Lezione 3. Gruppi risolubili.

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1 Lezoe 3 Prerequst: Lezo 1 2 Class d cougo e cetralzzat rupp rsolubl I questo captolo troducamo ua ozoe che come vedremo seguto fuge da raccordo tra la teora de grupp e la teora de camp Defzoe 31 Dato u gruppo moltplcatvo s dce gruppo de commutator (o ache gruppo dervato) d l seguete sottogruppo d (1) ' xyx 1 y 1 x y Rcorsvamete s defsce per og tero > 1 l -esmo gruppo dervato d : (0) Per covezoe s poe ache ( ) ( 1) ( ) Nota L elemeto 1 1 y xyx s dce commutatore Lo s deota ache co [ x y] Osservazoe 32 a) ha che ' {1 } se e solo se è abelao b) e è u sottogruppo d allora per og 1 dall Osservazoe 18 per duzoe () è u sottogruppo d () Cò s deduce Defzoe 33 Il gruppo s dce rsoluble se e solo se per qualche tero 0 baale () è l gruppo Dall'Osservazoe 32 b) segue mmedatamete Proposzoe 34 Og sottogruppo d u gruppo rsoluble è rsoluble Proposzoe 35 ' è u sottogruppo ormale d Dmostrazoe: ao g x y Allora gxyx y g gxg gyg gx g gy g gxg gyg gxg gyg ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ' I vrtù della Proposzoe 17 cò basta per cocludere

2 Proposzoe 36 a u sottogruppo ormale d Allora l gruppo quozete solo se ' Dmostrazoe: uppoamo che sa abelao Allora per og x y s ha che xy xy yx yx da cu egue che ' Vceversa suppoamo che ' ao x y Allora 1 1 xyx y è abelao se e xy xy yxy x xy yx y x xy yx yx ( ) ( ) egue che è abelao Osservazoe 37 I altr term l gruppo dervato è l pù pccolo sottogruppo ormale tale che l corrspodete gruppo quozete è abelao Qud ad esempo 3' A3 Dalla Defzoe 31 e dalla Proposzoe 36 cocludamo che la ozoe d gruppo dervato forsce ua successoe ( 1) (2) cu og gruppo è sottogruppo ormale del precedete (sere ormale) ed oltre l quozete d due grupp cosecutv è u gruppo abelao Questa successoe a volte terma co l sottogruppo baale Proposzoe 38 U gruppo moltplcatvo è rsoluble se e solo se esste ua successoe { } tale che per og dce 0 1 l gruppo quozete +1 è abelao Dmostrazoe: Ua delle due mplcazo è ota Per provare l altra suppoamo che essta ua successoe del tpo dcato Essedo per potes abelao vrtù della Proposzoe 36 (1) 1 Dato u dce { 0 1} ( + 1) ' Essedo +1 fta s coclude così che 1 se allora per l Osservazoe 32 b) ' + 1 ( + 1) abelao segue che Duque Per duzoe ( ) ( ) da cu { 1 } + 1

3 Cò prova che è rsoluble Proposzoe 39 a u sottogruppo ormale d Allora è rsoluble se e solo se lo soo e I partcolare og sottogruppo (ormale) ed og gruppo quozete d u gruppo rsoluble soo rsolubl ( ) Dmostrazoe: a rsoluble co { 1 } Allora è rsoluble vrtù della Proposzoe 34 (lo è og sottogruppo d ) a per og 0 partcolare 0 ( ) ( 1) può provare che qud per l Teorema d corrspodeza per grupp (ved Algebra 2 Teorema 92) segue che ove { } Ife vrtù del Teorema 22 ove vrtù del Teorema 24 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( Essedo 1) ' dalla Proposzoe 36 segue che ( 1) 1 ( 1) è abelao Co cò vrtù della Proposzoe 38 è provato che è rsoluble Vceversa suppoamo che e sao rsolubl Esstoo allora due successo { } { } m m cu quozet d due grupp cosecutv soo abela e e rcava ua successoe

