ESERCIZI SUGLI INSIEMI NUMERICI. 1) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali:

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1 ESERCIZI SUGLI INSIEMI NUMERICI 1) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali: 3,14; 1/7; 5/8; 0,1 3; 5/8; π; 1/7; 0,13; 10 1 ; 0, Inserire poi nel precedente ordinamento i seguenti numeri reali: /15; 157/50; 10/16. ) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali: ; 0/9; 16/17; 1, 4; 0/9; 1,414; 16/17; 0, Inserire poi nel precedente ordinamento i seguenti numeri reali: 3/34; 13/9; 707/500; 1. 3) Dato un asse orientato e un unità di misura, dire qual è il numero reale c corrispondente al punto medio tra i punti di coordinate a = 3 e b = 8 (e poi: a = e b = 11; a = 4 e b = 1; a = π e b = 8. In formula c =...?). 4) Completare le seguenti uguaglianze: e quindi a β o a = β?... (3) = α α =..., ( 3 ) = β β =..., 5) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a,b,c IR e a,b,c > 0): 7, 3 7, 80, 3 80, a 5 b 7 c 6, 3 a 5 b 7 c 6, 4 a 7 b 15 c. [Esempio: 4 = 6] Come cambierebbero le espressioni precedenti se c fosse negativo? 6) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a,b,c IR e a,b,c > 0): 7 3, 7 3, , , (a 5 b 7 c 6 ) 3 4, (a 5 b 7 c 6 ) 4 3, (a 7 b 15 c ) 5. ( a 3 b 4 c 5 ) ( a 3, 1 b 3 4c ) 3.

2 [Esempio: 18 3 = 3 (3 ) 3 = 3 3 ] Si osservi inoltre che c 3 = (c ) 1 3 = (c 1 3) = c 4 6 = (c 1 6) 4 ma quest ultima uguaglianza perderebbe di significato se si prendesse c < 0. Per evitare confusioni useremo un esponente razionale solo se la base è positiva (infatti se c > 0, quindi c 0, potremo considerare come esponenti anche razionali negativi poiché si definisce c 1 = 1/c cioè come l elemento inverso, e più in generale ad esempio c 3 = (c 3) 1 ). 7) Visualizzare sull asse reale i seguenti insiemi e, se possibile, scriverli in forma più semplice (esempio: [1, 5] ]3, 8[= [1, 8[): ],π] [,3[; [ 3,+ [ IZ ; ] 5, 5] ]3,+ [; ] 5, 5] ]3,+ [; [ 8,8] \ [,π] 8) Dalle proprietà dei reali deriva la seguente proprietà (che indica come si comporta la relazione d ordine rispetto al prodotto): a, b, c IR, se a b e c 0 a c b c. Osserviamo inoltre che < = 4, 3 > 3 = 9 e invece 1 > (1 ) = 1 4, 1 3 > (1 3 ) = 1 9, ecc.. Con l aiuto delle precedenti osservazioni, dopo averne completato l enunciato, dimostrare implicazioni della forma: (i) Se...a... a a ; (ii) Se...a... a a. 9) Per ognuna delle seguenti implicazioni dire se è vera o falsa (giustificare la risposta utilizzando eventualmente la proprietà dei reali enunciata nell esercizio precedente): a < b a < b, a, b IR, a < b a < b, a, b 0, a < b a < b, a, b 0. 10) (i) Scrivere un equazione di primo grado ax + b = 0 che abbia come radice un numero x naturale; (ii) Scrivere un equazione di primo grado ax + b = 0 che abbia come radice un numero x intero ma non naturale;

3 (iii) Scrivere un equazione di primo grado ax+b = 0 che abbia come radice un numero x razionale ma non intero; (iv) Scrivere un equazione di primo grado ax + b = 0 che abbia come radice un numero x irrazionale; 11) Scrivere un equazione di secondo grado ax + bx + c = 0 che abbia almeno una radice x del tipo richiesto in ciascuno dei punti dell esercizio precedente e esaminare a quale insieme numerico appartenga l altra radice. 1) Verificare che x = 1 è soluzione dell equazione x + x = x. Allora quale dei seguenti passaggi è scorretto e perchè? x + x = x a) = x + x + 1 = x + 1 b) (x + 1) = x + 1 c) = x + 1 = 1 = d) x = 0 13) Scrivere in rappresentazione decimale la seguente uguaglianza Cosa se ne deduce? = 1. 14) Ricordando che nei reali valgono in particolare le seguenti proprietà: (i) Esiste l elemento neutro rispetto alla somma 0 (cioè a IR a + 0 = a), (ii) Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma (cioè a, b, c IR (a + b) c = a c + b c), dimostrare che (i) e (ii) implicano la seguente proprietà: a IR a 0 = 0 3

