e m 2 sono poggiati su un piano orizzontale liscio e collegati tra loro tramite una molla di costante elastica K = 30 N/m. I due blocchi vengono avvicinati fra loro, comprimendo la molla di una uantità x 0 = 4 cm, e uindi essi vengono rilasciati da fermi. a) Determinare l ampiezza delle successive oscillazioni delle due masse e il relativo periodo in funzione di m 1 e m 2 ed infine l euazione oraria per i corpi 1 e 2. b) Determinare l ampiezza delle successive oscillazioni delle due masse e il relativo periodo per m 1 = m 2 = m = 150 gr. 1 2

9 23) Una pallina di massa m = 250 gr, appesa ad una corda di lunghezza l = 80 cm, sospesa ad un sostegno O, è abbandonata da una posizione orizzontale con velocità nulla. Nel punto più basso della traiettoria la pallina urta un blocco di massa M = 400 gr ferma su un piano orizzontale scabro. a) Supposto l urto completamente elastico calcolare la uota a cui arriva la pallina dopo l urto e, sapendo che il blocco si arresta dopo aver percorso una distanza L = 2.2 m, il coefficiente di attrito fra piano e blocco. b) Supposto l urto completamente anelastico calcolare il moto successivo del pendolo. d) Dire che cosa cambia nella soluzione del problema se la funicella viene sostituita da un asticella di uguale lunghezza. O 24) Un fucile di massa M = 5 Kg, la cui canna è lunga l = 70 cm, spara un proiettile di massa m = 15 gr contro un blocco di massa m = 0.8 Kg posto su un piano orizzontale liscio e collegato ad una molla di costante elastica K = 2.5 kn/m. Il proiettile si arresta penetrando dentro il blocco e si osserva che la compressione massima della molla, in conseguenza dell urto, è pari a X = 7.5 cm. Supposta nulla l energia dissipata in calore durante i vari processi calcolare: a) la velocità del proiettile, dopo l espulsione, e la velocità di rinculo del fucile; b) l energia sprigionata dall esplosivo; c) la forza media che deve essere esercitata sul calcio del fucile per tenerlo fermo e la durata della fase di espulsione del proiettile dalla canna del fucile; nel calcolo si suppongano costanti le forze in gioco durante uesta fase. 25) Un cuneo, a forma di triangolo rettangolo di altezza h = 50 cm la cui ipotenusa forma un angolo = 30 con l orizzontale, ha massa M = 10 Kg e poggia su un piano orizzontale liscio. Un piccolo blocco di massa m = 2 Kg viene appoggiato sul

10 punto più alto del cuneo. Si suppone che non vi sia attrito fra il blocchetto ed il cuneo, e che il sistema sia abbandonato da fermo nella configurazione iniziale. Calcolare: a) lo spostamento subito dal cuneo uando il blocchetto raggiunge il fondo del cuneo; b) la velocità del cuneo e del blocchetto nello stesso istante; c) la traiettoria del blocchetto; d) il lavoro compiuto dalle forze agenti sul cuneo. h

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