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1 CAPITOLO 4 Limiti, continuità, infinitesimi e infiniti 4.1 Limiti Verso la metà del 1600 le questioni più importanti della matematica riguardavano il problema del calcolo delle tangenti e quello delle quadrature. Il tentativo di risolvere tali problemi diede luogo alla nascita del calcolo infinitesimale da parte di Leibniz ( ) e, indipendentemente, di Newton 1 ( ). Si arrivò così, tra le altre cose, ad individuare le regole del calcolo differenziale ed integrale nonché lo sviluppo di regole per calcolare il valore di una serie. Tali regole non erano comunque supportate da una valida base teorica e, non raramente, lasciavano aperti spiragli verso conclusioni assurde. Solamente con Cauchy ( ), in pieno X I X secolo, si arrivò ad una formulazione rigorosa del calcolo infinitesimale, attraverso la nozione di ite che, a ben vedere, risulta essere la nozione teorica più importante del calcolo infinitesimale. Intuitivamente con la nozione di ite di una funzione f () si intende studiare il suo comportamento per valori di vicini ad un certo 0. Si supponga che, non appena il punto sia abbastanza vicino al punto 0, il valore della funzione f () risulti essere molto vicino al valore l : si dirà in tal caso che, per che tende a 0, la funzione f () tende al valore l. Per rendere rigorosa tale nozione occorrerà definire in modo preciso cosa si intende 2 con abbastanza vicino e con molto vicino. " Osservazione La distanza (euclidea) d(, 0 ) tra il punto e il punto 0 può essere quantificata in termini della funzione modulo: d(, 0 ) = 0. L affermazione non appena è abbastanza vicino a 0 può essere espressa in termini precisi tramite la relazione 0 < δ 1 Si osservi comunque che per Newton lo sviluppo del calcolo infinitesimale era legato soprattutto al tentativo di definire e risolvere le equazioni della Meccanica. 2 Si confronti anche quanto visto nel Capitolo 3 a proposito del ite di una successione. 114

2 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 115 o, in altri termini, d(, 0 ) < δ. Ovviamente minore è il numero δ maggiore sarà la vicinanza tra e 0. L affermazione f () è molto vicina al valore l può essere invece espressa come ɛ > 0 : f () l < ɛ o, in altre parole, comunque fissato il numero ɛ > 0 la distanza tra f () e l risulta comunque minore di ɛ. A questo punto si può enuciare in termini rigorosi la nozione di ite: R Definizione (Limite finito al finito) Siano X,Y R e f : X Y una funzione reale di variabile reale. Se 0 è un punto di accumulazione di X, si dirà che 3 se f () = l ɛ > 0 δ ɛ (0 < 0 < δ ɛ ) ( X ) f () l < ɛ, che può essere letta come il ite di f () per che tende a 0 è l se esiste un δ ɛ tale che, non appena la distanza tra e 0 è minore di δ ɛ, con 0 e appartenente al dominio X, risulta che la distanza tra f () e l è minore di un numero ɛ > 0 scelto in modo arbitrario. f() l + ǫ l f() l < ǫ l ǫ 0 δǫ δǫ 0 < δǫ Figura 4.1 Un esempio di funzione f () con 0 f () = l. 3 La relazione seguente si legge il ite di f () per che tende a 0 è l.

3 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 116 " Osservazioni Nella definizione di ite finito al finito si è assunto che 1. il punto 0 sia un punto di accumulazione del dominio X della funzione f (). Ciò consente di evitare la definizione di ite nel caso in cui il punto 0 sia un punto isolato di X. 2. in generale il valore di δ dipende dalla scelta di ɛ : δ = δ ɛ. Di ciò ci si convince facilmente osservando la figura 4.1: cambiando il valore di ɛ cambierà anche il valore di δ, 3. 0 < 0 < δ ɛ e in particolare, quindi, 0 > 0 : ciò implica che non si richiede che la definizione di ite sia soddisfatta anche per = 0. In altre parole il valore l del ite è indipendente dal valore che la funzione assume nel punto 0 (ammesso che essa sia definita in 0 ) ma dipende solo dai valori che essa assume in vicinanza di tale punto. " Osservazione La definizione di ite finito al finito può essere data anche con il linguaggio degli intorni, tenendo conto che la relazione 0 < 0 < δ ɛ può essere espressa come I 0,δ ɛ \{ 0 } : f () = l se ɛ > 0 I 0,δ ɛ I 0,δ ɛ X f () l < ɛ. Si supponga ora che se tende al punto 0 la funzione f () tenda ad assumere valori sempre più grandi: come esempio si può considerare la funzione f () = 1 che 2 assume valori tanto più grandi quanto più si avvicina al valore 0 = 0. In tal caso si dirà che la funzione f () tende al valore + se tende a 0. Più precisamente: R Definizione (Limite infinito al finito) Siano X,Y R e f : X Y una funzione reale di variabile reale. Se 0 è un punto di accumulazione di X, si dirà che se f () = + o, in termini di intorni, M > 0 δ M (0 < 0 < δ M ) ( X ) f () > M M > 0 I 0,δ M I 0,δ M \{ 0 } X f () > M.

4 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 117 Tale definizione implica che, non appena è abbastanza vicino a 0, pur essendo 0, (0 < 0 < δ M ) la funzione f () assume valori molto grandi essendo f () > M per ogni valore di M arbitrariamente fissato. In modo analogo si può dare la seguente definizione: si dice che se f () = o, in termini di intorni, M > 0 δ M (0 < 0 < δ M ) ( X ) f () < M M > 0 I 0,δ M I 0,δ M \{ 0 } X f () < M. Tale definizione implica che, non appena è abbastanza vicino a 0, con 0, (0 < 0 < δ M ) la funzione f () assume valori negativi e molto grandi in valore assoluto, essendo f () < M per ogni valore di M arbitrariamente fissato. f() f() M 0 δm δm 0 δm δm M a b Figura 4.2 Un esempio di funzione f () con 0 f () = + (a) e 0 f () = (b). R Definizione (Asintoto verticale) Se f () = ±

5 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 118 la retta = 0 si dice asintoto verticale di f () e il punto 0 si dice punto di infinito per f (). Si supponga che il dominio X della funzione f () sia ilitato (superiormente): sup X = +. In tal caso ha senso studiare il comportamento della funzione f () per valori di molto grandi. Tecnicamente ciò può essere effettuato utilizzando la nozione di ite di f () per tendente all infinito. Sussiste la R Definizione (Limite finito all infinito) Siano X,Y R e f : X Y. Si dice che se f () = l ɛ > 0 ɛ ( > ɛ ) ( X ) f () l < ɛ o, in altre parole, comunque fissato un numero positivo (ɛ) non appena è sufficientemente grande ( > ɛ ) la distanza tra f () e l risulta essere minore di ɛ. Se invece il dominio X di f () è inferiormente ilitato (inf X = ), in modo analogo e con analoga interpretazione si dirà che se f () = l ɛ > 0 ɛ ( < ɛ ) ( X ) f () l < ɛ. f() l + ǫ l l ǫ f() l < ǫ ǫ Figura 4.3 Un esempio di funzione f () con f () = l.

