Tre esempi di sistemi di congestione. Analisi delle loro simulazioni in linguaggio Simula

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1 Tre esempi di sistemi di congestione Analisi delle loro simulazioni in linguaggio Simula

2 Generalità introduttive Una larga classe di sistemi reali : Sistemi di produzione Sistemi di traffico e di comunicazione Sistemi informativi può essere schematizzata come un sistema più o meno complesso di code formate da unità in arrivo a una o più stazioni di servizi.

3 Generalità introduttive Un problema di code è essenzialmente un problema di bilanciamento di costo marginale delle attese con il costo del grado di utilizzazione per tutte le stazioni di servizio del sistema I costi associati all attesa includono la perdita di clienti, l immobilizzazione dei capitali, il deterioramento dei materiali, il costo di immagazzinaggio, ecc I costi associati all utilizzazione riguardano i tempi di inattività dei serventi. Minimizzare le attese significa usare serventi veloci, e i serventi veloci restano spesso inutilizzati.

4 Generalità introduttive Generalmente non esistono tecniche analitiche per il bilanciamento dei costi di attesa e di utilizzazione per sistemi complessi ad uno o più serventi variamente connessi L approssimazione delle condizioni che conducono ad un bilanciamento ottimo, si possono ottenere costruendo un modello di simulazione che prevede la raccolta di statistiche quali: il tempo medio di attesa in coda Il numero medio di utenti in coda Il tempo medio di utilizzazione dei serventi

5 Generalità introduttive Un sistema di congestione si può rappresentare mediante: 1) un insieme di sorgenti di arrivo o di ingresso, 2) un insieme di file di attesa o di code 3) un insieme di serventi o canali La precedente schematizzazione apparentemente può sembrare dare origine a numerosi modelli. In realtà essa conduce a due tipi basilari di sistemi:

6 Generalità introduttive Sorgente singola che alimenta una coda singola che a sua volta alimenta un unico canale (sistemi a canale singolo) Sorgente singola che alimenta una coda singola che a sua volta alimenta più canali (sistemi a canali paralleli).

7 Configurazione degli arrivi e dei servizi La più semplice sorgente di arrivi è quella che genera unità a intervalli costanti; in tal caso se anche i tempi di servizio sono costanti è facile determinare la condizione sotto cui si forma una coda. Se invece la sorgente di arrivi e/o i canali sono caratterizzati da distribuzioni di probabilità, allora la lunghezza delle code è a sua volta descritta da una legge stocastica che va determinata teoricamente o mediante la simulazione al calcolatore.

8 Configurazione degli arrivi e dei servizi In genere la sorgente degli arrivi è descritta in termini di tempo di interarrivo ta o dall intervallo tra due arrivi successivi. Questa è una variabile aleatoria con una certa funzione densità e una funzione cumulativa. Il suo valore medio Ta=E(ta ) è detto tempo medio di interarrivo. Il valore λ =1/Ta è detto frequenza media degli arrivi o numero medio di arrivi per unità di tempo

9 Configurazione degli arrivi e dei servizi Analogamente un canale è descritto in termini del tempo di servizio ts richiesto dalle unità in arrivo. Anch esso è una variabile aleatoria con una certa densità e distribuzione. Il valore medio Ts =E(ts) è detto tempo medio di servizio Il valore µ =1/ Ts è detto frequenza media di servizio per un canale occupato con continuità Importante è il fattore di utilizzazione del canale ρ= λ /µ = λ Ts

10 Configurazione degli arrivi e dei servizi Diversi sono i generatori di variabili aleatorie adatte a simulare dispositivi di arrivo o di servizio. Alcuni sono caratteristici delle sorgenti di arrivo, altri dei canali, altri sono intercambiabili.

