Capitolo 13 Il modello di regressione lineare

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Capitolo 13 Il modello di regressione lineare"

Transcript

1 Captolo 3 Il modello d regressoe leare La fase pù operatva della statstca è dretta alla costruzoe d modell e coè d rappresetazo semplfcate, aalogche e ecessare della realtà attraverso le qual provare a descrvere, prevedere, smulare e cotrollare feome atural, ecoomc, socal, ecc.. Per tal faltà, assume u ruolo cetrale ell aals statstca la struttura logco-formale del modello d regressoe medate l quale s esplcta l esso fuzoale tra cò che s tede spegare (c.d. varable dpedete) e cò che può essere la causa (soltamete, defto come regressore o varable dpedete). Attraverso u modello d regressoe, possamo qud:. rassumere l legame tercorrete tra le varabl osservate (due, el caso della regressoe leare semplce e maggor d due el caso d regressoe multpla) attraverso u uca formula compatta;. effettuare e/o valutare prevso; 3. verfcare ua legge scetfca descrtta term d fuzo. Il modello d regressoe leare è uo strumeto d aals partcolarmete versatle e che, per questa ragoe, può essere dcato come uo de modell maggormete mpegato. La relazoe fuzoale può essere espressa come ( X) e Y f +

2 Defamo e come ua varable casuale che compeda l seme degl effett e delle crcostaze che mpedscoo alla relazoe appea formula d essere u legame teorco d tpo matematco: la compoete erratca stetzza, qud, la ostra goraza rspetto al feomeo che tedamo studare. L agguta della varable casuale e qualfca l modello el seso che, se f(x) è acora ua fuzoe matematca, allora sarà Y ad essere ua varable casuale rsultate dalla somma d ua compoete determstca e d ua stocastca. L aver posto e Y f( X) fuzoale f( X) come errore equvale a defre l legame Y come ua relazoe meda tra X ed Y: se e vale meda zero (e coè se E( e) scarto), avremo allora che - cosa che può drs ragoevole trattados d uo ( ) E( f( X) + e) f( X) + E( e) f( X) E Per specfcare l modello, occorre ora precsare la forma della fuzoe f () ed mporre delle relazo sulla atura e sulle prcpal caratterstche delle varabl casual e. Prma d tutto, lmtamo la fuzoe f(x) assumedo la leartà della relazoe, e coè scrvedo ( X) + h( X) f Nella teora del calcolo delle probabltà, l valore atteso (aspettazoe, attesa, meda o speraza matematca) vee usualmete dcata co la otazoe E (). Il valore atteso d ua varable casuale è u umero che formalzza l'dea eurstca d valore medo d u feomeo aleatoro. Nel lacod ua moeta, ad esempo, sappamo d vcere se scommettamo su Testa ed tale eveto s verfca e el caso verso. Il valore atteso del goco, quetso caso, è par a 5, ovvero la meda delle vcte e perdte pesata base alle probabltà (5% per etramb cas): *,5 + *,5 5, coè l valore d "testa" per la sua probabltà e l valore d "croce" per la sua probabltà.

3 dove h ( X) è ua fuzoe matematca ota della sola X o cotete ulteror parametr. La forma pù semplce ello sceglere, h ( X) X modello d regressoe leare dveta per cu l Y + X + e,,..., N Essa esprme la varable dpedete Y come ua quota proporzoale alla varable dpedete X (coè la quattà + X ) cu s agguge la compoete casuale. I term geometrc questo equvale a defre og puto come la rsultate d ua parte teorca e d ua parte stocastca. ( ; 3 3) ( ) N ; N ( ) + f f ( ) ( ; ) (, f( )) ( ; ) Fgura - Retta d regressoe ed terpolazoe de dat. 3

4 Obettvo dell aals d regressoe è quello d dvduare la retta ottmale, tededo per tale quella che è grado d mmzzare la dstaza tra put teorc e put osservat, dstaza che vee terpretata come realzzazoe ê della varable casuale e. Og varable casuale Y possede, così, ua dstrbuzoe d probabltà attoro al valore medo ( Y) + E, che rappreseta l valore sulla retta corrspodete ad X, e la cu devazoe casuale è stetzzata elle varabl casual e, per,, 3,, N. Fgura - Retta d regressoe e fuzo d destà della Y fuzoe d delta X: le dstrbuzo delle Y soo cetrate sulla retta d regressoe ed hao tutte la stessa varabltà. Che cosa sgfca questa mmage? Le varabl casual el modello d regressoe leare soo v.c. Normal doppe, fuzo d cque parametr, Ua varable casuale s dce doppa quado s rfersce alla probabltà del cotemporaeo verfcars d due evet (assuzoe d zuccher e glcema, reddto e cosumo, ecc.). 4

5 µ, µ,,, ρ, defte per < < + e < < + e la cu fuzoe d destà è f (, ) π ρ ep ( ) µ + µ µ µ +ρ ρ La Normale doppa possede ua sere d teressatssme propretà tra le qual rsulta mportate, a ostr f, rcordare la seguete: le v.c. codzoate d ua Normale doppa soo le stesse Normal e precsamete ( X Y ) è N [ µ ( ρ / )( µ ); ( )] ρ + e, aalogamete, ( Y X ) è [ µ ( ρ / )( µ ); ( )] ρ N. + Avedo, qud, posto Y come varable dpedete del ostro modello d regressoe, la retta dsegata ella fgura è apputo data da N [ µ ( ρ / )( µ ); ( )] ρ + : og puto stmato dal modello (e, qud, gacete dalla retta) s dscosta da quello osservato co ua probabltà Normale. Fatte queste dspesabl premesse, è ora ecessaro fare delle assuzo e coè delle potes seza le qual o è possble applcare l modello a dat.. Y + X + e : tale potes euca l modello da stmare e la sua valdtà per og osservazoe del campoe; 5

6 . E ( ) e : è ecessaro che gl scart postv e egatv s compeso meda (la ecesstà matematca s gustfca ache fuzoe della logca che v è alla base e coè del fatto che la compoete erratca vega cosderata accdetale el modello). Da cò dscede che, meda, le varabl casual e o eserctao alcua flueza su Y. 3. Var ( ) e varare delle osservazo. 4. ( ; ) : la varaza della compoete erratca rmae costate al Cov e e j : le varabl casual e soo tra d loro o correlate. 5. X è ua varable determstca: la quta potes (detta ache potes forte) cosdera dat relatv alla varable dpedete X come o soggett a devazo d atura accdetale. 6

7 3.. La stma de parametr: mm quadrat e massma verosmglaza. Dato l carattere prevaletemete applcatvo del modello d regressoe, tutto l captolo verrà corredato d esemp pratc ella speraza che quest possao autare l lettore a compredere la sostaza teorca e la poteza eurstca d uo de strumet pù versatl che la tatstca metta a dsposzoe della rcerca moltssm ambt dscplar. Illustramo, qud, l modello facedo rcorso ad u esempo pratco: s stud la relazoe tercorrete tra la varable X (volume delle vedte d u puto vedta) e la varable Y (prezz pratcat) a partre da dat coteut ella seguete tabella. I altr term, s vuole studare l flueza che prezz (ossa, la varable dpedete) eserctao sul volume delle vedte (c.d. varable dpedete). uppoamo d avere seguet dat TATO VOLUME VENDITE PREZZI A 4 55 B 38 6 C D 4 6 E 44 5 F G H 4 5 Tabella - Aals d marketg per l laco d u uovo prodotto. 7

8 Poché lo scopo d questo lavoro è d trodurre l lettore el vvo della rcerca operatva, rpercorramo tutte le fas dell aals che vegoo fatte elle realtà e che è bee mparare mmedatamete. Prma d procedere alla stma de parametr della retta d regressoe, è buoa orma, fatt, vedere grafcamete la dstrbuzoe de dat, che el ostro caso s presete el seguete modo: prezz pratcat volume vedte Fgura 3 - Dstrbuzoe de dat coteut ella tabella 3.. Aals d marketg per l laco d u uovo prodotto dvers put vedta. Uo degl assut alla base del modello d regressoe è la leartà del legame tra la varable dpedete ed l regressore: attraverso l aals grafca della dstrbuzoe de dat possamo mmedatamete cofermare o cofutare tale potes. Quello proposto è charamete u caso molto semplce, per l quale s tusce co u semplce colpo d occho la leartà de dat, ma o sempre (az qual ma!) la realtà s preseta modo altrettato semplce. E bee però partre da u caso meo complesso per compredere la logca sottesa al modello. Dopo l aals grafca de dat, passamo ora alla stma de parametr del modello d regressoe. I metod a dsposzoe soo due: 8

9 Mm quadrat. Massma verosmglaza. Izamo co l metodo de mm quadrat. Per compredere la flosofa alla basse d tale metodo, cosderamo l caso cu s abba ua popolazoe X co fuzoe d destà par a f ( ;ϑ) stmare) e ( X) g( ϑ), co ϑ cogto (e, qud, da E. e X,..., X è u campoe casuale estratto da X, rsulta evdetemete che ( X ) g( ϑ) E,,,: cò sgfca che, meda le osservazo campoare dvduao g ( ϑ), metre ( ),, e X g ϑ..., rappresetao gl scart casual dalla meda che s rscotrao elle osservazo. Alla luce d quato sora detto, possamo, qud, defre l metodo de mm quadrat el seguete modo: lo stmatore ϑˆ otteuto sarà tale da mmzzare ( ϑ ) e [ X g( ϑ) ] La formulazoe dcotomca appea presetata può essere, faclmete, geeralzzata al caso d pù varabl suppoedo d avere dstte popolazo (o varabl casual) Y, cascua delle qual sa fuzoe d tutt o d alcu fra gl H parametr ot a,..., a e d tutt p parametr cogt da stmare H ϑ,...,ϑ p. uppoedo, oltre, che la -ma popolazoe abba valor medo g ( a ;ϑ,..., ϑ ) a H,..., e che da cascua popolazoe vega estratto u p campoe casuale d ua sola utà, allora quello estratto dalla -ma popolazoe sarà E ( Y ) g ( a a ;ϑ,..., ϑ ) H,..., p 9