6 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 119 Si ha, infine, la seguente R Definizione (Limite infinito all infinito) Siano X,Y R e f : X Y. Se sup X = + si dice che f () = + se e che se M > 0 M ( > M ) ( X ) f () > M f () = M > 0 M ( > M ) ( X ) f () < M. Se, invece, inf X = si dice che f () = + se e che se M > 0 M ( < M ) ( X ) f () > M f () = M > 0 M ( < M ) ( X ) f () < M.

7 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 120 f() M M Figura 4.4 Un esempio di funzione f () con f () = +. R Definizione (Asintoto orizzontale) Se risulta f () = l ± si dirà che la retta y = l è un asintoto orizzontale di f () per ±. " Osservazione Se f () = ± ± la funzione f () non ammette asintoto orizzontale. Essa potrebbe tuttavia ammettere un asintoto obliquo: il suo andamento per + (o ) potrebbe essere cioè tale da tendere ad una retta di equazione y = m + q. Più precisamente: R Definizione (Asintoto obliquo) Se ma f () = ± f () = m 0 e [ f () m] = q ±

8 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 121 allora la retta y = m + q si dice asintoto obliquo di f () per +. " Osservazione Se nella precedente definizione si sostituisce il ite di f () per + con il ite di f () per si ottiene la definizione di asintoto obliquo di f () per Limite destro e ite sinistro Si consideri la funzione f () = 1 1, definita nel dominio X = (,1) (1,+ ), e si supponga di voler studiare il ite Chiaramente quando 1 la funzione f () tenderà ad assumere valori infiniti: più precisamente tenderà al valore + se 1 con > 1 (o, come si suole indicare, 1 + ) mentre tenderà al valore se se 1 con < 1 (o, come si suole indicare, 1 ). Come sarà più chiaro in seguito (si confronti il teorema di unicità del ite) il ite per 1 di f () non esiste. Si è visto quindi che, pur non esistendo il ite come definito in precedenza, possono esistere i iti per 0 + (cioè da valori > 0) e/o per 0 (cioè da valori < 0 ). E rilevante quindi la seguente R Definizione (Limite destro e sinistro) Sia f : X Y e 0 un punto di accumulazione del dominio X di f (). Si dice che se f () = l + ɛ > 0 I + 0,δ ɛ I + 0,δ ɛ \{ 0 } X f () l < ɛ, dove si ricorda che con I + 0 si intende un intorno destro del punto 0, e che se f () = l 0 ɛ > 0 I 0,δ ɛ I 0,δ ɛ \{ 0 } X f () l < ɛ, dove con I 0 si intende un intorno sinistro destro del punto 0. "Osservazione Si può agevolmente provare che { f () = l} {( f () = l) ( f () = l)} 0 + 0

9 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 122 Esercizio 4.1 Si dia la definizione di f () = +. 0 Esercizio 4.2 Si dia la definizione di f () = Verifiche di iti EEsempio 4.1 Si consideri la funzione f () = 2 2. Si dimostri che f () = 0. 0 Occorre provare che, fissato un arbitrario numero positivo ɛ esiste un numero δ ɛ tale che, non appena 0 < < δ ɛ risulta f () < ɛ. Si ha: ɛ ɛ ɛ 2 2 < ɛ 2 2 < ɛ 2 < < < 2 2. Pertanto se < ɛ 2 risulta f () < ɛ : per dimostrare che = 0 è sufficiente scegliere δ ɛ = ɛ 2. EEsempio 4.2 Si dimostri che = +. Si deve dimostrare che esiste un δ M tale che, non appena < δ M risulta 1 2 > M. Si ha: 1 2 > M 1 M < < 1 M < 1 M.

10 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 123 La precedente diseguaglianza mostra che 1 2 > M non appena < 1 M : è sufficiente pertanto scegliere δ M = 1 M. EEsempio 4.3 Si dimostri che + 2 = 1. Si deve dimostrare che esiste un ɛ tale che, non appena > ɛ risulta per ogni ɛ > 0. Si ha: < ɛ < ɛ < ɛ 2 < + 2. ɛ +2 1 < ɛ, La diseguaglianza + 2 > 2 ɛ è verificata per + 2 > 2 ɛ > ɛ oppure per + 2 < 2 ɛ < 2 2 ɛ. Ai fini della dimostrazione richiesta la diseguaglianza che interessa è > ɛ, che mostra che è sufficiente scegliere ɛ = ɛ. EEsempio 4.4 Si dimostri che e = +. Si deve dimostrare che esiste un M tale che, non appena < M risulta e > M, per un valore di M > 0 arbitrariamente scelto. Si ha: e > M > ln M < ln M, relazione che mostra che è sufficiente scegliere M = ln M per dimostrare l esistenza del ite Teoremi sui iti Sia f : X Y. Il teorema seguente stabilisce che se una funzione f () ammette, per 0, il ite finito l, tale ite è unico.

11 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 124 wteorema (Unicità del ite) Ipotesi) Se allora f () = l Tesi) tale ite è unico. In termini più formali: { 0 f ()} {!l R 0 f () = l}. Dimostrazione Siccome risulta si avrà: f () = l ɛ > 0 I 0,δ ɛ I 0,δ ɛ \{ 0 } X f () l < ɛ ovvero, I 0,δ ɛ \{ 0 } X risulta, per ogni ɛ > 0, Si supponga, per assurdo, che esista l l tale che ɛ < f () l < ɛ. (4.1) f () = l. In base alla definizione di ite dovrebbe risultare quindi ɛ > 0 I 0,δ ɛ I 0,δ ɛ \{ 0 } X f () l < ɛ ovvero, I 0,δ ɛ \{ 0 } X si avrebbe, per ogni ɛ > 0, f () l < ɛ l f () < ɛ ɛ < l f () < ɛ. (4.2) Nell intorno I 0,δ ɛ = I 0,δ ɛ I 0,δ ɛ le relazioni (4.1) e (4.2) valgono entrambe. Sommando membro a membro tali relazioni si ottiene: 2ɛ < f () l f () + l < 2ɛ 2ɛ < l l < 2ɛ

