CALCOLO COMBINATORIO. Su ha che il numero degli elementi di Ω, cioè dei casi possibili, è #Ω = 6 3, mentre il numero dei casi favorevoli #E = 6.

Transcript

1 Breve premessa CALCOLO COMBINATORIO Consideriamo un evento E e fissiamo una partizione Ω della possibilità logiche di parte delle quali l evento stesso è unione, fissiamo cioè lo spazio dei casi elementari possibili. Supponiamo che essi siano in numero finito, ne diamo nel seguito alcuni esempi per fissare le idee. Esempio 1 Consideriamo l evento E: In due lanci consecutivi di un dado la somma dei risultati è 6. In questo caso, lo spazio Ω dei risultati (casi elementari possibili) è costituito dalle coppie ordinate (m, n) con m, n {1,, 3,, 5, 6}; esso è costituito da 6 elementi che, come vedremo, costituiscono le disposizioni con ripetizione di 6 elementi della classe. L evento E è l unione di quei casi elementari possibili (m, n) per cui m+n 6, essi sono tanti quante sono le soluzioni intere positive della precedente equazione che, come si verifica facilmente, sono 5. Esempio Consideriamo adesso l evento E: In tre lanci consecutivi di un dado la somma dei risultati è 5 o, assumendo com è ragionevole l indipendenza dei lanci, La somma dei risultati del lancio di tre dadi è 5. In questo caso Ω { (m, n, p) : m, n, p {1,, 3,, 5, 6} }, mentre E { (m, n, p) : m, n, m {1,, 3,, 5, 6} e m + n + p 5 } Ω. Su ha che il numero degli elementi di Ω, cioè dei casi possibili, è #Ω 6 3, mentre il numero dei casi favorevoli #E 6. Se non vi sono ragioni per attribuire ad uno qualunque dei casi elementari una probabilità diversa dagli altri, allora i casi elementari si dicono equiprobabili e si dice che sull insieme Ω si è messa una distribuzione uniforme di probabilità. Il ricorso alla distribuzione uniforme è tipico in problemi di giochi equi, come il lancio di dadi non truccati, le estrazioni da un urna e così via. Se n è il numero dei casi elementari, allora 1/n è la probabilità di ciascuno di essi e m/n è la probabilità di un evento E che è unione di m casi elementari. In altre parole, in caso di una distribuzione uniforme di probabilità, si ha che P (E) #E #Ω. Una possibile definizione di calcolo combinatorio: Il calcolo combinatorio si occupa del problema di contare in modo efficiente quanti sono i sottoinsiemi di un insieme dato che godono di una certa proprietà. Le origini dell analisi combinatoria risalgono al XVII secolo in relazione alla teoria dei giochi (Tartaglia, Cardano). Gli sviluppi successivi sono legati in particolare ai nomi di Pascal, Fermat, Bernoulli, Leibniz, Eulero. Il rapido sviluppo dell analisi combinatoria negli anni recenti è connesso con il crescere dell interesse nei problemi della matematica discreta. I metodi combinatori trovano applicazione in differenti settori: oltre che nel calcolo delle probabilità, essi sono utilizzati per risolvere problemi di programmazione, quali ad esempio i problemi di trasporto e lo studio del flusso in reti di varia natura, nella codifica e decodifica nella teoria dell informazione, nella genetica, nella dinamica per lo studio delle possibili connessioni tra i vari atomi e le molecole, nell analisi linguistica dei testi, nonché in certe aree della matematica pura, quali la teoria dei gruppi, le algebre associative, ecc. Principi di base del conteggio Proposizione 1 (Principio dell addizione) Se un insieme S di oggetti è diviso in sottoinsiemi S 1, S,..., S m a due a due disgiunti, allora il numero degli oggetti in S può essere determinato sommando il numero degli oggetti in ciascuno degli insiemi S 1, S,..., S m. Una formulazione equivalente del principio di addizione può essere fatta in termini di scelte: se un oggetto può essere scelto in p modi da un gruppo ed in q modi da un gruppo separato, allora la selezione dell oggetto da uno qualunque dei gruppi può essere fatto in p + q modi. Esempio 3 Uno studente desidera seguire o un corso di fisica o un corso di matematica ma non entrambi. Nella ipotesi che vi siano disponibili corsi di fisica e 5 di matematica, allora lo studente può scegliere in modi diversi. 1

