FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE. Dispense redatte dal Prof. Francesco Valdoni, riviste e sistemate editorialmente dal Prof.

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1 FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE Dispense redatte dal Prof. Francesco Valdoni, riviste e sistemate editorialmente dal Prof. Michele Luglio

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7 7 1 INTRODUZIONE

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9 1.1 SISTEMI E SERVIZI DI TELECOMUNICAZIONI 9 La comunicazione è il processo mediante il quale la informazione fluisce tra due o più soggetti; essi sono persone, apparati fisici o enti logici capaci di emettere o ricevere: nel primo caso si ha una sorgente di informazione, mentre nel secondo un destinatario di informazione. Ovviamente, un medesimo soggetto può svolgere anche simultaneamente entrambe le funzioni, in emissione e ricezione, apparendo nella duplice veste di sorgente e destinatario; comunque, le due funzioni possono essere, e verranno, considerate separatamente. Se la natura degli utenti finali è la medesima ed la sorgente non è di tipo elettrico la comunicazione a distanza inizia generalmente con una operazione di trasduzione, cioè con la trasformazione della variabile di uscita della sorgente di informazione in una grandezza elettromagnetica funzione del tempo, denominata segnale e indicata con x(t); la comunicazione ha poi termine con un altra operazione di trasduzione, complementare a quella iniziale, tramite la quale il segnale ricevuto viene convertito nella opportuna variabile accettata dal destinatario. La trasduzione può avvenire solo ad una terminazione. Nel seguito le trasduzioni non verranno prese in esame: tali operazioni risiedono infatti all interno di complesse entità fisiche, denominate terminali, capaci di emettere o ricevere informazioni in forma elettromagnetica, ossia segnali, ai quali unicamente sarà rivolta la attenzione. Un terminale emittente, ossia una sorgente di segnale che veicola la informazione, verrà semplicemente indicato come sorgente; un terminale ricevente, ossia un destinatario di segnale, verrà semplicemente indicato come destinatario. Quando il flusso di informazione tra una molteplicità di terminali si attua in forma di propagazione a distanza di un segnale in ambiente elettromagnetico, si ha telecomunicazione. L insieme dei terminali, dei circuiti e degli ambienti elettromagnetici in cui si propagano i segnali contenenti le informazioni costituisce un infrastruttura di telecomunicazione. Nel caso più elementare esso si riduce ad un collegamento unidirezionale tra sorgente e destinatario; allorché gli utenti diventano tanti e le possibili interconnessioni necessarie per la piena connettività crescono numericamente come il fattoriale, nasce la rete di telecomunicazioni, ovvero una infrastruttura per la maggior parte condivisa (rami e nodi) ed in parte ad uso esclusivo del singolo utente (cavo o tratta radio ultimo metro e apparecchio terminale); quindi, più generalmente, si hanno numerosissimi terminali allacciati a una struttura di grande complessità, articolata in nodi, anelli e rami e denominata rete di telecomunicazioni (vedi Figura 1.1), che consente la effettuazione simultanea di una pluralità di comunicazioni con collegamenti variabili nel tempo. terminazione di rete collegamento di accesso nodo di rete collegamento di trasporto Figura 1.1: Schema di massima di rete di telecomunicazioni. Spesso le reti hanno la capacità di operare con modalità bidirezionale, ossia per ogni comunicazione rendono disponibile una coppia di collegamenti, in cui i segnali si propagano in versi opposti; ovviamente, i terminali allacciati sono allora in grado di operare simultaneamente sia come sorgenti che come destinatari. Le modalità di svolgimento di un processo di comunicazione, con procedure normalizzate a livello internazionale, costituiscono un servizio di telecomunicazione; di esso fruiscono i terminali, perciò denominati anche utenti del servizio. L espletamento di un servizio di telecomunicazione

10 10 richiede la attuazione di una molteplicità di funzioni, alcune orientate al trattamento della informazione per la sua utilizzazione, altre invece orientate al suo trasporto a distanza, ossia al trasferimento della informazione. Se ci si limita a queste ultime, si ha un servizio portante; esso è comunque necessario, assieme alle funzioni dell altro tipo, per fornire una completa capacità di comunicazione, ossia per un teleservizio. I servizi portanti sono dunque offerti dalle reti di telecomunicazioni per il trasferimento di informazioni tra le terminazioni di rete, che sono i punti di interfaccia della rete verso i terminali. La rete espleta fondamentalmente funzioni di commutazione e funzioni di trasmissione: le prime, residenti nei nodi dello schema in Figura 1.1, consentono l inoltro opportuno della informazione per attuare il collegamento desiderato, mentre le seconde permettono la propagazione del segnale che veicola la informazione, tra terminazioni di rete e nodi oppure tra nodi, rispettivamente con collegamenti di accesso e con collegamenti di trasporto. Ulteriori importanti funzioni di segnalazione e di gestione completano le modalità operative di una rete di telecomunicazioni: esse consentono l espletamento in tempo reale e ottimizzato dei molteplici servizi richiesti. Nel seguito l attenzione verrà concentrata unicamente sulla trasmissione, tralasciando del tutto le altre problematiche delle reti e considerando per i terminali solo gli aspetti rilevanti nei riguardi della trasmissione medesima. Verrà inoltre considerato un solo senso di trasferimento della informazione, ritenendo che la operazione nel senso opposto possa svolgersi in maniera analoga Definizione di segnali in senso stretto In senso stretto si può assumere che un segnale sia una grandezza fisica, funzione reale della variabile indipendente reale tempo, utilizzabile come veicolo della informazione che fluisce da una sorgente a un destinatario. Perché tale grandezza fisica possa effettivamente portare informazioni occorre che i parametri caratteristici siano ignoti al destinatario. 1.2 Trasmissione ideale di un segnale Dal punto di vista del comportamento esterno, una generica infrastruttura per la trasmissione della informazione da una sorgente a un destinatario, ossia un generico sistema di trasmissione impiegato per attuare il collegamento, è sempre rappresentabile tramite un unico blocco che, eccitato in entrata dal segnale x(t), che in modo opportuno veicola la informazione, fornisce in uscita un segnale di risposta y(t). Si assume che la trasmissione avvenga in maniera ideale se si verifica la condizione: [1.2.1] y(t) = g x(t t 0 ), con g e t 0 costanti reali, ossia se il segnale di uscita costituisce una replica di quello di entrata, a meno del fattore moltiplicativo (amplificazione/attenuazione) g e del ritardo t 0 >0. Tali grandezze hanno carattere irrilevante: esse sono infatti determinate, anche se non note a priori in ricezione, e quindi non possono essere portatrici della informazione, obbligatoriamente sempre associata a grandezze aleatorie. La relazione [1.2.1] è una condizione sufficiente, ma non necessaria affinché si compia il trasferimento pienamente corretto della informazione: le particolari modalità con cui questa ultima è veicolata dal segnale x(t) possono infatti consentire altre alterazioni della risposta y(t) che risultano prive di conseguenze ai fini della fruizione della informazione ricevuta. Il menzionato legame tra segnali uscente ed entrante riassume in modo globale il trattamento di trasmissione a distanza che garantisce la prestazione perfetta del collegamento. Ai fini della comprensione degli elementi essenziali è in effetti conveniente che il sistema sia rappresentato con maggiore dettaglio, considerando più blocchi funzionali, connessi in cascata; una parte di essi, a volte ridotta a un solo blocco come mostrato in Figura 1.2, ha nel complesso una dimensione fisica uguale alla distanza da coprire; l altra parte può essere invece assunta a dimensione nulla. I blocchi della prima categoria rappresentano idealmente il mezzo trasmissivo, fondamentale responsabile della propagazione a distanza del segnale; quelli della seconda sono gli equivalenti concettuali