10 da cu gl scart dalla meda rsulterao par a ( a a ; ϑ,..., ), e Y g,..., H ϑ p,..., ulla scorta d quato detto e geeralzzado l espressoe ( ϑ ) e [ X g( ϑ) ], possamo dre che lo stmatore determato co l metodo de mm quadrat sarà dato da quella p-pla ϑ,...,ϑ p che mmzza la seguete espressoe ( ϑ,..., ϑ) e [ Y g( a,..., ah ; ϑ,..., ϑ p) ] I motv per cu questo metodo vee così frequetemete mpegato soo d dversa atura. Aztutto, o rchede alcu tpo d coosceza della dstrbuzoe della popolazoe (o varable casuale), cosa che rede questa tecca applcable a umerose stuazo d rlevaza pratca. Per poterla utlzzare è, fatt, suffcete cooscere solo la forma fuzoale delle g ( a ;ϑ,..., ϑ ),..., per,,,. Co gl attual calcolator a H p elettroc, oltre, la determazoe degl stmator OL dvee acora pù semplce e veloce. Ora, suppoedo d avere ua varable casuale, X, co fuzoe d destà f ( ;ϑ), E( ) ϑ e suppoedo oltre d avere u campoe estratto da X del tpo mmzzado X,..., X la stma a mm quadrat d ϑ s ottee

11 ( ϑ ) e [ X g( ϑ) ] e, coè, dervado tale espressoe rspetto al parametro cogto della popolazoe e trovado quel ϑˆ che la rede ulla e verfcado che la dervata secoda ϑˆ sa postva. I tal modo s avrà ( ϑ) d dϑ ( ) X ϑ che s aulla per ˆ ϑ / X X, metre la dervata secoda è maggore d zero. I altr term, qud, lo stmatore L d ϑ è ϑˆ X. Da u puto d vsta strettamete matematco, perché ϑ,..., ˆ ϑ è lo stmatore L, esso deve ecessaramete soddsfare l seguete sstema d p equazo p cogte [ Y g( a,..., ah ; ϑ,..., ϑ p) ]. g ( a,..., a ; ϑ,..., ϑ ), j,,..., p ϑ j H p ˆ p dette equazo ormal. Del metodo de mm quadrat esstoo due cas partcolar: l prmo, s ha el caso cu, relatvamete alla compoete erratca, s suppoga che Var Cov ( e ) ( e ; e ) j j e,..., che oltre E( e ),,...,.

12 Al rcorrere d tal caratterstche, s parla d modello d regressoe. parlerà, vece, d modello d regressoe leare el caso cu s agguga alle precedet codzo ache quella base alla quale le g ( a ;ϑ,..., ϑ ),..., a H p possao essere tutte espresse sotto forma d combazoe leare de parametr cogt e coè g p ( a ah ; ϑ,..., ϑp) h( a,..., ah),..., ϑ j j dove le h soo fuzo ote. Possamo ora stmare parametr della retta d regressoe co l metodo de mm quadrat. Per dvduare la retta che attraversa la ube delle osservazo mmzzado la compoete erratca, è fatt ecessaro stmare parametr della retta d regressoe e coè l tercetta,, ed l coeffcete agolare,, a partre da u campoe d N osservazo ( ) ( X ; Y) sotto le potes del modello d regressoe leare. Applchamo, qud, la [ ( )] Y g a,..., ah ; ϑ,..., ϑp ; delle varabl ed otteamo (, ) ( ) (, ) mmo rspetto a Le cu soluzo s rcavao da ( ) ( )

13 che, semplfcado opportuamete, s rduce al sstema d due equazo lear elle due cogte e : N+ + Tal relazo soo equazo ormal e, qud, la loro soluzoe è ˆ ˆ N ( ) N N ( ) Applchamo le formule otteute a dat presetat all zo del paragrafo. Per autare l lettore, lo svolgmeto dell eserczo verrà proposto fas, su cascua delle qual bee che l lettore rfletta attetamete. FAE : PREDIPORRE UN FOGLIO DI CALCOLO O COTRUIRE UNA TABELLA NEL EGUENTE MODO vedte prezz * () () A B C D E F G H TOT

14 FAE : CALCOLO DEI VALORI DA INERIRE NELLE FORMULE PER LA TIMA DEI PARAMETRI CON IL METODO DEI MINIMI QUADRATI. I valor da calcolare soo: MEDIA 43,75 56, , ,5 QUADR. 634, ,5 33 graze alla quale è possble calcolare 43, graze alla quale è possble calcolare 56,5 Calcolamo ora la varaza d, rcordado che essa può essere calcolata tramte la dffereza tra la meda delle quadrato della meda d 4 al quadrato meo l 57 meda d ,75 la varaza della 39 meda d 63987,5 973,44 3 La formula della meda artmetca è 4 Per la formula della meda artmetca s guard la ota precedete. N. 4

15 e la covaraza d ed, che può essere calcolata come la dffereza tra la meda de prodott d per meo l prodotto delle mede d e d 85 meda 56,5 l prodotto delle mede è 79,38 46,875 Iseramo valor otteut elle formule ˆ ˆ N ( ) N N ( ) ed otteamo che ˆ ˆ N N ( ) N ( ) 46,875,4 4843,75 ˆ ( 43,75) [ (,4)( 56,5) ] 64,5 FAE 3: DETERMINAZIONE DELLA RETTA DI REGREIONE. Avedo stmato parametr, ed essedo retta d regressoe, possamo qud otteere ˆ ˆ + ˆ X l equazoe della Y Yˆ 64,5, 4X 5

16 3.. Propretà delle stme otteute co l metodo de mm quadrat. Abbamo gà atcpato alcue delle rago che spegao la dffusoe del metodo de mm quadrat e che c autao a compredere la dffusoe. A quato precedetemete detto, va qu agguto che la retta stmata co l metodo de mm quadrat gode d alcue mportatssme propretà:. aztutto, è l uca retta che rede mma la somma de quadrat degl scart ( ; ) : o è, qud, possble trovare essu altra retta che posseda la medesma somma de quadrat, mma per potes;. passa sempre per l puto d coordate ( ) soddsfa sempre l equazoe ˆ ˆ + ˆ X ; Y ; e l puto X e Y. fe, è tale che e ˆ, posto che e ˆ, la qual cosa mplca che la meda campoara delle Y osservate cocde co la meda delle Yˆ calcolate medate la retta de mm quadrat. ( ˆ ; ˆ ) Il metodo de mm quadrat, c cosete oltre d stmare parametr modo tale che ess godao d talue specfche propretà. Prma d presetarle, è bee fare ua breve leggeda che cotega le otazo relatve alle quattà d ostro teresse. Idchamo co: ( ) valor ver de parametr della relazoe leare ; potzzata; ( ˆ ; ˆ ) le stme de mm quadrat per u campoe specfco; 6

17 ( ) B le varabl casual stmator de mm quadrat. ;B La botà del modello de mm quadrat o può essere gudcata sulla base de valor umerc ( ˆ ; ˆ ) otteut da u solo campoe, ma bsogerà esamare le propretà della varable casuale doppa ( ) B geerata dalla ;B stma de mm quadrat. Cò sgfca che per compredere le propretà delle stme fatte co mm quadrat, sarà ecessaro guardare alle caratterstche d ua varable casuale doppa che soo la meda e la varaza delle varabl casual compoet la loro covaraza oppure l coeffcete d correlazoe. può dmostrare che 5 :. E ( B ) E( B). Var( B ) Var ( B ) 3. Cov( B B ) + e N ( ) N ; 4. Corr( B ; B ) ( ) N ( ) / N N offermamo la ostra attezoe sulla dmostrazoe della prma espressoe. apedo che X è ua varable determstca, che ˆ è u valore osservato per la varable casuale B metre è u valore osservato per la varable casuale Y, gl stmator ( ) B s possoo scrvere come ;B 5 Vd. Johsto e Goldberger. 7

18 8 ( )( ) ( ) B Y B Y Y B I base a ( ) ( ) B E e B E e a quato sora detto, otteamo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E Y Y E Y E Y N N N Y E N Y N E E Y e E e E Y E Teedo coto della propretà del valor medo, possamo otteere ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + B E E Y B E Y B E Y E Y B E Abbamo questo modo dmostrato che gl stmator OL soo o dstort poché, meda, ess equvalgoo a parametr che cercao d stmare. La varaza d tal stmator tede a zero al crescere d N: poché o soo dstort, tale propretà mplca che ess sao ache cosstet. L mportaza d questa osservazoe è d mmedata evdeza: se la o dstorsoe asscura che tal stmator cocdoo meda co parametr ver della popolazoe, l tedere a zero della loro varaza mplca che la precsoe delle stme aumeta co N. A cò s agguga, oltre, che le stme OL soo lear perché possoo essere scrtte come ua combazoe leare delle osservazo Y. Graze al teorema d Gauss Markov, è oltre possble dmostrare che, tra tutte le stme lear o dstorte, gl stmator de mm

19 quadrat soo ache quell pù effcet, ossa co varaza mma. La covaraza dpede, fatt, dal sego d : se è postvo la covaraza è egatv (da cu dscede che, se s sovrastma la pedeza, s sottostma l tercetta e vceversa), se vece è egatvo la covaraza è postva e pertato tedezalmete gl error ella stma d ß e ß hao lo stesso sego. Il rsultato pù mportate sulle propretà degl stmator de mm quadrat è costtuto dal teorema d Gauss Markov. Teorema d Gauss Markov: sotto le potes del modello classco, gl stmator de mm quadrat soo pù effcet ella classe degl stmator lear e o dstort. No è qud possble che essta u altra coppa d stmator per ß e ß che sao lear e o dstort e abbao varaza more degl stmator de mm quadrat. Rguardo alle propretà astotche è possble affermare che gl stmator de mm quadrat soo cosstet meda quadratca. Ifatt soo o dstort e la loro varaza tede a zero, 9

20 lmvar lmvar ( ˆ ) ( ˆ ) lm + lm ( ) ( ) Occorre oltre aggugere che, astotcamete, gl stmator de mm quadrat soo ormal.