4 ESERCIZI su PRODOTTI NOTEVOLI e POLINOMI 1) Scrivere un polinomio che abbia tutte e sole le seguenti radici semplici: ±1/, ±. Ce ne sono altri? Scriverne uno che, oltre alle precedenti radici abbia anche la radice semplice 0. Scriverne uno che abbia una radice semplice, una con molteplicità e una con molteplicità 3. ) Dato il polinomio di o grado p(x) := x x, determinare il vertice e l asse di simmetria della parabola che ne è il grafico, le sue radici (se esistono nei reali) e dire se nell insieme {y = p(x) : x IR} esista un minimo o un massimo. Ripetere l esercizio per i seguenti polinomi: 5x x + 1; 3x + x 1; 3x 4 x. 3) Esistono infiniti polinomi di o grado aventi come radici x = e x = 1 5. Scrivere tali polinomi (in dipendenza da un parametro) e ripetere l analisi effettuata nell esercizio precedente, discutendo quali elementi dipendano dal valore del parametro e quali no. 4) Determinare il polinomio di o grado il cui grafico passi per i punti (1,3) e (,8) ed abbia come asse di simmetria l asse x = 4. 5) Sia A il punto di incontro tra la retta y = x 4 e la bisettrice del primo e terzo quadrante (retta y = x). Determinare la retta passante per A e per il vertice della parabola passante per A, per B = (,10) e per l origine. 6) Utilizzare i prodotti notevoli per scrivere diversamente le seguenti espressioni: x 4 1, x 4 4, x 3 5, x )Calcolare 99 3 trasformandolo in una semplice somma algebrica con la formula del cubo, essendo 99 3 = (100 1) 3. 8) Scomporre i seguenti polinomi nel prodotto di polinomi di primo o, se necessario, di secondo grado (a coefficienti reali): x 3 x 7x + 6, x 3 + x +, x 3 + 3x 11x 6, 1x 3 + 4x 3x 1, x 3 x + x, x 4 3x, x 6 15x ) Dopo aver effettuato una divisione tra polinomi, scrivere diversamente il seguente rapporto: x 3 + x 3x + 1 x 4, (x ).

5 Ripetere l esercizio per i rapporti che seguono (per x...): x 4 3x 3 x + x 1 x + x 1, 5x 3 3x 1 x x, x x x + 1, x 3 1 3x + x. 10) Dire se il polinomio x 3 +3x 3x è divisibile per il polinomio x +x (quindi se la divisione ha resto nullo), senza effettuare la divisione stessa. Ripetere l esercizio considerando come primo polinomio x 3 3x x + 3 e poi le coppie: x 3 x x e x 4; x 3 + 3x 4x 1 e x + x 6. 11) Fattorizzare i seguenti polinomi: x 3 +x +x+1; x 4 5x 3 +5x ; x 3 x + x 1; 1x 5 13x 4 5x 3 + 5x + 13x 1. Si osservi che polinomi del tipo ax 3 + bx + bx + a hanno sempre la radice x = 1, e polinomi del tipo ax 3 +bx bx a hanno sempre la radice x = +1. Inoltre si osservi che se x è una radice, anche 1/x lo è (qui supponiamo a 0, quindi anche le radici sono non nulle). Analogo discorso vale per polinomi di grado maggiore dispari. 1) Fattorizzare i seguenti polinomi: 6x 4 13x x 6, 4x x 3 17x 4. Si osservi che polinomi del tipo ax 4 +bx 3 bx a (con coefficiente nullo per il coefficiente del termine di grado ) hanno sempre le radici x = ±1. Inoltre si osservi che se x è una radice, anche 1/x lo è (qui supponiamo a 0, quindi anche le radici sono non nulle). Analogo discorso vale per polinomi di grado maggiore pari. 5