12 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 125 l l < 2ɛ. L ultima relazione costituisce un assurdo: siccome l l il numero l l è diverso da zero e, quindi, l l sarà un numero positivo che, pertanto, non potrà essere più piccolo di un numero positivo (2ɛ) arbitrariamente assegnato. La conclusione assurda appena ottenuta può essere rimossa assumendo falsa l ipotesi di partenza l l e, pertanto, l = l. "Osservazione Il teorema sull unicità del ite vale anche nel caso di ite infinito al finito e nei casi di ite all infinito. Il teorema seguente afferma invece che se per 0 la funzione ammette un ite positivo (o negativo) allora esisterà un intorno del punto 0 in cui la funzione assume (escludendo al più il punto 0 ) solo valori positivi (o negativi). wteorema (Permanenza del segno in forma diretta) Ipotesi) Se f () = l 0 allora Tesi) Esiste un intorno I 0,δ ɛ di 0 tale che la funzione f () assume lo stesso segno di l per ogni I 0,δ ɛ \{ 0 } X. In termini più formali il teorema può essere enunciato come segue: {( 0 f () = l) (l 0)} = {( I 0,δ ɛ I 0,δ ɛ \{ 0 } X = f () l > 0)}. Dimostrazione L esistenza del ite può essere espressa come ɛ > 0 I 0,δ ɛ I 0,δ ɛ \{ 0 } X = f () l < ɛ. (4.3) Sia l > 0 e si ponga nella (4.3) ɛ = l. Si avrà allora l esistenza di un intorno di 0, I 0,δ l, tale che f () l < l (4.4) per ogni I 0,δ l \{ 0 } X. La relazione (4.4) può essere riscritta come l < f () l < l 0 < f () < 2l

13 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 126 che, essendo l > 0 mostra che anche f () > 0. Se l < 0 il teorema può essere dimostrato in modo identico scegliendo nella (4.3) ɛ = l (la dimostrazione è lasciata al lettore come esercizio). "Osservazione Nel teorema precedente si è assunto l 0. In effetti se risultasse l = 0 la funzione potrebbe cambiare segno in 0 oppure mantenere segno positivo o negativo, come mostrato nella figura seguente. f() 0 Figura 4.5 wteorema (Permanenza del segno in forma inversa) Ipotesi) Se esiste il 0 f () = l ed un intorno I 0 del punto 0 tale che, per ogni I 0 \{ 0 } risulti f () > 0 (f () < 0) allora Tesi) l 0 (l 0) In termini più formali {( 0 f () = l) ( I 0 I 0 \{ 0 } X = f () 0)} = {l 0}. Dimostrazione Si supponga, ad esempio, che per ogni I 0 \{ 0 } risulti f () > 0. Se risultasse f () = l < 0 allora, in base al teorema della permanenza del segno in forma diretta, la funzione f () dovrebbe essere negativa in un certo intorno del punto 0, contrariamente all ipotesi di partenza. Ne segue che non può risultare l < 0 e, pertanto, l 0.

14 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 127 "Osservazione Siccome il teorema della permanenza del segno in forma inversa prevede l 0 o l 0, quest ultimo non può costituire, tenendo conto del teorema della permanenza del segno in forma diretta, una condizione necessaria e sufficiente per la determinazione del segno della funzione in 0 dalla conoscenza del segno del ite di f () per 0. wteorema (Del confronto o dei due carabinieri) Ipotesi) Siano f (), g () e h() tre funzioni ed esista un intorno I 0 del punto 0 tale che, per ogni I 0 \{ 0 } risulti f () g () h(). Se allora f () = h() = l 0 Tesi) g () = l Dimostrazione Dall esistenza dei iti di f () e h() si deduce che ɛ > 0 I (f ) 0,δ ɛ I (f ) 0,δ ɛ \{ 0 } X = f () l < ɛ ɛ > 0 I (h) 0,δ ɛ I (h) 0,δ ɛ \{ 0 } X = h() l < ɛ Sia I (g ) 0,δ ɛ = I (f ) 0,δ ɛ I (h) 0,δ ɛ I 0. Per I (g ) 0,δ ɛ \{ 0 } risulta g () l = [g () f ()] + [f () l] g () f () + f () l = = g () f () + f () l h() f () + f () l < h() f () + ɛ. (4.5) D altra parte si ha, e che sommate membro a membro danno e, in particolare, Inserendo l ultima relazione nella (4.5), ɛ < l f () < ɛ ɛ < h() l < ɛ, 2ɛ < h() f () < 2ɛ h() f () < 2ɛ. g () l < h() f () + ɛ,

15 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 128 si ottiene g () l < 3ɛ. Ponendo ɛ = 3ɛ si è provata, quindi, l esistenza di un intorno del punto 0, I (g ) 0,δ ɛ tale che g () l < ɛ per ogni I (g ) 0,δ ɛ \{ 0} X per un arbitrario ɛ > 0 e, quindi, la tesi. 4.2 Calcolo dei iti Limiti di funzioni definite ad una legge Una funzione f () ottenuta come composizione di una delle funzioni elementari introdotte nel capitolo 2, sarà denominata funzione definita ad una legge. Se f () è una funzione definita ad una legge il ite per 0 di f () può essere calcolato agevolmente sostituendo alla variabile il valore 0. EEsempi Si calcolino i iti seguenti 4.5 (3 2 2 ). Si ha: 4.6 (3 2 2 ) = = 2. ln( 1). 2 Sostituendo alla il valore 2 si ottiene: ln( 1) = ln(2 1) = ln1 = 0. 2

16 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI e 1. 1 Si ha, sostituendo alla il valore 1, e 1 = e 1 1 = e 0 = Sostituendo alla il valore 0, si ottiene: = 4 = 1 2. " Osservazione Nel calcolo dei iti all infinito o sui punti di frontiera del dominio si può fare riferimento alla rappresentazione grafica della funzione in questione. In particolare sono rilevanti i iti seguenti: n = + { + se n è pari n = se n è dispari n = + n = sen è dispari e = 0

17 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 130 e = + ln = 0 + EEsempi Si calcolino i iti 4.9 ln = +. ln( 1). 1 + Si ha: 4.10 ln( 1) = 1 ln0+ =. + e e 2 = e 2 ( ) = e + = +. ln( + 2). Si ha: ln( + 2) = ln(+ + 2) = ln+ = +.

18 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI Operazioni razionali sui iti Dalla definizione di ite segue che (con 0 si intende un numero reale oppure ± ) [f () ± g ()] = f () ± g (), 0 0 e f ()g () = f () g (), 0 0 f () g () = f () 0 g () se le espressioni a secondo membro esistono e non ci si trova in uno dei casi , espressioni note come forme indeterminate. In particolare: 0 [f () + g ()] 0 f () 0 g () l 1 + l 2 l 1 l 2 ± l 1 ± ± ± l EEsempi Si calcolino i iti ln. 0 +

19 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 132 Per 0 + risulta 3 0 e ln = ln = 0 ( ) = Per si ha: 3 0 e 4 = = 0 =. + ln. Per + si ha: + e ln + = ln = + + = +. 0 e + 2. Per 0 si ha: e 1 e 2 0 = e + 2 = = ln. 1

20 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 133 Per 1 si ha: 3 1 e ln 0 = 3 + ln = = e. Per 1 + si ha: 1 0 e e 1 = e = 0 + e = e. Il valore del ite di un prodotto può essere riassunto dalla tabella seguente 0 f ()g () 0 f () 0 g () l 1 l 2 l 1 l 2 0 l 1 0 ± l 1 0 ± 0 0 l 2 ± ± l 2 0 Nelle celle dei risultati del ite ξ f ()g () in cui compare il simbolo ±, occorrerà stabilire di volta in volta quale segno assegnare a tale valore: per determinarlo è sufficiente, comunque, la regola secondo cui se le due funzioni f e g per 0 hanno segno concorde allora il risultato del ite sarà + mentre sarà se le due funzioni hanno segno discorde. EEsempi Si calcolino i iti 4.18 ( + 1)ln. 1 Per 1 si ha: ( + 1) 2 e ln 0 = ( + 1)ln = 2 0 = 0. 1

21 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI (2 + 1)e. Per 0 risulta: e e 1 = (2 + 1)e = 1 1 = 1. ln. Per + risulta: + e ln + = 4.21 ln = + + = +. e (1 ). Per + si ha: e + e (1 ) = 4.22 e (1 ) = + ( ) =. e 2 (1 ). Per si ha: e 2 e ( )2 = e + = + e (1 ) + = e 2 (1 ) = + + = +.