21 3.3. Il metodo della massma verosmglaza. U altro metodo per stmare parametr della retta d regressoe è qullo c.d. della massma verosmglaza. Il metodo cosste el massmzzare la fuzoe d verosmglaza, defta base alla probabltà d osservare ua data realzzazoe campoara, codzoatamete a valor assut da parametr oggetto d stma. Nel modello d regressoe leare semplce, ua delle potes fodametal è che E(ε ), da cu E( ) +ε, ossa la retta d regressoe rappreseta la meda codzoale della varable. e a questa aggugamo l potes d ormaltà degl error, ε ~ N(,), otteamo ~ N( +,, ). La dstrbuzoe codzoale d, qud, è ota a meo d u umero lmtato d parametr, (,, ) e la stma de parametr del modello d regressoe equvale alla stma della meda e della varaza d tale dstrbuzoe.

22 Per trovare lo stmatore d massma verosmglaza del vettore d parametr (,, ) occorre costrure e massmzzare la fuzoe d verosmglaza. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L e L e f f e f l,..., ;,...,,, l,..., ;,...,,,,,,,, ;,...,,...,,,, π π π π formula precedete, ossa della sommatora tra paretes. Ma cò equvale esattamete alla mmzzazoe della somma de resdu al quadrato, da cu s ottee lo stmatore de mm quadrat ordar. Ne cosegue, qud, che due stmator soo equvalet ( ) MLE OL ˆ ˆ. osttuedo, però, valor così otteut ella codzoe del prmo orde relatva a, s ottee: ( ) MLE ˆ ˆ ˆ ˆ ε che è, vece, dverso dallo stmatore corretto della varaza calcolato co l metodo de mm quadrat.

23 3.4. Propretà degl stmator d massma verosmglaza. Nella sezoe precedete abbamo vsto che lo stmatore d massma verosmglaza cocde co quello de mm quadrat. Rspetto ad esso, però, pccol campo, l stmatore MLE o ha talue proretà, qual ad esempo la o dstorsoe, d cu gode vece lo stmatore determato co l metodo de mm quadrat. Vao comuque rcooscute a ˆ MLE alcue fodametal propretà astotche. Dato u vettore d parametr, è fatt possble dmostrare che ˆ MLE è cosstete, astotcamete effcete 6 ed astotcamete dstrbuto secodo ua ormale 7. Affché lo stmatore d massma verosmglaza goda delle suddette propretà è ecessaro che la fuzoe d verosmglaza sa correttamete specfcata e, qud, che l potes sulla dstrbuzoe degl error sa corretta. Cò o è evdete el caso del modello leare co potes d ormaltà qu trattato perché lo stmatore d massma verosmglaza cocde co quello de mm quadrat (almeo per quato rguarda coeffcet delle varabl esplcatve) e qud e assume le propretà astotche d cossteza e ormaltà, ache se la dstrbuzoe degl error o è ormale. Tale potes rsulta duque essere crucale. 6 tra tutt gl stmator cosstet, lo stmatore d massma verosmglaza è quello co varaza pù pccola. Per questo motvo, sotto l potes d ormaltà, lo stmatore OL è BUE (best ubased estmator) e o semplcemete BLUE, poché cocde co lo stmatore MLE. 7 Abbamo, fatt, che 3

24 3.5. Itervall d cofdeza per coeffcet d regressoe. Assumedo che la varable dpedete Y s dstrbusce come ua ormale, la dstrbuzoe degl stmator de mm quadrat tede ad approssmars ad ua varable casuale ormale. Ioltre, dal mometo che B è ua combazoe leare delle varabl casual Y, ache B s dstrburà ormalmete co meda e /. Ache B, al varare delle osservazo campoare, tederà a dstrburs secodo ua ormale co e varaza /. Data questa premessa, ache le quattà ( B ) Z ( B ) e / Z tederao a dstrburs come legg ormal stadardzzate. Poché le formule mpegate cotegoo varaza cogta, questa adrà stmata utlzzado ME*E*/(-). osttuedo elle precedet espresso l valore cogto co quello stmato, otteamo t ( B) / ME * / ; t ( B) / ME *( / ) due t d tudet che s dstrbuscoo co - grad d lbertà. otto l potes d ormaltà, ( ME * / )( ) 8, e coè ha ua dstrbuzoe co - grad d lbertà e s può oltre dmostrare che ( ME * / )( ) B soo dpedet. otto queste codzo, χ e 8 Nella rcerca emprca, accade spesso che la varaza,, sa cogta. rede, qud, ecessaro stmare la varaza corretta, che qu dchamo co la sgla ME. 4

25 t ME * ( B ) / ( ) / ( ) B ME * ( B ) E * è ua v.c. pvot co ua dstrbuzoe t d tudet co - grad d lbertà. U tervallo d cofdeza per co u lvello d cofdeza par a ( α) è dato da P ( B t ME * / ) B + t ME * / α α /, α /, metre per è dato da P B t ( ) ( ) / B tα /, ME * / α α /, ME * Molto spesso, può esser utle determare u tervallo d cofdeza toro alla vera retta d regressoe. Per poterlo fare, al (-α%), s rcorre alle seguet quattà: L Yˆ t L Yˆ + t α /, α /, ME * + ME * + ( ) ( ) ( ) ( ) Tal valor possoo essere rappresetat su d u pao fuzoe d, seme alla retta d regressoe. 5

26 Nel seguto, propoamo u quadro d stes relatvamete a tutt gl tervall d cofdeza el modello d regressoe leare. Parametro Itervallo d cofdeza ± tα /, ME * b b t ± α /, ME * µ / E( Y ) ( ) Yˆ t ± α /, ME * + Y Yˆ ± tα /, ME * + + ( ) log + ρ ρ + r * log ± z r * α / 3 co r* stmatore d r (coeffcete d correlazoe) ME* stmatore della varaza. 6

27 3.6. Verfca delle potes de parametr del modello d regressoe. Dopo aver stmato parametr della retta d regressoe (fas, e 3), cotuamo lo svolgmeto dell eserczo proposto all zo del captolo, dedcadoc ora alla verfca delle potes. Attraverso la verfca delle potes s vuole verfcare l essteza d u legame leare tra la varable dpedete e quella dpedete. Le potes soo H H : : o esste alcua relazoe leare tra varable dpedete e regressore esste ua relazoe leare tra le due varabl Per stablre se la relazoe leare verfcata a lvello campoaro medate l valore b (b coeffcete d regressoe campoaro) possa essere cosderata valda ache per la popolazoe, occorre fare fereza su parametr della retta d regressoe: facedo fereza su parametr della popolazoe s vuole, fatt, verfcare se la retta d regressoe campoara (retta CAM) possa essere rteuta ua buoa espressoe della vera relazoe leare esstete ella popolazoe (retta POP). ot aztutto che l rcercatore è chamato a verfcare l potes ulla (H ) e o l potes alteratva: quest ultma, qud, vee accettata o rfutata solo come cosegueza d cò che verrà fatto della prma potes Rfutare H sgfca ammettere che ella popolazoe v è dpedeza leare. La relatva statstca test è 7

28 b t b co b. La regola d decsoe da adottare è t tα /, s rfuta l potes ulla e s coclude che la varable X, l regressore, ha u sgfcato statstco ello spegare le varazo della varable dpedete. FAE 4: PER VERIFICARE L EITENZA DI UNA RELAZIONE LINEARE TRA VARIABILE DIPENDENTE (Y) E VARIABILE INDIPENDENTE (X) FAE 4.. PREDIPORRE UN ADEGUATO FOGLIO DI CALCOLO O PREPARARE UNA TABELLA NEL EGUENTE MODO: vedte prezz vedte stmate resdu quadrat () () co l modello A ,5,975,9565 B ,95-7,95 6,8565 C ,85-6,85 83,863 D ,95,75 45,8563 E ,5 9,875 97,5565 F ,85 3,75 73,5863 G ,5 -,5,565 H ,5 -,5,5563 TOT ,755 Il valore delle vedte stmate è stato calcolato seredo ella Yˆ 64,5, 4X dvers lvell d prezzo. può mmedatamete otare 8