11 Generatore poissoniano ed esponenziale La distribuzione di Poisson è legata ad eventi indipendenti ed equiprobabili. Il processo stocastico che descrive meglio gli arrivi all interno di un sistema è quello detto delle richieste individualmente e collettivamente random: in esso si assume l esistenza di un grande numero di sorgenti, ciascuna con una piccola probabilità di richiesta in modo che la probabilità totale sia costante

12 Generatore poissoniano ed esponenziale Secondo la distribuzione di Poisson, la probabilità che si verifichino n arrivi in un intervallo di tempo t è data da pt(n)=(λt)^n exp(λt) / n! con media E(n)= λt e varianza σ2 (n)= λt

13 Generatore poissoniano ed esponenziale Il tempo di interarrivo ta compreso tra due arrivi poissoniani è distribuito con legge esponenziale. Questa legge è usata spesso per caratterizzare il tempo di servizio ts prestato dal canale. Detta t la variabile aleatoria, la densità esponenziale è data da f(t)=λexp(-λt) con media E(t)= 1/λ= Ta e varianza σ2 (t)= 1/λ^2

14 Generatore poissoniano ed esponenziale La costante λ ha le dimensioni di una frequenza (1/t). Se quindi si interpreta t come tempo di interarrivi ta, λ sarà la frequenza media degli arrivi, e 1/λ il tempo medio di interarrivo Ta Analogamente se t rappresenta il tempo di servizio

15 Valutazione dei sistemi di congestione Consideriamo ora una veloce descrizione di alcuni metodi utili per una valutazione sommaria di un sistema che deve essere simulato. L analisi sarà limitata ad alcuni aspetti caratteristici dei sistemi a canale semplice e multiplo, e delle discipline di servizio. La notazione classica che si utilizza in teoria delle cose per indicare un sistema con distribuzione di arrivi A, distribuzione di servizi B avente m canali è la seguente: A/B/m

16 Valutazione dei sistemi di congestione I simboli normalmente utilizzati per denotare il tipo di distribuzioni sono M,D,G ed il loro significato è il seguente: M (Markov) sta per distribuzione esponenziale D per distribuzione deterministica G per distribuzione generale

17 Per caratterizzare un sistema a canale singolo oltre ai tempi di interarrivo e di servizio si introducono: - w il numero di unità presenti nella coda ad un certo istante; - q il numero delle unità presenti nel sistema ad un certo istante(cioè la somma delle unità in attesa e di quelle nei serventi) - tw il tempo che un unità spende in attesa prima di ricevere un servizio - tq il tempo totale che una unità spende nel sistema Sistema a canale singolo (M/G/1)

18 Sistema a canale singolo (M/G/1) Le precedenti variabili aleatorie (in termini di distribuzione di probabilità e di parametri principali quali media e varianza) sono quelle che devono essere analizzate durante una simulazioni. Poiché tq= tw+ts si ha E(tq)=E(tw)+E(ts) Se λ è il numero medio di arrivi per unità di tempo per il teorema di Little E(w)= λe(tw) ed E(q)= λe(tq)

19 Sistema a canale singolo (M/G/1) Se ρ è il coefficiente di utilizzazione del canale risulta che ρ = λe(tq) e E(q)=E(w)+ ρ Inoltre dalla teoria dei sistemi a canale singolo vale il teorema di Pollaczek (per qualunque distribuzione del tempo di servizio e con arrivi poissoniani)

20 Sistema a canale singolo (M/G/1) La relazione di Pollaczek vale anche qualunque sia la disciplina di servizio (cioè il criterio con il quale si decide quale è la prossima unità da estrarre dalla coda per il servizio) purché essa non dipenda dal tempo di servizio

21 Discipline di servizio Esempi di discipline di servizio indipendenti dal tempo di servizio (o disciplina di orientamento) sono: FIFO first in first out LIFO last in first out RAND scelta a caso di un utente da servire

22 Discipline di servizio Un esempio diverso di disciplina di servizio è quella in cui ad un utente in arrivo viene associato un diritto di priorità che può essere utilizzato come criterio di selezione nel servizio. Un criterio di priorità che per esempio faccia selezionare gli utenti in modo da servire prima quelli che richiedono un servizio più lungo costituisce una disciplina dipendente dal tempo di servizio ed invalida il risultato di Pollaczek

23 Sistemi a canale multiplo Accanto allo schema a canale singolo esistono altri tipi di configurazioni: 1) Schemi a canali multipli paralleli, in cui un certo numero di serventi identici fornisce lo stesso tipo di servizio alle unità in arrivo, che vengono servite indifferentemente dall uno o dall altro canale 2) Schemi con code in serie o in tandem, ove esiste un certo numero di serventi che devono essere visitati, l uno dopo l altro, da ciascuna delle unità in arrivo 3) Schemi generali di reti di canali che consistono in interconnessioni arbitrarie di canali in serie o in parallelo, che devono essere tutti o in parte visitati dalle unità in arrivo

