x Ragazza x Fido Esercizio 1

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1 A UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello novembre Nome: Cognome: Barrare la casella corrispondente: Larea Ing. Informatica Altro Esercizio Incontrate na ragazza con il so cane Fido e vi chiedete che età possa avere. Lei sembra leggervi nel pensiero e vi dice: Non si chiede l età ad na donna, però cinqe anni fa non avevo meno di cinqe volte l età che aveva allora Fido, ed ora non ho più di tre volte l età di Fido. Qal è l età che pò avere al massimo la ragazza?. Formlare il problema come problema di PL con variabili.. Trovare la solzione ottima con il metodo grafico.. Dimostrare l ottimalità della solzione con le condizioni di ortogonalità... ma Ragazza Ragazza Ragazza Fido Ragazza Ragazza ( Fido Solzione Fido ) Fido - Solzione ottima: Ragazza Fido

2 . ma Fido Ragazza Fido Ragazza Fido Ragazza Ragazza Dale: NB: le de variabili primali potevano anche essere considerate non negative, per semplicità sono state considerate libere. Condizioni di ortogonalità: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Fido Ragazza Fido Ragazza Fido Ragazza Fido Ragazza Sostitendo si ha: () () vero sempre vero sempre Da ci si ha:,, che è ammissibile dale, il che dimostra l ottimalità di.

3 Esercizio Portando il problema in forma standard è necessario cambiare segno alla fnzione obiettivo, sostitire la variabile libera con na differenza di variabili vincolate, e aggingere variabili di scarto (come in figra). Impostando il problema artificiale è sfficiente introdrre na variabile artificiale sl secondo vincolo (come in figra). La base iniziale è qindi [ ] A A A B. Al primo pivot entra A ed esce A. Fine della fase, inizia la fase. Il vettore viene aggiornato e si ha: T ( ). Al sccessivo pivot entra A ed esce A, qindi entra A ed esce A. La base trovata rislta ottima, la solzione ottima è:.

4 Esercizio In tabella è riportato il peso degli archi di n grafo non orientato con 8 nodi 8. Trovare l albero ricoprente di peso imo, a partire dal nodo, tilizzando l algoritmo di Prim-Dijkstra. Indicare in qale ordine vengono agginti archi all albero ricoprente (in qale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi del grafo). Archi (,) (,) (,) (,) (,8) (,) (,) (,7) (,) (,) (,8) (,) (,7) (,7) (,8) (7,8) Costi 9 Solzione L ordine in ci vengono fissati i flag dei nodi è,,,,, 8, 7 e. L albero ricoprente di costo imo è composto dai segenti archi (,),(,),(,),(,),(,8),(8,7),(7,). Si osservi come al posto dell arco (,) si possa selezionare l arco (,) ottenendo comnqe na solzione ottima che sege esattamente lo stesso ordinamento dei flag.