2 Proposizione (Principio della moltiplicazione) Se A è un insieme di p oggetti e B è un insieme di q oggetti, allora il numero di coppie ordinate (a, b), con a oggetto di A e b oggetto di B, è uguale a p q. In altre parole, il prodotto cartesiano A B è costituito da p q coppie (a, b). Una formulazione equivalente del principio di moltiplicazione è la seguente fatta in termini di scelte: se un oggetto a può essere scelto in p modi e, qualunque sia la scelta di esso, un secondo oggetto b può essere scelto in q modi, allora la scelta della coppia di oggetti (a, b) può essere fatta in p q modi. Più in generale, se vi sono successive scelte da fare e se, per ogni i con 1 i, la scelta i-esima può essere fatta in n i modi diversi (indipendentemente dalle altre) allora il numero totale dei modi di effettuare tali scelte o, equivalentemente, il numero totale delle -uple (a 1, a,..., a i,..., a ) dove ciascun a i può essere scelto in n i modi diversi, è dato da Disposizioni n 1 n... n n i. Supponiamo di avere un insieme (urna) contenente n oggetti distinti {a 1, a,..., a n } e di effettuare successive estrazioni seguendo la regola: 1. ad ogni estrazione si reintroduce nell urna l elemento estratto (estrazione con rimpiazzo o reimbussolamento). In tal caso ad ognuna delle estrazioni si sceglie un oggetto fra gli n oggetti {a 1, a,..., a n }, eventualmente lo stesso estratto in una o più delle estrazioni precedenti, pertanto si ha che i1 n 1 n n n. Quindi si ottengono n -uple ordinate che corrispondono alle disposizioni con ripetizione di n oggetti della classe secondo la seguente definizione. Definizione 1 Dati n oggetti distinti {a 1, a,..., a n }, si chiamano disposizioni con ripetizione di questi oggetti, della classe, oppure a a ( è un intero positivo eventualmente anche maggiore di n), tutti i gruppi di oggetti, distinti o coincidenti (in tutto o in parte), che si possono formare con gli n oggetti dati, intendendo come identici due gruppi se hanno gli stessi elementi, lo stesso numero di volte e nello stesso ordine. Il loro numero si indica con D n,. Pertanto si ha D n, n. Esempio In quanti modi diversi si può fare una schedina di totocalcio? Ci sono tre oggetti distinti: 1, X,, ed ogni schedina può essere formata tramite 13 estrazioni con rimpiazzo dall insieme {1, X, } contenente i tre oggetti. Per tanto si tratta di disposizioni di 3 oggetti della classe 13 ed il loro numero è Se adesso dall insieme di oggetti distinti {a 1, a,..., a n } si effettuano successive estrazioni seguendo la regola:. ad ogni estrazione non viene reintrodotto l oggetto estratto (estrazione senza rimpiazzo o reimbussolamento allora nella formazione di una -upla ordinata a partire dagli n oggetti si ha la seguente situazione: - il primo oggetto della -upla si può scegliere in n modi; - il secondo oggetto della -upla si può scegliere in n 1 modi;

3 - il -esimo oggetto della -upla si può scegliere in n ( 1) modi. Pertanto dal principio di moltiplicazione le -uple possibili sono n(n 1)(n )... (n +1). Chiaramente in questo caso si deve avere n. Tali -uple si dicono disposizioni semplici di n oggetti della classe e corrispondono alla seguente: Definizione Dati n oggetti distinti a 1, a,..., a n, chiameremo disposizioni semplici di questi n oggetti della classe, o a a con n, tutti i gruppi di oggetti distinti che si possono formare con gli n oggetti dati, intendendo due gruppi diversi se differiscono o per un elemento o per l ordine degli elementi. Indicheremo il loro numero con D n,. Pertanto D n, n(n 1)... (n + 1). Se n allora si parla di permutazioni di n oggetti ed il loro numero si indica con P n, ovvero: P n D n,n n(n 1)... 