6 Funzioni 1) Data la funzione f(x) = x + 1, determinarne l insieme di definizione. Calcolare successivamente l immagine dell insieme [, 3] tramite f. ) Data la funzione f(x) = (x + 1), determinarne l insieme di definizione. Calcolare successivamente l immagine dell insieme [, 1] tramite f. 3) Determinare insieme di definizione ed immagine della funzione il cui grafico è il seguente: 4) Determinare insieme di definizione ed immagine della funzione il cui grafico è il seguente: 1

7 5) Data la funzione f(x) = x + 3, verificare che è iniettiva su [0, 1], calcolare l immagine di [0, 1] tramite f e scrivere l inversa di f. 6) Data la funzione f(x) = (x 1), verificare che non è iniettiva su [0, ], determinare un intervallo contenuto in [0, ] su cui f è iniettiva, calcolare l immagine di tale intervallo tramite f e scrivere l inversa di f. 7) Data la funzione f(x) = x+1, verificare che è iniettiva su [, 4], x 1 calcolare l immagine di [, 4] tramite f e scrivere l inversa di f. 8) Disegnare il grafico dell inversa della funzione il cui grafico è il seguente: 9) Dopo aver verificato che non è invertibile la funzione il cui grafico è il seguente:

8 verificare che la funzione è invertibile sia per x positivo che per x negativo, e disegnare i grafici delle due funzioni inverse. 10) Disegnare i grafici della somma, della differenza e del prodotto delle due funzioni il cui grafico è il seguente: 3 11) Date f(x) = x + 1 e g(x) = (x 1) dire quale dei due grafici che seguono è quello di f(g(x)), e quale quello di g(f(x)): 1) Verificare che f(x) = (x 1) 3 è monotona su tutto l insieme di definizione.

9 4 13) Verificare che f(x) = (x 1) non è monotona su tutto l insieme di definizione, e determinare un intervallo di monotonia. 14) Verificare che f(x) = x + 1 è monotona sull insieme x > 1. Lo è x in ( 1, 1)? 15) Verificare che f(x) = x 3x 4 è una funzione pari, e che f(x) = x + x 3 6x 19 è una funzione dispari. 16) Verificare che f(x) = x + 1 è dispari. x 17) Data la funzione il cui grafico è il seguente: dopo aver verificato che non è né pari, né dispari, determinare α e β tali che f(x + α) + β sia dispari. 18) Verificare che la funzione f(x) = x [x] è periodica di periodo 1 ([x] è la parte intera di x, il più grande numero intero minore di x: [.3] =, [π] = 3, [ 1.] = ). 19) Risolvere l equazione x 1 = x. 0) Risolvere l equazione x 1 + x = x 3. 1) Risolvere l equazione x 1 + x = x 3 + x 4. ) Semplificare il più possibile le seguenti espressioni: log (4 x ) log 3 (6 x ) log 9 (3 x ). 3) Semplificare il più possibile le seguenti espressioni: 4 log (x) 1 log 3 (x) log 4 (x).

10 Precorsi di Matematica A.A Esercizi di trigonometria N.B. I seguenti esercizi devono essere svolti senza utilizzare la calcolatrice. Gli angoli sono misurati in radianti. Esercizio 1. Cos è un radiante? Perché si dice che la misura di un angolo è un numero puro? Esercizio. Disegnare un angolo di (circa) un radiante e dire se il suo seno è positivo o negativo. Esercizio 3. Disegnare un angolo di (circa) 7 radianti e dire se il suo coseno è positivo o negativo. Esercizio 4. Si consideri una circonferenza di raggio pari a 3.6 metri. Determinare la lunghezza dell arco di tale circorferenza che insiste su un angolo di 1/ radiante. Esercizio 5. Si consideri una circonferenza di raggio pari a 3.6 metri. Calcolare l area del settore circolare corrispondente ad un angolo di 1/ radiante. Esercizio 6. Disegnare l angolo (gli angoli) il cui coseno vale 1/4. Quanto vale il seno? Esercizio 7. Disegnare l angolo (gli angoli) il cui seno vale 1/4. Quanto vale il coseno? Esercizio 8. In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 4 metri e forma con l ipotenusa un angolo di π/6. Determinare la lunghezza dell altro cateto. Esercizio 9. Si vuole determinare l altezza di una torre. A questo scopo ci si pone a distanza di 30 metri dalla base e si osserva che la torre (dalla base alla cima) copre un angolo di π/3 della visuale. Quanto è alta la torre? Esercizio 10. In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 6 metri e forma con l ipotenusa un angolo di π/5. Determinare la lunghezza dell ipotenusa.