5 B UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello novembre Nome: Cognome: Barrare la casella corrispondente: Larea Ing. Informatica Altro Esercizio Volete calcolare il massimo nmero di stdenti della facoltà di Ingegneria che possono partecipare al programma Erasms. La facoltà di Ingegneria si divide in Dipartimenti (Informatica, Elettronica, Meccanica, Civile), ogni dipartimento ha ricevto n nmero di domande diverso, pari a per Informatica, per Elettronica, per Meccanica e per Civile. Sono disponibili varie convenzioni con diverse niversità straniere. In Spagna si possono mandare stdenti, in Germania stdenti, in Norvegia stdenti, in Francia ed infine stdenti in Gran Bretagna. Le convenzioni attivate non permettono di mandare più di stdenti di n dipartimento nello stesso paese, inoltre gli stdenti di Informatica non possono andare in Francia, gli stdenti di Elettronica in Spagna, gli stdenti di Meccanica in Norvegia, e gli stdenti di Civile non possono andare in Germania. Si formli (senza risolvere) il problema di massimizzare il nmero di stdenti da mandare nei programmi Erasms come n problema di massimo flsso s na rete opportna. Solzione La rete di flsso sarà n grafo bipartito, in ci il primo insieme dei nodi sarà formato da qattro nodi che rappresentano i Dipartimenti (I,E,M,C), mentre il secondo insieme dei nodi sarà formato dalle cinqe nazioni (S,G,N,F,GB). Oltre a qesti nodi ci saranno nella rete di flsso anche il nodo sorgente () ed il nodo pozzo (). Gli archi che compongono la rete si possono dividere in tre insiemi, il primo insieme connette il nodo sorgente con i qattro nodi dei dipartimenti, ed ogni arco in qesto insieme avrà come capacità il nmero di domande di qel dipartimento (capacità per l arco (,I), per (,E) e così via). Il secondo grppo di archi che rappresenta le convenzioni attivate, connette i nodi dei dipartimenti con i nodi delle nazioni. Gli archi in qesto grppo avranno ttti capacità pari a. Si noti come alcni archi non saranno presenti, per via dell assenza di convenzione tra alcni dipartimenti ed alcne nazioni, come ad esempio l arco (I,F) o (E,S). Infine l ltimo grppo di archi connette i nodi delle nazioni con il nodo. Gli archi in qesto grppo saranno capacitati con il massimo nmero di stdenti Erasms che na nazione pò assorbire (es. per l arco (S,))

6 Esercizio In tabella sono riportati gli archi di na rete di flsso con nodi ed i valori di domanda di ogni nodo (assmendo n valore negativo per n nodo sorgente e n valore positivo per n nodo pozzo). Si deteri n flsso ammissibile tilizzando la fase del simplesso s reti, o dimostrare che il problema non ammette solzione ammissibile. Archi (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Nodi Domanda Solzione Dopo l inserimento del nodo artificiale 7, l algoritmo del simplesso s reti procede come sege. Nella prima iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l scita dell arco (,7), il flsso circolante nel ciclo è. Nella seconda iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l scita dell arco (7,) il flsso circolante nel ciclo è. Nella terza iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l scita dell arco (7,) il flsso circolante nel ciclo è. Nella qarta iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l scita dell arco (,7) il flsso circolante nel ciclo è. Nella sesta iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l scita dell arco (,7) il flsso circolante nel ciclo è. La solzione così trovata rappresenta n flsso ammissibile per la rete di flsso.

7 Esercizio Dato il problema di PL (primale) in figra,. risolvere il problema con il metodo grafico ed impostare il problema dale;. Se il primale ammette na solzione ottima, dalla solzione ottima del primale ricavare la solzione ottima del dale con le condizioni di ortogonalità. Se il primale non ammette na solzione ottima, risolvere il problema dale con il metodo del simplesso. in figra è rappresentato l insieme delle solzioni che soddisfano le prime de diseqazioni. Poiché nessn pnto soddisfa le rimanenti diseqazioni, il problema è impossibile. Problema dale: ma In forma standard: La base iniziale è ad es. [ ] A A B, e pò iniziare direttamente la fase. Al primo pivot entra A ed esce A. Al secondo pivot entra A e il problema rislta illimitato inferiormente.

8 C UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello novembre Nome: Cognome: Barrare la casella corrispondente: Larea Ing. Informatica Altro Esercizio E possibile formlare l esercizio tilizzando variabili: f, f investimento (in ero) in attività finanziarie all inizio di primo e secondo anno; g, g investimento (in ero) in coltivazione di grano all inizio di primo e secondo anno; a, a investimento (in ero) in coltivazione di albicocche all inizio di primo e secondo anno; I vincoli rigardano il bilancio finanziario all inizio del primo e del secondo anno (entrate scite) e la risorsa terreno nei de anni (non posso sare più di ettari). La fnzione obiettivo è pari al capitale alla fine del secondo anno. Vincoli di bilancio: fga. fga,fg,a vincoli slla risorsa terreno: g/ a/ < g/ a/ a/ < Fnzione obiettivo: rendita finanziaria,f incasso raccolto grano g incasso albicocche,a,a vendita terreno coltivato ad albicocche.(a/ a/ ) a a vendita altro terreno 8.( - a/ - a/ ). a a ma,fg,a,aaa-a-a capitale finale. ma {,fg,a,a : fga. fga,fg,a g/ a/ < g/ a/ a/ < f,f,a,a,g,g > } La solzione ottima (non richiesta per l esame) prevede n capitale finale di 8. ero. F 9.7 G 8. A.7 A. F.

