Gestione della produzione e della supply chain Logistica distributiva. Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Siena

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1 Gestone della produzone e della supply chan Logstca dstrbutva Paolo Dett Dpartmento d Ingegnera dell Informazone Unverstà d Sena

2 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Convergenza dell algortmo Se non s mpongono partcolar condzon su come sceglere gl arch entrant ed uscent l smplesso su ret può non termnare n un numero fnto d terazon Il problema s ha n caso d degenerazone: l operazone d passare da un albero rcoprente ad un altro è detta operazone d pvot. Un operazone d pvot s dce degenere se l ncremento d flusso nel cclo d pvot è. S not che cò può accadere solo se l albero rcoprente è degenere (non tutt gl arch nell albero sono lber). In quest cas l algortmo potrebbe entrare n un cclo nfnto d operazon d pvot degener.

3 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Convergenza dell algortmo Ad ogn cclo d pvot non degenere l valore della funzone obettvo dmnusce d c kl δ dove (kl) è l arco entrante e δ> l ncremento (o decremento) d flusso lungo l cclo. Per cu se l problema ha soluzone ottma fnta l numero d ccl d pvot non degener è fnto e l algortmo termna. Il numero d ccl d pvot degener può essere però nfnto.

4 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Convergenza dell algortmo Questo fenomeno d cclaggo può essere evtato se durante l algortmo s utlzzano partcolar alber rcoprent chamat alber rcoprent fortemente conness (strongly feasble spannng trees) Defnzon (equvalent) d albero rcoprente fortemente connesso:. Un albero rcoprente è fortemente connesso se ogn arco con flusso uguale al lower bound punta verso l nodo radce (nodo ) e se ogn arco con flusso uguale all upper bound punta n verso opposto. Un albero rcoprente è fortemente connesso se a partre da ogn nodo è possble nvare un flusso postvo verso l nodo radce utlzzando solo gl arch dell albero e senza volare bound sugl arch.

5 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Defnzon (equvalent) d albero rcoprente fortemente connesso. Un albero rcoprente è fortemente connesso se ogn arco con flusso uguale al lower bound punta verso l nodo radce (nodo ) e se ogn arco con flusso uguale all upper bound punta n verso opposto. Un albero rcoprente è fortemente connesso se a partre da ogn nodo è possble nvare un flusso postvo verso l nodo radce utlzzando solo gl arch dell albero e senza volare bound sugl arch. (3) () (33) (36) 3 4 (3) 6 (34) () (x u ) l albero non fortemente connesso () () (3) 3 4 (66) (3) (4) 7 8 (46) () 9 6 7

6 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Supponendo che fra ogn coppa d nod essta un cammno dretto n cu ogn arco ha capactà nfnta e sceglendo una struttura ad albero nzale nel modo seguente: aggung n T l arco ( ) a capactà nfnta se l nodo è un nodo forntore (a()>) o d transto a()b() con un flusso par a a() aggung n T l arco ( ) a capactà nfnta se l nodo è un nodo domanda (b()>) con un flusso par a b() nsersc tutt gl altr arch nell nseme L (a flusso nullo) l nseme U è vuoto s ottene un albero rcoprente fortemente connesso S not che un albero rcoprente non degenere è fortemente connesso

7 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Durante un operazone d pvot la seguente regola d selezone dell arco uscente permette d passare da un albero rcoprente fortemente connesso ad un altro Selezone arco uscente L arco uscente da selezonare è l ultmo arco blockng ncontrato vstando l cclo d pvot secondo l orentamento del cclo a partre dal nodo apce (3) () (33) (36) 3 4 (3) 6 (34) () (x u ) l (3) () (33) (36) 3 4 (3) 6 (34) () Nodo apce Cclo d pvot (degenere) 7 8 (46) () (46) () 9 ()