22 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI e. Per risulta: e e 0 = risulta essere una forma indeterminata e = 0 Il valore del ite di un rapporto può essere riassunto dalla tabella seguente 0 f ()/g () 0 f () 0 g () l 1 /l 2 l 1 l 2 0 ± l l 1 ± 0 0 l 2 0 ± ± l 2 Anche in tal caso il segno da assegnare a ± si deduce dal segno dei valori ite (l 1 o l 2 ) delle funzioni f e/o g. EEsempi Si calcolino i iti ( 2) 2. Per 2 risulta: 2 e ( 2) 2 0 = 2 ( 2) 2 = 2 0. Certamente il valore del ite precedente risulta essere infinito ma, per determinare il suo segno, occorre determinare il segno del rapporto /( 2) 2 intorno a = 2. Alternativamente (e più semplicemente) si può osservare che ( 2) 2 0 +, essendo ( 2) 2 0. Pertanto 2 ( 2) 2 = = +.

23 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI Per 1 + si ha: 1 e = = = Per 0 risulta: 1 1 e 3 0 = = 1 0 = = e 1 1. Si ha, per 1, e e 1 = e 1 1 = = e 0 2. Per 0 risulta e 1 e = e 0 2 = = +.

24 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI e 1. 0 Si ha, per 0, e 1 e = e + = + = 4.30 e 1 = +. 0 e Per 0 si ha: e +1 e 0 1 = 1 = 4.31 e +1 = 1. 0 e Per 0 risulta: e +1 = e 1 0 = e = 0 = 4.32 e +1 = 0. 0 ln Per 0 risulta: ln ln 1 1 = 0 = 0 ln = 0.

25 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI Forme indeterminate Nel caso in cui il calcolo del ite dia luogo ad una forma indeterminata, potrebbe essere conveniente manipolare la funzione di cui si sta calcolando il ite per rimuovere tale forma indeterminata Forma indeterminata 0 0 Si supponga di dover calcolare il ite per 0, con 0 R, del rapporto di due polinomi P() e Q() tali che P( 0 ) = Q( 0 ) = 0. Il ite P() Q() dà luogo ad una forma indeterminata 0 0. Tale forma indeterminata può essere tuttavia rimossa mettendo in evidenza sia a numeratore sia a denominatore la potenza della base ( 0 ) con esponente più piccolo. La successiva semplificazione rimuove la forma indeterminata. EEsempi Calcolare i iti Si ha: (1 3 3 /2) 2(1 3 3 /2) = = = 0. 0 (1 + 2) ( + 1) 3. Si ha: ( + 1) 3 = ( + 1)( 2 + 1) ( + 1) 3 = 1 ( + 1) 2 = = +.

26 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI Si ha: 4.36 Si ha: ( 2) = 4 2 ( 2)( + 2) = ( 2) 2 ( + 2) = = 1 1 ( 1)( ) = = 1 3. La tecnica utilizzata negli esempi precedenti può essere utilizzata anche nel caso in cui siano presenti potenze frazionarie di 0. EEsempio 4.37 Calcolare il ite Si ha: = 2 + ( 2) 2 = ( 2) = ( 2) 3 2 = = Forma indeterminata Si supponga di 1. dover calcolare il ite per ± del rapporto dei due polinomi P() e Q() : P() ± Q(). In tal caso la forma indeterminata può essere rimossa mettendo in evidenza sia a numeratore sia a denominatore la potenza con esponente più grande. A seguito della successiva semplificazione, l indeterminazione sarà rimossa; 2. dover calcolare il ite per ± di un rapporto tra due funzioni supponendo di conoscere la rapidità 4 con cui numeratore e denominatore tendono 4 Tale nozione sarà formalizzata nel seguito ricorrendo alla teoria degli infiniti.

27 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 140 all infinito: ± f () g (), con f () e g () tendenti all infinito per ±. In tal caso se f () tende all infinito più rapidamente di g () il risultato del ite sarà infinito mentre se è g () a tendere all infinito più rapidamente il risultato del ite sarà pari a zero. Ad esempio, dalla rappresentazione grafica delle funzioni elementari si può dedurre che, per +, risulta e > α > ln, α (0,+ ). f() e 2 ln Figura 4.8 Un confronto tra infiniti EEsempi Si calcolino i iti Si ha: = 2 3 ( ) ( ) = 4 3 2( = )) ( ) =

28 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI Si ha: = 2 (1 2 ) 3 (1 + 1 ) = 3 (1 2 ) (1 + 1 ) = Si ha ( = ) ( (1 2 ) = ) 2 3 (1 2 ) = Il numeratore tende all infinito come 1 3, più lentamente del denominatore, che tende all infinitto come : il risultato del ite è, pertanto, = 0. e. Il numeratore tende all infinito come 1 2 mentre il denominatore tende all infinito in modo esponenziale: e = 0.

29 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI Il numeratore tende all infinito in modo esponenziale mentre il denominatore come 2 : 4.44 e e 2. 2 = +. 3 ln. Il numeratore tende all infinito come 1 3 mentre il denominatore come un logaritmo: 3 ln = Forme indeterminate + Il calcolo di un ite [f () + g ()] con 0 finito o infinito, in cui compare la forma indeterminata + (ad esempio se f () + e g () ) può essere effettuato nei casi 1. le due funzioni f () e g () tendono all infinito con velocità diverse: nel calcolo del ite si può trascurare la funzione che tende all infinito più lentamente 5 2. se le funzioni f () e g () tendono all infinito con la stessa velocità ed esse sono funzioni irrazionali: in tal caso si può utilizzare un procedimento che mira ad einare l indeterminazione dovuta a radicali moltiplicando numeratore e denominatore per una opportuna grandezza (si vedano gli esempi a seguire) 5 Si veda il principio di trascurabilità degli infiniti di ordine inferiore, enunciato più avanti.