11 11 degli apparati di trasmissione, di norma comprendenti circuiti elettronici o optoelettronici attivi e suddivisibili in apparati emittenti (dal lato entrante) e apparati riceventi (dal lato uscente). x(t) y(t) apparati apparati sorgente mezzo trasmissivo destinatario emittenti riceventi P P E R o sistema di trasmissione Figura 1.2: Schema essenziale di un sistema di trasmissione che attua un collegamento.

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13 13 2 SEGNALI NEL DOMINIO DEL TEMPO

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15 GENERALITÀ SUI SEGNALI Notazione complessa Con riferimento a un segnale localizzato in una generica sezione di un sistema di trasmissione, si assume in seguito per esso la notazione del tipo: x t ( ),! t " T, x " X, dove la funzione reale x(t), di cui è mostrato un esempio in Figura 2.1, è valida sul dominio temporale T, che spesso è esteso a tutto l asse dei tempi, e il codominio X del segnale, costituito da tutti i valori assunti da x(t), ha natura elettrica. x x(t) 0 t Figura 2.1: Esempio di segnale reale. In senso lato un segnale può essere una qualsiasi grandezza rappresentativa di un segnale fisico, ma funzione in generale complessa della variabile indipendente temporale, per cui si ha la notazione in parte reale e parte immaginaria: [2.1.1] x( t)=x R ( t)+jx I ( t),! t " T, x R " X R, x I " X I, dove j = -1, X R +jx I è il codominio complesso del segnale e si è posto: [2.1.2] x R t { }= 1 # 2 $ x ( t )+x " ( t) % &, ( ) ˆ=! x( t) [2.1.3] x I t { }= 1 # j2 $ x ( t )-x " ( t) % &, ( ) ˆ=! x( t) avendo indicato con x " (t) la funzione complessa coniugata di x(t). Con la notazione complessa in modulo e argomento si ha inoltre: dove [2.1.4] x( t)= x t ( ) e jarg x t ( )!" # $, 2 [2.1.5] x( t) ˆ= x R ( t)+x 2 I ( t) = x( t)x! ( t), [2.1.6] arg x( t)!!" # $ ˆ=artg x I ( t) # % &+ '! " x R ( t) $ 2 1- x R % "% x R ( t) # & ( t) $ &. Si osservi che poiché la funzione arcotangente fornisce un valore compreso nell intervallo (-!/2,!/2), il secondo termine del secondo membro della precedente espressione è necessario per ricavare il valore dell argomento nell intero angolo giro. Per un segnale reale si ha la nota relazione: [2.1.7] x( t)=x! ( t), " t # T, per x I (t) " 0,

16 16 mentre per un segnale puramente immaginario risulta: Operazioni elementari e segnali fedeli [2.1.8] x( t)=-x! ( t), " t # T, per x R (t) " 0. Le operazioni elementari eseguibili su un generico segnale x(t) sono la moltiplicazione per una costante e la traslazione nel tempo, illustrate nell esempio in Figura 2.2. Come già menzionato in precedenza, una volta individuato in un sistema di trasmissione un segnale fisico reale x 0 (t), si assume che sia equivalente dal punto di vista del trasferimento della informazione ogni altra grandezza: [2.1.9] y(t) = g x(t t 0 ), che risulti difforme da x 0 (t) solo per la presenza di un fattore di scala costante g, reale positivo o negativo, e/o per una traslazione temporale, in ritardo (t 0 >0) oppure in anticipo (t 0 <0). Le operazioni elementari di moltiplicazione per una costante reale e di traslazione nel tempo sono dunque prive di effetto sostanziale a riguardo della comunicazione e le grandezze reali della famiglia definita tramite la [2.1.9] si denominano segnali fedeli in senso stretto. x g x o (t - t o ) x (t) o 0 t o >0 Figura 2.2: Segnale reale x 0 (t) e sua replica fedele g x 0 (t - t 0 ). Qualora si faccia riferimento a un segnale complesso, si assume che la famiglia dei segnali fedeli in senso lato sia più ampiamente definita tramite l espressione: [2.1.10] y(t) = g e -j# x(t - t 0 ), con # costante reale arbitraria, considerando elementare la più estesa operazione di moltiplicazione per una costante complessa. Passando ad altre operazioni semplici, si osserva che quella di coniugio è priva di ogni effetto se viene applicata a un segnale reale; diversamente produce il segnale x*(t)=x R (t)-jx I (t), diverso da x(t) e di norma non fedele. Anche la operazione di ribaltamento dell asse dei tempi, per cui da x(t) si ottiene x(-t ), conduce in generale a un segnale diverso e non fedele (vedi Figura 2.3a); possono tuttavia verificarsi delle eccezioni, come ad esempio nel caso di segnale reale con andamento di tipo simmetrico (vedi Figura 2.3b). x(-t) x x(t) x(-t) x x(t) t a) 0 t b) 0 t Figura 2.3 Segnale reale x(t) e segnale x(- t ) ottenuto per ribaltamento temporale. Sui segnali sono inoltre applicabili le operazioni elementari di somma, sottrazione e moltiplicazione, che si effettuano punto per punto, nonché derivazione a integrazione. Infine, viene definita l operazione di convoluzione tra due segnali nel seguente modo: [2.1.11] x(t)$y(t) = x( v)y( t-v)dv il cui significato e la cui applicazione verranno illustrati nel seguito.!