9 G 8. Esercizio In tabella è riportato il peso degli archi di n grafo orientato con 8 nodi 8. Trovare l albero dei cami imi, a partire dal nodo, tilizzando l algoritmo di Dijkstra. Indicare in qale ordine vengono agginti archi all albero dei cami (in qale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi del grafo). Evidenziare il camo imo tra il nodo e il nodo 8. Archi (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,) (,) (,8) (,) (,7) (,7) (,8) (7,8) Costi 8 9 Solzione L ordine in ci vengono fissati i flag dei nodi è,,,,,, 7 e 8. L albero dei cami imi a partire dal nodo è composto dai segenti archi (,),(,),(,),(,),(,),(,7),(,8). Il camo imo da a 8 passa attraverso i nodi,, 7 e 8.

10 Esercizio È dato il problema di PL in figra.. Portare il problema in forma standard.. Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare na solzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. libera, ma Portando il problema in forma standard è necessario cambiare segno alla fnzione obiettivo, sostitire la variabile libera con na differenza di variabili vincolate, e aggingere variabili di scarto (come in figra). Impostando il problema artificiale è sfficiente introdrre na variabile artificiale sl primo vincolo (come in figra). La base iniziale è qindi [ ] A A A B. Il problema è illimitato inferiormente.

11 D UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello novembre Nome: Cognome: Barrare la casella corrispondente: Larea Ing. Informatica Altro Esercizio Grnt, il cavernicolo, possiede na clava e n certo nmero di conchiglie. Grnt pò barattare i soi oggetti come indicato in segito: Clava conchiglie Cane Clava conchiglie Be Cane conchiglie Be Clava 7 conchiglie Canoa Cane conchiglie Canoa Be conchiglie Canoa Clava conchiglie Palafitta Cane conchiglie Palafitta Be conchiglie Palafitta Canoa conchiglie Palafitta Qale è il nmero imo di conchiglie che Grnt deve pagare (e qali scambi deve effettare) per comprare na palafitta? Formlare (senza risolvere) il problema come n problema di camo imo s n grafo opportno. Solzione I nodi del grafo rappresenteranno l oggetto in possesso di Grnt, mentre gli archi verranno tilizzati per rappresentare i possibili baratti. Il peso degli archi sarà dato dal nmero di conchiglie necessarie per concldere il baratto. Indicando con Cl il nodo clava, Ca il nodo cane, B il nodo Be, Co il nodo Canoa e P il nodo palafitta il grafo sarà composto dai segenti archi, opportnamente pesati, (Cl,Ca), (Cl,B), (Ca,B), (Cl,Co), (Ca,Co), (B,Co), (Cl,P), (Ca,P), (B,P), (Co,P). Il modo più economico per raggingere la Palafitta corrisponde ad individare il camo imo tra i nodi Cl e P.

12 Esercizio In tabella sono riportati i costi nitari degli archi di na rete di flsso con nodi ed n flsso ammissibile iniziale. A partire dal flsso iniziale dato, e tilizzando la fase del simplesso s reti, deterare il flsso di costo imo, o dimostrare che il problema è illimitato inferiormente. Archi (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Costi 8 - Flsso Solzione L algoritmo del simplesso s reti procede come sege. Nella prima iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l scita dell arco (,), il flsso circolante nel ciclo è. Nella seconda iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l scita dell arco (,) il flsso circolante nel ciclo è. Nella terza iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà n ciclo formato da soli archi concordi. Il problema rislta essere illimitato inferiormente.

