RUMORE TERMICO. Figura 1

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1 RUMORE TERMICO Un esempio molto importante di processo stocastico è costituito dal rumore termico. Come si avrà modo di illustrare nel seguito, questo ineliminabile contributo di disturbo si sovrappone alla trasmissione di un segnale che porta informazione e ne degrada le caratteristiche. In effetti, nel caso di segnali analogici la qualità di trasmissione è espressa, in generale, dal rapporto S/N tra la potenza del segnale utile e la potenza del rumore. Nel caso di segnali numerici si ha un parametro più esplicito, la cosiddetta probabilità di errore sul bit P eb che rappresenta il numero di bit (simboli binari) ricevuti, in media, non correttamente sul totale dei bit trasmessi; anche P eb, peraltro, dipende dall entità del rumore presente nel sistema e può essere espressa in funzione del rapporto S/N che caratterizza la trasmissione. In definitiva, è quindi estremamente importante definire le proprietà del rumore termico, per poter fornire metodi espliciti di valutazione del valore di N. In questa prospettiva, il rumore termico verrà ora introdotto in termini essenzialmente intuitivi, evidenziandone le peculiarità sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza, e mettendo in conto, soprattutto, le caratteristiche statistiche. Il rumore termico è dovuto all agitazione termica degli elettroni liberi nei conduttori. Gli elettroni, infatti, trovandosi ad una temperatura T diversa dallo zero assoluto (T = 0 o K è l unica condizione che consentirebbe di annullare il rumore termico) si muovono con moto caotico e disordinato 1 producendo ai capi del conduttore una differenza di potenziale osservabile, ad esempio, con un oscilloscopio ad elevata sensibilità. In termini espliciti, ciò significa che un conduttore reale deve essere rappresentato, ai fini del rumore, come un resistore ideale (privo di rumore) con in serie un generatore di tensione v(t) ovvero, il che è lo stesso, come un resistore ideale con in parallelo un generatore di corrente i(t). Le rappresentazioni equivalenti sono illustrate in Figura 1. Il passaggio dalla rappresentazione serie a quella parallelo è possibile utilizzando concetti elementari di elettrotecnica ed è giustificato dall osservazione che così come si rileva una tensione a vuoto v(t) ai capi della resistenza (l oscilloscopio di misura è infatti caratterizzato da un elevata impedenza d ingresso), per le stesse ragioni fisiche si registra una corrente i(t) = v(t)/r quando i capi del conduttore sono cortocircuitati. R (non rumorosa) R (rumorosa) v(t) i(t) R (non rumorosa) a) b) c) Figura 1 Stante la natura statistica del moto degli elettroni, la tensione v(t), che è il risultato della combinazione di molteplici contributi, è una funzione aleatoria o più propriamente, tenendo conto della presenza del tempo, un processo stocastico. E facile intuire che il valore medio di questo processo è identicamente nullo ma, essendo il valore istantaneo in generale diverso da zero, ad esso sarà associata una potenza la cui valutazione costituisce uno dei punti chiave dell analisi. Si tratta di una potenza di rumore in quanto contributo indesiderato che si sovrappone al segnale utile che può essere, ad esempio, applicato alla resistenza di carico di un circuito. 1 A rigore si tratta di un moto browniano, caso limite di un processo di passeggiate a caso. 1