17 2.2 Classificazione di segnali Segnali a tempo continuo e a tempo discreto L attributo di segnale continuo o discreto si riferisce alla caratteristica del dominio o del codominio della funzione che lo rappresenta. Fino a questo punto sono stati considerati segnali definiti in ogni punto di un dominio temporale T, o addirittura dell intero asse temporale: si tratta della classe denominata dei segnali a tempo continuo. Sono tuttavia contemplati anche segnali con esistenza solo in corrispondenza di istanti discreti della variabile tempo, appartenenti alla classe dei segnali a tempo discreto. Questi ultimi, pure avendo natura astratta, sono rilevanti nello studio dei sistemi di telecomunicazione, particolarmente in vista del loro sempre maggiore sviluppo con le cosiddette tecniche numeriche. L approfondita caratterizzazione delle due classi di segnali introdotte sarà in seguito eseguita separatamente. Per completezza e generalità si usano le seguenti definizioni: Se il dominio è un insieme continuo (limitato o illimitato) allora il segnale è tempo continuo Se il dominio è un insieme discreto (limitato o illimitato) allora il segnale è tempo discreto Se il codominio è un insieme continuo (limitato) allora il segnale è continuo Se il codominio è un insieme discreto (limitato) allora il segnale è discreto o quantizzato. Il caso di dominio discreto corrisponde ad un segnale che si manifesta solo in alcuni istanti significativi e tra i due istanti non è definito (non è nullo) Segnali determinati e segnali aleatori Segnali determinati Spesso si fa riferimento a segnali determinati o certi, appartenenti alla classe deterministica, caratterizzati da andamenti che si presuppongono noti sull intero dominio temporale T; pertanto nel caso reale essi sono almeno in parte rappresentabili graficamente nel piano {x, t} con un unico tracciato o forma d onda (vedi Figura 2.1, Figura 2.2, Figura 2.3), oppure nel caso complesso con una coppia di forme d onda nei piani {x R(t), t} e {x I(t), t} (o nei piani { x(t), t} e {arg[x], t}). A volte i segnali determinati sono soggetti a rappresentazioni matematiche semplici, come lo è ad esempio quella estesa all intero asse temporale del generico segnale armonico reale, o semplicemente armonica reale: [2.2.1] x(t) = A cos(% 0 t + & 0 ), dove % 0 = 2! f 0 è la pulsazione, f 0 è la frequenza, T 0 =1/ f 0 è il periodo, A è l ampiezza e & 0 è la fase della particolare armonica. I segnali determinati non trovano riscontro nell esercizio dei sistemi di trasmissione in quanto, essendo noti per definizione, risulterebbe poco utile il loro trasferimento ma vengono utilizzati con efficacia nelle fasi di analisi e progetto di questi ultimi. Grazie alla completa prevedibilità degli andamenti attesi in condizioni ideali, alcuni tipi di segnali certi con forme d onda facilmente misurabili sono impiegati anche nelle fasi di collaudo e di verifica delle prestazioni di apparati o di sistemi, riscontrando in ricezione gli scostamenti rispetto agli andamenti attesi Segnali aleatori Nell esercizio di un sistema di trasmissione si hanno segnali aleatori, appartenenti alla classe stocastica, con andamenti temporali mai completamente noti nella loro individualità; infatti i segnali ricevuti risultano una combinazione del segnale utile con segnali della stessa natura (disturbi) prodotti o dall ambiente (canale di trasmissione) o dai circuiti in cui transita il segnale; a riguardo dei segnali utili si osserva infatti che l informazione risiede nel verificarsi di eventi casuali, ossia incerti a priori per chi riceve (altrimenti non avrebbe senso la trasmissione), mentre per quanto concerne i disturbi per come sono generati sono ignoti ed è ovvio che essi non