8 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Selezone arco uscente L arco uscente da selezonare è l ultmo arco blockng ncontrato vstando l cclo d pvot secondo l orentamento del cclo a partre dal nodo apce (x u ) (3) (36) (33) (3) 3 4 (34) Nodo apce arch blockng: (3) e (7) arco selezonato: (7) () 6 () Cclo d pvot (degenere) Il flusso lungo l cclo non vara 7 8 (46) () 9 ()

9 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Il nuovo albero rcoprente è fortemente connesso. Infatt: (x u ) (3) (46) (33) (36) Nodo apce Arch d W : poché (7) è l ultmo arco blockng è possble nvare flusso postvo sugl arch d W verso l nodo radce Per gl arch d W valgono le seguent (3) consderazon: ) Se l cclo d pvot non era degenere allora è stato nvato un flusso postvo W W k () l (34) 6 () () lungo gl arch d W. Tale flusso può ora essere rnvato ndetro verso l nodo radce; ) Se l cclo d pvot era degenere allora nessun flusso è stato modfcato nel cclo (e nell albero). Qund se prma dagl arch d W s poteva nvare flusso postvo verso la radce lo s può fare anche ora. c.d.d.

10 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Convergenza dell algortmo Ad ogn cclo d pvot non degenere l valore della funzone obettvo dmnusce d c kl δ dove (kl) è l arco entrante e δ> l ncremento d flusso lungo l cclo. Per cu se l problema ha soluzone ottma fnta l numero d ccl d pvot non degener è fnto Con alber rcoprent fortemente conness è possble mostrare che l Con alber rcoprent fortemente conness è possble mostrare che l numero d ccl d pvot degener che s hanno tra due ccl d pvot non degener è fnto.

11 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Convergenza dell algortmo Supponamo che l arco entrante (kl) abba c kl < e che entr con un valore del flusso par al lower bound generando un cclo d pvot degenere. Poché l albero d partenza è fortemente connesso posso nvare flusso attraverso gl arch dell albero da ogn nodo verso la radce. (x u ) (3) () (46) (33) (36) 3 4 (3) () k l (34) () () Nodo apce D conseguenza se l cclo è degenere l arco (blockng) uscente deve trovars necessaramente tra l nodo apce ed l nodo k. Nell esempo esce l arco (7).

12 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Convergenza dell algortmo S not che la rmozone dell arco (7) partzona nod dell albero d partenza n due sottoalber: T {3468} che contene la radce e T {79}. (x u ) (3) (33) (36) (3) 3 4 (34) Calcolo de nuov potenzal a nod: c c π ( ) + ( ) ( ) ' π La preservazone della condzone π ( ) Implca che potenzal de nod n T non cambno mentre potenzal de nod n T subscono una rduzone d c kl. T () 6 () 7 8 (46) () 9 () k l

13 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Convergenza dell algortmo In ogn cclo degenere con c kl < qund potenzal de nod possono solo dmnure. Dato che l potenzale d un nodo è un valore ntero e non può scendere sotto nc con C max ( ) A { c } e n V abbamo che l numero d ccl degener è fnto. (x u ) (3) (33) (36) (3) 3 4 (34) 6 () () 7 8 (46) () 9 () k l π ( ) S può dmostrare nfatt che se l potenzale del nodo k rappresenta l costo per nvare una untà d flusso dal nodo al nodo k lungo gl arch dell albero. Tale valore non può essere nferore ad nc.

14 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Convergenza dell algortmo L argomento s può applcare anche se l arco entrante (kl) ha c kl > ed entra con un valore del flusso par all upper bound generando un cclo d pvot degenere. In questo caso l ragonamento s può rpetere nvertendo l senso d percorrenza del cclo. (x u ) (3) (33) (36) (3) 3 4 (34) Anche n questo caso s dmostra che potenzal de nod possono solo dmnure. () 6 () 7 8 (46) () 9 () k l

15 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Complesstà del smplesso su ret Sebbene non essta una versone polnomale del smplesso su ret esstono delle varant dell algortmo come l smplesso su ret duale (che mpega O(m 3 log n) operazon con m A e n V ) che sono polnomal nella dmensone dell stanza. Esstono noltre molt altr algortm che consentono d rsolvere un problema d flusso su ret a costo mnmo n tempo polnomale.