4 { } m 1 m 1 ove per l Teorema 22 rsoluble è abelao Dalla Proposzoe 38 s deduce che è Osservazoe 310 I base alla Defzoe 33 ed all'osservazoe 32 og gruppo abelao è rsoluble I geerale però l calcolo de grupp dervat appare poco agevole e dffcle è qud determare se u dato gruppo è rsoluble Le Proposzo 38 e 39 possoo però facltarc l compto Cò rsulterà subto evdete dallo studo della rsolubltà de grupp smmetrc che c apprestamo ad effettuare Proposzoe 311 Per og 3 ' A Dmostrazoe: Poché A ha orde 2 è u gruppo abelao Qud vrtù della Proposzoe 36 ' A Per dmostrare l clusoe cotrara vrtù dell Eserczo 16 b) basta provare che og 3-cclo d è u commutatore I effett per og tera d dc j k dstt s ha: ( jk ) ( j)( k)( j)( k) Corollaro 312 I grupp 3 e 4 soo rsolubl Dmostrazoe: hao le sere ormal: A 3 3 { d} 4 4 { d} A V dove V dca l gruppo d le: V { d(12)(34)(13)(24)(14)(23) } I quozet de grupp cosecutv soo tutt abela perché soo d orde 2 3 oppure 4 La stuazoe camba radcalmete per grupp smmetrc d orde superore Lo dmostramo var pass Lemma 313 I 3-ccl d 5 soo a due a due cougat A 5 Dmostrazoe: a α (123) Detto C ( ) l cetralzzate d α 5 e detta Co 5 la sua classe 5 α d cougo 5 s ha base a quato vsto Algebra 2 Lezoe 7 e vrtù del Teorema d Lagrage (ved Algebra 2 Teorema 42) Co 5 5 : C da cu C C 5

5 D altra parte seguet elemet commutao co α: d (123) (45) (132) (123)(45) (132)(45) Qud quest soo tutt e sol gl elemet d C ( ) L seme C ( ) s rcava prelevado da quest elemet le permutazo par: C A5 5 α { d (123) (132)} A 5 α egue che Co A5 C A A Qud Co A Co ( ) come volevas α 5 5 **Teorema 314 (alos-jorda) Per og 5 l gruppo A o ha sottogrupp ormal propr o baal Dmostrazoe: Provamo l eucato solo per 5 a u sottogruppo ormale o baale d A 5 Provamo che ad appartee u 3-cclo I vrtù del Lemma 313 e dall Eserczo 16 b) da cò segurà che A 5 a α α d e o sa α u 3-cclo Allora le strutture cclche possbl per α soo (22) e (5) uppoamo per fssare le dee che α (12)(34) Allora se β (12)(35) ad appartee 1 α βαβ (12)(45)(12)(34) (354) e vece α (12345) allora posto β (254) ad appartee 1 βαβ α (143) Cò coclude la dmostrazoe per l caso 5 La dmostrazoe completa s trova ad esempo [] Proposto 358 Corollaro 315 Per og 5 A è l solo sottogruppo ormale propro o baale d Dmostrazoe: a u sottogruppo ormale propro o baale d Allora A è u sottogruppo ormale d A Qud vrtù del Teorema 314 A { d} oppure A A Nel secodo caso A e qud A da cu la tes Dmostramo che l prmo caso è da escludere

6 uppoamo per assurdo che sa A { d} l Teorema 24 s avrebbe Allora o è coteuto A qud A Per A A A da cu 2 a { dσ } Allora la classe d cougo d σ sarebbe { } mpossble essedo σ d σ ma cò è Nota U gruppo prvo d sottogrupp ormal propr o baal s dce semplce La classfcazoe d tutt grupp semplc ft (tra cu s trovao come abbamo vsto grupp alter d orde maggore d 5) è stata a lugo u problema rrsolto L arduo compto è stato completato ell arco d u treteo (dagl a cquata agl a ottata) ed è attualmete fase d revsoe Corollaro 316 Il gruppo è rsoluble se e solo se 4 Dmostrazoe: I grupp 1 e 2 soo abela qud rsolubl grupp 3 e 4 soo rsolubl base al Corollaro 312 Per og 5 l gruppo ha u sottogruppo somorfo a 5 Dalla Proposzoe 311 (2) e dal Teorema 314 s deduce faclmete che 5 o è rsoluble: fatt A ' A e qud ( k ) A per og k 2 I vrtù della Proposzoe 34 segue che o è rsoluble se 5 Eserczo 317* Dre se l gruppo D 4 è rsoluble A volte la rsolubltà d u gruppo è determata dal suo orde Teorema 318 a p u umero prmo U gruppo d orde p è rsoluble Dmostrazoe: a u gruppo d orde p Procedamo per duzoe su e { 01} allora è abelao e qud rsoluble a allora >1 I vrtù del Lemma 88 d Algebra 2 Z() è o baale e è abelao allora è rsoluble Altrmet Z( ) Allora Z() e / Z( ) soo grupp d ord del tpo p m co m< Per l potes duttva ess soo duque rsolubl La tes segue pertato dalla Proposzoe 39 A questo crtero se e aggugoo altr due che damo d seguto seza dmostrazoe Proposzoe 319 U gruppo l cu orde è prodotto d fattor prm dstt è rsoluble **Teorema 320 (Bursde) ao p q umer prm U gruppo d orde h q k p è rsoluble Dmostrazoe: [I] Theorem 2824 Cocludamo co u famoso e dffcle rsultato: Teorema 321 (Fet-Thompso) U gruppo d orde dspar è rsoluble