13 Esercizio Dato il problema di PL in figra,. impostare il problema dale e risolverlo con il metodo grafico;. Se il dale ammette na solzione ottima, dalla solzione ottima del dale ricavare la solzione ottima del primale con le condizioni di ortogonalità. Se il dale non ammette na solzione ottima, risolvere il primale con il metodo del simplesso. Dale: ma Risolvendo con il metodo grafico il problema rislta illimitato speriormente. -/ P Primale in forma standard: Artificiale: NB: cambiando segno al secondo vincolo si risparmia na variabile artificiale. La base iniziale è [ ] A A B. La solzione base iniziale rislta ottima, con. Il problema è qindi impossibile.

14 E UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello novembre Nome: Cognome: Barrare la casella corrispondente: Larea Ing. Informatica Altro Esercizio Variabili:,, kg di mozzarella di tipo,, prodotta nel primo mese n operai assnti nel primo mese r capitale intilizzato all inizio del primo mese,, kg di mozzarella di tipo,, prodotta nel secondo mese n operai assnti nel secondo mese r capitale intilizzato all inizio del secondo mese Formlazione: ma r 8 7 s.t. - 9 n < < < 8 n,, r 9 n < < < 8 n,, r - r ,r,n>

15 Esercizio In tabella sono riportati i costi nitari degli archi di na rete di flsso con nodi ed n flsso ammissibile iniziale. A partire dal flsso iniziale, e tilizzando la fase del simplesso s reti, deterare il flsso di costo imo, o dimostrare che il problema è illimitato inferiormente. Archi (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Costi Flsso Solzione L algoritmo del simplesso s reti procede come sege. Nella prima iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l scita dell arco (,), il flsso circolante nel ciclo è. La solzione così trovata rappresenta il flsso di costo imo.

16 Esercizio È dato il problema di PL in figra.. Portare il problema in forma standard.. Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare na solzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. libera, ma Portando il problema in forma standard è necessario cambiare segno alla fnzione obiettivo, sostitire la variabile libera con na differenza di variabili vincolate, e aggingere variabili di scarto (come in figra). Impostando il problema artificiale è sfficiente introdrre de variabili artificiali sl secondo vincolo e 7 sl terzo vincolo (come in figra). 7 7 La base iniziale è qindi [ ] 7 A A A B. Al primo pivot entra A ed esce A. Al secondo pivot entra A ed esce A. Al sccessivo entra A ed esce A. Al sccessivo entra A ed esce A 7. Fine della fase, inizia la fase. Il vettore viene aggiornato e si ha: T (/7 /7). Al sccessivo pivot entra A ed esce A, qindi entra A e il problema rislta illimitato inferiormente.

17 F UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello novembre Nome: Cognome: Barrare la casella corrispondente: Larea Ing. Informatica Altro Esercizio Cinqe stdenti (A, B, C, D, E) hanno vinto na borsa Erasms in Spagna ( posti a Barcellona, posto a Madrid, Salamanca e Valencia), basandovi slle loro preferenze dovete assegnare ogni stdente ad na niversità in maniera da massimizzare la loro soddisfazione. Gli stdenti hanno espresso i segenti gidizi: lo stdente A ha espresso la gradatoria Valencia, Salamanca, Barcellona, Madrid. Lo stdente B invece preferisce Barcellona, Madrid Valencia Salamanca. La gradatoria di C è Madrid, Valencia, Salamanca, Barcellona, mentre qella di D è Madrid, Barcellona, Valencia, Salamanca. Infine E preferirebbe Madrid, Valencia, Barcellona e Salamanca. Formlare senza risolvere il problema come problema di flsso a costo imo s na rete opportna. Solzione La rete di flsso sarà n grafo bipartito, in ci il primo insieme dei nodi sarà formato da cinqe nodi che rappresentano gli stdenti (A,B,C,D,E), mentre il secondo insieme dei nodi sarà formato dalle qattro niversità spagnole (B,M,S,V). I nodi stdenti genereranno ognno na nità di flsso, mentre i nodi niversità assorbiranno na qantità di flsso pari al nmero di posti disponibili (ovvero per Barcellona e per ttti gli altri atenei). Gli archi che compongono la rete rappresentano le preferenze degli stdenti verso i vari atenei. Il peso degli archi avrà valore pari alla preferenza espressa dallo stdente per l niversità, ma cambiato di segno. L inversione del segno è necessaria per poter rappresentare il problema che è in forma di massimizzazione come na formlazione di flsso a costo imo.