11 Esercizio 11. Si vuole determinare la pendenza di un piano inclinato in un ghiacciaio. A questo scopo se ne misura prima la lunghezza che risulta essere di 300 metri. Successivamente si lascia cadere un disco d acciaio (di massa pari ad un chilo) dalla cima che raggiunge il fondo dopo 0 secondi. Qual è la pendenza? Quale sarebbe stata la pendenza se la massa del disco fosse stata di chili? Nel risolvere l esercizio si trascuri l attrito del disco con il ghiaccio e si assuma che l accelerazione di gravità valga 10 metri/(secondi). Esercizio 1. Si consideri un triangolo in cui due lati sono rispettivamenti lunghi 6 e 8 metri e formano tra loro un angolo di π/5. Determinare la lunghezza del terzo lato. Esercizio 13. Si consideri una baia nelle cui punte sono posti due fari. Si vuole determinare la distanza tra i due fari. A questo scopo ci si pone in un punto in mezzo alla baia e si osservano i due fari rispettivamente alla distanza di 1 e 1.5 chilometri. Si osserva inoltre che i due fari coprono un angolo pari a 3π/4 della visuale. Qual è la distanza tra i due fari? Esercizio 14. Disegnare l angolo (gli angoli) la cui tangente vale. Quanto vale il seno? Esercizio 15. Disegnare l angolo (gli angoli) la cui tangente vale. Quanto vale il coseno? Esercizio 16. Calcolare sin α cos ( π α) + cos α sin ( π α) Esercizio 17. Risolvere l equazione sin x = 1 Esercizio 18. Risolvere l equazione cos x = 1

12 Esercizio 19. Risolvere l equazione sin x = 4 3 Esercizio 0. Risolvere l equazione tan x tan x = 0 Esercizio 1. Risolvere l equazione sin x + cos x = 0 Esercizio. Risolvere l equazione sin x cos x cos x = 0 Esercizio 3. Verificare l identità sin(α + β) sin(α β) = sin α sin β Esercizio 4. Calcolare l area di un triangolo avente due lati che formano tra loro un angolo di π/6 ed aventi lunghezza rispettivamente pari a 4 cm. e 7 cm.

13 Esercizi sulle disequazioni 1. Per quali valori di λ R la radice x dell equazione è tale che 1 x 3? x + 1 = 3λ. Studio della funzione y = f(x) ax +bx+c. Relazioni fra coefficienti e radici. 3. x 3 x x + > x 3 + x 41x + 7 < x 3 + x 30 > x + 1 x 3 7. x 1 x + x > x + 4x 5 x x 6 0 1

14 9. x 3 3x + x x 3x (x + 1) x 8x + 15 x + 5 x 6x + 5 3(x + 1) x 4x x 1 1 x x x 1 x x + 8 x + 1 x + 7 x 1 > x + 4 x x 1 + x + 1 < x + 10x 4x x x 1 > x 3 x + 3 4x x < Fissato λ, sotto quali condizioni per i coefficienti dell equazione f(x) ax + bx + c = 0, a 0 risulta a)x 1 < λ < x? b)x 1 < x < λ? 17. Per quale limitazione su k, l equazione x +5x (k 1) = 0 ammette due radici: x 1, x, con x 1 < 3 < x?

15 18. Per quale limitazione su k, l equazione x + ( 3k)x (k 5 4 ) = 0 ammette due radici: x 1, x, con x 1 < x <? 19. Per quale limitazione su k, l equazione f(x) (k+7)x +(k 1)x+1 = 0 k 7 ammette due radici: x 1, x, con x 1 < 1 x? 0. Per quale limitazione su k, l equazione f(x) x +(k 1)x 3k = 0 ammette due radici: x 1, x, con x 1 < 3 < x? 1. x 1 x 3. x 3x + < x x x + x 1 > x 1 <. x 5. x + 3 x x 3 x x 4 x 3 < 8. x x + 1 x + 3 3