1 n! Due permutazioni distinte contengono gli stessi oggetti in ordine diverso. Esempio 5 In tre differenti corse partecipano rispettivamente 1, 5 ed 8 cavalli. Si vince un premio quando si prevedono esattamente in ogni corsa i primi tre cavalli nell ordine di arrivo al traguardo. Calcolare il numero delle possibili previsioni. Nella prima corsa con 1 cavalli i primi tre possono essere selezionati in modi diversi, sono cioè le disposizioni semplici di 1 oggetti della classe 3. Analogamente nella seconda corsa i primi tre cavalli possono essere scelti in modi diversi. Infine nella terza corsa i primi tre cavalli possono essere scelti in modi diversi. Pertanto il numero di possibili previsioni è Esempio 6 Un venditore ha 0 posti di vendita situati in località distinte e che visita una dietro l altra. Calcolare il numero totale dei possibili percorsi. Si tratta dei diversi modi di ordinare le 0 località e quindi i possibili percorsi sono tante quante le permutazioni di 0 elementi: P 0 0!. Esempio 7 Nel gioco del lotto quante cinquine ordinate sono possibili in una determinata ruota? Sono tante quanti sono i gruppi ordinati di cinque numeri che si possono formare scegliendoli tra i numeri da 1 a 90 senza ripetizioni e, dunque, sono D 90, Combinazioni Se nell esempio precedente si considerano le cinquine su una determinata ruota ai fini di una possibile vincita, allora non ha importanza l ordine con cui compaiono i 5 numeri. Pertanto si è ricondotti alle combinazioni semplici di n oggetti della classe. Definizione 3 Dati n oggetti distinti a 1, a,..., a n, chiameremo combinazioni semplici di questi n oggetti della classe, o a a con n, tutti i gruppi di oggetti distinti che si possono formare con gli n oggetti dati, intendendo che due gruppi sono diversi se differiscono almeno per un elemento. Pertanto due gruppi di oggetti che contengono gli stessi elementi in ordine diverso rappresentano la stessa combinazione. Indichiamo il loro numero con C n,. Si ha ovviamente C n,1 n e C n,n 1. Per determinare il numero C n, in funzione degli indici n, procediamo nel modo seguente: supponiamo di aver scritto tutte le C n, combinazioni della classe degli n oggetti dati. Da ogni combinazione, permutando i suoi elementi, otteniamo P disposizioni distinte della classe degli n elementi. Poichè da combinazioni distinte otteniamo disposizioni distinte ed inversamente ogni disposizione della classe può ottenersi ordinando opportunamente una combinazione della classe, in questo modo si ha che D n, C n, P, 3

4 cioè C n, D n, n(n 1)... (n + 1) n! P!!(n )!. I numeri C n, si chiamano anche coefficienti binomiali e si indicano con il simbolo n C n,. Esempio 8 Si consideri il lancio di un dado a 6 facce e si valuti la probabilità che in lanci successivi i risultati appaiano in ordine crescente. Sappiamo che il numero #Ω di tutti i possibili risultati è 6. Per il calcolo dei casi favorevoli occorre tener presente che si tratta di gruppi di quattro cifre distinte che differiscono fra di loro per almeno un elemento, considerando identici quelli che differiscono solo per l ordine e prendendo come rappresentante per essi quella quartina che contiene le cifre in ordine crescente. Trattasi quindi di 6 C 6, 15 casi favorevoli. Pertanto la probabilità dell evento considerato è 15/(6 ). Vediamo adesso alcune semplici identità binomiali. Si osservi preliminarmente che n n! n!(n )!. n Questa uguaglianza si può interpretare come segue: consideriamo i oggetti di una combinazione semplice della classe degli n oggetti dati; a questa combinazione possiamo far corrispondere quella della classe n ottenuta sopprimendo dagli n oggetti i oggetti considerati. In questo modo stabiliamo una corrispondenza biunivoca fra le combinazioni della classe e quelle della classe n degli stessi n oggetti. Si può dimostrare la seguente formula di Tartaglia-Pascal: n n 1 n 1 (1) +. 1 Consideriamo, infatti, le C n, combinazioni degli elementi a 1, a,..., a n della classe. Quelle che non contengono l elemento a 1 sono tante quante le combinazioni semplici degli n 1 elementi a,..., a n della classe, ovvero sono C n 1,. Se poi in quelle che contengono l elemento a 1 sopprimiamo questo elemento, otteniamo esattamente tutte le combinazioni degli n 1 elementi a,..., a n della classe 1 che sono proprio C n 1, 1. In conclusione, dal principio di addizione, C n, C n 1, + C n 1, 1 che è proprio la formula (1). Se nella formula (1) cambiamo successivamente n in n 1, n,..., + 1, otteniamo: n 1 n n + 1 n n 3 n Sommando queste identità membro a membro insieme( anche alla ) (1), semplificando i termini comuni ai 1 due membri e tenendo conto del fatto che 1, si ottiene 1 n n 1 n Consideriamo adesso le combinazioni con ripetizione di n oggetti della classe.

