Determinante e inversa di una matrice

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1 CPITOLO 6 Determinante e inversa di una matrice Esercizio 6.. Calcolare il determinante delle seguenti matrici: 3 3 = B = C = 0 D = 0 F = Esercizio 6.. Calcolare il determinante delle seguenti matrici: 3 0 = = 0 3 = = 0 = = Esercizio 6.3. Calcolare il rango della seguente matrice, utilizzando il calcolo del determinante. k + 0 = k 0 4 k k R k 3 0 Esercizio 6.4. Calcolare l inversa delle seguenti matrici (invertibili) utilizzando il metodo della riduzione a gradini. = B = Esercizio 6.. Dopo avere stabilito se le seguenti matrici sono invertibili calcolarne l inversa: 3 0 = = 0 3 = = 0 = = Esercizio 6.6. Sia la matrice reale 0 = k 0 a) Calcolare il determinante di e stabilire per quali valori di k la matrice è invertibile. b) Trovare la matrice inversa di per k =. Esercizio 6.7. Sia la matrice reale k k k = 0 k 0 (k reale). k k a) Si determini per quali valori di k la matrice è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di per k =. b) Calcolare il rango di al variare del parametro k.

2 6. DETERMINNTE E INVERS DI UN MTRICE Esercizio 6.8. Sia t la matrice reale 0 t 0 t = t (t reale). t Stabilire per quali valori di t la matrice t è invertibile. Esercizio 6.9. Sia la matrice reale 0 = 3k 8+k k (t reale). 0 8k +8 0 a) Calcolare il rango di al variare del parametro k. b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile? Esercizio 6.0. Sia la matrice reale 0 = 4k 4k k (t reale). 0 4k 0 a) Calcolare il rango di al variare del parametro k. b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile? Esercizio 6.. Sia la matrice reale k 0 = 0 k 4 (k reale). k 0 a) Stabilire per quali valori di k la matrice è invertibile. b) Per i valori di k trovati al punto precedente determinare l inversa di. Esercizio 6.. Sia la matrice reale k = 0 (k reale). 3k a) Calcolare il rango di al variare del parametro k. b) Si determini il valore di k tale per cui la matrice abbia determinante uguale a uno. Per tale valore di k, si calcoli la matrice inversa di.. Suggerimenti Una matrice (quadrata) è invertibile se esiste una matrice, indicata con, tale che = = I. Condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice quadrata sia invertibile è che sia det() 0. Per calcolare l inversa di una matrice utilizzeremo due metodi: Si affianca alla matrice la matrice identica e si riduce a gradini in forma normale (cioè con tutti sulla diagonale e 0 altrove). La matrice in cui è stata trasformata la matrice identica è l inversa. Si utilizzano le formule: = det() [a ij] T

3 . SOLUZIONI 3 dove a ij = complemento algebrico di a ij = ( ) i+j det(matrice ottenuta da eliminando la riga i e la colonna j) Rango. Per calcolare il rango di una matrice possiamo utilizzare i sottodeterminanti oppure i pivot. Infatti valgono le seguenti proprietà: () Il rango di una matrice corrisponde al massimo ordine di una sua sottomatrice (quadrata) con determinante non nullo. () Il rango di una matrice corrisponde al numero dei suoi pivot, una volta che è stata ridotta a gradini. (3) Il rango di una matrice è uguale al numero di righe linearmente indipendenti. (4) Il rango di una matrice è uguale al numero di colonne linearmente indipendenti. Talvolta per calcolare il rango di una matrice può essere utile utilizzare un metodo misto di riduzione e di calcolo dei determinanti. Infatti, sia una matrice e la matrice ottenuta da con qualche passo di riduzione a gradini. llora rg() = rg( ). In particolare se è quadrata det() = 0 se e solo se det( ) = 0. Condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice quadrata sia invertibile è che sia det() 0, ovvero che rg() sia massimo.. Soluzioni Esercizio 6.. Calcolare il determinante delle seguenti matrici: 3 3 = B = C = 0 D = 0 F = det() = ( ) 3 = 4 3 = 7 det(b) = 0 3 = 6 Per calcolare il determinante di C sviluppiamo secondo la terza colonna: det(c) = ( ) +3 det + ( ) det 0 = ( )+ ( 7) = 4 = nalogamente per calcolare il determinante di D sviluppiamo secondo la terza colonna: det(d) = ( ) +3 det = (7) = Per calcolare il determinante di F sviluppiamo rispetto alla prima riga. Notiamo che il determinante di F risulta il prodotto degli elementi della diagonale: det(f) =7 ( ) + 0 det = 7 ( 3) = 4 3