29 che la somma de valor osservat e d quell stmat dal modello è la stessa. I questo caso, calcolare tutt valor teorc è stato possble poché abbamo u 8. I molt cas, vece, questa operazoe rsulta probtva perché la umerostà campoara è molto pù cosstete. I tal caso, possamo rcorrere alle seguet formule * ( ) b b γ γ, da cu s ottee γ bγ b γ. FAE 4.. CALCOLARE I REIDUI. Dopo aver calcolato valor teorc, possamo calcolare l resduo base alla formula eˆ ˆ (s ot che la somma de resdu, coeretemete co le potes assute alla base del modello d regressoe leare, è ulla). FAE 4.3. DETERMINAZIONE DEL TET EMPIRICO. Dopo aver calcolato resdu, elevamo al quadrato tutt valor otteut modo da poter determare l valore del test crtco applcado la seguete formula: b t b 9

30 co b lo stmatore a mm (tercetta della retta d regressoe) e co b e * ( ) volgamo calcol partedo dall'ultma formula, che el ostro caso appare ella seguete forma 867,755 8,3 Otteamo, così b, ,9 Il valore del test emprco è, qud, par a t (,4),9, 3

31 Per accettare o rfutare l potes ulla, la regola d decsoe è: se t tα allora s rfuta l potes ulla e s coclude che la varable X ha >, sgfcato statstco ello spegare le varazoe della varable dpedete. Per calcolare l valore crtco del test per α/ ed (-) g.l., rcorramo alle tavole della t d tudet. uppoedo d aver fssato α/,5, l valore del test è,447. Essedo,447 >, 943 rfutamo l potes ulla e verfchamo, qud, che l prezzo pratcato cde sul volume delle vedte. Rfutamo l'potes ulla perché l valore del test emprco cade oltre la sogla crtca, e coè ella zoa d rfuto dell'potes ulla. Possamo, qud, verfcare che l prezzo pratcato cde sul volume delle vedte. 3

32 3.7. Msura della botà d adattameto Og modello statstco è u approssmazoe della realtà e, come tale, qud, assolutamete mprecsa: tutt modell soo sbaglat (el seso che o rproducoo esattamete l feomeo oggetto d studo) e deve, qud, essere obettvo del rcercatore quello d dvduare l modello che meglo s accosta rappreset la realtà. Per ruscre ell teto, v soo dvers strumet. Tra quest, rcordamo:. dce d determazoe;. coeffcete d correlazoe; 3. aals de resdu. L dce d determazoe è u dce attraverso l quale poter verfcare l lvello d accostameto tra valor teorc (gacet sulla retta d regressoe) e quell osservat. La formula attraverso cu determarlo è devaza d regressoe r R / devaza totale Per verfcare quato valor teorc stmat medate la retta d regressoe sao vc a valor osservat, e coè per avere ua msura della botà d accostameto, occorre rcordare che 3

33 dev. totale ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) dev. resdua E meo dev. d regressoe R Il coeffcete d determazoe è, qud, terpretable come la porzoe della devaza totale pegata dal modello d regressoe prescelto. Il calcolo dell dce d determazoe è molto semplce ed è ( eˆ ) ( ˆ ) ( ) N R. Dev / r Dev N Questo rsultato dmostra che l dce d determazoe o è altro che l quadrato della stma del coeffcete d correlazoe leare ρ ( X,Y), ache detto coeffcete d correlazoe leare d Pearso. Esso vara tra - e + ed assume le seguet sfumature d sgfcato: > le varabl e s dcoo drettamete correlate, oppure correlate postvamete (ad ua varazoe della varable dpedete corrspode ua varazoe dello stesso sego della varable dpedete). le varabl e s dcoo dpedet (le varazo della varabl dpedete o fluezao reazo della varable dpedete). < le varabl e s dcoo versamete correlate, oppure correlate egatvamete (ad ua varazoe della varable dpedete corrspode ua varazoe d sego opposto della varable dpedete). 33

34 Nel caso d dpedeza leare l coeffcete assume valore zero, metre o vale la coclusoe opposta, ovvero dal coeffcete ullo o s può desumere l'dpedeza leare: tale codzoe può, qud, drs ecessara ma o suffcete per l'dpedeza delle due varabl. La verfca delle potes può essere codotta ache sul coeffcete d determazoe e sul coeffcete d correlazoe. Illustramo etramb el seguete specchetto rassutvo, el quale verrà rcordata ache la verfca delle potes fatta sulla potes d relazoe leare tra varable dpedete e varable dpedete. Vedamo u applcazoe facedo rcorso a ostr dat. FAE 5: MIURA DELLA BONTÀ DI ADATTAMENTO DEL MODELLO AI DATI FAE 5.. PER PRIMA COA, OCCORRE PREDIPORRE NUOVAMENTE LA TABELLA DI CALCOLO NEL EGUENTE MODO. vedte prezz * () () A B C D E F G H TOT MEDIA 43,75 56, , ,5 QUADR. 634,6 3646,5 34

35 Per msura la botà d adattameto del modello a dat, useremo l'dce d determazoe leare e la sua radce quadrato, l coeffcete d correlazoe leare. L dce d determazoe leare è calcolato tramte la formula R b b co b ( ) ( ) ( ) cod( ; ) dev( ) e b ( ) ( ) ( ) cod( ; ) dev( ) Il coeffcete d correlazoe è, qud, dato da r ± b b. 35

36 Iseredo dat elle formule, otteamo cod (,) dev () 3875 dev () 7787,5 b -,4586 b -,787 E, qud: R, r,9464 FAE 5.. COTRUZIONE DEL TET U ρ. Le potes da formulare soo le seguet H : ρ H : ρ Il test emprco per verfcare le potes formulate vee determato rcorredo alla seguete formula r T R 36

37 Che el ostro caso rsulta par a 6,9. Quale test utlzzamo per la verfca delle potes? Utlzzamo ua t d tudet co (-)g.l. 9, l cu valore, questo caso, è par a t,5;8g. l.,447 La regola d decsoe è la stessa vsta precedeza: se l test emprco è maggore del test crtco allora s rfuta l potes ulla. 9 Quado (umerostà campoara) è grade, lo stmatore r* approssma ua Normale N[;/(-)]. 37

38 Nel seguto, propoamo u quadro d stes relatvamete alla verfca delle potes el modello d regressoe leare: H tmatore tatstca test Dstrbuzoe sotto H B b ME t t d tudet B b t ME t d tudet ρ ρ ρ ρ r * MR * ME * r * r * r r * * * + r + ρ ρ r log log * + ( e e r ρ ) * 3 F *, F d Fscher - edecor t t d tudet Z Normale co B stmatore del coeffcete agolare della retta d regressoe r * stmatore del coeffcete d determazoe MR*R*/stmatore della varaza d regressoe 38

Caso studio 12. Regressione. Esempio

Caso studio 12. Regressione. Esempio 6/4/7 Caso studo Per studare la curva d domada d u bee che sta per essere trodotto sul mercato, s rlevao dat rguardat l prezzo mposto e l umero d pezz vedut 7 put vedta plota, ell arco d ua settmaa. I

Dettagli

MEDIA DI Y (ALTEZZA):

MEDIA DI Y (ALTEZZA): Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 4 Marzo 0 Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO Su u collettvo d dvdu soo stat rlevat caratter X Peso( kg) e Altezza ( cm) otteamo la seguete dstrbuzoe d frequeza coguta:

Dettagli

Il termine regressione fu introdotto da Francis Galton ( ), antropologo (promotore dell eugenetica).

Il termine regressione fu introdotto da Francis Galton ( ), antropologo (promotore dell eugenetica). Regressoe leare Il terme regressoe fu trodotto da Fracs Galto (8-9), atropologo (promotore dell eugeetca). I u suo famoso studo (877-885), Galto scoprì che, sebbee c fosse ua tedeza de getor alt ad avere

Dettagli

Variabilità = Informazione

Variabilità = Informazione Varabltà e formazoe Lo studo d u feomeo ha seso solo se esso s preseta co modaltà/testà varabl da u soggetto all altro. Ad esempo, se dobbamo studare l reddto ua certa regoe è ecessaro osservare utà statstche

Dettagli

Università di Cassino. Esercitazioni di Statistica 1 del 26 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua

Università di Cassino. Esercitazioni di Statistica 1 del 26 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 26 Febbrao 200 Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO Cosderado le class d altezza 60 6; 6 70; 70 78; 78 86 per u collettvo d 20 persoe, s può affermare che l ALTEZZA dpede

Dettagli

Caso studio 10. Dipendenza in media. Esempio

Caso studio 10. Dipendenza in media. Esempio 09/03/06 Caso studo 0 S cosder la seguete dstrbuzoe degl occupat Itala secodo l umero d ore settmaal effettvamete lavorate e l settore d attvtà (cfr. Itala cfre, Ao 008, pag. 7 ): Ore lavorate Settore

Dettagli

Lezione 4. La Variabilità. Lezione 4 1

Lezione 4. La Variabilità. Lezione 4 1 Lezoe 4 La Varabltà Lezoe 4 1 Defzoe U valore medo, comuque calcolato, o è suffcete a rappresetare l seme delle osservazo effettuate (o l seme de valor assut dalla varable statstca); è ecessaro qud affacare

Dettagli

Funzioni di più variabili Massimi e Minimi una funzione definita in un insieme E. Un punto ( x0, y0)

Funzioni di più variabili Massimi e Minimi una funzione definita in un insieme E. Un punto ( x0, y0) Massm e Mm Fuzo d pù varabl Massm e Mm Dezoe: Sa z = (, ) ua uzoe deta u seme E U puto (, E s dce puto d massmo (rsp mmo) relatvo per (, ) se esste δ > tale che ((, ) B((, ), δ ) E (, ) (, ) (rsp (, )

Dettagli

Analisi dei Dati. La statistica è facile!!! Correlazione

Analisi dei Dati. La statistica è facile!!! Correlazione Aals de Dat La statstca è facle!!! Correlazoe A che serve la correlazoe? Mettere evdeza la relazoe esstete tra due varabl stablre l tpo d relazoe stablre l grado d tale relazoe stablre la drezoe d tale

Dettagli

LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE

LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE L ANALISI DI REGRESSIONE La regressoe è volta alla rcerca d u modello atto a descrvere la relazoe esstete tra ua varable Dpedete e ua varable dpedete (regressoe semplce)

Dettagli

Dott.ssa Marta Di Nicola

Dott.ssa Marta Di Nicola RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quado s cosderao due o pù caratter (varabl) s possoo esamare ache l tpo e l'testà delle relazo che sussstoo tra loro. http://www.bostatstca.uch.tt Nel caso cu per

Dettagli

Due distribuzioni, stessa media ma in quale delle due la media rappresenta, sintetizza meglio la situazione?