16 9. x > x x 4 + x + 4 < x > 3/4 + x 3. 3x 3x 1 > log x > log x > 16 log x log 3 (x + 5x + 3) >. 36. log 1/ (x + x ) >. 37. log 1/ (x 1 x) > log 1/ 3/ cosx < 1/. 39. sin x < 3/ cosx sin x > 1. 4

17 41. cos x + sin x cosx > cotx > 3 sin x. 5

18 RISOLUZIONE ESERCIZI su INSIEMI NUMERICI 1) In ordine crescente: 1/7 < 5/8 < 10 1 < 0,13 < 0,1 3 = /15 < 5/8 = 10/16 < 1/7 < < 0, < 3,14 = 157/50 < π. ) In ordine crescente: 0/9 < 16/17 = 3/34 < 1 < 16/17 < 1,414 = 707/500 < 0, < < < 1, 4 = 13/9 < 0/9. 3) Punti medi: 4) = 11 ; + 11 = 9 ; 4 1 (3) = α α = 9 = 5 ; π + 8 ( 3 ) = β β = 6 ; c = a + b. e quindi a β. Pertanto non deve essere utilizzata la scrittura 3 oppure se ne deve stabilire il significato. 5) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a,b,c IR e a,b,c > 0): 3 7 = 6, 7 = 3 9, 80 = 4 3 5, 3 80 = 10, a 5 b 7 c 6 = a b 3 c 3 ab, 3 a 5 b 7 c 6 = ab c 3 a b, 4 a 7 b 15 c = ab 3 c 5 4 a 3 b 3 c. Se c fosse negativo avremmo: a 5 b 7 c 6 = a b 3 ( c) 3 ab, 3 a 5 b 7 c 6 = ab c 3 a b, 4 a 7 b 15 c = ab 3 ( c) 5 4 a 3 b 3 c. 6) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a,b,c IR e a,b,c > 0): = 1 3, 7 3 = = 43, = = 4 3, = = , (a 5 b 7 c 6 ) 3 4 = a 3 b 5 c 4 4 a 3 b c, (a 5 b 7 c 6 ) 4 3 = a 6 b 9 c 8 3 a b, (a 7 b 15 c ) 5 = a b 6 c 8 5 a 4 c 4. 1

19 ( a 3 b 4 c ) = a 6 b 8 c 4 = a6 c 4 b 8 ; ( a 5 3 b 3 4c ) 3 = a 10 9 b 1 c 4 3 = c 3 c a 9 a b. 7) ],π] [,3[=],3[; [ 3,+ [ IZ = IN \ {0, 1} = {, 3, 4,...}; ] 5, 5] ]3,+ [ (scrittura non semplificabile); ] 5, 5] ]3,+ [= ; [ 8,8] \ [,π] = [ 8, [ ]π,8]. 8) Consideriamo la proprietà dei reali: (P) a, b, c IR, se a b e c 0 a c b c. Dimostriamo le seguenti implicazioni: (i) Se 1 a a a. Dimostrazione: Per ipotesi 1 a. Allora, moltiplicando per a 1 > 0 entrambi i membri della diseguaglianza, dalla proprietà (P) si ottiene: a a a = a, c.v.d. (come volevasi dimostrare). (ii) Se 0 a 1 a a. Dimostrazione: Per ipotesi 0 a 1. Allora, moltiplicando per a 0 i membri della diseguaglianza precedente, dalla proprietà (P) si ottiene: 0 a a, c.v.d.. 9) Per ognuna delle seguenti implicazioni dire se è vera o falsa (giustificare la risposta utilizzando eventualmente la proprietà dei reali enunciata nell esercizio precedente): a < b a < b, a, b IR: falsa ad esempio sea =, b = 1; a < b a < b, a, b 0: falsa ad esempio se a =, b = 1; Vale invece il seguente risultato: a, b 0, se a < b a < b. Dimostrazione: se 0 a < b, moltiplicando tali diseguaglianze per a e per b, dalla proprietà (P) dell esercizio precedente otteniamo: a ab e ab < b a < b (nell ultima implicazione si è utilizzata la proprietà transitiva dell ordinamento, inoltre, poichè a 0, moltiplicando per a le diseguaglianze strette possono diventare delle uguaglianze se a = 0, mentre moltiplicando per b > 0 le diseguaglianze rimangono strette).