30 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 143 EEsempi Si calcolino i iti 4.45 e. Il primo addendo tende all infinito in modo esponenziale mentre il secondo come una potenza: quest ultimo è trascurabile: 4.46 e = +. ln 3. Il primo addendo, che tende all infinito come un logaritmo, è trascurabile rispetto al secondo, che risulta essere un infinito potenza: 4.47 ln 3 =. 3 + ln. Tra i tre addendi, quello che tende all infinito più rapidamente è 3, pertanto ln =

31 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 144 Il primo addendo tende all infinito come 3 2, più rapidamente del secondo, che tende all infinito come. Si ha, pertanto, = In tal caso sia il primo addendo sia il secondo tendono all infinito con la stessa rapidità, quella di. Non è pertanto lecito trascurare l uno rispetto all altro. E possibile comunque effettuare la trasformazione seguente che rimuoverà l indeterminazione: 2 3 = ( ) = = = = Siccome primo e secondo addendo tendono all infinito con la stessa rapidità, quella di, per calcolare il ite si opera la seguente trasformazione: = ( ) 2 3 = = = 3 2 = 3 2. Nell ultimo passaggio se è usato il fatto che 2 = se < 0.

32 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI Limiti notevoli Alcune classi di iti che danno luogo a forme indeterminate, noti come iti notevoli, possono essere calcolati in generale per funzioni arbitrarie. Di volta in volta sarà sufficiente adattare alle funzioni in oggetto i risultati generali seguenti 1. Sia 0 finito o infinito e risulti, per 0, f () ± e g () ±. Si ha: (1 + 1 f () )g () = e g () f (). 0 Si osservi che in tale caso la forma indeterminata che si incontra è del tipo 1. Come caso particolare si può scegliere 0 = +, f () = g () =, ottenendo noto come ite di Nepero. (1 + 1 ) = e = e, 2. Sia 0 finito o infinito e risulti, per 0, f () 0. Si ha: log a (1 + f ()) = log f () a e 1 ln a. Se, in particolare, si sceglie 0 = 0 e f () =, si ottiene: log a (1 + ) = log 0 a e. 3. Sia 0 finito o infinito e risulti, per 0, f () 0. Si ha: a f () 1 = ln a. f () In particolare, posto 0 = 0 e f () =, risulta a 1 = ln a Sia 0 finito o infinito e risulti, per 0, f () 0. Si ha: sin f () = 1. f () In particolare, posto 0 = 0 e f () =, si ottiene: sin = 1. 0

33 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 146 EEsempi Si calcolino i iti 4.51 ( )3. Si ha: ( )3 = e 3 2 = e 0 = (1 + 2 )3. Si ha: (1 + 2 )3 = e 23 = e + = e Si ha: e 3 1 = e 2 1. Per calcolare tale ite è opportuno dapprima metterlo nella forma 0 e f () 1. f ()

34 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 147 Per fare ciò è sufficiente moltiplicare numeratore e denominatore per : 4.55 e 2 1 e 2 1 = e 2 1 = 0 ln(1 + 2) = 1 0 = 0. Anche in tal caso è opportuno manipolare la funzione in modo da ricondurre il ite da calcolare ad uno della forma 0 ln(1 + f ()). f () Per tale scopo è sufficiente moltiplicare per 2/3 numeratore e denominatore: 4.56 Si ha: 4.57 ln(1 + 2) ln(1 + 2) = sin sin5 = /3 2/3 = 2 ln(1 + 2) = sin5 = sin Si ha: sin = 1.

35 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI sin sin. Occorre dapprima manipolare la funzione di cui si deve calcolare il ite per ricondurla alla forma sin /. Per fare ciò è sufficiente dividere numeratore e denominatore per il fattore : sin sin = 0 sin sin = = Infinitesimi e infiniti Infinitesimi Si consideri la funzione f () e sia 0 R o 0 = ±. RDefinizione (Infinitesimo) Se f () = 0 si dice che la funzione f () è un infinitesimo per che tende a 0. EEsempio 4.59 Le funzioni f () = α, α (0,+ ) sono infinitesimi per 0 +. La funzione f () = e 1 è un infinitesimo per 0. Le funzioni sono infinitesimi per +. f () = 1 α, α (0,+ ) La funzione f () = ln è un infinitesimo per 1.

36 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 149 Nelle applicazioni della teoria degli infinitesimi è molto importante stabilire la rapidità con cui una funzione f () tende a zero per 0. Ad esempio le due funzioni f () = 2 e g () = sono entrambe inifinitesimi per 0 però la velocità con cui tendono a zero è diversa. In particolare la funzione f () tende a zero più velocemente della funzione g (), cosa che può essere dedotta calcolando il ite Più in generale vale la seguente 2 f () 0 g () = = 0. 0 RDefinizione (Confronto tra infinitesimi) Se f () e g () sono infinitesimi per 0 con 0 finito o infinito, si dirà che, se l 0, ± f e g hanno la stessa velocità f () g () = l = 0 f è più veloce di g. ± f è meno veloce di g f e g non sono confrontabili Nella pratica è comodo assegnare ad un infinitesimo f () un ordine di infinitesimo, confrontando f () con un opportuno infinitesimo campione. In particolare si assumerà RDefinizione (Infinitesimo campione) Si dice infinitesimo campione la funzione RDefinizione (Ordine di infinitesimo) Se { 0 se 0 R p() = 1 se 0 = ±. f () = l 0, ± [p()] α si dice che f () è un infinitesimo di ordine α per 0. "Osservazione Se f ()è un infinitesimo di ordine α per 0 si ha: per ogni β < α e f () [p()] β = 0 f () [p()] β = ±

37 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 150 per ogni β > α. In effetti, se ad esempio β > α, si ha: f () [p()] β = f () [p()] α 1 1 = l = l ± = ± [p()] β α [p()] β α EEsempio 4.60 Determinare l ordine di infinitesimo della funzione f () = ln(1 + ) per 0. Visto che risulta f () è un infinitesimo di ordine α = 1. EEsempio 4.61 ln(1 + ) = 1 0 Determinare l ordine di infinitesimo della funzione f () = ln(1 + 3 ) per 0. Si ha: ln(1 + 3 ) 0 3 = 1 e, pertanto, l ordine di infinitesimo di f () per 0 è α = 3. EEsempio 4.62 Determinare l ordine di infinitesimo di f () = e 1 1 per +. Si ha: e 1 1 = 1 1 e, quindi, l ordine di infinitesimo di f () per + è α = Operazioni tra infinitesimi Siano f () e g () infinitesimi per 0, con 0 finito o infinito. infinitesimo di ordine α 1 e g () di ordine α 2 risulta che a) Somma tra infinitesimi Se f () è un 1) Se α 1 α 2 la somma degli infinitesimi f () + g () è ancora un infinitesimo, di ordine α = min{α 1,α 2 }. In effetti se per fissare le idee si suppone che α 1 < α 2 e 0 R si ha: f () + g () ( 0 ) α = 1 0 f () ( 0 ) α 1 + g () ( 0 ) α 1. (4.6)