18 18 avrebbero più carattere veramente nocivo se fossero noti e, di conseguenza, eliminabili. Si possono comunque precisare alcune grandezze che caratterizzano l insieme di tutti i segnali potenzialmente e casualmente generabili da una medesima sorgente e che, quindi, appartengono a uno stesso processo aleatorio di generazione; individualmente tali segnali sono denominati realizzazioni del processo. Diviene possibile una descrizione ancora più sintetica nella condizione di processo stazionario, ossia qualora permangano invariate nel tempo le cause fondamentali che generano l informazione o il disturbo e i meccanismi che poi formano i relativi segnali. Se ad esempio si fissano le idee sulla particolare sorgente costituita da un parlatore al microfono, non si può conoscere la forma d onda in uscita sull intero asse dei tempi, ma è possibile individuare delle caratteristiche comuni a tutti i segnali audio che la sorgente considerata ha la potenzialità di emettere, particolarmente se non mutano le condizioni né della fonte dell informazione sonora, né del microfono, né dell ambiente. I processi aleatori possono essere divisi in processi con evento isolato, processi continui e in processi discreti. Nel primo caso l aleatorietà non è associata ai valori dell andamento temporale del segnale, ma ad uno o più parametri che possono assumere casualmente valori diversi nelle varie realizzazioni, di tipo a tempo continuo, costituenti l insieme di quelle generabili dal processo considerato. Una volta che la sorgente abbia stabilito con un evento isolato dei valori particolari dei parametri aleatori, la forma d onda risulta completamente nota in tutto il suo sviluppo, ossia il segnale emesso diviene certo; la sua trasmissione può essere tuttavia utile, in quanto consente la conoscenza a distanza della informazione dell evento isolato, residente nei valori particolari, o determinazioni, fissati dalla sorgente per i parametri aleatori. Analiticamente un processo con evento isolato può essere espresso con una funzione esplicita del tempo, che contiene i parametri sotto forma di variabili aleatorie, spesso indicate con la sigla v.a.. Un esempio semplice è offerto da un impulso rettangolare, in cui i parametri sono l ampiezza A, la durata T e il tempo di presentazione t 0 ; una volta che si conoscano le determinazioni di tali v.a. è nota tutta la realizzazione, come mostrato in Figura 2.4. x t 0 T A t Figura 2.4: Esempio di realizzazione di un processo aleatorio con evento isolato. In un processo continuo la casualità si manifesta in forma dinamica per effetto di una serie di eventi aleatori distribuiti nel tempo, in modo che la conoscenza della forma d onda anche a partire da tempi assai lontani non comporta mai la prevedibilità dell andamento futuro. L esempio più tipico è offerto dal rumore gaussiano, dovuto alla emissione in istanti casuali di un numero elevatissimo di forme d onda di assai breve durata e di piccolissima ampiezza, che sommandosi danno luogo a realizzazioni in cui, al limite, la conoscenza dell intero tracciato passato non ha alcuna influenza nemmeno sul valore all istante presente. In generale non sono possibili rappresentazioni del processo mediante funzioni esplicite del tempo, mentre si può ricorrere a descrizioni di tipo probabilistico, che consentono di individuare delle grandezze sintetiche caratteristiche dell insieme delle realizzazioni, tramite una gerarchia di funzioni di probabilità. In un processo discreto la casualità si manifesta ancora in forma dinamica, ma con natura essenzialmente logica: il processo è infatti costituito da una successione di eventi aleatori distribuiti in istanti discreti dell asse temporale. Nel caso più semplice può essere matematicamente rappresentato tramite una serie di v.a. uniche, così che le realizzazioni, tipici segnali a tempo discreto, risultano costituite dalla corrispondente serie delle determinazioni, ossia dei particolari valori che la sorgente abbia stabilito per tutti i singoli eventi casuali. Come esempio si può considerare il caso elementare di una sorgente di messaggio numerico, che a intervallo

19 19 regolare emette casualmente una delle due possibili cifre binarie, 0 e 1; si ha allora una realizzazione del tipo: La descrizione probabilistica del processo avviene caratterizzando la successione delle menzionate v.a.. Si può concepire un processo continuo a partire da una successione temporale di eventi casuali distribuiti in istanti discreti, ossia da un processo discreto, facendo però corrispondere ad ogni evento l emissione di segnali a tempo continuo tipici di processi con evento isolato; allora il processo può essere espresso analiticamente tramite una serie temporale di funzioni esplicite del tempo, contenenti uno o più parametri sotto forma di v.a.. Un esempio semplice è quello in cui le funzioni esplicite sono impulsi rettangolari, di durata T invariata e tempi di presentazione equispaziati, con ampiezze corrispondenti a una successione di v.a.; in Figura 2.5 è mostrata una realizzazione del processo considerato. La descrizione probabilistica del processo passa per quella del corrispondente processo discreto. Figura 2.5: Esempio di realizzazione di un processo continuo espresso tramite una serie temporale 2.3 SEGNALI A TEMPO CONTINUO Segnali continui di processi con eventi isolati. Un segnale a tempo continuo ha come dominio temporale un insieme continuo, che a meno di menzione contraria verrà nel seguito inteso come l intero asse temporale. Un tale segnale x(t) è regolare nel generico istante t 0 se esiste, finito o infinito, il limite per t che tende a t 0 di x(t) ; il segnale è poi continuo in t 0 se si verifica: [2.3.1] lim x t t!t0 ( )=x( t 0 ). Qualora la precedente espressione sia soddisfatta in ogni punto del dominio temporale, si ha un segnale continuo. Di tale tipo è ad esempio l armonica reale (vedi [2.2.1]). A causa della natura non ideale dei dispositivi e componenti impiegati nei reali sistemi di trasmissione, i segnali ivi riscontrabili in pratica, siano essi segnali certi di prova o realizzazioni di processi aleatori, sono tutti di tipo continuo. A volte si hanno tuttavia delle forme d onda in cui compaiono tratti estremamente ripidi, che assimilano con buona approssimazione l andamento di segnali non continui, ai quali sia stato fatto riferimento nelle fasi teoriche di analisi e di progetto dei sistemi Segnali con discontinuità Discontinuità nei segnali a tempo continuo Un segnale a tempo continuo x(t) che non converga in t 0 ha in tale istante una discontinuità di prima specie se il suo andamento è regolare sia a sinistra che a destra di t 0, ossia si ha: - [2.3.2] lim x t - t!t 0 ( )=x( t 0 ), lim x t + + t!t 0 ( )=x( t 0 ),