5 Definizione Dati n oggetti distinti a 1, a,..., a n, chiameremo combinazioni con ripetizione degli n oggetti dati della classe, o a a, tutti i gruppi formati da oggetti distinti o coincidenti (in tutto o in parte), che si possono formare con gli n oggetti dati, intendendo ancora come identici due gruppi che abbiano gli stessi elementi anche se in ordine diverso. Indicheremo il loro numero con C n,. Evidentemente C n,1 n. Osserviamo che può anche essere > n. Determiniamo il numero C n, come segue: il numero totale di elementi (distinti o meno) che si ottengono unendo i elementi di ciascuna delle C n, combinazioni è C n,. D altra parte, per simmetria, ogni elemento sarà contenuto complessivamente lo stesso numero di volte; pertanto, ad esempio, a 1 sarà contenuto n C n, volte in tutte le C n, combinazioni. Calcoliamo questo numero nel modo seguente: delle C n, combinazioni consideriamo quelle che contengono a 1 almeno una volta. Se in ciascuna di esse sopprimiamo una copia di a 1, otteniamo tutte le combinazioni con ripetizione degli n elementi a 1, a,..., a n della classe 1, cioè C n, 1. Quindi sopprimendo un a 1 da ogni combinazione che lo contiene almeno una volta, abbiamo soppresso a 1 C n, 1 volte dal totale di n C n,. Ma sopprimendo a 1, si ottengono le combinazioni con ripetizioni della classe 1 che contengono in totale a 1 un numero di volte pari a 1 n C n, 1 per quanto detto in precedenza. In conclusione: e da qui n C n, C n, n C n, 1 () C n, n + 1 C n, 1. Adesso, sostituendo all indice successivamente 1,,..., e ricordando che C n,1 n, si ottiene C n, 1 n + C n, 1. C n, n + 1 C n,1 n. Moltiplicando membro a membro queste identità insieme anche alla () e semplificando i fattori comuni a entrambi i membri, si ottiene C n, (n + 1)(n + )... (n + 1)n n + 1 C n+ 1,.! Osservazione 1 (importante) Consideriamo una qualunque combinazione con ripetizione degli oggetti a 1, a,..., a n della classe. essa conterrà a j un numero i j di volte con 0 i j. Pertanto la n-upla di numeri (i 1, i,..., i n ) risolve l equazione C n, (3) i 1 + i + + i n Viceversa, ad ogni n-upla (i 1, i,..., i n ) con 0 i j che risolve l equazione (3) corrisponde una diversa combinazione con ripetizione di n oggetti della classe. In conclusione, il numero delle soluzioni intere non negative (i 1, i,..., i n ) di (3) è dato da C n+ 1,. Esempio 9 Data una funzione f : A R con A R n aperto, quante sono le derivate parziali di ordine di f, ammesso che esse esistano? Si hanno n oggetti x 1, x,..., x n (le componenti del vettore x A rispetto alle quali si fanno le derivate parziali) da cui costituire per mezzo di estrazioni con rimpiazzo un gruppo di oggetti che rappresenta le variabili (ordinate) rispetto alle quali si effettuano le derivazioni successive. Se non si hanno ulteriori informazioni, il risultato di una derivata -esima di f può dipendere dall ordine in cui si deriva la funzione rispetto alle variabili. Quindi il numero di derivate differenti in questo caso va calcolato con le disposizioni con ripetizione di n oggetti della classe ed è D n, n. Se invece 5