2 D altro canto un rumore con caratteristiche analoghe a quelle del rumore termico è anche presente nelle reti attive, contenenti generatori controllati o indipendenti, ove esso è dovuto, oltre che all agitazione termica, anche alle fluttuazioni di corrente o di tensione dei generatori. Al contrario, sulla base di argomentazioni termodinamiche, essenzialmente riconducibili alla conservazione dell energia, si dimostra che un elemento reattivo (capacità o induttanza) non genera rumore termico; è anche vero, però, che un condensatore o un induttanza reali hanno sempre associata una componente resistiva, e sarà quest ultima la responsabile di una rumorosità in uscita dal bipolo complessivo risultante. Per lo stesso principio, un bipolo passivo comunque complesso comprendente elementi resistivi e reattivi, che presenti ai morsetti un impedenza Z(f) = R(f) + ix(f) genera rumore dovuto alla parte resistiva R(f). Tornando ora alla caratterizzazione del rumore termico, si può affermare che si tratta di un processo stazionario ed ergodico, per cui la descrizione statistica del primo ordine è fattibile sulla base dell osservazione del processo in un generico istante. Dobbiamo dunque chiederci quale sia la densità di probabilità dell'ampiezza v(t) in un generico istante. Per il fatto che la tensione di rumore è il risultato della somma di numerosissimi contributi, nessuno dei quali è dominante e che possono essere assunti, con buona approssimazione, tra loro indipendenti, è lecito applicare il teorema-limite centrale e concludere che la tensione v, per qualunque t, è una variabile gaussiana con valor medio nullo (come già osservato più sopra) e varianza σ v. Si ha dunque: f ( v) 1 v exp πσ v σ v = (1) Per completare la descrizione statistica è necessario esplicitare il valore della varianza. Essendo il valore medio uguale a zero, la varianza di v coincide con il valore quadratico medio; si ha cioè: v = v v = σ v () D altro canto, essendo il processo egodico, il valore quadratico medio coincide con la potenza del processo. In definitiva, la varianza della variabile aleatoria v può essere estratta da una valutazione di potenza. In effetti, la potenza del segnale di rumore v(t) può essere misurata, e si scopre che essa cresce proporzionalmente con: 1) il valore della resistenza R; ) il valore della temperatura assoluta T a cui si trova la resistenza; 3) il valore della banda passante B del filtro interno all apparato con cui si effettua la misura. La costante di proporzionalità è pari a 4K, dove K = J/ o K è la costante di Boltzmann. In definitiva si ha dunque: σ v = 4RB (3) Nella (3) la resistenza R è espressa in Ω, la temperatura T in o K e la banda B in Hz. Se in luogo della tensione v(t) si considera la corrente i(t) la descrizione statistica non cambia ma la varianza (e quindi la potenza) vale 4B σ i = (4) R

3 D altro canto, dal punto di vista pratico, ciò che interessa calcolare è la potenza che un conduttore rumoroso è in grado di erogare, in quanto sarà questa la misura diretta dell entità del disturbo, da confrontare con la potenza del segnale utile. Si faccia allora riferimento alla Figura, dove R rappresenta la sorgente di rumore, cui è associato il generatore di tensione v(t) o, equivalentemente, il generatore di corrente i(t), mentre R L è la resistenza di carico. R v(t) R L i(t) R R L a) b) Figura Ovviamente interessa considerare la situazione in cui si ha il massimo trasferimento di potenza. Come noto dall elettrotecnica, ciò si verifica per R = R L e la potenza corrispondente, nota come potenza disponibile istantanea, vale v ( t) Ri ( t) P n ( t) = = (5) 4R 4 Anche P n (t) è un processo stocastico, che alla stregua di v(t) e i(t) può essere assunto stazionario ergodico, e il cui valor medio, indipendente dal tempo, è pari a: v R i P n = = = B 4R 4 (6) Come è consuetudine, chiameremo P n semplicemente potenza disponibile. Una interessante, e fondamentale, caratteristica di P n è che non dipende dal valore della resistenza; resistenze di valore diverso ma che si trovino alla stessa temperatura fisica erogano la stessa rumorosità media. La (6), d altro canto, conserva la proporzionalità dalla banda B dell apparato di misura. Ricordando il legame che c è tra densità spettrale di potenza e potenza, possiamo allora concludere che lo spettro di potenza del rumore termico, espresso in W/Hz, è costante e uguale a: p ( f ) = (7) Nello scrivere la (7) si è tenuto conto del fatto che la potenza viene ricavata integrando la densità spettrale tra B e +B (rappresentazione bilatera). Alternativamente, ci si potrebbe limitare a considerare le frequenze positive (rappresentazione unilatera), nel qual caso l integrale sarebbe 3

