MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di calcolo combinatorio. anno acc. 2009/2010

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1 elemeti di calcolo combiatorio ao acc. 2009/2010

2 Cosideriamo u isieme fiito X. Chiamiamo permutazioe su X u applicazioe biuivoca di X i sè. Ad esempio, se X = {a, b, c}, le permutazioi distite soo 6 e precisamete: σ 1 : X X, σ 1 (a = a, σ 1 (b = b, σ 1 (c = c; σ 2 : X X, σ 2 (a = a, σ 2 (b = c, σ 2 (c = b; σ 3 : X X, σ 3 (a = b, σ 3 (b = a, σ 3 (c = c; σ 4 : X X, σ 4 (a = c, σ 4 (b = b, σ 4 (c = a; σ 5 : X X, σ 5 (a = c, σ 5 (b = a, σ 5 (c = b; σ 6 : X X, σ 6 (a = b, σ 6 (b = c, σ 6 (c = a;

3 Le 6 permutazioi viste prima si rappresetao solitamete co questa otazioe: σ 1 = ( a b c a b c σ 2 = ( a b c a c b σ 3 = ( a b c b a c σ 4 = ( a b c c b a σ 5 = ( a b c c a b σ 6 = ( a b c b c a Ua permutazioe su u isieme X può ache essere iterpretata come u allieameto degli elemeti di X (due allieameti soo distiti tra loro quado differiscoo per il posto occupato da almeo u elemeto. Nel caso dell isieme X = {a, b, c}, le permutazioi su X possoo quidi ache essere rappresetate semplicemete così: a, b, c a, c, b b, a, c c, b, a c, a, b b, c, a.

4 TEOREMA - Il umero delle permutazioi distite di u isieme di elemeti è fattoriale, ovvero! = ( 1 Ad esempio, per = 3 si ha! = 6. Idea della dimostrazioe - Il corrispodete del primo elemeto può essere scelto i modi diversi, il corrispodete del secodo i 1 modi (i quato o si può predere l elemeto scelto come corrispodete del primo, eccetera. Quidi il umero degli allieameti possibili di oggetti distiti tra loro è!. Vediamo ora che cosa accade se gli oggetti da allieare o soo più ecessariamete tutti distiti tra loro. Ad esempio, chiediamoci quati allieameti distiti possiamo otteere a partire da tre oggetti di cui però due uguali tra loro. Abbiamo cioè, ad esempio, da allieare le tre lettere a, a, c. Gli allieameti distiti i questo caso soo solo 3 e precisamete a, a, c a, c, a c, a, a. Poedo a = b, ifatti, i 6 allieameti che si otteevao el caso dei tre elemeti distiti a, b, c risultao a coppie uguali.

5 Aalogamete propoiamoci di cotare gli allieameti di 5 elemeti di cui 3 uguali tra loro e altri 2 uguali tra loro e distiti dai precedeti. Abbiamo quidi a disposizioe da allieare oggetti del tipo x, x, x, y, y. Suppoiamo iizialmete di dover ordiare 5 oggetti distiti tra loro x 1, x 2, x 3, y 1, y 2. Otteiamo 5! allieameti. Poichè però gli x i di parteza erao tutti uguali tra loro, due allieameti che differiscao tra loro solo per u diverso posizioameto tra di loro degli x i soo i realtà uguali tra loro. Aalogo discorso vale per gli y j. I diversi modi i cui si possoo permutare tra di loro gli x i soo 3!, metre i diversi modi i cui si possoo permutare tra di loro gli y j soo 2!. I coclusioe avremo 5! 3! 2! allieameti effettivamete distiti. I geerale si ha

6 TEOREMA - Il umero delle permutazioi (distite di oggetti, dei quali k 1 uguali tra loro, k 2 uguali tra loro e distiti dai precedeti,..., k s uguali tra loro e distiti dai precedeti (co k 1 + k k s = è! k 1!k 2!... k s! Cosideriamo ora il caso particolare s = 2. Il uero delle permutazioi (distite di oggetti, di cui k uguali fra loro e i rimaeti k uguali tra loro e distiti dai precedeti, viee detto coefficiete biomiale di ordie e classe k, deotato co ( k (che si legge " su k" e vale ( k =! k!( k!.