6 supponiamo che la funzione sia di classe C (A) (ovvero che tutte le derivate di ordine siano continue in A), allora il Teorema di Schwarz assicura che ogni derivata -esima non dipende dall ordine con il quale si effettuano le derivate rispetto alle variabili x 1,..., x, ma solo dal numero i j di volte per cui si deriva rispetto alla variabile x j, per j 1,..., n. Pertanto si tratta di contare le soluzioni intere non negative (i 1, i,..., i n ) dell equazione (3), cioè si hanno C n, C n+ 1, differenti derivate di ordine. Il calcolo combinatorio come calcolo dei modi di mettere palline dentro n urne In molti problemi di calcolo combinatorio, come gli esempi considerati finora, può essere utile trasformare il problema in esame in quello di mettere palline dentro urne e contare quindi i possibili modi di farlo, invece di trasformarlo in quello di formare gruppi di elementi presi da un insieme dato. Siano date n urne a 1, a,..., a n che corrispondono agli n oggetti considerati finora, e siano date palline da mettersi nelle urne una per volta. Si hanno varie situazioni possibili: mettere una pallina dentro l urna a j corrisponde alla scelta di a j dall insieme {a 1, a,..., a n }; ogni modo di mettere le palline dentro le n urne corrisponde alla formazione di un gruppo di elementi presi da {a 1, a,..., a n }; le palline possono essere indistinguibili o no; si può decidere di non mettere più di una pallina per urna oppure si possono ammettere anche più palline nella stessa urna; se le palline sono indistinguibili non ha importanza quale di esse va a finire in una delle urne. Per esempio, date dieci urne a 1, a,..., a 10 e tre palline indistinguibili, mettere la prima pallina nell urna a e le restanti nell urna a 5 corrisponde a formare il gruppo di tre elementi (a, a 5, a 5 ). Se invece mettiamo la prima pallina nell urna a 5, la seconda nella urna a e la terza nell urna a 5, si è formato il gruppo (a 5, a, a 5 ). Siccome le due configurazioni di palline sono indistinguibili (ce n è una nell urna a e due nell urna a 5 ), i due gruppi sono considerati identici. Se le palline sono distinguibili, diciamo che sono numerate da 1 a 3, allora le due precedenti configurazioni sono distinte. Si osservi che ammettere più di una pallina dentro un urna corrisponde ad ammettere ripetizioni nel corrispondente gruppo. Da quanto detto seguono immediatamente i seguenti fatti. 1. Siano date n urne e palline distinguibili, n, con la regola di non mettere più di una pallina per urna. Allora il numero delle possibili configurazioni è D n,.. Siano date n urne e palline distinguibili e siano ammesse più palline nella stessa urna. Allora il numero delle possibili configurazioni è D n,. 3. Siano date n urne e palline indistinguibili, n, con la regola di non mettere più di una pallina per urna. Allora il numero delle possibili configurazioni è C n,.. Siano date n urne e palline indistinguibili e siano ammesse più palline nella stessa urna. Allora il numero delle possibili configurazioni è C n,. Partizione di una popolazione in sotto-popolazioni di numerosità assegnata Sia data una popolazione di numerosità p; si vuole trovare il numero x di modi in cui questa popolazione può essere suddivisa in popolazioni di numerosità assegnata: la prima di numerosità r 1, la seconda di numerosità r,..., la -esima di numerosità r. Siccome non conta l ordine all interno di una sottopopolazione e nessun elemento può apparire ( più) di una volta in una sotto-popolazione, la prima si n n r1 può formare in modi, la seconda in r ( 1 n r1 r r essere formata in r 1 r modi,..., e così via, fino alla ( 1)-esima che può n r1 r r 1 ) modi, mentre per la -esima si ha r 6