Due distribuzioni, stessa media ma in quale delle due la media rappresenta, sintetizza meglio la situazione? Prma dstrb. Secoda dstrb. Totale Meda 0 5 8 35 85 63 63/5 =3,6 5 5 38 40 45 63 63/5 =3,6 Due dstrbuzo, stessa meda ma quale delle due la meda rappreseta, stetzza meglo la stuazoe? Le mede stetzzao la dstrbuzoe,

Dettagli

Regressione e Correlazione

Regressione e Correlazione Regressoe e Correlazoe Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 L aals della regressoe è ua tecca statstca per modellare e vestgare le relazo tra due (o pù) varabl. Nella tavola è rportata

Dettagli

Università degli Studi di Napoli Parthenope. Facoltà di Scienze Motorie a.a. 2011/2012. Statistica. Lezione IV

Università degli Studi di Napoli Parthenope. Facoltà di Scienze Motorie a.a. 2011/2012. Statistica. Lezione IV Uverstà degl Stud d Napol Partheope Facoltà d Sceze Motore a.a. 011/01 Statstca Lezoe IV E-mal: paolo.mazzocch@upartheope.t Webste: www.statmat.upartheope.t Fuzoe d regressoe Attraverso la fuzoe d regressoe

Dettagli

Classi di reddito % famiglie Fino a 15 5.3 15-25 16.2 25-35 21.1 35-45 18.6 45-55 13.6 Oltre 55 25.2 Totale 100

Classi di reddito % famiglie Fino a 15 5.3 15-25 16.2 25-35 21.1 35-45 18.6 45-55 13.6 Oltre 55 25.2 Totale 100 ESERCIZIO Data la seguete dstrbuzoe percetuale delle famgle talae per class d reddto, espresso mlo d lre, (ao 995, fote Istat): Class d reddto % famgle Fo a 5 5.3 5-5 6. 5-35. 35-45 8.6 45-55 3.6 Oltre

Dettagli

Università di Cassino Esercitazioni di Statistica 1 del 5 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua

Università di Cassino Esercitazioni di Statistica 1 del 5 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 5 Febbrao 00. Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO N A partre dalla dstrbuzoe semplce del carattere peso rlevata su 0 studet del corso d Mcroecooma peso: { 4, 59, 65,

Dettagli

Matematica elementare art.1 di Raimondo Valeri

Matematica elementare art.1 di Raimondo Valeri Matematca elemetare art. d Ramodo Valer I questo artcolo voglamo provare che esste ua formula per calcolare l umero de dvsor d u dato umero aturale seza cooscere la scomposzoe fattor prm del umero stesso.

Dettagli

Gli indici sintetici Forma. Gli indici sintetici. Gli indici sintetici. Qualche considerazione. Qualche considerazione. Tendenza centrale Forma

Gli indici sintetici Forma. Gli indici sintetici. Gli indici sintetici. Qualche considerazione. Qualche considerazione. Tendenza centrale Forma Uverstà d Macerata Facoltà d Sceze Poltche - Ao accademco 01-013013 Gl dc d varabltà Crsta Davo Gl dc stetc Qualche cosderazoe Tedeza cetrale Varabltà La scelta dell dce d tedeza cetrale/poszoe dpede dal

Dettagli

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi)

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi) CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terz) 1 STUDIO DELLE DISTRIBUZIONI SEMPLICI Eserctazoe 2 2.1 Da u dage svolta su u campoe d lavorator dpedet co doppo lavoro è stata rlevata la dstrbuzoe coguta del reddto

Dettagli

Indici di asimmetria. Elementi di Statistica descrittiva Parte IV. Simmetria di una distribuzione di frequenze. Primo indice di asimmetria (1/3)

Indici di asimmetria. Elementi di Statistica descrittiva Parte IV. Simmetria di una distribuzione di frequenze. Primo indice di asimmetria (1/3) Smmetra d ua dstrbuzoe d frequeze Ua dstrbuzoe s dce asmmetrca se o è possble dvduare (aalzzado u stogramma) u asse vertcale che tagl la dstrbuzoe due part specularmete ugual Idc d asmmetra Rferedoc a

Dettagli

Gli indici sintetici Forma. Un caso studio. Gli indici sintetici. Qualche considerazione. Qualche considerazione. Tendenza centrale Forma

Gli indici sintetici Forma. Un caso studio. Gli indici sintetici. Qualche considerazione. Qualche considerazione. Tendenza centrale Forma Uverstà d Macerata Dpartmeto d Sceze Poltche, della Comucazoe e delle Relaz. Iterazoal Gl dc d varabltà Crsta Davo Gl dc stetc Qualche cosderazoe Tedeza cetrale Varabltà La scelta dell dce d tedeza cetrale/poszoe

Dettagli

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 9: Covarianza e correlazione

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 9: Covarianza e correlazione Corso d laurea Sceze Motore Corso d Statstca Docete: Dott.ssa Immacolata Scacarello Lezoe 9: Covaraza e correlazoe Altr tp d dpedeza L dce Ch-quadro presetato ella lezoe precedete stablsce l grado d dpedeza

Dettagli

MISURE DI TENDENZA CENTRALE. Psicometria 1 - Lezione 2 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek

MISURE DI TENDENZA CENTRALE. Psicometria 1 - Lezione 2 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek MISURE DI TENDENZA CENTRALE Pscometra 1 - Lezoe Lucd presetat a lezoe AA 000/001 dott. Corrado Caudek 1 Suppoamo d dsporre d u seme d msure e d cercare u solo valore che, meglo d cascu altro, sa grado

Dettagli

Lezione 13. Anelli ed ideali.

Lezione 13. Anelli ed ideali. Lezoe 3 Prerequst: Aell e sottoaell. Sottogrupp. Rfermet a test: [FdG] Sezoe 5.2; [H] Sezoe 3.4; [PC] Sezoe 4.2 Aell ed deal. Rcordamo la seguete defzoe, data el corso d Algebra : Defzoe 3. S dce aello

Dettagli

Capitolo 6 Gli indici di variabilità

Capitolo 6 Gli indici di variabilità Captolo 6 Gl dc d varabltà ommaro. Itroduzoe. -. Il campo d varazoe. - 3. La dffereza terquartle. - 4. Gl scostamet med. -. La varaza, lo scarto quadratco medo e la devaza. - 6. Le dffereze mede. - 7.

Dettagli

DI IDROLOGIA TECNICA PARTE II

DI IDROLOGIA TECNICA PARTE II FACOLTA DI INGEGNERIA Laurea Specalstca Igegera Cvle NO Guseppe T Aroca CORSO DI IDROLOGIA TECNICA PARTE II Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Lezoe X: Scelta d u modello probablstco Aals e

Dettagli

Caso studio 2. Le medie. Esercizio. La media aritmetica. Esempio

Caso studio 2. Le medie. Esercizio. La media aritmetica. Esempio 8/02/20 Caso studo 2 U vesttore sta valutado redmet d due ttol del settore Petrolo e Gas aturale. Sulla base de redmet goraler della settmaa passata vuole cercare d prevedere l redmeto per la prossma settmaa

Dettagli

Un esempio. le diverse situazioni possibili riferibili alla popolazione, è quella meglio sostenuta dalle evidenze empiriche.

Un esempio. le diverse situazioni possibili riferibili alla popolazione, è quella meglio sostenuta dalle evidenze empiriche. I molte crcostaze l rcercatore s trova a dover decdere quale, tra le dverse stuazo possbl rferbl alla popolazoe, è quella meglo sosteuta dalle evdeze emprche. Ipotes statstca: supposzoe rguardate: u parametro

Dettagli

Associazione tra due variabili quantitative

Associazione tra due variabili quantitative Esempo (1) Assocazoe tra due varabl quattatve Suppoamo che u professore vogla dmostrare che eserctars a casa aut gl studet el superameto dell esame. esame. A tal fe regstra la votazoe de compt a casa e

Dettagli

Capitolo 2 Errori di misura: definizioni e trattamento

Capitolo 2 Errori di misura: definizioni e trattamento Captolo Error d msura: )Geeraltà defzo e trattameto I cocett d meda, varaza e devazoe stadard s utlzzao ormalmete per otteere formazo sulla botà d ua msura. I geerale, s assume come msura m della gradezza

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte III

Elementi di Statistica descrittiva Parte III Elemet d Statstca descrttva Parte III Paaa Idce d asmmetra (/) Idce d forma che esprme l grado d asmmetra (skewess) d ua dstrbuzoe. Sao u, u,,u osservazo umerche. Chamamo dce d asmmetra l espressoe: c

Dettagli

Esercitazione 5 del corso di Statistica (parte 1)

Esercitazione 5 del corso di Statistica (parte 1) Eserctazoe 5 del corso d Statstca (parte 1) Dott.ssa Paola Costat 8 Novembre 011 I alcue crcostaze s poe u maggor teresse sullo studo della varabltà tra le sgole utà statstche, puttosto che lo studo della

Dettagli

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici Stm e putual Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator Vocabolaro Popolazoe: u seme d oggett sul quale s desdera avere Iformazo. Parametro: ua caratterstca umerca della popolazoe. E u Numero fssato,

Dettagli

Interpolazione. Definizione: per interpolazione si intende la ricerca di una funzione matematica che approssima l andamento di un insieme di punti.