4 4 6. DETERMINNTE E INVERS DI UN MTRICE Esercizio 6.. Calcolare il determinante delle seguenti matrici: 3 0 = = 0 3 = = 0 = = Cominciamo dalle matrici : det( ) = ( ) = det( ) = 3 = 3 det( 3 ) = 3 = Consideriamo ora le matrici 3 3. Per la matrice 4 sviluppiamo il determinante rispetto alla prima colonna: 4 4 det( 4 ) = det 0 det +0 det = (0) = Per la matrice possiamo sviluppare il determinante indifferentemente rispetto alla prima colonna o alla prima riga: 0 det( ) = det = Per la matrice 6 ci conviene sviluppare il determinante rispetto alla seconda colonna: 3 det( 6 ) = ( ) det + det = (7 4)+ (7 6) = 3+ = Esercizio 6.3. Calcolare il rango della seguente matrice, utilizzando il calcolo del determinante. k + 0 = k 0 4 k k R k 3 0 Per calcolare il rango di utilizziamo la seguente proprietà. Il rango di una matrice corrisponde al massimo ordine di una sottomatrice quadrata di con deteminante non nullo. Cominciamo quindi a calcolare il determinante di per stabilire quando rg() = 3. Sviluppiamo rispetto alla terza colonna: det() = (4 k) [k 3 (k +)] = (k 4)(k ) Quindi det() = 0 se k = 4 o k =. Di conseguenza: Se k 4,, la matrice ha determinante non nullo, quindi rg() = 3. Se k = 4 la matrice diventa: 6 0 = 0 Sappiamo già che rg(). Per stabilire se ha rango basta trovare una sottomatrice con determinante non nullo. In effetti in troviamo per esempio la sottomatrice: 6 B = det(b) = quindi rg() =.

5 . SOLUZIONI Se k = la matrice diventa: 7 0 = Sappiamo già che rg(). Per stabilire se ha rango basta trovare una sottomatrice con determinante non nullo. In effetti in troviamo per esempio la sottomatrice: 7 0 C = det(c) = quindi rg() =. Esercizio 6.4. Calcolare l inversa delle matrici (invertibili) 3 = B = 0 7 utilizzando il metodo della riduzione a gradini. Consideriamo la matrice e procediamo affiancando ad la matrice identica prima di calcolare rref(): II I 0 0 /II 0 I II 0 0 Di conseguenza [ ] = = Consideriamo la matrice B e procediamo affiancando a B la matrice identica 3 3 prima di calcolare rref(b): II I III I /II III II /III 3 I 3III 0 3 I +II 7 7 II +/III Di conseguenza 7 7 B = = Notiamo che se M M n n è una matrice tale che rref(m) = I n, allora rg(m) = n, quindi: una matrice n n è invertibile se e solo se ha rango n.

6 6 6. DETERMINNTE E INVERS DI UN MTRICE Esercizio 6.. Dopo avere stabilito se le seguenti matrici sono invertibili calcolarne l inversa: 3 0 = = 0 3 = = 0 = = Poichè det( ) = 4 = la matrice è invertibile. Inoltre a = ( ) + ( ) = a = ( ) + = a = ( ) + = = a = ( ) + = Consideriamo. Poichè det( ) = 3 = 3 0, la matrice è invertibile. Inoltre a = ( ) + = a = ( ) + 0 = 0 a = ( ) = 0 = 0 0 a = ( ) + 3 = 3 Consideriamo 3. Poichè det( 3 ) = 3 = 0, la matrice 3 è invertibile. Inoltre a = ( ) + 3 = 3 a = ( ) + = a = ( ) = = a = ( ) + = Poichè det( 4 ) = 0 0, la matrice 4 è invertibile. Inoltre a = ( ) + det = 0 0 a = ( ) + 0 = det = 0 0 a 3 = ( ) +3 0 = det = 0 a = ( ) + 4 det = a = ( ) + = det = 4 = a 3 = ( ) +3 4 = det = 0 a 3 = ( ) 3+ 4 det = 0 a 3 = ( ) 3+ = det = 0 a 33 = ( ) = det = 0 Poichè det( ) = 6 0, la matrice è invertibile. Inoltre a = 3 a = 0 a 3 = 0 a = 0 a = 6 a 3 = 0 a 3 = 0 a 3 = 0 a 33 =

7 . SOLUZIONI 7 Quindi = Poichè det( 6 ) = 4 0, la matrice 6 è invertibile. Inoltre Quindi a = 7 a = 3 a 3 = a = 7 a = a 3 = a 3 = a 3 = a 33 = Esercizio 6.6. Sia la matrice reale 6 = = k 0 a) Calcolare il determinante di e stabilire per quali valori di k la matrice è invertibile. b) Trovare la matrice inversa di per k =. 4 a) det() = ( 4)+k = k 3 La matrice è invertibile se il suo determinante è diverso da zero, ovvero se k 3. b) Calcoliamo l inversa di dopo avere posto k =, nel quale caso det() = 3 =. Quindi a = 3 a = a 3 = a = a = a 3 = a 3 = a 3 = a 33 = 3 = In alternativa per calcolare l inversa di potevamo calcolare rref() dopo avere affiancato a, con k =, la matrice identica: II I III II I +III 3 3 II +III 0 0 = III