38 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 151 Il primo ite a secondo membro della relazione (4.6) vale l 1 0, ±, visto che f () è un infinitesimo di ordine α 1 mentre il secondo ite è pari a zero visto che g () è un infinitesimo di ordine α 2 > α 1. Pertanto il valore del ite (4.6) è l 1 0, ± e, pertanto, f () + g () è un infinitesimo di ordine α 1 = min{α 1,α 2 }. 2) Se α 1 = α 2 α si avrà f () + g () [p()] α = 0 f () [p()] α + g () [p()] α = l 1 + l 2. Se l 1 + l 2 0 l ordine di infinitesimo di f () + g () risulterebbe pari a α mentre se l 1 + l 2 = 0 l ordine di infinitesimo di f () + g () risulterebbe maggiore di α : ne segue che se f () e g () hanno lo stesso ordine di infinitesimo α, l infinitesimo somma, f () + g () ha ordine di infinitesimo maggiore o uguale a α. b) Prodotto tra infinitesimi La funzione f ()g () è un infinitesimo di ordine α = α 1 +α 2. In effetti se per fissare le idee si suppone che 0 R si ha: f ()g () ( 0 ) α 1+α 2 = 0 f () ( 0 ) α 1 g () ( 0 ) α 2 = l 1 l 2 0, ±. Sussiste il seguente wteorema (Cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore) Ipotesi) Siano f 1 (), f 2 (), g 1 (), g 2 () infinitesimi simultanei per 0, con 0 finito o infinito. Si supponga inoltre che f 1 () sia un infinitesimo di ordine superiore a f 2 () e che g 1 () sia un infinitesimo di ordine superiore a g 2 (). Tesi) f 1 () + f 2 () g 1 () + g 2 () = f 2 () g 2 (). Dimostrazione Si ha: f 1 () + f 2 () g 1 () + g 2 () = f 2 ()[1 + f 1 ()/f 2 ()] g 2 ()[1 + g 1 ()/g 2 ()] = f 2 () g 2 () [1 + f 1()/f 2 ()] [1 + g 1 ()/g 2 ()] = f 2 () g 2 () [1 + f 1 ()/f 2 ()] ξ [1 + g 1 ()/g 2 ()]. (4.7) Siccome f 1 () è infinitesimo di ordine superiore a f 2 () e g 1 () è infinitesimo di ordine superiore a g 2 () risulta e, dalla relazione (4.7), segue la tesi. [1 + f 1 ()/f 2 ()] [1 + g 1 ()/g 2 ()] = 1

39 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 152 "Osservazione Il teorema precedente consente di semplicare notevolmente il calcolo dei iti della forma 0 0 : è sufficiente trascurare in ogni somma in cui compaiano due addendi infinitesimi quello con ordine di infinitesimo più grande o, in altre parole, quello che tende a zero più velocemente. EEsempio 4.63 Si calcoli il ite e 1 + ln(1 + 2 ) Per 0 si ha: e 1 è un infinitesimo di ordine 1 2 ln(1 + 2 ) è un infinitesimo di ordine 2 2 è un infinitesimo di ordine 2 3 è un infinitesimo di ordine 1 2. Trascurando sia a numeratore sia a denominatore gli infinitesimi di ordine più alto, si ottiene: e 1 + ln(1 + 2 ) e 1 = 0 3 = Infiniti Si consideri la funzione f () e sia 0 R o 0 = ±. RDefinizione (Infinito) Se f () = ± si dice che la funzione f () è un infinito per che tende a 0.

40 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 153 EEsempio 4.64 Le funzioni f () = α, α (0,+ ) sono infiniti per +. La funzione f () = e è un infinito per +. Le funzioni sono infiniti per 0 +. La funzione f () = 1 α, α (0,+ ) f () = ln è un infinito per +. Così come visto nel caso degli infinitesimi, anche nel caso degli infiniti è rilevante stabilire la rapidità con cui una funzione f () tende all infinito per 0. Vale la seguente R Definizione (Confronto tra infiniti) Se f () e g () sono infiniti per 0, con 0 finito o infinito, si dirà che, se l 0, ± f e g hanno la stessa velocità f () g () = l = 0 f è meno veloce di g. ± f è più veloce di g f e g non sono confrontabili Nella pratica è comodo assegnare ad un infinito f () un ordine di infinito, confrontando f () con un opportuno infinito campione. In particolare si assumerà R Definizione (Infinito campione) Si dice infinito campione la funzione R Definizione (Ordine di infinito) Se { 1 p() = 0 se 0 R se 0 = ±. f () = l 0, ± [p()] α

41 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 154 si dice che f () è un infinito di ordine α per 0. " Osservazione Se f ()è un infinito di ordine α per 0 si ha: per ogni β > α e f () [p()] β = 0 f () [p()] β = ± per ogni β < α. In effetti, se ad esempio β > α, si ha: f () [p()] β = f () [p()] α 1 1 = l = l 0 = 0. [p()] β α [p()] β α Operazioni tra infiniti Siano f () e g () infiniti per 0, con 0 finito o infinito. Se f () è un infinito di ordine α 1 e g () è un infinito di ordine α 2 risulta che a) Somma tra infiniti 1) Se α 1 α 2 la somma degli infiniti f () + g () è ancora un infinito, di ordine α = ma{α 1,α 2 }. In effetti se per fissare le idee si suppone che α 1 > α 2 e 0 = +, si ha: f () + g () α = 1 f () α 1 g () + α. 1 (4.8) Il primo ite a secondo membro della relazione (4.8) vale l 1 0, ±, visto che f () è un infinito di ordine α 1 mentre il secondo ite è pari a zero visto che g () è un infinito di ordine α 2 < α 1. Pertanto il valore del ite (4.6) è l 1 0, ± e, pertanto, f () + g () è un infinito di ordine α 1 = ma{α 1,α 2 }. 2) Se α 1 = α 2 α si avrà f () + g () [p()] α = 0 f () [p()] α + g () [p()] α = l 1 + l 2. Se l 1 + l 2 0 l ordine di infinito di f () + g () risulterebbe pari a α mentre se l 1 + l 2 = 0 l ordine di infinitesimo di f ()+g () risulta minore di α : ne segue che se f () e g () hanno lo stesso ordine di infinitesimo α, l infinitesimo somma, f () + g () ha ordine di infinitesimo minore o uguale a α.

42 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 155 b) Prodotto tra infiniti La funzione f ()g () è un infinito di ordine α = α 1 + α 2. In effetti se per fissare le idee si suppone che 0 = +, si ha: f ()g () f () g () α = 1+α 2 α 1 α = l 1 l 2 0, ±. 2 In modo analogo a quanto visto per il caso degli infinitesimi, sussiste il seguente w Teorema (Cancellazione degli infiniti di ordine inferiore) Ipotesi) Siano f 1 (), f 2 (), g 1 (), g 2 () infiniti simultanei per 0, con 0 finito o infinito. Si supponga inoltre che f 1 () sia un infinito di ordine inferiore a f 2 () e che g 1 () sia un infinito di ordine inferiore a g 2 (). Tesi) f 1 () + f 2 () g 1 () + g 2 () = f 2 () g 2 (). Dimostrazione La dimostrazione è analoga a quella vista per il teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, ed è pertanto lasciata al lettore come esercizio. " Osservazione Il teorema precedente consente di semplicare notevolmente il calcolo dei iti della forma : è sufficiente trascurare in ogni somma in cui compaiano due addendi infiniti quello con ordine di infinito più piccolo o, in altre parole, quello che tende ad infinito più lentamente. EEsempio 4.65 Si calcoli il ite 2 e + e + ln 2 ln 2 + e. Nel calcolo del ite si possono trascurare gli infiniti di ordine più basso. Tenendo conto della gerarchia tra infiniti si ottiene 2 e + e + ln 2 ln 2 + e = 2 e e = +.