7 ( r r ) 1, ovvero un unico modo. Allora: Esercizi n n r1 n r1 r r n! x... r 1!r!... r!. r 1 r Esercizio 1 Ci sono 60 studenti che vogliono dare un esame; il professore decide di esaminarne 8. In quanti modi può essere fatta la lista? Nella situazione descritta due liste vanno considerate diverse non solo quando differiscono per almeno uno studente, ma anche se differiscono per l ordine in cui sono stati messi gli studenti. Inoltre nella stessa lista uno studente non può comparire più di una volta. Queste liste sono D 60, Esercizio Consideriamo gli stessi 60 studenti dell esercizio 1. Si vuole formare una squadra di calcio scegliendo 11 di questi studenti. Quante squadre diverse possono essere formate? Questa volta due gruppi di 11 studenti vanno considerati diversi solo se differiscono per almeno uno studente. Inoltre uno studente ( non ) può comparire più di una volta nella stessa squadra. Le possibili 60 squadre sono quindi C 60, Esercizio 3 Consideriamo 60 persone che partecipano ad alcune gare. Sono in palio 5 premi uguali. Ci si chiede in quanti modi diversi possono esser assegnati. Essendo i premi uguali, nel conto delle diverse assegnazioni si fa attenzione solo a quali persone hanno ricevuto un premio ed a quanti premi ha ricevuto la stessa persona. Se numeriamo le persone da 1 a 60, si può convenire che una sequenza di 5 numeri, presi dall insieme {1,..., 60}, con possibilità di ripetizione, rappresenti il fatto che le persone corrispondenti ai numeri della sequenza abbiano preso un premio. Per esempio, rappresenta il fatto che la persona 1 ha preso due premi, la 0 un premio, la 31 due premi. Inoltre ogni sequenza ottenuta cambiando l ordine dei numeri rappresenta la r 1 stessa cosa. Allora il numero delle possibili assegnazioni è C 60,5 Esercizio In quanti modi palline indistinguibili, n, possono essere messe in n urne, senza che qualche urna rimanga vuota? Se nessuna urna deve rimanere vuota, prima di tutto si mette una pallina in ogni urna tenendo presente che l ordine in cui ciò viene fatto è irrilevante perché le palline sono indistinguibili. Rimangono quindi n palline da distribuire in un qualunque modo nelle n urne (quindi anche con ripetizione) e ciò può essere fatto in: ) n + n 1 modi diversi. C n, n n ( 1 n ( 6 5 ). 1 1 ( n) 1 n 1 Esercizio 5 Venti amici si ritrovano dopo molti anni e ciascuno stringe la mano a tutti gli altri. Quante strette di mano in totale? Ogni stretta di mano è una diversa coppia di amici, a prescindere dall ordine. Quindi vi sono C 0, 0 strette di mano. Esercizio 6 Quanti numero telefonici diversi si possono comporre usando tutte e sole le cifre 1, 1, 1, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7? 7

8 Ogni diverso numero telefonico, che deve essere lungo dieci cifre, si può ottenere scegliendo, tra le dieci posizioni a disposizione, quali sono le tre occupate dagli 1, quali le due occupate dai 3, quali le quattro occupate dai 5 e quale quella occupata dal 7. Più precisamente, se consideriamo la popolazione costituita dalle dieci posizioni a 1, a,..., a 10, si deve stabilire in quanti modi si può suddividere in quattro sotto-popolazioni (una per l 1, una per il 3, una per il 5 ed una per il 7) di numerosità rispettivamente tre (per i tre 1), due (per i due 3), quattro (per i quattro 5) e uno (per l unico 7). Questo può essere 10! fatto in modi diversi. 