Ricerca Operativa. G. Liuzzi. Lunedí 23 Marzo Il Metodo del Simplesso Java API Problema di Trasporto

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1 1 Lunedí 23 Marzo Istituto di Analisi dei Sistemi ed Informatica IASI - CNR

2 SHHHHH...

3 Simplesso in 2 fasi Fase I (rg(a) m) Se P non è ammissibile, STOP Altrimenti 1 elimina da (A... b) eventuali righe ridondanti rg(a) = m 2 determina una prima base ammissibile B di A Fase II (rg(a) = m, P ) 1 Se B soddisfa il CS di ottimalità, STOP 2 Se B soddisfa il CS di illimitatezza, STOP 3 Genera una nuova B base ammissibile di A. Poni B := B e vai al passo 1

4 Criterio di Ottimalità Proposizione Se γ = c N c B B 1 N 0 n m allora la SBA corrente x = (x B, x N ) = (B 1 b, 0 n m ) è ottima. N.B. Se γ > 0 n m allora x è anche l unica soluzione ottima.

5 Criterio di Illimitatezza Supponiamo che γ 0 n m ovvero che γ i < 0 per qualche i {1,..., n m}. Proposizione Se esiste un h {1,..., n m} tale che γ h < 0; Π h = (B 1 N) h 0 m allora il problema è illimitato inferiormente.

6 Il problema Ausiliario Sia dato il seguente problema originario (in forma standard di minimo) min c x Ax = b ( 0 m ) (PO) x 0 n Mediante l aggiunta di m variabili artificiali o ausiliarie α i (una per ciascuna equazione di (PO)) otteniamo il seguente problema ausiliario min z = m i=1 α i ( x Ax + I m α = A ( ) α x 0 α n+m ) = b (PA)

7 Proprietà del problema Ausiliario (PA) ha alcune interessanti proprietà: è certamente ammissibile ( x = 0 n, ᾱ = b) no illimitato inferiormente (z 0) quindi, ammette ottimo (x, α ) la matrice dei coefficienti A = (A.I m ) ha rango pieno (rg(a ) = m) ammette una prima SBA (banale) B = I m, N = A, ( α x ) ( b = (PA) può dunque essere risolto usando la fase II del metodo del simplesso 0 n )

8 Soluzione del problema Ausiliario Siano B e N, rispettivamente, le matrici delle colonne (di A ) in base e fuori base in corrispondenza della SBA ottima di (PA) e sia ( ) x ᾱ m z = e ᾱ = i=1 ᾱ i SBA ottima valore ottimo della f.o. di (PA)

9 Ammissibilità del problema Originario Teorema (PO) è ammissibile se e solo se z = 0 ovvero se e solo se ᾱ i = 0 per ogni i. Se, z > 0, ovvero ᾱ i > 0 per qualche i, allora (PO) è inammissibile quindi STOP Se, z = 0, ovvero ᾱ i = 0 per ogni i, risulta A x + I m ᾱ = A x = b quindi una soluzione ammissibile di (PO) è proprio x. Quindi (PO) è ammissibile

10 Fase I Fase II Assunzione z = 0. Ovvero (PO) è ammissibile Sia B la base ammissibile ottima del problema ausiliario (PA). 1 NO variabili artificiali nella base ottima (caso semplice) B è una base ammissibile di (PO) 2 SI variabili artificiali nella base ottima (caso difficile) è possibile derivare una base ammissibile B di (PO), eventualmente cancellando righe ridondanti da (A. b)

11 Esempio max x 1 + 2x 2 + 3x 3 x 1 + x 2 + x 3 20 x 1 3x 2 + x x1 40, x2 0, x 3 0

12 Definizione del Problema in Java 1 per RIGHE 2 per COLONNE 3 per ESPRESSIONI

13 Problema di produzione e trasporto Un industria produce due tipi di trafilati in acciaio (T1 e T2). Si possono utilizzare tre impianti produttivi (F1, F2 e F3). I prodotti devono essere inviati a due magazzini (M1 e M2).

14 Costi e tempi di lavorazione Ogni impianto è caratterizzato da costi (e) e tempi di lavorazione (h) come riportato nella tabella. F1 F2 F3 cost time cost time cost time T T h max

15 Costi di trasporto Costi (e) relativi al trasporto dagli impianti ai magazzini F1 F2 F3 M M

16 Richieste minime In ciascun magazzino è necessarfio soddisfare le seguenti richieste minime T1 T2 M M