20 Osserviamo che nel caso di numeri negativi vale l implicazione opposta: a < b 0 a > b. 10) (i) x 6 = 0 ha come radice x = 3 naturale; (ii) x + 6 = 0 ha come radice x = 3 intero ma non naturale; (iii) 6x + = 0 ha come radice x = 1/3 razionale ma non intero; (iv) x + = 0 ha come radice x = irrazionale. 11) (i) 3x 10x+3 = 0 ha come radici x = 3 naturale e x = 1/3 razionale ma non naturale né intera; (ii) 3x + 10x + 3 = 0 ha come radici x = 3 intero ma non naturale e x = 1/3 razionale ma non naturale né intera; (iii) 6x + x 1 = 0 ha come radici x = 1/3 e x = 1/ entrambe razionali ma non intere; (iv) x x = 0 ha come radici x = 1 ± 3 entrambe irrazionali. 1) Il passaggio c) è scorretto, perché se è x = 1, risulta x+1 = 0 e quindi non posso dividere per la quantità x + 1 = 0. Devo allora distinguere: se è x = 1 l uguaglianza è verificata come già sapevamo. Se suppongo che sia x 1, risulta x e quindi posso effettuare il passaggio c) e trovare l altra soluzione x = 0. 13) 1 = = 0, 3 + 0, 6 = 0, 9. Se ne deduce che 1 = 0, 9, quindi ci sono due modi per scrivere il numero reale 1. 14) Ricordando che nei reali valgono in particolare le seguenti proprietà: (i) Esiste l elemento neutro rispetto alla somma 0 ( a+0 = a, a IR ), (ii) Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma ( (a + b) c = a c + b c, a, b, c IR ), dimostrare che (i) e (ii) implicano la seguente proprietà: a 0 = 0, a IR Dimostrazione: utilizzando (i) si ottiene che a, b IR, a (b + 0) = a b e utilizzando (ii) si ottiene anche che a (b + 0) = a b + a 0. Allora, essendo uguali i primi membri delle uguaglianze, lo sono anche i secondi, quindi si ottiene: a b = a b + a 0. Aggiungendo a entrambi i membri a b e usando la proprietà commutativa si ottiene: a b a b = a b + a 0 a b 0 = a 0, c.v.d.. 3

21 RISOLUZIONE ESERCIZI su PRODOTTI NOTEVOLI e POLINOMI 1) p(x) = a(x 1)(x + 1)(x )(x + ) = a(4x 1)(x 4) = a(4x 4 17x +4), ( a IR, a 0). I polinomi che abbiano, oltre alle radici semplici del polinomio precedente, la radice semplice x = 0 sono: x p(x) = a(4x 5 17x 3 + 4x). Un polinomio con radice x = 1 semplice, con radice x = +1 di molteplicità e con radice x = 0 di molteplicità 3 è: (x + 1)(x 1) x 3 = (x 1)(x 1)x 3 = x 6 x 5 x 4 + x 3. ) Se V = (x V,y V ) è il vertice della parabola, allora: l asse di simmetria è x = x V ; se il coefficiente del termine di o grado è positivo, l insieme {y = p(x) : x IR} ha un minimo dato da y V, se è negativo ha un massimo anch esso dato da y V. x x : V = ( 1/,9/4), radici x = 1 e x =, massimo 9/4. 5x x + 1: V = (1/5,4/5), non esistono radici reali, minimo 4/5. 3x + x 1: V = ( 1/3, 4/3), radici x = 1 e x = 1/3, minimo 4/3. 3x 4 x : V = (3/, 7/4), non esistono radici reali, massimo 7/4. 3) p a (x) = a(x )(5x 1) = a(5x 11x + ), ( a IR, a 0): V = (11/10, a 81/0), radici indipendenti da a per costruzione e il punto medio tra le radici è quindi indipendente da a (ed è l ascissa del vertice e individua l asse di simmetria), a81/0 è minimo se a > 0, massimo se a < 0. 4) Polinomio ax + bx + c: il suo grafico passa per il punto (1,3) 3 = a + b + c il suo grafico passa per il punto (, 8) 8 = 4a + b + c ha come asse di simmetria l asse x = 4 b/(a) = 4. Devo mettere a sistema le uguaglianze ottenute e ricavare i valori dei parametri a, b, c: b = 8a, a + b + c = 3, (1) 4a + b + c = 8. Risolvendo il sistema si ottiene a = 1, b = 8, c = 4. Quindi il polinomio cercato è: x + 8x 4. 5) A = (x,y) se x e y risolvono il sistema { y = x 4, () y = x, 4