3!!!1! Esercizio 7 (Ordinamenti distinguibili) Supponiamo di avere un insieme di n oggetti di tipi diversi (ad esempio n palline di colori diversi), indichiamo con α 1, α,..., α i vari tipi (i colori) e sia r 1 il numero degli oggetti di tipo α 1, r il numero degli oggetti di tipo α,..., r il numero degli oggetti di tipo α. In quanti modi distinguibili possono essere ordinati gli n oggetti? È un caso più generale dell esercizio 6, ma si può ragionare nello stesso modo. Si tratta di stabilire in quanti modi diversi si può scegliere le posizioni degli r i oggetti di tipo α i, per i 1,,...,, tra le n posizioni a disposizione. Quindi si tratta di stabilire in quanti modi diversi è possibile suddividere una popolazione di numerosità n (le posizioni a disposizione) in sotto-popolazioni di numerosità n! rispettivamente r 1, r,..., r, una per ogni tipo α 1, α,..., α. Ciò può essere fatto in r 1!r!... r! modi diversi. Esercizio 8 In quanti modi possono essere messe una torre bianca ed una torre nera su una scacchiera in modo che non si possano mangiare? E se entrambe le torri sono bianche (ammesso che due torri bianche possano mangiarsi)? Su una scacchiera vi sono 6 caselle ed ogni torre ne minaccia 15 (includendo anche la casella su cui risiede). Quindi vi sono 6 modi per posizionare la torre bianca e ne rimangono per posizionare quella nera, per un totale di 6 9 configurazioni differenti. Se le due torri hanno lo stesso colore, allora il numero precedente deve essere diviso per in quanto ognuna delle due possibili permutazioni delle due torri stavolta dà la stessa configurazione, quindi si hanno 3 9 configurazioni differenti. Esercizio 9 Un dado viene lanciato quattro volte. In quanti modi diversi possono venire i risultati in ordine crescente non stretto? Si tratta di una situazione simile a quella dell esempio 8, solo che stavolta ci possono essere ( risultati uguali ) visto che è richiesta la crescenza non stretta. Quindi il numero richiesto è pari a C 6,. Esercizio 10 In quanti modi n palline possono essere messe in n urne in modo che esattamente un urna rimanga vuota, se le palline sono: a) indistinguibili; b) distinguibili. Nel caso a) ci sono n modi di scegliere l urna da lasciare vuota e, una volta messa una pallina in ciascuna delle n 1 urne, rimane da scegliere tra queste n 1 urne quella in cui mettere l n-esima pallina rimasta, il che può essere fatto in n 1 modi. Per il principio di moltiplicazione quindi si hanno n(n 1) configurazioni differenti. n Nel caso b) scegliamo prima le palline da mettere nell urna doppia, il che si può fare in modi; quindi ci sono n modi di scegliere l urna doppia, n 1 modi per scegliere l urna vuota e n )! modi per posizionare le n palline rimanenti nelle n urne rimanenti, una per urna. Quindi il n n numero totale di configurazioni differenti è n(n 1)(n )! n!. Esercizio 11 Quanti doppi di tennis distinti si possono fare con 5 giocatori? 8

9 5 Prima di tutto si selezionano i quattro giocatori di un doppio, il che si può fare in modi. Ogni quaterna di giocatori si può dividere in due gruppi di due giocatori in! 3 modi diversi. Quindi si!! 5 possono fare 3 doppi diversi. 5 Svolgimento sbagliato: La prima coppia di giocatori si può selezionare in modi diversi. La 3 seconda coppia di giocatori tra le rimanenti 3 persone si può selezionare in modi diversi. Quindi 5 3 vengono doppi diversi. L errore risiede nel fatto che, avendo distinto l ordine delle due coppie sfidanti, si conta due volte lo stesso doppio: quello in cui AB giocano contro CD e quello (lo stesso!) in( cui)( CD giocano ) contro AB Si ottiene il risultato giusto allora se si divide il numero ottenuto per :. Esercizio 1 Un insieme A possiede 60 elementi. Quanti sono i suoi sottoinsiemi? Sia A {a 1, a,..., a 60 }. Ogni sottoinsieme B di A si può rappresentare in modo univoco con una sequenza (x 1, x,..., x 60 ) in cui x i 1 se a i B e x i 0 altrimenti. Quindi i sottoinsiemi di A sono tanti quante le sequenze di 60 elementi scelti con