18 Esercizio Dato il problema di PL (primale) in figra,. risolvere il problema con il metodo grafico ed impostare il problema dale;. Se il primale ammette na solzione ottima, dalla solzione ottima del primale ricavare la solzione ottima del dale con le condizioni di ortogonalità. Se il primale non ammette na solzione ottima, risolvere il problema dale con il metodo del simplesso. In figra è rappresentato l insieme delle solzioni che soddisfano le prime de diseqazioni. Poiché nessn pnto soddisfa le rimanenti diseqazioni, il problema è impossibile. - Problema dale: ma In forma standard: La base iniziale è ad es. [ ] A A B, e pò iniziare direttamente la fase. Il problema rislta illimitato inferiormente.

19 Esercizio In tabella sono riportati gli archi di n grafo con nodi, e sono dati i costi di ogni arco. Risolvere il problema del camo imo per ogni coppia di nodi applicando l algoritmo di Floyd e Warshall. In presenza di cicli negativi arrestate l algoritmo e mostrate n ciclo negativo. Altrimenti mostrate il camo dal nodo al nodo. Archi (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Costi - Solzione Le matrici iniziali dei cami imi e dei predecessori sono - Dopo la prima iterazione vengono aggiornati i cami da a, il camo da a, il camo da a, ed i cami da a e da a, ttti passando attraverso il nodo. Drante la seconda e la terza iterazione non avviene nessn aggiornamento, infine drante la qarta ed ltima iterazione vengono aggiornati i cami da a e da a, entrambi passando per il nodo. Le matrici finali dei cami e dei predecessori sono: - Il camo imo dal nodo al nodo è lngo e passa per l arco (,).

20 G UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello novembre Nome: Cognome: Barrare la casella corrispondente: Larea Ing. Informatica Altro Esercizio Una signora esce di casa con ero nella borsa. Ogni volta che incontra n mendicante gli consegna metà del denaro che ha in borsa più na certa somma z non inferiore ad n ero. Se dopo il terzo mendicante la signora resta con non meno di ero nella borsa, qanto aveva al imo nella borsa qando è scita di casa?. Formlare il problema come problema di PL con variabili.. Trovare la solzione ottima con il metodo grafico.. Dimostrare l ottimalità della solzione con le condizioni di ortogonalità. Se all inizio la signora ha ero, dopo aver incontrato il primo mendicante rimane con /-z, dopo il secondo mendicante rimane con ½(/-z)-z, dopo il terzo rimane con ½[½(/-z)-z]-z che deve essere maggiore o gale a ero. Ovvero z. Inoltre z. La fnzione obiettivo è chiaramente e pertanto si ha: z z, z La solzione ottima è ero (e z). z -/ Dale: ma Condizioni di ortogonalità:

21 ) ( ) ( ) ( ) ( z z z Sostitendo si ha: () () vero sempre vero sempre Da ci si ha: che è ammissibile dale, il che dimostra l ottimalità di.

22 Esercizio In tabella sono riportati gli archi di na rete di flsso con nodi ed i valori di domanda di ogni nodo (assmendo n valore negativo per n nodo sorgente e n valore positivo per n nodo pozzo). Si deteri n flsso ammissibile tilizzando la fase del simplesso s reti, o dimostrare che il problema non ammette solzione ammissibile. Archi (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Nodi Domanda Solzione Dopo l inserimento del nodo artificiale 7, l algoritmo del simplesso s reti procede come sege. Nella prima iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l scita dell arco (7,), il flsso circolante nel ciclo è. Nella seconda iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l scita dell arco (7,) il flsso circolante nel ciclo è. Nella terza iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l scita dell arco (,7) il flsso circolante nel ciclo è. Nella qarta iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l scita dell arco (7,) il flsso circolante nel ciclo è. La solzione così trovata non rappresenta n flsso ammissibile per la rete di flsso poiché del flsso circola ancora attraverso il nodo fittizio.