22 quindi A = (4,4). La parabola per A, per B = (,10) e per l origine ha equazione y = ax + bx + c se a, b, c verificano: 16a + 4b + c = 4, 4a b + c = 10, c = 0. Otteniamo quindi la parabola y = x 3x di vertice V = (3/, 9/4). Possiamo ora determinare la retta passante per A e V, ottenendo y = 5 x 6. (3) 6) Utilizzare i prodotti notevoli per scrivere diversamente le seguenti espressioni: x 4 1 = (x 1)(x + 1)(x + 1), 8x = (x + 1)(4x x + 1), x 4 4 = (x )(x + )(x + ), x 3 5 = (x 3 5)(x + 3 5x ), x = ( 5 x + 5 3)( 5 4 x x x x ). 7) 99 3 = (100 1) 3 = = ) x 3 x 7x + 6 = (x 1)(x + )(x 3), 9) x 3 + x + = (x + 1)(x x + ), x 3 + 3x 11x 6 = (x )(x + 1)(x + 3), 1x 3 + 4x 3x 1 = (x 1)(x + 1)(3x + 1), x 3 x + x = x(x x + 1), x 4 3x = (x + 1)(x )(x + ), x 6 15x 3 8 = ( 3 x + 1)( 3 4x 3 x + 1)(x )(x + x + 4). x 3 + x 3x + 1 x x 4 3x 3 x + x 1 x + x 1 5x 3 3x 1 x x = x + 5x , (x ). x = 1 x 7 4 x x + 3 8(x, (x 1, x 1/). + x 1) = 5x x + 8 x x, (x 1 ± 3) 5

23 x x x + 1 = x + x + 1, x 3 1 3x + x = x x 9 9(3x, (x 1/3, x 0). + x) 10) Scomponendo il polinomio denominatore ottengo: x +x = (x+)(x 1). Poiché x = e x = 1 sono anche radici del polinomio a numeratore, fattorizzando anche il numeratore posso semplificare i fattori comuni, quindi ottengo un polinomio, cioè il resto della divisione è nullo. Invece il polinomio x 3 3x x + 3 non ha la radice x =, quindi non è divisibile per x + x = (x + )(x 1). x 3 x x non è divisibile per x 4 = (x )(x + ), poiché x = non è radice del primo polinomio; x 3 + 3x 4x 1 è divisibile per x + x 6, poichè le radici x = 3 e x = del secondo polinomio sono anche radici del primo. 11) x 3 + x + x + 1 = (x + 1)(x + x + 1); x 4 5x 3 + 5x = (x + 1)(x 1)(x 1)(x ); x 3 x + x 1 = (x 1)(x x + 1); 1x 5 13x 4 5x 3 +5x +13x 1 = (x+1) (x 1)(4x 3)(3x 4). 1) 6x 4 13x x 6 = (x + 1)(x 1)(x 3)(3x ), 4x x 3 17x 4 = (x + 1)(x 1)(4x + 1)(x + 4). 6

24 Esercizi sulle funzioni Soluzioni 1) a) x 1; b) f([, 3]) = [ 3, ]. ) a) R; b) f([, 1]) = [0, 4]. 3) a) [ 3, ] [ 1, ] [3, 4]; b) [ 1, 4]. 4) a) x 0; b) [0, + ). 5) a) f(x) = f(y) se e solo se x+3 = y+3, se e solo se x+ 3 = y+ 3, se e solo se x = y, se e solo se x = y, se e solo se x = y; b) f([0, 1]) = [3, 4]; c) y = x + 3 se e solo se y 3 = x, se e solo se y 3 = x, e quindi f 1 (y) = y 3. 6) a) f(0) = ( 1) = 1 = (1) = f(); b) [1, ] (ad esempio); c) f([1, ]) = [0, 1]; f 1 (y) = 1 + y. 7) a) x+1 x 1 = 1 + x 1, da cui...; b) f([, 4]) = [ 5 3, ]; c) f 1 (y) = y+1 y 1. 8) Il grafico dell inversa è uguale al grafico della funzione data. 9) a) Ogni retta y = a, con 0 < a < 1, taglia il grafico in due punti; b) ogni retta y = a, con a > 0, taglia il grafico in un solo punto per x < 0, e in al più un punto per x > 0 c) 10) 1