24 Canali in parallelo (M/M/m) In questo modello di canale esiste un unica coda ove arrivano utenti con frequenza media λ, ed m canali di servizio identici con tempo medio di servizio 1/µ. Se ogni utente prescelto per il servizio può essere assegnato, con uguale probabilità, ad uno qualunque dei canali liberi il flusso degli arrivi a ciascun canale è dato da λ/m

25 Rappresentazione del modello di simulazione Un passo importante nella pianificazione di un esperimento di simulazione è costituito dalla formulazione analitica del modello alla base del programma di simulazione. In genere si distinguono i seguenti elementi: 1) Il processo stocastico da studiare 2) I parametri e le caratteristiche operative (per esempio le distribuzioni di probabilità delle varie classi o delle v.a. introdotte nel processo in studio)

26 Rappresentazione del modello di simulazione 3) Gli eventi significativi per il livello di astrazione prescelto a cui va aggiunto per comodità un evento di fine simulazione, che permette di realizzare la chiusura dell esperimento 4) ) Variabili di stato dipendenti dagli eventi, possono essere ad esempio l istante di occorrenza di un determinato evento e la variabile che conta il tempo simulato

27 Rappresentazione del modello di simulazione 5) Variabili esogene e regole di generazione cioè il modo con cui devono essere generati i numeri casuali che regolano l avverarsi degli eventi di un modello, 6) Regole di transizione di stato, cioè la scelta del meccanismo di selezione del prossimo evento (avanzamento per intervalli o per eventi) 7) Regole per il calcolo delle variabili endogene

28 Rappresentazione del modello di simulazione Alla formulazione del modello segue la stesura dello schema di programma che permette di articolare le varie parti in forma completa. Nella costruzione degli esempi è stato seguito prima un approccio intuitivo per poi passare ad un approccio più completo. Raccolta statistiche elementari

29 Rappresentazione del modello di simulazione Gli schemi che vedremo rappresentano modelli di congestione ad m canali paralleli e k categorie di utenti I programmi in Simula simuleranno l analisi statistica del numero di elementi nelle varie categorie e lo stato dei canali.

30 Rappresentazione del modello di simulazione Gli schemi sono sviluppati principalmente intorno a due blocchi principali di istruzioni: Macchina degli arrivi Macchina dei servizi Conterranno il blocco per il calcolo di statistiche richiamato mediante l evento di fine simulazione

31 Modelli di congestione a m canali e k categorie di utenti Nel progettare un programma di simulazione per un modello di congestione a m canali paralleli con k categorie di utenti si prevede di analizzare: Il numero degli elementi nelle varie categorie Lo stato dei canali (per stato dei canali si intende la presenza o meno di clienti ed eventualmente il numero di clienti in coda)

32 Modelli di congestione a m canali e k categorie di utenti Le variabili di stato sono; ni= numero di utenti nella classe i ri= numero di utenti nella classe i arrivati nel sistema vj= numero degli utenti serviti dal canale j sj= stato del canale j Le variabili di stato ad un istante t saranno ni(t), ri(t), vi(t), si(t)

33 Modelli di congestione a m canali e k categorie di utenti Se sj=0 il canale j è vuoto sj=i il canale j è occupato da un utente della classe i Il processo stocastico da studiare è P(t)={n1(t), n2(t),,nk(t),s1(t), sm(t)} La priorità di servizio è quella relativa al numero di indice più piccolo e i canali occupati per primi (se liberi) saranno quelli con indici minori.

34 Modelli di congestione a m canali e k categorie di utenti I parametri caratteristici del sistema sono: La distribuzione degli arrivi Ai nella classe i La distribuzione dei servizi Sj nel canale j I tempi medi di attesa e di servizio. Gli eventi significativi sono: Gli arrivi (ei arrivo di un utente nella classe i ) Gli eventi fine-servizio (ej evento di fine servizio del canale j-k (j=k+1, k+m) L evento di fine simulazione e_(k+m+1)

35 Modelli di congestione a m canali e k categorie di utenti La lista degli eventi sarà E={e1,e2,.e_k+m+1} Le variabili di stato dipendenti dagli eventi t_e istante di occorrenza di un evento e clock tempo simulato Meccanismo di avanzamento per eventi, l evento futuro sarà il più vicino all istante attuale Se l evento è quello di fine simulazione il modello dovrà specificare come calcolare le statistiche e quali risultati far produrre al programma.