20 20 ma si verifica la disuguaglianza dei due limiti, con valore non nullo della discontinuità + - [2.3.3] d 0 ˆ=x ( t 0 )-x( t 0 )! 0. Nell istante t 0 si definisce per il segnale non continuo il suo emivalore: [2.3.4] x em t 0! " ( ) ˆ= 1 2 x t + 0 ( )+x t 0 - ( ) # $ = x t - ( 0)+ 1 2 d = x t + 0 ( 0 )- 1 2 d. 0 Un segnale non continuo, che come menzionato si riscontra solo in sede teorica risultando di notevole utilità, presenta spesso più di una discontinuità di prima specie. Estendendo le considerazioni precedenti alla derivata di un segnale continuo, è possibile o meno evidenziare una o più discontinuità di seconda specie; se anche la derivata ha un andamento continuo, possono poi presentarsi discontinuità di terza specie osservando la derivata seconda del segnale Esempi di segnali con discontinuità Il primo esempio di segnale non continuo è offerto dal gradino unitario, con forma d onda mostrata in Figura 2.6a e indicato con la notazione: " 0,! t<0 [2.3.5] u t ( ) ˆ= $ # $ % $ 1 2, t = 0 1,! t>0 Il segnale u(t) ha l emivalore! nella discontinuità nell origine; esso gode inoltre sull intero asse dei tempi della proprietà: [2.3.6] u(t) +u(-t) =1. Un secondo esempio, con emivalore nullo nel punto di discontinuità nell origine, è quello del segnale segno della variabile t, mostrato in Figura 2.6.b e indicato con la notazione: [2.3.7] sgn t ( ) ˆ= Tra tale segnale e il gradino unitario sussiste la relazione: " $ # $ % -1,! t<0 0, in t = 0 1,! t>0 [2.3.8] sgn(t) = u(t) - u(-t).. ; 1 x u(t) 1 x sgn(t) a) gradino unitario 0-1 t b) segno di t Figura 2.6: Esempi di segnali determinati con discontinuità di prima specie. Un ulteriore significativo esempio di segnale non continuo, con emivalori! nei punti di discontinuità in t =T/2, è offerto dal segnale denominato impulso rettangolare unitario di durata T (vedi Figura 2.7), per cui si usa la notazione: 0-1 t

21 21 ( 1, ' t < T / 2! t $ * [2.3.9] rect# & = ) 1/ 2, in t =T/2 " T % * 0, ' t > T / 2 + *, e sussiste la relazione con il gradino unitario:! t $ [2.3.10] rect# " T % & = u! t + T $ # " 2 % &' u! t ' T $ # " 2 &. % 1 x - T 0 T 2 2 Figura 2.7: Impulso rettangolare unitario, con due discontinuità di prima specie. Si noti che, al contrario dei due segnali precedentemente definiti, la funzione rect(t/t) è contraddistinta dalla presenza di un parametro: la durata T dell impulso. Nel caso in cui il valore di T sia noto, il segnale considerato è del tipo determinato, come lo sono il gradino unitario e il segnale segno; se invece si assume che T stia a indicare una v.a., la funzione rect(t/t) diviene l espressione esplicita di un processo aleatorio con evento isolato. Ogni segnale con punti di discontinuità di prima specie negli istanti t k può essere generalmente scomposto nella somma: [2.3.11] x(t) = x C (t) + x G (t), dove x C (t) è un segnale continuo e x G (t) è un segnale a gradini, costante a tratti (vedi esempio in Figura 2.8): N + - [2.3.12] x G ( t)=! d k u( t-t k ), d k =x( t k )-x t k k=1 x t ( ). 0 t k t Figura 2.8: Forma d onda di un segnale a gradini. Rammentando le relazioni che consentono di esprimere il segnale segno e l impulso rettangolare unitario in funzione del gradino unitario u(t), si nota che esse sono casi particolari del generico segnale a gradini espresso tramite la [2.3.12] Durata dei segnali Segnali a tempo continuo e durata finita Si ha un segnale a tempo continuo e durata finita se l andamento risulta strettamente limitato nel tempo, ossia se è identicamente nullo all esterno di un intervallo (t m, t M ), di estensione o durata limitata D = t M -t m :

22 % ' [2.3.13] x( t)= & (' 22 ( ) ( ) x! X, " t! t m,t M x # 0, " t $ t m,t M. Nel caso di durata breve si usa la denominazione di segnale impulsivo o semplicemente impulso. Se risulta t m '0, si può assegnare alla grandezza l attributo di segnale causale a durata finita. Un primo esempio è lo impulso rettangolare di durata T e di ampiezza finita A (vedi Figura 2.9a): [2.3.14] x(t) = A rect " t % $ ', # T& che generalizza l impulso rettangolare unitario, con l aggiunta di un secondo parametro. Altri esempi sono l impulso triangolare di durata T e valore massimo A (vedi Figura 2.9b): [2.3.15] x(t) = A tri " t % " t % " t % " t % $ ', con tri$ ' = 1- # T& # T $ & # T/2 ' rect$ ', & # T& e lo impulso a coseno rialzato di durata T e valore massimo A (vedi Figura 2.9c): [2.3.16] x(t) = A 1 2 # 2"t & 1+cos $ % T '( rect " t % $ '. # T& A x A x A x a) - T 0 T t - T 0 T t - T 0 T 2 2 b) 2 2 c) 2 2 Figura 2.9: Forme d onda di segnali a durata limitata. t Osservando le forme d onda dei tre esempi di segnali a tempo continuo e durata finita riportate in Figura 2.9, si nota la presenza nel primo di due discontinuità di prima specie e nel secondo di tre discontinuità di seconda specie, ossia della derivata; il terzo impulso è invece continuo, con derivata continua Segnali a tempo continuo e durata illimitata I segnali a tempo continuo e durata illimitata, ossia non strettamente limitati nel tempo, sono ripartibili in tre categorie. Si ha un segnale bilatero se esso è diverso da zero su tutto l asse dei tempi, ad eccezione di punti o intervalli limitati. Un esempio rilevante di segnale bilatero è il segnale sinc, definito tramite l espressione: " [2.3.17] sinc t % $ ' = # T& sin ("t/t) "t/t. Si noti che il segnale considerato, di tipo continuo, vale 1 nell origine e assume valore 0 per ogni t multiplo del parametro T, come mostrato in Figura L inviluppo della funzione considerata, ossia il luogo dei massimi relativi del valore assoluto sinc(t/t), decresce seguendo una legge di proporzionalità inversa dalla distanza dall origine t. Pertanto occorre allontanarsi dall origine per un elevato numero di intervalli T se si desidera che il segnale sinc abbia valori trascurabili rispetto all unità; ad esempio il valore assoluto è sempre inferiore a 0,01 se t è maggiore di 32 T.