4 esteso tra 0 e +B e in luogo della (7) si dovrebbe assumere una p(f) = (in modo da ottenere lo stesso risultato (6)). L assunzione di una densità spettrale piatta per il rumore termico è in realtà accettabile a patto di non considerare frequenze molto elevate. Se infatti si integra la (7) tra e +, presupponendo di non avere limitazioni in banda, il risultato che si ottiene è chiaramente infinito; e una potenza infinita non ha significato fisico. In realtà, in conseguenza della validità della ripartizione quantistica dell energia, la (7) dovrebbe essere, a rigore, sostituita dall espressione esatta: 1 h f p ( f ) = (8) h f exp 1 la quale mostra, come è fisicamente plausibile, un andamento decrescente. Nella (8), h rappresenta la cosiddetta costante di Planck pari a J s. L espressione corretta della p(f) può anche essere riscritta come segue: h f p( f ) = = γ ( f ) (9) h f exp 1 dove γ(f) ha il significato di correzione quantistica. Ciò che si verifica numericamente è che tale termine risulta praticamente uguale a uno per f << /h = T Hz ed in particolare a temperatura ordinaria (T = 300 o K) per f << Hz. E dunque evidente che assumere la (7) in luogo della più corretta (8) è lecito per le trasmissioni a frequenze convenzionali sia in propagazione guidata che in propagazione libera (anche per questioni di disponibilità di dispositivi commerciali, le massime frequenze di interesse per applicazioni radio sono comprese nella cosiddetta gamma EHF Extremely High Frequency, che va da 30 a 300 GHz). Il discorso cambia quando si considerano trasmissioni a frequenze ottiche: qui la frequenza è dell ordine di Hz e, corrispondentemente, la correzione quantitistica a temperatura ordinaria è dell ordine di Si può dunque concludere che il rumore termico è praticamente assente a frequenze ottiche. Nondimeno, ciò non significa che una trasmissione in fibra ottica, che avviene sempre in modulazione, sia completamente immune da questa tipologia di disturbo: al ricevitore, infatti, il segnale dovrà essere processato e riportato a frequenze elettroniche, e un contributo di rumore termico sarà inevitabilmente introdotto dai relativi circuiti. Antitrasformando la (7), si ottiene la funzione di autocorrelazione del processo. Quest ultima risulta allora una delta di Dirac allocata nell origine. Si ha cioè, esplicitamente: R ( τ ) = R( τ ) = δ ( τ ) (10) Questa è una caratteristica peculiare del rumore termico ideale che per B è in effetti un rumore bianco (tutte le frequenze sono presenti ed hanno lo stesso peso). Come conseguenza della (10), due generici campioni di rumore, n 1 e n, sono tra loro completamente incorrelati a patto che sia t 1 t. In realtà si dimostra che in questo caso particolare l incorrelazione implica la statistica indipendenza (n 1 e n sono variabili gaussiane miste). Si può dunque concludere che n 1 e n sono variabili aleatorie statisticamente indipendenti per qualunque coppia di istanti t 1 t. 4

5 Infine, val la pena rilevare che si parla di rumore termico anche per le antenne utilizzate come trasduttori nei collegamenti radio. In particolare, si definisce una temperatura di antenna T A che contribuisce a determinare la qualità dell apparato ricevente. Nondimeno T A non è necessariamente la temperatura fisica dell antenna (che tipicamente si trova a 90 o K) ma una temperatura che tiene conto del rumore termico captato. Si suol dire, a giustificare fisicamente l asserto, che la resistenza effettiva dell antenna non è una resistenza termica ma una resistenza di radiazione. Il valore di T A dipende dalla direzione di puntamento dell antenna. Se l antenna punta lo spazio profondo (come si verifica per i ponti radio via satellite artificiale) si ha un rumore termico di fondo determinato dalla densità e luminosità delle stelle nella zona di cielo puntata (ordine di grandezza: poche decine di o K). La situazione più favorevole si ha quando vengono puntate le zone con minima densità di stelle; in questo caso il valore di T A si aggira intorno ai 3 o K ed è dovuto alla radiazione residua attribuita al big bang da cui, secondo le tesi più accreditate, ha tratto origine l universo. Solo se l antenna punta in parte il terreno e in parte l atmosfera (come si verifica per i ponti radio che sfruttano la propagazione troposferica) il rumore termico è praticamente imposto dalla temperatura ambiente, e risulta quindi T A 90 o K. 5

6 ESERCIZIO Discutere le proprietà di correlazione di un rumore termico su una banda limitata B. In precedenza si è visto che il rumore termico ideale, a spettro piatto, è caratterizzato da una funzione di autocorrelazione costituita da una delta di Dirac nell origine. Ciò ha consentito di concludere che due generici campioni di rumore, n 1 e n, sono completamente incorrelati se assunti in istanti t 1 e t diversi. Se ora lo stesso rumore a spettro piatto viene limitato alle frequenze interne a una banda B (che può essere, ad esempio, la banda di un apparato ricevente in un sistema di comunicazioni) la (7) deve essere sostituita dalla seguente espressione: f B p( f ) = (11) 0 f > B la cui antitrasformata vale: sin(πbτ ) R( τ ) = R( τ ) = B (1) πbτ In accordo con questa espressione, la funzione di autocorrelazione si annulla per k τ = (13) B dove k è un intero qualsiasi (positivo o negativo) ma diverso da zero. Dunque, in uscita da un filtro passa-basso con banda B, le variabili aleatorie n 1 e n, completamente incorrelate in ingresso, restano tali solo se τ = t t 1 verifica la condizione (13). Per gli altri valori di τ le variabili n 1 e n sono invece correlate, anche se l entità della correlazione diminuisce all aumentare di τ. 6