Interpolazione. Definizione: per interpolazione si intende la ricerca di una funzione matematica che approssima l andamento di un insieme di punti. Iterpolazoe Defzoe: per terpolazoe s tede la rcerca d ua fuzoe matematca che approssma l adameto d u seme d put. Iterpolazoe MATEMATICA Calcola ua fuzoe che passa PER tutt put Tp d terpolazoe Iterpolazoe

Dettagli

Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso

Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso Facoltà d Farmaca Corso d Matematca co elemet d Statstca Docete: Rccardo Rosso Statstca descrttva: l coeffcete d cocetrazoe d G Quado s vuole rpartre ua certa somma d dearo, v soo due suddvso che soo,

Dettagli

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi) 1 STUDIO DELLE DISTRIBUZIONI SEMPLICI. Esercitazione n 3

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi) 1 STUDIO DELLE DISTRIBUZIONI SEMPLICI. Esercitazione n 3 ORSO I STTISTI I (Prof.ssa S. Terz) STUIO ELLE ISTRIUZIONI SEMPLII Eserctazoe 3 3. ata la seguete dstrbuzoe de reddt: lass d reddto Reddter Reddto medo 6.500-7.500 4 6.750 7.500-8.500 7.980 8.500-9.500

Dettagli

FUNZIONI LOGICHE FORME CANONICHE SP E PS

FUNZIONI LOGICHE FORME CANONICHE SP E PS FUNZIONI LOGICHE FORME CANONICHE SP E PS Ua fuzoe logca può essere espressa quattro forme: 1. attraverso ua proposzoe logca; 2. attraverso ua tabella della vertà; 3. attraverso u espressoe algebrca; 4.

Dettagli

SIMULAZIONE DI SISTEMI CASUALI 1 parte. Variabili casuali e Distribuzioni di variabili casuali. Calcolo delle probabilità

SIMULAZIONE DI SISTEMI CASUALI 1 parte. Variabili casuali e Distribuzioni di variabili casuali. Calcolo delle probabilità SIMULAZIONE DI SISTEMI CASUALI parte Varabl casual e Dstrbuzo d varabl casual Calcolo delle probabltà Defzo Il calcolo delle probabltà tede a redere razoale l comportameto dell uomo d frote all certezza;

Dettagli

INDICI DI VARIABILITA

INDICI DI VARIABILITA INDICI DI VARIABILITA Defzoe d VARIABILITA': la varabltà s può defre come l'atttude d u carattere ad assumere dverse modaltà quattatve. La varabltà è la quattà d dspersoe presete e dat. Idc d varabltà

Dettagli

Indipendenza in distribuzione

Indipendenza in distribuzione Marlea Pllat - Semar d Statstca (SVIC) "Lo studo delle relazo tra due caratter" Aals delle relazo tra due caratter Dpedeza dstrbuzoe s basa sul cofroto delle dstrbuzo codzoate Dpedeza meda s basa sul cofroto

Dettagli

ESERCIZI SU DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE

ESERCIZI SU DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE Corso d Ifereza Statstca Eserctazo A.A. 009/0 ESERCIZI SU DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE Eserczo I cosumator d marmellata ua data popolazoe soo l 40%. Determare la probabltà che, per u campoe beroullao d =

Dettagli

Capitolo 17. Suggerimenti agli esercizi a cura di Elena Siletti. Esercizio 17.1: Suggerimento

Capitolo 17. Suggerimenti agli esercizi a cura di Elena Siletti. Esercizio 17.1: Suggerimento Captolo 17 Suggermet agl eercz a cura d Elea Slett Eerczo 17.1: Suggermeto S rcord che X 1, X 2, X 3 oo v.c. dpedet quado le etrazo oo co rpozoe. Uo tmatore T dce o dtorto e l uo valore atteo cocde co

Dettagli

Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Quarta lezione

Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Quarta lezione Artmetca 06/07 Esercz svolt classe Quarta lezoe Rcorreze o lear Sa a c a cq ua rcorreza dove {c }, c C e c 0. Sa P C[λ] l polomo caratterstco della rcorreza. Allora ua soluzoe partcolare della rcorreza

Dettagli

LE MEDIE. Le Medie. Medie razionali. Medie di posizione

LE MEDIE. Le Medie. Medie razionali. Medie di posizione LE MEDIE RAZIONALI LE MEDIE Msure stetche trodotte per valutare aspett compless e global d ua dstrbuzoe d u feomeo X medate u solo umero reale costruto modo da dsperdere al mmo le formazo su dat orgar.

Dettagli

Modulo di Fisica Tecnica. Differenze finite per problemi di conduzione in regime instazionario

Modulo di Fisica Tecnica. Differenze finite per problemi di conduzione in regime instazionario Dpartmeto d Meccaca, Strutture, Ambete e Terrtoro UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CASSINO Laurea Specalstca Igegera Meccaca: Modulo d Fsca Tecca Lezoe d: Dffereze fte per problem d coduzoe regme stazoaro /20

Dettagli

LE MEDIE. Quadratica. Italo Nofroni. Statistica medica. Medie. Le medie vengono classificate in

LE MEDIE. Quadratica. Italo Nofroni. Statistica medica. Medie. Le medie vengono classificate in Le mede Italo Nofro LE MEDIE Le mede (o valor med) soo dc d tedeza cetrale e costtuscoo u modo semplce ed mmedato per stetzzare u solo valore dat eterogee raccolt u collettvo Statstca medca Le mede Le

Dettagli

Def. Si dice variabile aleatoria discreta X una variabile che può assumere valori X1, X

Def. Si dice variabile aleatoria discreta X una variabile che può assumere valori X1, X Prof.ssa Emauela Baudo Fabrza De Berard VARIABILI ALEATORIE DISCRETE E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Def. S dce varable aleatora dscreta X ua varable che può assumere valor X, X,... X corrspodet ad evet

Dettagli

dei quali si conoscono solo la media x e la deviazione standard σ e dato un valore reale positivo K, possiamo affermare che:

dei quali si conoscono solo la media x e la deviazione standard σ e dato un valore reale positivo K, possiamo affermare che: Eserctazoe VI: Il teorema d Chebyshev Eserczo La statura meda d u gruppo d dvdu è par a 73,78cm e la devazoe stadard a 3,6. Qual è la frequeza relatva delle persoe che hao ua statura superore o ferore

Dettagli

Analisi della Dipendenza

Analisi della Dipendenza Aals della Dpedeza La correlazoe Il presete materale ddattco è stato parte estratto e adattato dal materale prodotto dal prof. Claudo Caplupp dell Uverst Uverstà d Veroa, che s rgraza. La resposabltà del

Dettagli

Lezione 24. Campi finiti.

Lezione 24. Campi finiti. Lezoe 4 Prerequst: Lezo 0,,, 3 Rfermet a test: [FdG] Sezoe 86; [H] Sezoe 79; [PC] Sezoe 63; Cam ft Nelle lezo recedet abbamo vsto dvers esem d cam ft: ess erao tutt del to oure [ x ]/( f ( x )), dove f

Dettagli

La classe che mostra la distribuzione più elevata è quella 60-90, che corrisponde a un uso elevato dell automobile. f i fr (= f i/n) fr% (=fr*100)

La classe che mostra la distribuzione più elevata è quella 60-90, che corrisponde a un uso elevato dell automobile. f i fr (= f i/n) fr% (=fr*100) ESERCIZIO Il Moblty Maager d u azeda ha rlevato l umero d chlometr percors settmaalmete da 60 mpegat. I dat soo rportat ello schema successvo. 67 4 93 58 66 87 5 53 86 8 7 47 56 70 54 86 48 43 60 58 5

Dettagli

Variabili casuali ( ) 1 2 n

Variabili casuali ( ) 1 2 n Varabl casual &. Valore edo. Data ua varable casuale = ( x,x 2, K,x ) (.) cu valor assuoo le rspettve probabltà P = p,p, K,p (.2) s defsce valore edo la quattà ( ) 2 = [ ] T M = M = P = xp (.3) Sgfcato:

Dettagli

Il modello di regressione lineare semplice (1) Studio della dipendenza riepilogo

Il modello di regressione lineare semplice (1) Studio della dipendenza riepilogo Studo della dpedeza replogo Abbamo vsto due msure d assocazoe tra caratter: ) msure d assocazoe basate sull dpedeza dstrbuzoe ( χ, V d Cramer) possoo essere applcate a coppe d caratter qualuque (ache etrambe

Dettagli

Il modello di regressione multipla

Il modello di regressione multipla S. Borra A. D Cacco Statstca metodologe per le sceze ecoomche e socal McGraw Hll 4 ISBN 88-386-66-6 9 Il modello d regressoe multpla Relazoe statstca modello d regressoe leare multpla omoschedastctà superfce