23 23 sinc(t/t) " Figura 2.10: Forma d onda del segnale sinc t % $ '. # T& t/t Un secondo esempio di segnale bilatero, ancora di tipo continuo, è offerto dal segnale gaussiano unitario: [2.3.18] gauss(t/t) = e - 1" t % 2 $ ' 2# T & con valore massimo unitario nell origine e andamento tanto più rapidamente decrescente all aumentare della distanza t dall origine, quanto più è piccolo il valore del parametro T. Basta allontanarsi dall origine per un piccolo numero di intervalli T affinché il segnale gaussiano abbia valori trascurabili rispetto all unità; ad esempio il valore assoluto è sempre inferiore a 0,01 se t è maggiore di 3,1 T. Si ha un segnale monolatero destro se esso ha valore sempre nullo per ogni t minore di un istante iniziale t m, ossia: $ & [2.3.19] x MD ( t)= x! 0, " t<t m % '& x # X, " t>t m Nel caso t m =0 il segnale considerato si specifica come monolatero destro nell origine; qualora risulti t m '0 si assume spesso la denominazione di segnale causale a durata illimitata. In Figura 2.11 sono mostrati a titolo di esempio due forme d onda del tipo monolatero destro, quella con discontinuità di prima specie del segnale unitario a decadimento esponenziale: [2.3.20] u e (t/t) = e - t T u(t), dove il parametro T>0 è denominato la costante di tempo, e quella continua, ma con discontinuità di seconda specie, del segnale a rampa:,. [2.3.21] ramp(t/t) = 1 T t # u (!) d! = t T u(t). -" 1 x u (t/t) e ramp(t/t) 0 Figura 2.11: Forme d onda di segnali monolateri destri dall origine. Considerato un istante finale t M, si ha un segnale monolatero sinistro se esso ha valore sempre nullo per ogni t maggiore del menzionato istante, ossia si ha: 1 t / T

24 24 $ & x! X, " t< t [2.3.22] x MS ( M t)= % '& x # 0, " t> t M. Rammentando la relazione [2.3.6], nel caso di segnale bilatero si può porre: [2.3.23] x(t) = x(t)[u(t) + u(-t)] = x MD (t) + x MS (t), ottenendo come mostrato in Figura 2.12 la bipartizione del segnale in una coppia di segnali monolateri dall origine, uno destro e uno sinistro: [2.3.24] x MD (t) = x(t) u(t), x MS (t) = x(t) u(-t). Figura 2.12: Segnale bilatero (a) e sua bipartizione in segnali monolateri (b). Ovviamente la bipartizione può essere attuata a partire da un generico istante t 0, servendosi della relazione u(t-t 0 )+u(-t+t 0 )=1, ottenuta dalla [2.3.6] con il cambio di variabile da t a t-t Segnali periodici a tempo continuo Una notevole sottoclasse delle forme d onda bilatere è quella dei segnali periodici a tempo continuo, costituita dal rispetto della proprietà di ripetizione: [2.3.25] x(t-kt 0 ) = x(t), # $ %! t " T! k " Z dove con Z è indicato l insieme dei numeri interi e l intervallo T o di ripetizione dell andamento della forma d onda è denominato periodo del segnale. Gli esempi più classici di segnale periodico sono offerti dai segnali armonici: quello reale già citato (vedi [2.2.1]) e la armonica complessa: [2.3.26] A e j (! ot+" o ) = Acos(% 0 t+& 0 ) + jasin(% 0 t+& 0 ). Un segnale periodico si può ottenere anche dalla replica infinite volte di una funzione alementare. Dato un segnale g(t) e definita la funzione di replica a intervallo T 0 (la assenza degli estremi in ( sta a indicare che la sommatoria si intende estesa da -) a )): [2.3.27] rep T0 {g(t)} = ( k g(t - kt 0),,

25 25 è immediato constatare che si genera un segnale periodico x(t) = rep T0 {g(t)}, di periodo T 0 (vedi Figura 2.13). Si noti che solo nel caso in cui g(t) sia limitato in un intervallo di durata D 0 *T 0, l andamento del segnale periodico coincide con quello della funzione generatrice, g(t), nell intervallo in cui questa ultima è diversa da zero (vedi Figura 2.13b). Figura 2.13: Forme d onda periodiche ottenute tramite la ripetizione di una funzione generatrice con durata maggiore (a) e minore (b) del periodo Scomposizione di segnali a tempo continuo Un generico segnale reale a tempo continuo può essere additivamente scomposto in una componente pari e in una componente dispari: [2.3.28] x(t) = x P (t) + x D (t), che sono rispettivamente caratterizzate dalle proprietà [2.3.29] x P (t) = x P (-t), x D (t) = - x D (-t), evidenziate nelle forme d onda mostrate in Figura Figura 2.14: Componente pari (a) e componente dispari (b) di un segnale reale. Poiché in base alle proprietà immediatamente sopra esplicitate si ottiene: valgono le relazioni: [2.3.30] x(-t) = x P (-t) + x D (-t) = x P (t) - x D (t), [2.3.31] x P ( t)= 1 2!" x ( t )+x(-t) # $, x ( t )= 1 D 2!" x ( t )-x(-t) # $. Nel caso in cui sia identicamente nulla la componente dispari o la componente pari, si ha rispettivamente la denominazione di segnale pari (x D (t)"0) o di segnale dispari (x P (t)"0). Sono