8 8 6. DETERMINNTE E INVERS DI UN MTRICE Esercizio 6.7. Sia la matrice reale k k k = 0 k 0 (k reale). k k a) Si determini per quali valori di k la matrice è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di per k =. b) Calcolare il rango di al variare del parametro k. a) Una matrice quadrata è invertibile se ha determinante diverso da zero, ovvero se ha rango massimo. Calcoliamo quindi il determinante di sviluppando rispetto alla seconda riga: Quindi det() = 0 se det() = (k ) [k( k) k] = (k )( k +k) k = 0 k = k +k = 0 k = 0 o k = Infine è invertibile se k 0 e k. Calcoliamo l inversa di quando k = con il metodo della riduzione: I /4II III +I I II III +4II /III I III = b) bbiamo visto che se k 0, la matrice ha determinante non nullo, quindi in questi casi rg() = 3. Inoltre: Se k = 0, diventa III /II I rg() = 0 0 III II 0 Se k =, diventa rg() = 0 III II 0 Esercizio 6.8. Sia t la matrice reale 0 t 0 t = t (t reale). t Stabilire per quali valori di t la matrice t é invertibile. t è invertibile se il suo determinante è diverso da zero, ovvero se il suo rango è 3. Riduciamo quindi a gradini per stabilire se è invertibile. II I t t t 0 t 0 0 t 0 III 0 t t t III I 0 t t II 0 t 0

9 . SOLUZIONI 9 Scambiando ora la seconda e terza colonna otteniamo: t 0 t t t Quindi t ha rango 3, cioè t è invertibile, se t 0,. In alternativa potevamo calcolare direttamente il determinante: e t è invertibile se det( t ) 0, ovvero se t 0,. det( t ) = t( t) Esercizio 6.9. Sia la matrice reale 0 = 3k 8+k k (t reale). 0 8k +8 0 a) Calcolare il rango di al variare del parametro k. b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile? a) Riduciamo a gradini: 0 0 II 3kI 0 8+8k k 0 8+8k k 0 8k +8 0 III II k + Quindi: Se k ±, la matrice ha 3 pivot, quindi rg() = 3. Se k = o k =, la matrice ha pivot, quindi rg() =. b) Una matrice quadrata è invertibile se ha rango massimo. In questo caso è invertibile quando ha rango 3 cioè se k ±. Esercizio 6.0. Sia la matrice reale 0 = 4k 4k k (k reale). 0 4k 0 a) Calcolare il rango di al variare del parametro k. b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile? a) Riduciamo a gradini: 0 0 II +ki 0 4k k 0 4k k 0 4k 0 III +II k Quindi: Se k 4,, la matrice ha 3 pivot, quindi rg() = 3. Se k = 4 o k =, la matrice ha pivot, quindi rg() =. b) Una matrice quadrata è invertibile se ha rango massimo. In questo caso è invertibile quando ha rango 3 cioè se k 4,. Esercizio 6.. Sia la matrice reale k 0 = 0 k 4 (k reale). k 0 a) Stabilire per quali valori di k la matrice è invertibile. b) Per i valori di k trovati al punto precedente determinare l inversa di.

10 0 6. DETERMINNTE E INVERS DI UN MTRICE a) Calcoliamo il rango di riducendola a gradini, ricordando che una matrice è invertibile se ha rango massimo (in questo caso 3): k 0 k 0 0 k 4 0 k 4 III I 0 k 0 III +kii k(k 4) ha tre pivot, e quindi rango 3, se k(k 4) 0. Quindi è invertibile se k 0,4. b) Per determinare l inversa di calcoliamo rref() dopo avere affiancato a la matrice identica, tenendo conto delle condizioni k 0,4: k 0 k 0 0 k k k 0 III I 0 k 0 0 I +III k II k III 0 0 III +kii k(k 4) k k(k 4) III k 0 k k(k 4) k 4 k(k 4) Quindi 0 = k 0 k k 0,4 k(k 4) Esercizio 6.. Sia la matrice reale = k 4 k(k 4) k 0 (k reale). 3k a) Calcolare il rango di al variare del parametro k. b) Si determini il valore di k tale per cui la matrice abbia determinante uguale a uno. Per tale valore di k, si calcoli la matrice inversa di. a) Ricordiamo che una matrice ha rango massimo, in questo caso 3, se ha determinante diverso da zero. det() = 6k 6k = 6k Quindi se k 0 la matrice ha rango 3. Per k = 0 la matrice diventa: 0 0 = 0 II I 0 0 e per k = 0 la matrice ha rango. b) bbiamo visto che det() = 6k, quindi ha determinante se k =. Calcoliamo l inversa con 6 il metodo della riduzione: 6 /I III I /III 0 II I II +/III I II = 3 6