43 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI Continuità La nozione intuitiva di continuità di una funzione f () potrebbe essere espressa in termini del suo grafico: potrebbe definirsi continua una funzione il cui grafico è rappresentato da una curva continua. Tale visione, comunque, risulta fuorviante perché, sebbene la nozione moderna (e rigorosa) di funzione continua spesso coincide con quella di funzione con grafico rappresentabile tramite una curva continua, nella realtà non è sempre così. Le esigenze di rigore, inoltre, comporterebbero il dover caratterizzare con precisione cosa si intende con curva continua. Una nozione, sempre intuitiva, ma che corrisponde in modo migliore alla nozione rigorosa di continuità, è quella secondo cui la funzione f () è continua in un punto 0 se, variando di poco il punto 0, considerando ad esempio il punto molto vicino a 0, il corrispondente valore f () è molto vicino a f ( 0 ). Si dovrebbe avere, in altre parole, f () = f ( 0 ) + R, con R tanto più vicino allo zero quanto più è vicino a 0 : o, in altri termini, R = 0 f () = f ( 0 ). Più precisamente, vale la seguente R Definizione (Continuità in un punto) Sia f : X Y e 0 X. Si dice che la funzione f () è continua nel punto 0 se f () = f ( 0 ). "Osservazione Se la funzione f () è definita nell intervallo chiuso e itato [a,b] essa sarà continua in a e in b se risulterà e f () = f (a) a + f () = f (b) b

44 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 157 R Definizione (Continuità in un insieme) Se f () è continua per ogni 0 A si dirà che essa è continua nell insieme A. "Osservazione Ci si convince facilmente che se f () è una funzione continua in [a,b] allora il suo grafico è una curva continua cioè, in termini intuitivi, è possibile tracciare tale grafico senza staccare la penna dal foglio. " Osservazione Le funzioni ad una legge sono funzioni continue nei loro relativi domini. " Osservazione La relazione f () = f ( 0 ) può essere interpretata come possibilità di scambiare il simbolo di ite con il simbolo di funzione: f () = f ( ) 0 visto che, evidentemente, risulta 0 = 0. f() f() f(0) f() f() f(0) 0 0 a b Figura 4.6 Un esempio di funzione continua in 0 (a) e di funzione non continua in 0 (b).

45 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI Teoremi sulle funzioni continue w Teorema (Operazioni razionali sulle funzioni continue) Ipotesi) Siano f () e g () funzioni continue nell insieme X R. Tesi) Le funzioni f () ± g (), f ()g () sono continue in X. Se g () 0 X è continua anche la funzione f () g (). Dimostrazione La dimostrazione del teorema è conseguenza diretta delle proprietà relative alle operazioni razionali sui iti. Si consideri ad esempio la funzione f ()+ g () e sia 0 X. Si ha: [f () + g ()] = f () + g () = f ( 0 ) + g ( 0 ). 0 0 Gli altri casi sono lasciati al lettore per esercizio. " Osservazione In modo analogo a quanto visto nel teorema precedente, si può dimostrare che, se f () è continua allora anche la funzione f () risulterà continua: tale dimostrazione è lasciata al lettore per esercizio. w Teorema (Continuità della funzione composta) Ipotesi) Siano f : X Y e g : Y Z due funzioni continue nei rispettivi domini. Tesi) La funzione composta g f : X Z è continua in X. Dimostrazione Sia 0 X e h = g f. Si consideri il ite h() = 0 g (f ()) Siccome la funzione g è continua tale ite può essere riscritto come g ( 0 f ()) = g (f ( 0 )) = h( 0 ) Si è ottenuto quindi che per un arbitrario 0 X risulta h() = h( 0 )

46 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 159 e, pertanto, la tesi Classificazione dei punti di discontinuità Sia f : X Y e sia 0 X. Come visto precedentemente, la funzione f () si dice continua in 0 se risulta f () = f ( 0 ). (4.9) E chiaro che affinché sia soddisfatta la relazione (4.9) devono sussistere contemporaneamente le condizioni 1) 0 X 2) f () = f () = l + 0 3) l = f ( 0 ). Se anche solo una delle condizioni precedenti non è soddisfatta è chiaro che la funzione f () non potrà essere continua nel punto 0. Si dice in tal caso che la funzione ha, in 0, un punto di discontinuità di prima specie se sussiste la condizione 1), 0 X, ma non la condizione 2), cioè se f () f () + 0 di seconda specie se sussiste la condizione 1), 0 X, ma i iti destro e/o sinistro non esistono oppure sono infiniti einabile per competamento se non sussiste la condizione 1) ma sussiste la condizione 2). In tal caso la discontinuità può essere einata aggiungendo 0 al dominio e ponendo f ( 0 ) = l einabile per correzione se sussistono le condizioni 1) e 2) ma non sussiste la condizione 3). In tal caso la discontinuità può essere einata ridefinendo la funzione in 0 ponendo f ( 0 ) = l. " Osservazione Se la funzione f () è definita ad una legge, i suoi eventuali punti di discontinuità vanno ricercati nei punti di accumulazione del dominio che non appartengono al dominio stesso. Se invece la funzione f () è definita a più leggi, gli eventuali punti

47 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 160 di discontinuità vanno ricercati anche in quei punti in corrisponedenza ai quali cambia la legge che definisce la funzione. " Osservazione Se la funzione f () è definita a più leggi e dipende da un parametro k, essa potrà risultare continua per alcuni valori di k e discontinua per altri. Nella pratica, per determinare i valori di k in corrispondenza ai quali la funzione f () è continua, si calcolano i iti destro e sinstro di f () per 0, essendo 0 il punto in corrispondenza al quale cambia la legge che definisce la funzione. Imponendo l eguaglianza tra i iti destro e sinistro sopra menzionati si ottiene un equazione in k che, se risolta, consente di determinare l insieme 6 dei valori di k per cui f () è continua. EEsempio 4.66 Determinare e classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione f () = e2 1. La funzione definita ad una legge f () ha dominio X pari a R\{0} (,0) (0,+ ). L unico punto di accumulazione di X che non appertiene a X stesso è 0 = 0. Si ha: e 2 1 = 2 0 e, pertanto, 0 = 0 è un punto di discontinuità einabile per completamento: aggiungendo 0 = 0 al dominio X e ponendo f (0) = 2 si ottiene la funzione continua f () = { e 2 1 se R\{0} 2 se = 0. EEsempio 4.67 Determinare e classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione { 2 se R\{0} f () = 2 se = 0. Siccome il dominio X della funzione è tutto R, l unico punto di discontinuità di f () potrebbe essere 0 = 0, punto nel quale cambia la legge che definisce la funzione. Si ha: 6 Si osservi che tale insieme potrebbe anche essere vuoto.