16 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Connesson con l algortmo del smplesso per la Programmazone Lneare un problema d flusso su ret a costo mnmo può formulars come l problema d PL P: mn c T x Ax x L algortmo del smplesso passa da una soluzone d base (vertce del poledro) ad un altra fn quando non raggunge una soluzone ottma (se esste). Una soluzone d base per P è defnta da tre nsem (H L U) dove: - H è l nseme delle varabl n base; - L è l nseme delle varabl fuor base l cu valore è par al lower bound; - U è l nseme delle varabl fuor base l cu valore è par all upper bound. u x l b

17 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Connesson con l algortmo del smplesso per la Programmazone Lneare E possble mostrare la corrspondenza uno-ad-uno tra soluzon d base e alber rcoprent della rete G Ogn colonna della matrce A è assocata ad un arco d G ed è della forma A e e dove e... S not che le rghe d A sono lnearmente dpendent la matrce A ha qund al massmo rango V -

18 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Corrspondenza tra alber rcoprent d G e soluzon d base della matrce A Sa T un albero rcoprente d G 3 4 B 3 4 () (3) (3) (4) Ordnamo nod (coè le rghe della matrce) secondo l ordne nverso dato dalla vsta n profondtà dell albero (a partre dal nodo radce). S not che n tale ordnamento ogn nodo appare prma de suo predecessor. Gl arch sono ordnat vstando nod secondo l ordnamento sopra rportato e per ogn nodo selezonando l unco arco ncdente ad esso sul cammno verso l nodo radce

19 4 3 (4) (3) (3) () B Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret 3 4 Nuovo ordnamento de nod: Nuovo ordnamento degl arch: (4) - () - (3) - (3) Nota: la matrce B (senza la rga ) è una matrce trangolare nferore 3 4 (3) (3) () (4) ' B

20 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Il procedmento vale n generale Le rghe e le colonne d una matrce d ncdenza nod-arch relatva ad un albero rcoprente possono essere rordnate per ottenere una matrce trangolare nferore. Infatt: Sa T un albero rcoprente sa un nodo e sa l predecessore d nel cammno mnmo dalla radce al nodo. Supponamo che () sa n T (supponamo che () sa n T ). L ordnamento de nod asscura che è vstato dopo. Qund la colonna A avrà (avrà -) n rga r corrspondente al nodo ed un - (un ) n una rga dopo r corrspondente al nodo. c.d.d. Il determnante d una matrce trangolare nferore è par al prodotto degl element della dagonale prncpale (che nel nostro caso sono o ) Qund: det( B' ) ± coè B è una base d A

21 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Corrspondenza tra soluzon d base della matrce A e alber rcoprent d G Data una soluzone d base sa B la base d A corrspondente. Ogn base B d A ha V - colonne che corrspondono ad V - arch d G Sa G l sottografo d G formato da quest V - arch. Per assurdo supponamo che G contenga un cclo W. Dato un senso d percorrenza del cclo sa W l nseme degl arch concord e sa W l nseme degl arch dscord con tale senso d percorrenza. S ha Che è assurdo perché le colonne d B sono ln. Indpendent. Qund una base d A corrsponde ad un albero rcoprente. Esempo: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( W W W W e e e e A A 3 4 (3) (34) (4) () +

22 Un algortmo per l flusso su ret a costo mnmo: l smplesso su ret Corrspondenza tra test d ottmaltà Nel metodo del smplesso l test d ottmaltà s basa sul calcolo de cost rdott: Per un problema d flusso a costo mnmo s ha che T B A B c c c e e A E ponendo S ottene Rcordando che è l vettore ottmo delle varabl dual abbamo che potenzal a nod e le varabl dual concdono e e A B c T B T π T B c c A B c c c ' ) ( ) ( + π π B c y T B T