Dettagli

Numeri complessi Pag. 1 Adolfo Scimone 1998

Numeri complessi Pag. 1 Adolfo Scimone 1998 Numer compless Pag. Adolfo Scmoe 998 NUMERI COMPLESSI Come sappamo, o esstoo el campo de umer real le radc d dce par de umer egatv. Ammettamo pertato l esstea della radce quadrata del umero. Questo uovo

Dettagli

IL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA

IL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA Captolo 9 - Il modello d regressoe leare multpla 9 - IL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA 9 9. Itroduzoe 9. Il modello d regressoe leare multpla 9.3 Il modello d regressoe leare multpla forma matrcale

Dettagli

Esercizi su Rappresentazioni di Dati e Statistica

Esercizi su Rappresentazioni di Dati e Statistica Esercz su Rappresetazo d Dat e Statstca Eserczo Esprmete forma percetuale e traducete u aerogramma dat della seguete tabella: Nord Cetro Sud Isole Totale 5 58 866 0 95 36 4 35 30 6 79 56 57 399 08 Soluzoe

Dettagli

b) Relativamente alla variabile PREZZO, fornire una misura della variabilità della distribuzione attraverso

b) Relativamente alla variabile PREZZO, fornire una misura della variabilità della distribuzione attraverso ESERCIZIO Co rfermeto a dvers modell d auto del medesmo segmeto d mercato e cldrata s soo rlevat dat sul prezzo d lsto mglaa d euro (X), la veloctà massma dcharata km/h (Y) ed l peso kg (Z). I dat soo

Dettagli

Propagazione di errori

Propagazione di errori Propagazoe d error Gl error e dat possoo essere amplfcat durate calcol. Rspetto alla propagazoe degl error s può dstguere: comportameto del problema - codzoameto del problema: vedere come le perturbazo

Dettagli

Università della Calabria

Università della Calabria Uverstà della Calabra FACOLTA DI INGEGNERIA Corso d Laurea Igegera per l Ambete e l Terrtoro CORSO DI IDROLOGIA Ig. Daela Bod SCHEDA DIDATTICA N 5 ISOIETE E TOPOIETI A.A. 20-2 Calcolo della precptazoe

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 3 VARIABILI QUANTITATIVE Indici di centralità, dispersione e forma

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 3 VARIABILI QUANTITATIVE Indici di centralità, dispersione e forma Matematca e statstca: da dat a modell alle scelte www.dma.uge/pls_statstca Resposabl scetfc M.P. Rogat e E. Sasso (Dpartmeto d Matematca Uverstà d Geova) STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 3 VARIABILI

Dettagli

frazione 1 n dell ammontare complessivo del carattere A x

frazione 1 n dell ammontare complessivo del carattere A x La Cocetrazoe Il cocetto d cocetrazoe rguarda l modo cu l ammotare totale d u carattere quattatvo trasferble s rpartsce tra utà statstche. Tato pù tale ammotare è addesato u sottoseme d utà, tato pù s

Dettagli

2 si da eguale peso alle misure senza tener conto dell incertezza, che in generale possono essere diverse.

2 si da eguale peso alle misure senza tener conto dell incertezza, che in generale possono essere diverse. 5 MEDIE PESTE Come combare msure separate? Esempo, msure Msura d : ± Msura d B: B ± B Se s effettua la meda artmetca: B s da eguale peso alle msure seza teer coto dell certezza, che geerale possoo essere

Dettagli

Voti Diploma Classico Scientifico Tecn. E Comm Altro

Voti Diploma Classico Scientifico Tecn. E Comm Altro 4 Data la seguete dstrbuzoe doppa de vot rportat ad u esame secodo l Dploma posseduto: Vot 8-3-5 6-8 9-30 Dploma Classco 8 4 5 Scetfco 5 7 7 5 Tec E Comm 8 0 0 Altro 3 a) s calcol la meda artmetca de vot

Dettagli

Variabili casuali. Esempio. Variabili casuali discrete. W discreto. W continuo. V.C. discreta. V.C. discreta o continua

Variabili casuali. Esempio. Variabili casuali discrete. W discreto. W continuo. V.C. discreta. V.C. discreta o continua //7 arabl casual Ua varable casuale X e ua fuzoe defta sullo spazo campoaro W che assoca ad og eveto W u uco umero reale. X Ua varable casuale può essere classfcata come dscreta o cotua. Ua varable casuale

Dettagli

SIMULAZIONE DI ESAME ESERCIZI. Cattedra di Statistica Medica-Università degli Studi di Bari-Prof.ssa G. Serio 1

SIMULAZIONE DI ESAME ESERCIZI. Cattedra di Statistica Medica-Università degli Studi di Bari-Prof.ssa G. Serio 1 SIMULAZIONE DI ESAME ESERCIZI Cattedra d Statstca MedcaUverstà degl Stud d BarProf.ssa G. Sero ESERCIZIO. Alcu autor hao studato se la depressoe possa essere assocata a dc serologc d process autommutar

Dettagli

Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13

Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13 La Legge de Grad Numer Cosderata ua sere d prove rpetute co p par alla probabltà d successo ua sgola prova, l rapporto tra l umero d success K ed l umero d prove tede a p quado tede ad fto: K P p ε per

Dettagli

Marco Riani - Analisi delle statistiche di vendita 1

Marco Riani - Analisi delle statistiche di vendita 1 ORARIO LEZIONI ANALISI DELLE STATISTICHE DI VENDITA Marco Ra mra@upr.t http://www.ra.t Mercoledì 3 aula Lauree Mercoledì 4 6 aula Lauree Govedì 3 Eserctazoe Semar? LIBRI DI TESTO Teora Ra M., Laur F. 8,

Dettagli

6. LA CONCENTRAZIONE

6. LA CONCENTRAZIONE UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA DIPARTIMENTO DI FILOSOFIA SCIENZE SOCIALI UMANE E DELLA FORMAZIONE Corso d Laurea Sceze per l'ivestgazoe e la Scurezza 6. LA CONCENTRAZIONE Prof. Maurzo Pertchett Statstca

Dettagli

valido se i dati E dato da max(x i )-min(x i )

valido se i dati E dato da max(x i )-min(x i ) Idc d Dspersoe o d Varabltà: Rage e DIQ No basta la coosceza d quale è la poszoe meda de dat statstc, serve ache cooscere quale è la varabltà de dat raccolt attoro al valore medo. Allo scopo d troducoo

Dettagli

III Esercitazione: Sintesi delle distribuzioni semplici secondo un carattere qualitativo ordinale.

III Esercitazione: Sintesi delle distribuzioni semplici secondo un carattere qualitativo ordinale. III Eserctazoe: Stes delle dstrbuzo semplc secodo u carattere qualtatvo ordale. Eserczo 3 dvdu ao seguet ttol d studo: Lceza elemetare, Lceza elemetare, ploma, Lceza meda, Lceza elemetare, Lceza meda,

Dettagli

= Pr{Y > X}. un campione casuale semplice (c.c.s.) di dimensione n x da X e Y1, Y2

= Pr{Y > X}. un campione casuale semplice (c.c.s.) di dimensione n x da X e Y1, Y2 STATISTICA, ao LXVI,., 2006 INTERVALLI DI CONFIDENZA NON PARAMETRICI PER L AREA SOTTESA ALLA CURVA ROC Gafraco Admar. INTRODUZIONE I ambto sataro, gl esam dagostc vegoo comuemete utlzzat co l obettvo d

Dettagli

Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti

Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti Gorgo Lambert Pag. Dmostrazoe della Formula per la determazoe del umero d dvsor-test d prmaltà, d Gorgo Lambert Eugeo Amtrao aveva proposto l'dea d ua formula per calcolare l umero d dvsor d u umero, da

Dettagli

TRATTAMENTO STATISTICO DEI DATI ANALITICI

TRATTAMENTO STATISTICO DEI DATI ANALITICI TRATTAMENTO STATISTICO DEI DATI ANALITICI Nell aals chmca u aalsta effettua u umero lmtato d prove e cosdera la meda de rsultat otteut per poter arrvare a determare o l valore VERO d ua determata gradezza

Dettagli

Le misure di variabilità

Le misure di variabilità arlea Pllat - Semar d Statstca (SVIC) "Le msure d varabltà e cocetrazoe" La varabltà L atttude d u carattere quattatvo X ad assumere valor dfferet tra le utà compoet u seme statstco è chamata varabltà

Dettagli

Design of experiments (DOE) e Analisi statistica

Design of experiments (DOE) e Analisi statistica Desg of epermets (DOE) e Aals statstca L utlzzo fodametale della metodologa Desg of Epermets è approfodre la coosceza del sstema esame Determare le varabl pù sgfcatve; Determare l campo d varazoe delle

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioni d impresa (Note didattiche) Bruno Chiandotto

CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioni d impresa (Note didattiche) Bruno Chiandotto CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metod Statstc per le decso d mpresa (Note ddattche) Bruo Chadotto 5. Campo casual e dstrbuzo campoare - Campo casual Nel Cap. 3 d queste ote s è avuto modo d dstguere

Dettagli

Lezione 3. Gruppi risolubili.