23 Esercizio Portando il problema in forma standard è necessario cambiare segno alla fnzione obiettivo, sostitire la variabile libera con na differenza di variabili vincolate, e aggingere variabili di scarto (come in figra). Impostando il problema artificiale è sfficiente introdrre na variabile artificiale sl secondo vincolo (come in figra). La base iniziale è qindi [ ] A A A B. Al primo pivot entra A ed esce A. Fine della fase, inizia la fase. Il vettore viene aggiornato e si ha: T ( - ). Al sccessivo pivot entra A ed esce A. La base trovata rislta ottima e la solzione ottima è:

24 H UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello novembre Nome: Cognome: Barrare la casella corrispondente: Larea Ing. Informatica Altro Esercizio Grnt, il cavernicolo, vole prendere in sposa Snort. Il padre di Snort accetterà di far sposare sa figlia solo se Grnt gli porterà in dono n Mammt. Grnt non è n abile cacciatore, e decide di fare dei baratti per ottenere n Mammt. Grnt possiede na clava e n certo nmero di conchiglie. Grnt pò barattare i soi oggetti come indicato in segito: Clava conchiglie Cane Clava 7 conchiglie Canoa Cane conchiglie Canoa Clava conchiglie Palafitta Cane conchiglie Palafitta Canoa conchiglie Palafitta Clava conchiglie Mammt Cane conchiglie Mammt Canoa conchiglie Mammt Palafitta Mammt conchiglie Qale è il nmero imo di conchiglie che Grnt deve pagare (e qali scambi deve effettare) per comprare n Mammt ed avere in sposa Snort? Formlare (senza risolvere) il problema come n problema di camo imo s n grafo opportno. Solzione I nodi del grafo rappresenteranno l oggetto in possesso di Grnt, mentre gli archi verranno tilizzati per rappresentare i possibili baratti. Il peso degli archi sarà dato dal nmero di conchiglie necessarie per concldere il baratto. Indicando con Cl il nodo clava, Ca il nodo cane, Co il nodo Canoa, P il nodo palafitta e M il nodo mammt il grafo sarà composto dai segenti archi, opportnamente pesati, (Cl,Ca), (Cl,Co), (Ca,Co), (Cl,P), (Ca,P), (Co,P), (Cl,M), (Ca,M), (Co,M), (P,M). Attenziona all arco (P,M) sarà pesato con -, essendo lo scambio na Palafitta per n Mammt e conchiglie. Il modo più economico per raggingere il Mammt e sposare Snort corrisponde ad individare il camo imo tra i nodi Cl e M.

25 Esercizio In tabella sono riportati gli archi di n grafo con 9 nodi, e sono dati i valori di capacità degli archi ed n flsso ammissibile. A partire dal flsso dato trovare il massimo flsso inviabile dal nodo al nodo 9 con l algoritmo di Ford e Flkerson. Archi (,) (,) (,) (,8) (,) (,) (,) (,) (,7) (,9) (7,9) (8,7) (8,9) Capacità Flssi Solzione Il flsso iniziale circolante nella rete è pari a. I cami amentanti individati dall algortimo di Ford-Flkerson sono: (,),(,8),(8,9) con flsso (,),(,),(,8),(8,9) con flsso (,),(,),(,8),(8,7),(7,9) con flsso. Il taglio di costo imo comprende i nodi e.

26 Esercizio Dato il problema di PL in figra,. impostare il problema dale e risolverlo con il metodo grafico;. Se il dale ammette na solzione ottima, dalla solzione ottima del dale ricavare la solzione ottima del primale con le condizioni di ortogonalità. Se il dale non ammette na solzione ottima, risolvere il primale con il metodo del simplesso (fase e fase ). ma Problema dale: In figra è rappresentato l insieme delle solzioni ammissibili. Il problema è illimitato inferiormente / P Problema primale in forma standard:

27 Problema artificiale: La base iniziale è [ ] A A B. La solzione base iniziale rislta ottima, con. Il problema primale è qindi impossibile.