26 26 esempi di segnale pari l impulso rettangolare Arect(t/T) e il segnale sinc(t/t); è invece ad esempio dispari il segnale sgn(t). Anche un segnale reale causale può essere scomposto in parte pari e dispari; si ha ad esempio per il gradino unitario (vedi Figura 2.15a): [2.3.32] u( t)= 1 2!" 1+sgn ( t )# $. Nel caso di un impulso rettangolare unitario traslato in ritardo di un tempo t 0 >T/2 si ha poi (vedi Figura 2.15b): " [2.3.33] rect t - t % 0 $ ' = 1 ( # T & 2 rect " t - t % " 0 $ ' + rect t + t % + 0 $ ' ) * # T & # T &, ( 2 rect " t - t % " 0 $ ' - rect t +t % + 0 $ ' ) * # T & # T &, - 1 x u(t) 1 x 1 0 x u (t) P t 1 0 x t o t 0 1/2 x u (t) D t 0 t 0 t a) b) Figura 2.15: Scomposizione in pare pari e parte dispari di un gradino unitario (a) 1/2 e di un impulso rettangolare unitario (b). Nel caso di un generico segnale complesso a tempo continuo la scomposizione si generalizza in una componente complessa hermitiana e in una componente complessa antihermitiana: [2.3.34] x(t) = x H (t) + x AH (t), che sono rispettivamente caratterizzate dalle proprietà:!! [2.3.35] x H (t) = x H (-t), x AH (t) = - x AH -t Si noti che la componente hermitiana ha parte reale pari e coefficiente della parte immaginaria dispari, mentre la componente antihermitiana ha parte reale dispari e coefficiente della parte immaginaria pari. Poiché in base alle proprietà sopra esplicitate si ottiene: valgono le relazioni: [2.3.36] x!! (-t) = x H! (-t) + x AH -t 0 x ( ). ( ) = x H (t) - x AH (t), [2.3.37] x H ( t)= 1 " 2 # x ( t )+x! (-t) $ %, x t AH ( )= 1 " 2 # x ( t )-x! (-t) $ %. Qualora sia identicamente nulla la componente antihermitiana o quella hermitiana, sia ha rispettivamente le denominazione di segnale hermitiano, caratterizzato dalla: [2.3.38] x(t) = x*(-t), t

27 27 o di segnale antihermitiano, caratterizzato dalla: [2.3.39] x(t) = - x*(-t). In base alla [2.3.38] risulta che la contemporanea applicazione delle semplici operazioni di coniugio e di ribaltamento temporale non produce alcun effetto su un segnale hermitiano Impulso ideale di Dirac Proprietà dell impulso ideale Nell analisi dei segnali e dei sistemi di telecomunicazione, non di rado si ricorre all impiego di un segnale particolare: si tratta della funzione generalizzata di Dirac, o impulso ideale di Dirac, comunemente indicato con la notazione +(t). L impulso ideale viene solitamente introdotto attraverso la sua proprietà di campionamento, espressa dalla: # b % [2.3.40] " f ( t)! ( t-t 0 )dt = 1 $ 2 f t 0 a % & f ( t 0 ), a<t 0 <b ( ), t 0 =a, b 0, t 0 <a, t 0 >b dove la generica funzione f(t) è supposta continua in t=t 0. Si ha poi, intendendo l integrale esteso da -) a +) : [2.3.41] " f ( t)! ( t-t 0 )dt=f ( t 0 ). Poiché la relazione precedente implica, ponendo in particolare f(t)"1, che +(t) sia ovunque nulla tranne che nell origine e che il suo integrale sia unitario, ossia che si abbia per la sua area: [2.3.42] "!( t)dt=1, è evidente che l impulso ideale non è una funzione in senso ordinario. Come mostrato nel paragrafo , l impulso ideale +(t) può essere considerato al limite come la derivata del gradino unitario u(t) L impulso ideale come limite di funzioni ordinarie Come già notato l impulso ideale non è una funzione ordinaria: per una trattazione rigorosa sarebbe necessario introdurre il concetto di distribuzione, ovvero di entità che fa corrispondere un valore e una funzione. Non volendo uscire in questo testo dal novero delle funzioni ordinarie, occorre però che la grandezza +(t) che compare a fattore nell integrale [2.3.41] sia opportunamente interpretata, come limite di funzioni ordinarie. In proposito si consideri il gradino unitario u(t), ottenuto come limite di funzione continua, ponendo: [2.3.43] u( t)= lim t/t 0 T0!0 -# $ sinc (")d", dove T 0 >0 e il limite va effettuato a valle della integrazione. Indicata con +(t) la derivata rispetto a t del secondo membro della [2.3.43] : 1 " t % [2.3.44] lim sinc T0 $ ' = +(t),!0 T 0 # & T 0,

28 28 si ottiene una delle possibili interpretazioni dell impulso ideale come limite di funzione ordinaria, che porta a ritenere che la +(t) possa considerarsi la derivata della funzione u(t)-c, dove c è costante. Tale relazione, che una volta determinata la costante di integrazione porta all integrale definito t [2.3.45] $!(")d" = u(t), -# è in effetti rigorosa nel campo delle distribuzioni. Dalla [2.3.44] risulta che l impulso ideale è di tipo pari, essendo tale il segnale sinc(t/t). Pertanto, considerando una sua generica traslazione temporale t 0 si ottiene la relazione: [2.3.46] +(t-t 0 ) = +(t 0 -t) Energia e potenza dei segnali a tempo continuo Si denomina spazio funzionale, indicato con L P, la totalità dei segnali a tempo continuo x(t) per cui esiste ed è finita la norma p-esima, definita dalla (la assenza degli estremi indica che l integrale è esteso da -) a +)): [2.3.47] x t " #$! ( ) p ˆ= x( t) p dt dove p è un numero reale positivo. Pertanto L 1 è lo spazio funzionale dei segnali assolutamente integrabili e L 2 è lo spazio funzionale dei segnali quadraticamente integrabili. Se i segnali x(t) sono definiti solo in un dominio finito T, lo spazio funzionale da essi formato è indicato con la notazione L P (T). Avendo assunto che x(t) 2 fornisca la potenza istantanea di x(t), in generale complesso, si ha la seguente definizione della energia del segnale: [2.3.48] E xx = x t % &' 1/p,!. 2 ( ) 2 = x ( t ) 2 dt Una prima rilevante categoria di segnali è quella per cui E xx, reale per definizione, assume valore finito: tali segnali, che formano lo spazio funzionale L 2, sono denominati a energia finita o semplicemente segnali di energia. Essi possono essere a durata finita, come negli esempi degli impulsi rettangolare, triangolare e a coseno rialzato, ma anche illimitati nel tempo, come ad esempio accade per i segnali sinc e gaussiano. Nel caso di segnale illimitato nel tempo può essere considerata la sua approssimazione con un segnale praticamente limitato nel tempo, individuando un intervallo, denominato durata pratica del segnale, all esterno del quale x(t) si approssima con lo zero in modo che l integrale di x(t) 2 esteso alla sola durata pratica del segnale fornisca un valore praticamente coincidente con la effettiva energia E xx. Qualora un segnale x(t) sia illimitato nel tempo e non abbia energia finita, si passa a considerare un altra grandezza, adottando la seguente definizione della potenza media temporale, o semplicemente potenza del segnale: dove si è introdotto il segnale troncato: 1 [2.3.49] W xx = lim T!" T # x t T ( ) 2 dt,! t $ [2.3.50] x T (t) = x(t) rect# &. " T %