ripetizione tra 0 e 1, ovvero D, Alternativamente, si possono contare i sottoinsiemi di A di cardinalità fissata e poi sommare. Poiché i sottoinsiemi di cardinalità sono C 60, n 0 60 per la formula del binomio di Newton. n 0 ( 60 ), si ha (1 + 1) Esercizio 13 Un insieme A possiede n elementi. Quanti sono i suoi sottoinsiemi? Ragionando come nell esercizio 1 ma con n, generico, al posto si 60 non è difficile ottenere che A possiede n sottoinsiemi differenti. Esercizio 1 Trovare in quanti modi diversi possono sedere n persone attorno ad una tavola rotonda nei seguenti casi: a) si considerano diversi due modi se qualcuno ha cambiato seggiola; b) si considerano diversi due modi se almeno una persona ha cambiato almeno un suo vicino di posto oppure ha conservato i suoi vicini di posto, ma con l ordine scambiato; c) si considerano diversi due modi se almeno una persona ha cambiato almeno un suo vicino di posto. a) È come se le seggiole fossero numerate da 1 a n e si dovesse decidere come mettere le n differenti persone nelle n seggiole numerate, quindi si tratta di P n n! configurazioni differenti. b) Le seggiole non sono più numerate, ma conta solo la posizione relativa delle persone e l ordine relativo: ogni configurazione del tipo a) può essere ruotata in n modi diversi dando luogo alla stessa configurazione di tipo b); viceversa, se due configurazioni di tipo a) danno la stessa configurazione di tipo b), allora una sono una la rotazione dell altra. Quindi si hanno n!/n (n 1)! configurazioni diverse di tipo b. c) Adesso conta la posizione relativa, ma non l ordine relativo tra le persone: due configurazioni di tipo b) che differiscano solo per l orientamento (orario o antiorario) delle persone danno luogo alla stessa configurazione di tipo c); viceversa, se due diverse configurazioni di tipo b) danno la stessa configurazione di tipo c), allora si ottengono una dall altra invertendo l ordine delle persone. Quindi si hanno (n 1)!/ configurazioni differenti di tipo c). 9

10 Esercizio 15 Quanti numeri di sette cifre si possono formare con le cifre {1,, 3,, 5, 6, 7, 8, 9} in modo che abbiano le prime tre cifre in ordine strettamente crescente e le restanti quattro in ordine decrescente non stretto? 9 Si scelgono le prime tre cifre senza ripetizione in C 9,3 modi diversi e quindi si ordinano. Poi si scelgono le rimanenti quattro cifre con ripetizione in C 9, modi diversi e si ordinano, per 9 1 un totale di numeri differenti. 3 Esercizio 16 Sia A un insieme con elementi e sia B un insieme con n elementi. funzioni da A in B? Se n, quante sono le funzioni iniettive da A in B? Quante sono le Siano A {a 1,..., a } e B {b 1,..., b n }; poiché ogni funzione da A in B associa ad ogni elemento di A un ben preciso elemento di B, ogni funzione può essere vista come un modo diverso di mettere ciascuna delle palline distinte a 1,..., a nelle n urne b 1,..., b n, permettendo più palline nella stessa urna (caso di funzioni non iniettive). Quindi abbiamo D n, n funzioni diverse. In altri termini, abbiamo n scelte per l immagine di a 1, n scelte per l immagine di a,..., n scelte per l immagine di a e quindi vengono n funzioni diverse. Nel caso in cui si cerchino solo le funzioni iniettive da A in B e sia n, nell interpretazione con palline e urne non si ammette più di una pallina per urna e quindi ci sono D n, n(n 1)... (n + 1) funzioni iniettive diverse ovvero: ci sono n scelte per l immagine di a 1, ne rimangono n 1 per l immagine di a, e così via, fino a rimanerne n + 1 per l immagine di a. 10