Lezione 3. Gruppi risolubili. Lezoe 3 Prerequst: Lezo 1 2 Class d cougo e cetralzzat rupp rsolubl I questo captolo troducamo ua ozoe che come vedremo seguto fuge da raccordo tra la teora de grupp e la teora de camp Defzoe 31 Dato u

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte II

Elementi di Statistica descrittiva Parte II Elemet d Statstca descrttva Parte II Nella prma parte d queste ote s soo llustrate le tecche utlzzate per rappresetare dat, maera stetca, medate tabelle e grafc Tal tecche soo applcabl sa a caratter quattatv

Dettagli

Verifica e scelta del modello probabilistico

Verifica e scelta del modello probabilistico Verfca e scelta del modello probablstco L elaborazoe statstca de dat comporta u certo umero d potes, qual ad esempo la forma della dstrbuzoe ed l metodo utlzzato per stmare parametr. Data ua qualsas potes

Dettagli

DISTRIBUZIONE DI STUDENT

DISTRIBUZIONE DI STUDENT Laboratoro d Fsca ( Meccaca e Termodamca a.a. 007/08 F.Balestra PICCOLI CAMPIONI. TET d TUDENT. INTERVALLI d CONFIDENZA: DITRIBUZIONE DI TUDENT 0.4 0. N N N5 N0 N5 N50 0. - 4-4 Itervall cofdeza P[ - μ

Dettagli

Francesco Ciatara ELEMENTI STATISTICA

Francesco Ciatara ELEMENTI STATISTICA Fracesco Catara ELEMENTI d STATISTICA 0 La dstrbuzoe statstca Per llustrare e defre gl uvers, per assemblare le utà grupp, sosttuedo a soggett class equvalet, o meglo, costrure collettv mor costtut da

Dettagli

COMPLEMENTI DI STATISTICA. L. Greco, S. Naddeo

COMPLEMENTI DI STATISTICA. L. Greco, S. Naddeo COMPLEMENTI DI STATISTICA L. Greco, S. Naddeo INDICE. GENERALITA SULLA VERIFICA DI IPOTESI. Itroduzoe 4. I test d sgfcatvtà 5.3 Gl tervall d cofdeza 7.4 Le potes alteratve.5 La poteza del test 5.6 Il test

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA modulo 1 Corso di Laurea SMID Elda Guala e Ivano Repetto Dipartimento di Matematica - Università degli Studi di Genova

STATISTICA DESCRITTIVA modulo 1 Corso di Laurea SMID Elda Guala e Ivano Repetto Dipartimento di Matematica - Università degli Studi di Genova - -. Varabl statstche STATISTICA DESCRITTIVA modulo Corso d Laurea SMID Elda Guala e Ivao Repetto Dpartmeto d Matematca - Uverstà degl Stud d Geova I dat rportat sotto s rferscoo a studet uverstar che

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioni d impresa (Note didattiche) Bruno Chiandotto

CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioni d impresa (Note didattiche) Bruno Chiandotto CORO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metod tatstc per le decso d mpresa (Note ddattche) Bruo Chadotto 7. Teora del test delle potes I questo captolo s affrota l problema della verfca d potes statstche

Dettagli

Sommario. Facoltà di Economia. Obiettivo. Quando studiarla? Lezione n 7. X: carattere quantitativo tra le unità statistiche. Quando studiarla?

Sommario. Facoltà di Economia. Obiettivo. Quando studiarla? Lezione n 7. X: carattere quantitativo tra le unità statistiche. Quando studiarla? Corso d Statstca acoltà d Ecooma a.a. - La cocetrazoe Quado studarla? Obettvo Dagramma d Lorez apporto d cocetrazoe rea d cocetrazoe Esemp Sommaro Lezoe 7 Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola Quado studarla?

Dettagli

MISURE E GRANDEZZE FISICHE

MISURE E GRANDEZZE FISICHE R. Campaella Ig. Meccaca v. Peruga Gradezze fsche Rev. 12.02.21 MISRE E GRANDEZZE FICHE 1 Itroduzoe Nella descrzoe de feome la fsca s serve d legg, elle qual tervegoo gradezze fsche qual: la lughezza,

Dettagli

Lezione 13. Gruppo di Galois di un polinomio.

Lezione 13. Gruppo di Galois di un polinomio. Lezoe Prerequst: Lezo 9, 0,, Gruppo d Galos d u polomo Sa F u campo, sa f ( x) F[ x] o costate d grado, sa K u campo d spezzameto d f (x) su F el quale f (x) possede radc dstte Sa = ( f ) Defzoe Il gruppo

Dettagli

CAPITOLO XI STIMA DEI PARAMETRI DI UNA VARIABILE ALEATORIA.

CAPITOLO XI STIMA DEI PARAMETRI DI UNA VARIABILE ALEATORIA. TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 1 CAPITOLO XI STIMA DEI PARAMETRI DI UNA VARIABILE ALEATORIA. 11.1 - Itroduzoe. I geerale, parametr caratterstc d ua v.a. (che per o soo l suo valore medo e la sua varaza

Dettagli

Lezione 4. Metodi statistici per il miglioramento della Qualità

Lezione 4. Metodi statistici per il miglioramento della Qualità Tecologe Iormatche per la Qualtà Lezoe 4 Metod statstc per l mglorameto della Qualtà Msure d Tedeza Cetrale Ultmo aggorameto: 30 Settembre 2003 Il materale ddattco potrebbe coteere error: la segalazoe

Dettagli

2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata. Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza

2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata. Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza Uverstà degl Stud d Ferrara 2014-2015 Corso TFA - A048 Matematca applcata Ddattca della matematca applcata all ecooma e alla faza 11 marzo 2015 Apput d ddattca della Matematca fazara Redte, ammortamet

Dettagli

Regressione. Modelli statistici. Esempio: le automobili si vendono a peso? Esempio: le automobili si vendono a peso? prezzo=a+b*(peso-500)+errore

Regressione. Modelli statistici. Esempio: le automobili si vendono a peso? Esempio: le automobili si vendono a peso? prezzo=a+b*(peso-500)+errore Modell statstc Regressoe Ccchtell Cap. 0 La relazoe tra varabl può essere studata per mezzo d modell statstc varable (es. peso) Quato c s dscosta da u valore tpco modello varabl (peso-altezza) Quato c

Dettagli

MATEMATICA FINANZIARIA 1 PROVA SCRITTA DEL 15 SETTEMBRE 2009 C.d.L. ECONOMIA AZIENDALE

MATEMATICA FINANZIARIA 1 PROVA SCRITTA DEL 15 SETTEMBRE 2009 C.d.L. ECONOMIA AZIENDALE MATEMATICA FINANZIARIA PROVA SCRITTA DEL 5 SETTEMBRE 009 C.d.L. ECONOMIA AZIENDALE ESERCIZIO a) Il Sg. Ross ogg (t0) uole acqustare u furgoe del alore d 7000 per la sua atttà commercale. A tal fe egl ersa

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 4 VARIABILI QUANTITATIVE Trasformazioni lineari Indici di covarianza e correlazione

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 4 VARIABILI QUANTITATIVE Trasformazioni lineari Indici di covarianza e correlazione Matematca e statstca: da dat a modell alle scelte www.dma.uge/pls_statstca Resposabl scetfc M.P. Rogat e E. Sasso (Dpartmeto d Matematca Uverstà d Geova) STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 4 VARIABILI

Dettagli

x... Gli indici sintetici La media aritmetica Gli indici sintetici Indici assoluti Indici relativi Indici normalizzati Forma

x... Gli indici sintetici La media aritmetica Gli indici sintetici Indici assoluti Indici relativi Indici normalizzati Forma Gl dc stetc Tedeza cetrale Forma Varabltà Cosetoo l passaggo da ua pluraltà d formazo ad u uca msura umerca; Stetzzao l tera dstrbuzoe u sgolo valore, cosetedo così cofrot el tempo, ello spazo o tra crcostaze

Dettagli

Il disegno campionario per l indagine sul turismo delle isole Eolie. O. Giambalvo A.M. Milito

Il disegno campionario per l indagine sul turismo delle isole Eolie. O. Giambalvo A.M. Milito Il dsego campoaro per l dage sul tursmo delle sole Eole O. Gambalvo A.M. Mlto Struttura della presetazoe Obettv L dage campoara Le potes d lavoro L dage plota Il dsego campoaro Stratega campoara Alcu Rsultat

Dettagli

), mentre l unico intero che divide 0 è 0. Enunciamo alcune proprietà di ovvia dimostrazione.

), mentre l unico intero che divide 0 è 0. Enunciamo alcune proprietà di ovvia dimostrazione. Dvsbltà e umer prm Sao a,b elemet dell seme Z degl ter relatv Dcamo che a dvde b, smbol a b, se b è multplo d a, ossa se esste u tero h Z tale che b ha Og tero a dvde 0 ( 0 0a ), metre l uco tero che dvde

Dettagli

Lezione 20. Campi numerici ed anelli di Dedekind.

Lezione 20. Campi numerici ed anelli di Dedekind. Lezoe 0 Prerequst: Lezo 9 Dom ad deal prcpal Camp umerc ed aell d Dedekd Defzoe 0 S dce campo umerco og estesoe fta d Q coteuta C Osservazoe 0 Essedo Q u campo perfetto (poché è d caratterstca 0 ved la

Dettagli

Calcolo delle Probabilità: esercitazione 4

Calcolo delle Probabilità: esercitazione 4 Argometo: Probabltà classca Lbro d testo pag. 1-7 e 7-77 e varable casuale uforme dscreta NB: asscurars d cooscere le defzo, le propretà rchamate e le relatve dmostrazo quado ecessaro Eserczo 1 S cosder

Dettagli

CAPITOLO III SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

CAPITOLO III SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI CAPITOLO III SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI. GENERALITÀ Sao a,..., a,..., a, b umer real (o compless o elemet d u qualsas campo) ot. Defzoe.. U equazoe della forma: () a x +... + ax +... + a x b dces d prmo

Dettagli