29 29 Ammesso che sia finito il valore W xx, reale per definizione, il tipo di segnale considerato è denominato a potenza finita o semplicemente segnale di potenza. Per esso si definisce anche la grandezza: [2.3.51] x eff = W xx, denominata valore efficace del segnale. Nel caso dei segnali periodici, sottoclasse tipica dei segnali di potenza, indicata con E xx (T 0 ) l energia di x(t) calcolata solo all interno di un qualsiasi intervallo di durata pari al periodo T 0 e indipendente dal particolare intervallo scelto, la potenza del segnale può essere espressa tramite la: [2.3.52] W xx = E T xx ( 0) T 0 /2 = 1 x( t) 2 dt T 0 T 0!. Nel caso di segnale periodico generato per ripetizione di una funzione generatrice g(t) (vedi [2.3.27]), si noti che E xx (T 0 ) coincide con la energia E gg della funzione generatrice, se quest ultima ha durata non maggiore di T 0, altrimenti è in generale diversa. L integrale del segnale esteso a tutto l asse temporale, -T 0 /2 [2.3.53] area[x(t)] =! x( t)dt, è denominato area del segnale. Tale grandezza, in generale complessa, è sempre finita nei segnali di energia. Solo per i segnali di potenza può risultare diverso da zero il valore medio temporale, o semplicemente valore medio del segnale, definito dalla: 1 [2.3.54] x = lim T!" T # x t T ( )dt. Un segnale con valore medio diverso da zero può essere scomposto in due addendi: uno di valore costante, pari al valore medio temporale x, e l altro a valore medio nullo: [2.3.55] x a (t) = x(t) - x. Nel caso di segnale reale, i due addendi considerati, x e x a (t), si denominano rispettivamente componente continua e componente alternata. Spesso si considerano segnali di potenza reali, con codominio X finito, denominati segnali simmetrici: essi sono privi di componente continua e hanno valori massimo e minimo opposti; denominato valore di picco il comune valore assoluto, ossia x p =x M = x m, si definisce il fattore di picco: [2.3.56] F p = x p x eff = x p W xx. Come noto il fattore di picco di una armonica reale ha valore 2 ; per ogni altro segnale simmetrico il fattore di picco ha valore maggiore. Si noti che i segnali di potenza sono di tipo ideale, poiché nella realtà non esistono segnali che non abbiano valori nulli nelle parti più estreme dell asse dei tempi. Nella pratica si considerano però spesso come segnali di potenza quelle forme d onda di energia che hanno durata molto maggiore dell intervallo temporale (a volte addirittura ridotto all ordine dei secondi) entro il quale interessa osservare il segnale e per le quali la potenza media temporale valutata solo nell intervallo di osservazione praticamente non varia al variare dell estensione di quest ultimo; il segnale di

30 30 potenza è poi in effetti quello che si ottiene estrapolando all esterno del tempo di osservazione l andamento al suo interno. 2.4 SEGNALI A TEMPO DISCRETO Caso generale e sequenze Dal tipico andamento di un segnale a gradini è facile dedurre che esso risulta completamente caratterizzato quando siano noti gli istanti t k di discontinuità e l insieme, corrispondentemente ordinato, dei livelli. In base a tale osservazione appare motivata l introduzione del segnale a tempo discreto, entità astratta ma assai valida sul piano logico-matematico, che è definito solo su un insieme discreto numerabile {t n } di istanti temporali; questi possono essere in numero finito o infinito, distribuiti nel tempo in modo generico oppure con equispaziatura tra elementi adiacenti, come mostrato in Figura Figura 2.16: Insieme discreto di definizione di un segnale a tempo discreto, con distribuzione generica (a) e con equispaziatura nel tempo (b). Il caso più frequente e interessante è quello di istanti discreti equispaziati, con generico intervallo costante T, per i quali si può stabilire la seguente assai semplice corrispondenza biunivoca con l insieme dei numeri interi: [2.4.1] t n = nt. Il segnale a tempo discreto è allora denominato sequenza e viene indicato con la notazione x(n), dove il generico k-esimo elemento, o campione della sequenza, assume il valore, che può essere sia reale che complesso: [2.4.2] x k = x(kt). Alle sequenze sono applicabili le operazioni elementari di moltiplicazione per una costante e di traslazione temporale, così come quelle di coniugio e di ribaltamento temporale, con esecuzione da compiersi campione per campione. Valgono parimenti i concetti di sequenze reali o complesse e di sequenze tra loro fedeli, immediatamente deducibili dalle definizioni fornite per i segnali a tempo continuo. Se tutti i campioni x k hanno valori noti, si ottiene una sequenza determinata o certa. Si può invece considerare che gli elementi siano variabili aleatorie, indicate con la notazione X k : allora la successione di tali v.a. diviene la rappresentazione di un processo aleatorio discreto, come già accennato nel paragrafo Il primo elementare esempio di sequenza determinata è il campione unitario, mostrato in Figura 2.17a ed espresso con la notazione: # % [2.4.3] +(n) = $ &% 1, n = 0, 0,! n " 0