25 11) a) blu; b) rosso. 1) a) (x 1) 3 (y 1) 3 se e solo se 3 (x 1) 3 3 (y 1) 3, se e solo se x 1 y 1, se e solo se x y. 13) f(0) = 1 > 0 = f(1) e f(1) = 0 < 1 = f(); b) [1, + ) (ad esempio). 14) a) se x > y > 1 si ha x + 1 y + 1 se e solo se x +1, se e x y y solo se x y (x y) x y se e solo se x y 1 (che è vero perché sia x che y sono maggiori di 1); b) no: f( 1) = > f( 1/) = 5/ e f( 1) = < f(1) =. 15) a) f( x) = ( x) 3( x) 4 = x 3x 4 = f(x); b) f( x) =... 16) f( x) = x + 1 = x 1 = (x + 1) = f(x). x x x 17) α = 1, β = 1/. 18) Se x = n.abcdefgh..., con n intero, allora f(x) = 0.abcdefgh...; essendo x + 1 = (n + 1).abcdefgh..., si ha f(x + 1) = 0.abcdefgh... = f(x). 19) x = 3. 0) x = 0 e x =. 1) Nessuna soluzione. ) a) log (4 x ) = x log (4) = x log ( ) = x; b) x (1 + log 3 ()); c) x/. x y +1 3) 4 log (x) = ( ) log (x) = log (x) = log (x = x ; b) x 4 log 3 (x) ; c) x.

26 Precorsi di Matematica A.A Esercizi di trigonometria: Risposte Esercizio 1. Perché rapporto di grandezze omogenee. Esercizio. Positivo Esercizio 3. Positivo Esercizio m Esercizio 5. (1.8) m Esercizio 6. ± 15 4 Esercizio 7. ± 15 4 Esercizio 8. 4 tan(π/6) m Esercizio tan(π/3) m Esercizio cos(π/5) m Esercizio 11. arcsin(3/0) Non dipende dalla massa. Esercizio cos(π/5) m Esercizio (1.5) 1.5 cos(3π/4) Km Esercizio 14. ± 4/5 Esercizio 15. ± 1/5 Esercizio Esercizio 17. π 6 + kπ, 5π 6 + kπ Esercizio 18. π + kπ

27 Esercizio 19. Nessuna soluzione Esercizio 0. kπ, π 4 + kπ Esercizio 1. 3π 4 + kπ Esercizio. π + kπ Esercizio sin(π/6) cm

28 Disequazioni: soluzioni λ 7 3. Studio della funzione y = f(x) ax +bx+c. Relazioni fra coefficienti e radici < x < 1, x > 4. x < x > 3 6. x <, x < x < 0, x > 1 8. x 5, < x 1, x > 3 9. x <, 0 x 1, x < x, 1 < x < 3, 5 < x 7 1

29 11. x 5, 3 x <, x > < x 1, < x < 3, x x < 5/, 1 < x < 1, x > x < 1/, 1/ < x < 1/, x > 1/ 15. 1/ < x < 1/ 16. a) > 0 af(λ) < 0 b) > 0 af(λ) > 0 λ > x 1 + x b a 17. k > 5/ 18. k < 1/9, 1 < k < 37/ /3 < k 7/ Per k = 7/ f(1) = k < 1. x 1 17, x

30 . 3 < x < x > < x < 0, < x < a b a b x x < 1/, 1/ < x 5/4 7. x <, x > 10/3 8. x 8/7 9. x < Non ci sono soluzioni x < 1/ /3 < x < 3/ < x < 1/3 3

31 34. 1/16 < x < 1, x > x < 6, x > < x <, 1 < x < < x < π/3 + kπ < x < π π/3 + kπ 39. ( π π/3) + kπ < x < π/3 + kπ 40. π/ + kπ < x < π/6 + kπ π + kπ < x < 4 3 π + kπ 4. π/6 + kπ < x < π/3 + kπ 4