48 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI f () = f () = 0 f (0). + 0 Il punto 0 = 0 è pertanto un punto di discontinuità einabile per correzione: ridefinendo la funzione f () in modo che f (0) = 0 si ottiene la funzione continua { 2 se R\{0} f () = 0 se = 0 2. EEsempio 4.68 Determinare e classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione { se [0,+ ) f () = 1 se (,0). Il dominio di f () coincide con R e, pertanto, l unico punto di discontinuità va cercato in 0 = 0, punto in cui cambia la legge che definisce la funzione f (). Si ha: e f () = (2 + 1) = 1 1 f () = 0 0 =. Il punto 0 = 0 rappresenta pertanto un punto di discontinuità di seconda specie. EEsempio 4.69 Determinare e classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione { 2 + se [1,+ ) f () = 1 se (,1). Siccome il dominio di f () è tutto R, l unico punto in cui la funzione potrebbe non essere continua è 0 = 1, punto in cui cambia la legge che definisce la funzione f (). Si ha: f () = (2 + ) = 2 e

49 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 162 f () = 1 = La funzione f () ammette, pertanto, una discontinuità di prima specie nel punto 0 = 1. EEsempio 4.70 Determinare gli eventuali valori del parametro k tali che la funzione risulti continua. { e k se [2,+ ) f () = + 1 se (,2) Come visto negli esempi precedenti, l unico punto in cui la funzione f () potrebbe non risultare continua è 0 = 2. Si ha: e f () = ek = e 2k + f () = + 1 = Affinché la funzione risulti continua è necessario che i iti destro e sinistro coincidano: e 2k = 3 = k = 1 2 ln3. Tale condizione è anche sufficiente risultando f (2) = e 2k k=ln3/2 = 3. EEsempio 4.71 Si supponga che il costo di un m 3 di acqua (costo unitario) da versare all erogatore, dipenda dalla quantità consumata tramite la funzione { 3 se 150 c() = 3.8 se > 150. Si determini la funzione costo totale c T e se ne studi la continuità. Se la quantità consumata è minore o uguale a 150 la funzione costo sarà pari a 3. Se invece la quantità consumata è maggiore di 150 la funzione costo sarà ( 150). Si ha, quindi, { c T () = 3 se ( 150) se > 150.

50 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 163 L unico punto di discontinuità di c T () potrebbe essere 0 = 150. Si ha: e c T () = + 3.8( 150)] = 450 +[ c 150 T () = 3 = e, risultando, c T (150) = 450 risulta che la funzione costo totale è continua, pur non essendo continua la funzione costo unitario c(). RDefinizione (Continuità a destra o a sinistra) Se la funzione f : X Y non è continua nel punto 0 X ma risulta f () = f ( 0 ) + si dirà che f () è continua in 0 da destra. In modo analogo se risulta f () = f ( 0 0 ) si dirà che f () è continua in 0 da sinistra. "Osservazione Si consideri la funzione parte intera di, f () = [], che associa ad ogni R il più grande intero relativo minore o uguale a. Essa, si confronti la figura 4.7, Figura 4.7 Grafico della funzione f () = []. pur non essendo continua per Z, risulta essere continua a destra per ogni Z.

51 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI Continuità e invertibilità Sia f : X Y una funzione continua e invertibile e sia f 1 : f (X ) X la sua funzione inversa. In generale non si può concludere che la funzione f 1 () è continua, come si mostra nel seguente EEsempio 4.72 Sia { f () = il cui grafico è riportato in figura 4.9. se [0,1] 1 se (2,3], f() Figura 4.9 Grafico della funzione f (). La funzione f () è continua nel suo dominio X = [0,1] (2,3] ma la sua funzione inversa, { f 1 () = il cui grafico è riportato in figura 4.10, se [0,1] + 1 se (1,2],

52 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 165 f 1 () 1 1 Figura 4.10 Grafico della funzione f 1 (). non è continua essendo f 1 () = 1 1 e f 1 () = Se l insieme di definizione X è un intervallo (aperto, chiuso o semichiuso) si può invece dimostrare che se esiste l inversa di una funzione continua essa è continua. 4.5 Massimi e minimi di una funzione R Definizione (Funzione itata) La funzione f : X Y si dice itata se l immagine di f () è un insieme itato: sup f (X ) = S R X inf f (X ) = s R X

53 CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 166 R Definizione (Massimo e minimo assoluto) Sia f : X Y una funzione itata. Se l estremo superiore S di f (X ) appartiene a f (X ), S f (X ), esso si dice massimo assoluto della funzione f (). In modo analogo, se l estremo inferiore s di f (X ) appartiene a f (X ), s f (X ), esso si dice minimo assoluto della funzione f (). Nel caso in cui il dominio X della funzione f () è un intervallo chiuso e itato, sussistono i seguenti w Teorema (Weierstrass) Ipotesi) Sia f () continua nell intervallo chiuso e itato 7 [a,b]. Tesi) La funzione f () ammette in [a,b] massimo e minimo assoluto. w Teorema (Zeri di una funzione continua) Ipotesi) Sia f () continua in [a,b] e si supponga che il segno di f (a) sia non concorde col segno di f (b) : f (a)f (b) < 0 allora Tesi) La funzione f () ha almeno uno zero 8 in (a,b) : c (a,b) f (c) = 0. Dimostrazione Si consideri il caso f (a) < 0 e, di conseguenza, f (b) > 0. Sia X il sottoinsieme di (a,b) in cui la funzione f () assume valori negativi e si indichi con c l estremo superiore di tale insieme: c = sup X. Se, per assurdo, risultasse f (c) < 0 allora si dovrebbe avere f () = f (c) < 0 : c in base al teorema sulla permanenza del segno in forma diretta esisterebbe un intorno I del punto c in cui la funzione f () assume valori negativi. Sia I = (c δ 1,c + δ 2 ) con δ 1,δ 2 > 0. Ciò comporterebbe, però, che sup X c + δ 2 > c = sup X, cioè sup X > sup X, conclusione assurda. In modo analogo si esclude il caso f (c) > 0. w Teorema (Darbou o dei valori intermedi) Ipotesi) Sia f () continua nell intervallo chiuso e itato [a,b]. Tesi) La funzione f () assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo assoluto. Dimostrazione Siccome f () è continua nell intervallo chiuso e itato [a, b] essa ammetterà, per il teorema di Weierstrass, massimo assoluto M e minimo assoluto m 9. Siano 1 e 7 Gli insiemi chiusi e itati si chiamano anche compatti. 8 Se la funzione f () è strettamente monotòna, tale zero è unico. 9 Se la funzione f () è costante, la dimostrazione del teorema è banale. Si supporrà pertanto che f () non sia costante. Ciò implica che M m.

Infiniti e Infinitesimi

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