7 Per covezioe si poe 0! = 1. TEOREMA - Il coefficiete biomiale verifica le proprietà segueti. ( ( k = k ; ( ( k = 1 k k ; è ache il umero dei sottoisiemi di k elemeti coteuti i ( k u isieme di elemeti. 4 vale la (formula del biomio di Newtoa + b = a + ( 1 a 1 b+ ( 2 a 2 b ( k a k b k + + ( 1 ab 1 +b Idea della dimostrazioe. La 1 è evidete. La 2 può essere verificata co u calcolo diretto a partire dalla defiizioe di coefficiete biomiale. Per la 3 procediamo per iduzioe su.

8 primo passo dell iduzioe - Nel caso di u isieme X co u solo elemeto, cioè el caso = 1, si può avere solo k = 0, o k = 1. Vi è u solo sottoisieme di X co 0 elemeti, il vuoto, e ifatti ( 1 0 = 1, ed ache u solo sottoisieme di X co u solo elemeto, X stesso, ed ache i questo caso si ha ifatti ( 1 1 = 1. da 1 a - Per ipotesi di iduzioe, el caso di u isieme Y co u 1 elemeti, il umero di sottoisiemi di Y co k elemeti è ( 1 k. U isieme di elemeti X = {x1,, x } può essere pesato come otteuto aggiugedo a u suo sottoisieme Y = {x 1,..., x 1 } di 1 elemeti u ulteriore elemeto x. I sottoisiemi di X co k elemeti soo di due tipi: quelli che o cotegoo x e quelli che lo cotegoo. I primi soo sottoisiemi ache di Y e pertato soo ( 1 k. Gli altri soo otteuti aggiugedo x ad u sottoisieme di Y co k 1 elemeti, e quidi soo i umero di ( 1 k 1. I coclusioe i sottoisiemi di X co k elemeti soo ( 1 k + 1 ( k 1 = k.

9 La 4 può pure essere dimostrata per per iduzioe su. La 4 del teorema precedete si geeralizza come segue (a 1 + a a s = k 1 +k 2 + +k s=! k 1!k 2!... k s! ak 1 1 ak aks s.

10 Da ( k = 1 k k, si ricava il cosiddetto triagolo di Tartaglia: ( 1 0 = 1, 1 1 = 1, ( 2 0 = 1, 2 1 = = 2, 2 2 = 1 ( 3 0 = 1, 3 1 = = 1 + 2, 3 2 = = 2 + 1, 3 3 = 1 eccetera

11 Cosideriamo ora l isieme di cique lettere X = {a, b, c, d, e} e suppoiamo di voler scrivere parole di tre lettere distite tra loro e prese da X. Quate parole diverse potremo scrivere? Per la prima lettera della parola abbiamo 5 possibilità: a, b, c, d, e. Ua volta scelta la prima lettera abbiamo 4 possibilità per la secoda (ad esempio, se la prima è la a, abbiamo dispoibili b, c, d, e. Ua volta scelte le prime due abbiamo 3 possibilità per la terza. I coclusioe potremo scrivere = 60 parole. I geerale il umero di allieameti distiti di k elemeti distiti tra loro presi i u isieme di elemeti (disposizioi semplici di k elemeti presi tra è D,k = ( 1( 2 ( k + 1.

12 OSSERVAZIONE - Si ha D,k =! ( k! OSSERVAZIONE - Nel caso k =, le disposizioi semplici soo le permutazioi, e ifatti risulta D,k =!. Toriamo all isieme di cique lettere X = {a, b, c, d, e} e suppoiamo di voler scrivere parole di tre lettere prese da X, ammettedo ache le parole co lettere ripetute. Quate parole potremo scrivere? Abbiamo 5 possibilità per la prima lettera,5 possibilità per la secoda e acora 5 possibilità per terza. I coclusioe potremo scrivere = 125 parole. I geerale le disposizioi co ripetizioe di k elemeti presi tra è k.

13 OSSERVAZIONE - k è ache il umero delle possibili applicazioi tra u isieme A = {a 1,, a k } di k elemeti e u isieme B di elemeti. Ifatti l immagie di a 1 può essere scelta i modi diversi, e così pure l immagie di a 2, eccetera. OSSERVAZIONE - Il umero delle possibili applicazioi iiettive tra u isieme A = {a 1,, a k } di k elemeti e u isieme B di elemeti è vece ( 1( 2 ( k + 1. Ifatti l immagie di a 1 può essere scelta i modi diversi, l immagie di a 2, può essere scelta tra gli 1 elemeti di B diversi da quello scelto come immagie di a 1, eccetera.